1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes de primer año de ciencias que cubre temas de matemáticas como vectores, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y más. 2) El autor creó el cuaderno para guiar a los estudiantes en el aprendizaje de matemáticas dentro y fuera del aula de manera práctica. 3) El contenido incluye definiciones, ejemplos y ejercicios sobre varios temas matemáticos.

1. Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación
LF 03220025103327
ISBN 980-345-249-5
SEMESTRE

2. 1
PROLOGO
El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos de 1ro
de Ciencias, refleja en
forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemática de 1ro
de Ciencias.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un
instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de
aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Mayo del 2003

3. 2
Agradecimientos:
Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y
ejercicios:
Prof. Miguel Carmona
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen
U.E.N.”Teresa de la Parra
U . N . E . O . P . E .M

4. 3
Contenido
.- Vector en el plano..............4
.- Multiplicación de un N° real por un vector..............4
.- Componentes del vector...........4
.- Rotaciones, sistema sexagesimal..................5,6,,7
.- Ejercicios............8
.- Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico...........9,10
.- Funciones trigonométrica circulares para ángulos.......10,11
.- Triángulos rectángulos, ángulos notables........11
.- Reducción al primer cuadrante.....11
.- Funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos......11,12,13
.- Razones trigonométricas...........14
.- Ejercicios..........15,16,17,18
.- Identidades trigonométricas.........18,19,20
.- Producto escalar de vectores..............21,22,23
.- Vector nulo, opuesto, suma de vectores.........23
.- Longitud o norma de un vector............24
.-. Concepto de base y dimensión, combinación lineal.................25,26
.- Suma y diferencia de dos ángulos............27,28,29
.- Ángulos dobles...........29,30
.- Ángulos medios........30,31,32,33
.- Ley del seno y Ley del Coseno..........33,34,35,36,37
.- Funciones directas e inversas...........38,39
.- Sucesiones en R., progresión aritmética y geométrica..........39,40,41,42,43,44,45,
46,47
.- Bibliografía................48

5. 4
Definir Vector en el plano:
Denominamos transformaciones en el plano π , a toda aplicación de un
subconjunto de puntos de π en otro subconjunto de puntos π.
Cuando las transformaciones conservan las distancias, se denominan
transformaciones métricas isométricas o movimientos rígidos en el plano.
Multiplicación de un N° real por un vector:
Dado un vector a = (x,y) y un número real K, llamamos producto del número
real por el vector a , a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las
componentes del vector por el número real.
K . a = (k . x , k . y)
El vector resultante tiene la misma dirección que a , el mismo sentido cuando K
es positivo, y sentido contrario cuando K es negativo.
Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 a ; -2 a ; 2/5 a
3 a = { 3 . 3 , 3 . (-1) } = (9,-3)
-2 a = { -2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)
2/5 a ={ 2/5 . 3 , 2/5 . (-1)} = (6/5 , -2/5)
Componentes de un vector:
Se llaman componentes de un vector al punto que tiene como abscisa la diferencia
de las mismas, y como ordenadas la diferencia de las mismas de los puntos que
forman el extremo y el origen.
a (xa , ya) y b (xb , yb) componentes ab = ( xb – xa , yb – ya)

6. 5
Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.
Se llama ángulo de dos semirrectas r y r’ de origen 0, a la rotación que
transforma a una de las semirrectas dada, en la otra, por ejemplo r en r´.
r’
α
0 r
El punto 0 se llama vértice y las rectas r’ y r lados.
Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo
punto se le hace corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a
un punto fijo 0 (cero) llamado centro de rotación, son iguales y las semirrectas 0A y
0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y sentido llamado
ángulos de rotación.
A’
0 A

7. 6
Propiedades de las rotaciones:
a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación.
b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta.
c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.
Establecer los sistemas de medidas para ángulos:
Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y
negativo en caso contrario.
Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual
al radio.
a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el
radio.
b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número
que su ángulo central correspondiente medido en radianes.
De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de
arco a ángulos.
Sistema Sexagesimal:
La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado.
Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto.
Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo.
Ejemplo: 25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)

8. 7
Reducción de ángulos del sistema sexagesimal al circular y viceversa:
Ejemplos:
1.- Transformar a radianes 26°
180°______________π =3,1416
26°_______________ x x = 26° . 3,1416 x =0,4537 radianes
180°
2.- Transformar 1,4839 radianes a grados
π =3,1416__________180°
1,4839__________ x x = 1,4839 . 180° x = 85° aprox.
3,1416

