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- 3. SLIDESMANIA.COM En cualquier estudio científico necesitamos determinar los objetos que vamos a estudiar y caracterizarlos. Ejemplo: el conjunto de los materiales de construcción, el subconjunto de los de bajo costo, el subconjunto de los sismorresistentes, etc. Conjuntos Video Conjuntos Ejemplos Next class Operaciones Ejemplo
- 4. SLIDESMANIA.COM Agrupación de objetos de diversa índole, donde cada objeto que está en un conjunto se le denomina ELEMENTO del conjunto y se dice que PERTENECE al conjunto, esta relación de pertenencia entre elementos y conjuntos se nota con el signo Conjuntos Video Conjuntos Ejemplos Next class ∈ ∉ Nota: Los conjuntos se acostumbran a designar por letras mayúsculas y los elementos por letras minúsculas. Pertenece No Pertenece Operaciones Ejemplo
- 5. SLIDESMANIA.COM Para presentar un conjunto se suele escribir, entre un par de llaves, la lista de sus elementos separándolos por comas; en este caso se dice que el conjunto está descrito POR EXTENSIÓN. Si queremos un conjunto A que tenga como elementos los números 2, 4, 6 y 8, lo podemos representar como Conjuntos Descripción de conjuntos Video Conjuntos Ejemplos Next class 𝐴 = {2,4,6,8} Operaciones Ejemplo
- 6. SLIDESMANIA.COM Otra forma de presentar un conjunto es escribir entre llaves una letra (que sirve de variable), por ejemplo 𝑥, seguida de una línea vertical y luego se escribe la característica que deben cumplir tales 𝑥 para pertenecer al conjunto. En este caso decimos que el conjunto está descrito por COMPRESIÓN. Si queremos un conjunto A que tenga como elementos los números 2, 4, 6 y 8, lo podemos representar como Conjuntos Descripción de conjuntos Video Conjuntos Ejemplos Next class 𝐴 = {𝑥|𝑥 es un número par mayor que 1 y menor que 10} (se lee: el conjunto de los 𝑥, tales que 𝑥 es un número par mayor que 1 y menor que 10). Operaciones Ejemplo
- 7. SLIDESMANIA.COM B= {rojo, blanco, azul} E={𝑦|𝑦 es un estudiante de lógica y pensamiento matemático en la CUN} T={𝑥|𝑥 es un número par y primo} Conjuntos Descripción de conjuntos Video Conjuntos Ejemplos Next class ={2} Cuando el conjunto, como T, tiene un solo elemento se llama CONJUNTO UNITARIO. W={𝑥|𝑥 es un número par, primo y mayor que 7} Es claro que W no tiene elementos, pues la caracterización de ser primo, par y mayor que 7 no la cumple ningún número. Este conjunto se llama EL CONJUNTO VACÍO y se nota ∅ o {} Operaciones Ejemplo
- 8. SLIDESMANIA.COM Un conjunto A está CONTENIDO en un conjunto B, lo que se nota A ⊆ 𝐵, si todo elemento de A es también elemento de B. En otras palabras, si para cualquier elemento 𝑥 se cumple, que si 𝑥 𝜖 𝐴 entonces 𝑥 𝜖 𝐵. En este caso decimos que A es un SUBCONJUNTO de B. Conjuntos Relación de contenencia Video Conjuntos Ejemplos Next class Operaciones Ejemplo
- 9. SLIDESMANIA.COM Conjuntos Diagramas de Venn Video Conjuntos Ejemplos Next class Una manera de representar gráficamente las relaciones y operaciones entre conjuntos es utilizar los diagramas de Venn. Estos diagramas representan el conjunto universal por un rectángulo y en su interior se dibujan círculos u óvalos para representar los subconjuntos; la posición y cruces de esta figuras permiten visualizar sus relaciones. Operaciones Ejemplo
- 10. SLIDESMANIA.COM Operaciones Unión Video Operaciones Ejemplos Next class Operaciones entre conjuntos Dados dos conjuntos A y B definimos LA UNIÖN de A y B, lo que notamos 𝐴 ∪ 𝐵, como el conjunto de los elementos que están en A o están en B. Es decir, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 o 𝑥 ∈ 𝐵}, o usando el signo del conectivo lógico de disyunción 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 V 𝑥 ∈ 𝐵}. La zona rayada en la siguiente imagen representa 𝐴 ∪ 𝐵. Ejemplo
- 11. SLIDESMANIA.COM Operaciones Intersección Video Ejemplos Next class Operaciones entre conjuntos Dados dos conjuntos A y B definimos LA INTERSECCIÓN de A y B, lo que notamos 𝐴 ∩ 𝐵, como el conjunto de los elementos que están en A y están en B. Es decir, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 ∈ 𝐵}, o usando el signo del conectivo lógico de conjunción 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}. La zona rayada en la siguiente imagen representa 𝐴 ∩ 𝐵. Operaciones Ejemplo