9. 8
EJERCICIOS
Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector:
1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a 2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b
3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x 4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y
5) p = (√5,√4) . Hallar 3 . p 6) a = (√9,4/3) . Hallar –6 . a
Dados los siguientes vectores, hallar su componente:
1) a = (3,6) ; b = (4,-3) 2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)
3) x = (-1,-8) ; y = (2,11) 4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)
5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4) 6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)
Transformar:
a) 36° a radianes b) 57° a radianes c) 87° a radianes
d) 45,234π a grados e) 2,4563π a grados f) 1,2453π

10. 9
Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico:
Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una
circunferencia (círculo trigonométrico o circunferencia unitaria)
y
p(x , y)
1
y α A
mx 0 (1,0) x
Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la
circunferencia, conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar
exactamente la posición de p para cualquier valor de α = arc. Ap.
Si α es mayor de 2π, el punto p dará mas de una vuelta.
Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo
central en radianes, podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un
punto en la circunferencia. De aquí se definen 3 funciones:
Sen α____________ y y = ordenada de p
Cos α____________x x = abscisa de p
Tg α_____________y/x x ≠ 0

11. 10
Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente:
Sean: Sen : R R
Cos : R R
Tg : R R
El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el
intervalo {-1,1}, porque en el triángulo rectángulo y x e y son
x
los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El
rango de la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.
Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los
cuadrantes:
Primer cuadrante: 0° < α < 90° ó 0 < α < π/2
Sen = + ; Cos = + ; Tg = +
Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó π/2 < α < π
Sen = + ; Cos = - ; Tg = -
Tercer Cuadrante: 180° < α < 270° ó π < α < 3 π/2
Sen = - ; Cos = - ; Tg = +
Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π
Sen = - ; Cos = + ; Tg = -

12. 11
Reducción al 1er
cuadrante, y cálculo del valor numérico de una expresión
trigonométrica dada.
Hallar las funciones trigonométricas de 150°
90°
180° 0°
360°
270°
Ubicado en el 2do
cuadrante A = 180° - 150° A = 30°
Sen (180°-150°) = Sen 30° = ½ = 0,5
Cos (180°-150°) =- Cos 30° = -0,866 = -√3/2
Tg (180°-150°) = - Tg 30° = -0,5773= -√3/3
Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos:
Y
P
α
0 M X

13. 12
Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M y MP son los catetos y 0P es la
hipotenusa.
Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se
puede definir las funciones trigonométricas siguientes:
Sen α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α
radio 0P hipotenusa
Cos α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α
radio 0P hipotenusa
Tg α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α
abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α
Ctg α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α
ordenada PM cateto opuesto al ángulo α
Sec α = radio = 0P = hipotenusa
abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α
Csc α = radio = 0P = hipotenusa
ordenada PM cateto opuesto al ángulo α

14. 13
Resolver problemas aplicando las funciones trigonométricas en triángulos
rectángulos:
Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus
tres ángulos, área, etc.
En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos.
Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del
ángulo conocido.
Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC
B
50 cm
40° 20´
A C
Cálculo de BC Sen 40° 20’ = CO BC = AB . Sen 40° 20’
H
Sen 40° 20’ = 0,6472 AB = 50 cm BC = 50 cm . 0,6472
BC = 32,36 cm
Cálculo de AC Cos 40° 20’ = CA AC = AB . Cos 40° 20’
H
AC = 50 cm . 0,7623 AC = 38,11

15. 14
Razones Trigonométricas:
Sen β = y Cos β = x Tg β = y
x z x
Sec β = z Cotg β = x Csc β = z
x y y
Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo β en el triángulo pqr. Donde
x = 6 ; y = 8
r x p
β
y
z
q
Aplicamos Pitágoras: z = x2
+ y2
z = 62
+ 82
= 100 = z = 10
Sen β = y/z = 8/10 = 4/5 Cos β = x/z = 6/10 = 3/5
Tg β = y/x = 8/6 = 4/3 Sec β = z/x = 10/6 = 5/3
Cotg β = x/y = 6/8 = ¾ Csc β = z/y = 10/8 = 5/4

16. 15
Hallar las funciones trigonométricas de:
1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 120°
5) 135° 6) 210° 7) 225° 8) 300°
Resuelve los siguientes triángulos:
a) B
Hallar: BC y AC
36 cm
30° 15’
C A
b) B
40 cm Hallar: BC y AC
38° 2’
C A

17. 16
c)
B Hallar: AB y AC
30 cm Aplica : Cotg y Csc
40° 26’
A C
d) B Hallar: BC y AB
Aplica : Tg y Sec
24° 12’
A C
16 cm

18. 17
En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones
trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:
a)
Z
4
α
5
b)
Z
β √3
√5
c) 1
α
y
√7

19. 18
x
d)
α
10
12
Identidades Trigonométricas:
Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para
todos los valores de los ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.
Procedimiento:
a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar
dichas funciones en función de ángulos sencillos.
b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas
respectivas.
c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso
cambiar todas las funciones a senos y cosenos.
Primer Método:
Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones
correspondientes hasta que el miembro en que se opera sea igual al otro.

20. 19
Segundo Método:
Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma
independiente hasta que los miembros sean iguales.
Identidad fundamental: Sen x + Cos x = 1
Transformaciones de miembros:
1) 1 – Senx = Cos2
x 2) Cos2
x + Sen2
x = 1
3) (Cos2
x – Sen2
x) = 2Cosx 4) Tgx = Senx
Cosx
5) Secx = 1 6) Cscx = 1
Cosx Senx
7) Cotgx = Cosx 8) Cosx = Senx
Senx Cotgx
Ejemplo: Demostrar que Cos2
= (1 + Sen x) . (1 – Sen x) es una identidad.
(1 + Senx) . (1 – Senx) = 1 – Sen2
x
Cos2
x = 1 – Sen2
x
Cos2
x = Cos2
x

21. 20
Realiza las siguientes demostraciones:
a) Demostrar que Cos4
x – Sen4
x = Cos2A
b) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen
c) Demostrar que Senx + Cosx = 1
Cscx Secx
c) Demostrar que Tgx = Secx
Senx
d) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1
e) Demostrar que Senx . Secx = Tgx
f) Demostrar que Cscx = Cosx
Tgx + Ctgx
g) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx
Tgx + Cscx
h) Demostrar que Tgx + Cotgx = 1
Senx . Cosx

22. 21
Definir el producto escalar de vectores:
Definimos el producto escalar de los vectores a y b, como el producto del
módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él.
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman.
Ejemplo: El producto escalar de dos vectores a y b es igual a 20, sabemos que
/ a / = 5 y / b / = 8. Calcular el valor del ángulo que forman los vectores.
a . b = 20
/ a / = 5 Cos α = a . b Cos α = 20 → 0,5 → 1/2
/ b / = 8 / a / . / b / 40
α = x
Ejemplo: Dados los puntos a(2,3) ; b(5,8) y c(-6,2) representar los vectores ab, cb
y ac, hallar sus componentes y módulos.
Componentes: ab = (5-2,8-3) = (3,5) cb = {5-(-6),8-2} = (11,6)
ac = (-6-2,2-3) = (-8,-1)
Módulos: /ab/ = 32
+ 52
= 34
/cb/ = 112
+62
= 157
/ac/ = (-8)2
+(-1)2
= 65

23. 22
Representación Gráfica: y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-6 0 2 5
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de vec-
tores:
1) a . b = 32 2) a . b = 54
/ a / = 6 / a / = 8
/ b / = 7 / b / = 10
α = x α = x
3) a . b = x 4) a . b = x
/ a / = 4 / a / = 9
/ b / = 7 / b / = 3
α = 45° α = 30°

24. 23
Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y
representación gráfica:
1) a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5)
2) a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)
3) a(-4,2) , b(5,7) , c(3,-7)
4) a(-1,4) , b(6,5) , c(-2,-4)
5) a(-1,-2) , b(4,7) , c(-3,5)
6) a(6,4) , b(-3,-5) , c(2,6)
Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es
decir: 0 = (0,0).
Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas
componentes son (-ax,ay). El vector opuesto de a se denota por -a.
Suma de Vectores:
Ejemplo: Dados los vectores a = (-4,7) ; b = (5,8). Hallar 2 a + 3 b
2 a = {2 .( –4),2 . 7} = (-8,14) 3 b = (3 . 5,3 . 8) = (15,24)
a + 3 b = (-8+15,14+24) = (7,38)