- 12. SLIDESMANIA.COM Operaciones Sean 𝑈 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 = 𝑥 ∈ ℕ 0 ≤ 𝑥 ≤ 16} 𝑆 = 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 8} 𝑊 = 1,3,5,7,9 𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} 𝑌 = 2,3,4,5,6,7 𝑍 = {8,9,10,11,12,13,14,15,16} Video Ejemplos Next class 𝑆 ∩ 𝑇 = {2,3,5,7} 𝑇 ∪ 𝑊 = 𝑇′ = 𝑍 ∩ 𝑊 = 𝑆 ∩ 𝑍 = 𝑆 ∪ 𝑍 = 𝑆′ = 𝑍′ = 𝑊′ = Operaciones entre conjuntos {1,2,3,5,7,9,11,13} {0,1,4,6,8,9,10,12,14,15,16} {9} ∅ 𝑈 𝑍 𝑆 {0,2,4,6,8,10,11,12,13,14,15,16} Operaciones Ejemplo
- 13. SLIDESMANIA.COM Operaciones Video Ejemplos Next class Propiedades de la unión y la intersección Operaciones Ejemplo
- 14. SLIDESMANIA.COM Operaciones Diferencia Video Ejemplos Next class Operaciones entre conjuntos Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia entre A y B como A − B = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦, 𝑥 ∉ 𝐵}. Tenga en cuenta que en algunos textos se nota AB. La región rayada de la siguiente imagen muestra A-B. Operaciones Ejemplo
- 15. SLIDESMANIA.COM Ejemplo Next class En un colegio se hace una encuesta a los estudiantes de último año para saber sus preferencias sobre los estudios superiores en las áreas de Ingeniería, Ciencias Económicas y Ciencias Puras. La persona que recoge las encuestas reporta la siguiente información encontrada: Video Ejemplo Ejemplos 110 alumnos les interesan las ingenierías 102 alumnos les interesan las ciencias económicas 58 alumnos les interesan las ciencias puras 62 alumnos les interesan las ingenierías y las ciencias económicas 42 alumnos les interesan las ingenierías y las ciencias puras 14 alumnos les interesan las ciencias económicas y las ciencias puras Solo 12 estudiantes estarías interesados en las tres áreas y 10 estudiantes definitivamente no tienen interés en ninguna de esas tres áreas.
- 16. SLIDESMANIA.COM Tablas de verdad Next class De la información anterior surgen diversas preguntas Video Ejemplos ¿Cuántos estudiantes contestaron la encuesta? ¿Cuántos de ellos solo estarían interesados en las ingenierías? ¿Cuántos estudiantes solo quieren estudiar Ciencias Puras? Los alumnos que se interesan tanto en las ciencias económicas como en las puras ¿superan en número a aquellos que solo quieren estudiar ciencias puras? Si todos los que quieren estudiar ingenierías lo lograran ¿Cuántos quedarían disponibles para estudiar otras carreras? Ejemplo
- 17. SLIDESMANIA.COM Tablas de verdad Next class Video Tablas de verdad Ejemplos A el conjunto de los interesados en las ingenierías. B el conjunto de los interesados en las ciencias económicas. C el conjunto de los interesados en las ciencias puras. Pongamos un nombre corto a cada conjunto 𝑛 𝐴 = 110, 𝑛 𝐵 = 102, 𝑛 𝐶 = 58, 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑛 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑛 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑛 𝐴′ ∩ 𝐵′ ∩ 𝐶′ =
- 18. SLIDESMANIA.COM Tablas de verdad Next class Video Tablas de verdad Ejemplos 𝑛 𝐴 = 110, 𝑛 𝐵 = 102, 𝑛 𝐶 = 58, 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 62 𝑛 𝐴 ∩ 𝐶 = 42 𝑛 𝐵 ∩ 𝐶 = 14 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 12 𝑛 𝐴′ ∩ 𝐵′ ∩ 𝐶′ = 10 𝑼 A B C
- 19. SLIDESMANIA.COM Ejercicios Ejercicios Ejemplos Next class En un hospital se hace una encuesta a 52 pacientes de cardiología. Se encuentran los siguientes datos: 23 tienen la presión arterial alta y 8 de ellos además fuman. 22 tienen alto el colesterol y 9 de estos tienen la presión alta. Los fumadores son 24. Y los que a la vez tienen presión alta, alto colesterol y fuman son 2. Los fumadores con el colesterol alto pero sin presión arterial alta son solo 4. Realiza la representación del ejercicio anterior en un diagrama de Venn
- 21. SLIDESMANIA.COM THANK YOU! Does anyone have any questions? nicolas_lizarralde@cun.edu.co Next class