25. 24
Longitud o Norma de un vector: Se llama longitud o norma de un vector
a = (ax,ay) ε V2, y se denota // a //, a la raíz cuadrada no negativa del producto
escalar de a por sí mismo. Es decir: // a // = ax
2
+ ay
2
Ejemplo: Hallar la norma del vector a = (√6 , √30)
// a // = (√6)2
+ (√30)2
= 6+30 = 36 = // a // = 6
Hallar la suma de los siguientes vectores: 2 a + 3 b
1) a = (3,5) , b = (-3,-6) 2) a = (9,0) , b = (-1,-2)
3) a = (6,5) , b = (-4,8) 4) a = (-5,-8) , b =(-4,-3)
5) a = (-5,-3) , b =(1,5) 6) a = (6,-9) , b =(3,7)
Hallar el modulo de los vectores siguientes:
1) a = ( 3/√13,2/√13) 2) a = (3,9)
3) a = (5,0) 4) a = (√15,1)
5) a = (0,7) 6) a = (10,√144)
7) a = (4/2,6/3) 8) a = (√4,5)

26. 25
Establecer el concepto de base:
Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación
lineal de otros vectores no colineales, decimos que un par de vectores no colineales
constituyen una base del conjunto de los vectores de dicho plano.
Establecer el concepto de dimensión:
Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por
lo cual se dice que el plano tiene dimensión dos.
Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores:
En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores
a y b, si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.
Vectores colineales:
Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son
proporcionales , es decir, uno es combinación lineal del otro.
Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y
C = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c.
a = p . b + q . c
(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) (3,4) =( -p,0) + (-3q,5q)
(3,4) = (-p-3q,0+ 5q) 3 = -p-3q
4 = 0+ 5q

27. 26
Despejamos q: 4 = 5q q = 4/5
Despejamos p: 3 = -p-3q 3 = -p-3(4/5)
3 = -p-12/5
p = -3-12/5
p = -12-15 = p =-27/5
5
a = -27/5 b + 4/5 c
Expresar el vector a como combinación lineal de los otros vectores:
1) a = (2,4) combinación lineal de b = (1,2) , c = (-1,3)
2) a = (1,5) combinación lineal de b = (2,4) ; c = (-2,-4)
3) a = (1,-1) combinación lineal de b = (-2,4) ; c = (5,-2)
4) a = (-2,0) combinación lineal de b = (1,0) ; c = (3,6)
5) a = (3,2) combinación lineal de b = (-3,-2) ; c = (3,4)

28. 27
Suma y diferencia de Ángulos:
Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.
Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a
Π = 180°.
Formulas: Sen(A + B) = Sen A . Cos B + Cos A . Sen B
Sen(A+B) = Sen A . Cos B – Cos B . Sen B
Cos(A+B) = Cos A . Cos B – Sen A . Sen B
Cos(A-B) = Cos A . Cos B + Sen A . Sen B
Tg(A+B) = Tg A + Tg B
1 – Tg A . Tg B
Tg(A-B) = TgA + TgB
1 + TgA . TgB
Formulas auxiliares: CosA = 1 – Sen2
A
SenB = 1 – Cos2
B SenA = TgA
1+ Tg2
A

29. 28
CosA = 1 TgA = 1 – Cos2
A
1 + Tg2
A CosA
Ejemplo: Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante), calcular Sen(30°+A)
CosA = 1 – Sen2
A CosA = 1 – (3/5)2
CosA = 25-9 = CosA = 16 = CosA = -4/5
25 25
Sen 30° = 1/2
Cos 30° = √3/3 Sen(30°+ A) = 1/2 . (-4/5) + √3/2 . 3/5
Sen(30° + A) = -4 + 3√3
10

30. 29
1) Dado SenA = 3/5 y CosB = 5/6 ; Calcular Cos(A-B), sabiendo que A
y B son agudos .
2) Dado TgA = ¾ . Hallar Sen(A+B).
3) Dado CosA = 1/2 (A en el I cuadrante) . Hallar : Tg(A-60°)
4) Dado SenA = 2/3 y CosB = ¾ ; Calcular Cos(A+B), sabiendo que A
y B son agudos.
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos dobles:
Fórmulas: Sen2A = 2SenA . CosA Cos2A = Cos2
A – Sen2
A
Tg2A = 2 tg A SenA = 1 – Cos2A
1 – Tg2
a 2
CosA = 1 + Cos2A TgA = 1 – Cos2A
2 1 + Cos2A

31. 30
Ejemplo: Dado SenA = 1/3, calcular Cos2A.
Cos2A = 2 . Sen2
A = 1 – Cos2A Cos2A = 1 – 2Sen2
A
Cos2A = 1 – 2(1/3)2
= Cos2A = 1 – 2(1/9) = Cos2A = 1 – 2
9
Cos2A = 9 – 2 = Cos2A = 7/9
9
Dadas las siguientes funciones, hallar sus ángulos dobles:
1) Dado SenA = 4/5. Calcular Tg 2A.
2) Dado SenA = 3/5 y CosA = ½. Hallar Sen2A.
3) Dado CosA = 2/3 y SenA = 2/4. Hallar Cos2A.
4) Dado TgA = 3/5. Hallar Tg2A.
5) Dado Cos2A = 4/6 y SenA = ¼. Hallar Cos2
A.
6) Dado CosA = 4/7 y SenA =6/8 . Hallar Sen2A.
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos medios:
Fórmulas: CosA/2 = 1 – Sen2
A/2 TgA/2 = SenA/2
CosA/2
TgA/2 = 1 – CosA Tg2A = 1
1 + CosA Ctg2A

32. 31
Sen2A = Tg2A Cos2A = 1
1 + Tg2
2A 1 + Tg2
2A
Cos2A = 1 – Sen2
2A SenA = 1 – Cos2A
2
CosA = 1 + Cos2A SenA/2 = 1 - CosA
2 2
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Dado SenA/2 = 1/3 . Calcular Cos A/2 y TgA/2
Resp. CosA/2 = 2√2 ; TgA/2 = √2
3 4
2) Dado TgA/2 = √3 . Calcular SenA, CosA y TgA.
Resp. CosA = -1/2 , SenA = √3/2 ; TgA = - √3
3) Dado Sen2A = ½ . Calcular SenA.
Resp. Cos2/A = √3/2 ; SenA = 2 - √3
4

33. 32
4) Dado SenA/2 = 2/5. Hallar Cos A/2.
5) Dado Sen A/2 = 6 y Cos A/2 = 5. Hallar Tg A/2
6) Dado Cos A = 6/7. Hallar Tg A/2.
7) Dado Ctg 2A = 4/6 . Hallar Tg 2A.
8) Dado Tg 2A = 2/3. Hallar Sen 2A.
9) Dado Sen 2A = 1/3. Hallar Cos 2A.
10) Dado Cos A = 2/4. Hallar Sen A/2.
Simplificar las expresiones trigonométricas:
1) Simplificar la expresión Sen arc sen √3
2
α = arc sen √3/2 Entonces sen α = √3/2
Sen arc sen √3 = Sen α = √3/2
2
Expresiones de ayuda:
Cos2
α = 1 – Sen2
α Ctgα = Cosα
Sen α

34. 33
Simplificar las expresiones siguientes:
1) Simplificar la expresión Cos arc sen 7/8
2) Simplificar la expresión Ctg arc cos 1/2
3) Simplificar la expresión Sen arc cos √3/2
4) Simplificar la expresión Cos arc sen √3/2
Deducir la Ley del Seno a partir del producto escalar de vectores:
Ley del Seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
Fórmula General: a = b = c
SenA SenB SenC
b = a . SenB SenC = c . SenA SenA = a . SenB
SenA a b
SenB = b . SenA c = a . SenC a = b . SenA
SenB SenA SenB

35. 34
c = b . SenC a = c . SenA b = c . SenB
SenB SenC SenC
SenA = a . SenC
c
Ejemplo: En el triángulo se cumple:
a = 10m
b = 5 √2 m a C b
α B = 30°
Hallar: α A B A
c
SenA = a . SenB SenA = 10m . Sen30° = SenA = 10m . 1/2
B 5√2m 5√2m
SenA = 10 m SenA = 1 = 0,7071067 equivale a 45°
2 √2
5√2m

36. 35
Resuelve aplicando la ley del Seno:
1) a = 20 m 2) αA = 80° 30’
b = 50 m αB = 40° 40’
α = 68° 20’ a = 250 m
Calcular αB y αC Hallar b
3) a = 34 m 4) c = 34 m
b = 25 m αA = 23° 12’
αB = 23°56’ αC = 34° 45’
Hallar SenA Hallar: a
Deducir la Ley del Coseno a partir del producto escalar de vectores:
Fórmulas: a . b = / a / . / b / . Cos α Cos α = a . b
/ a / . / b /
b = a2
+ c2
– 2ac . Cos β Cos A = b2
+ c2
– a2
2 . b . c
Cos B = a2
+ c2
– b2
2 . a . c

37. 36
Ejemplo: Calcular a . b = 30°, sabiendo que c . d = 120°; / a / = 3; / b / = 4
/ d / = 2; / c / = 5
a . b = / a / . / b / . Cos α / a / . / b / . 30° = 3 . 4 . √3/2
= 12 . √3/2 = 6 √3
c . d = / c / . / d / . Cos 180° - 120° Cos 60° = 1/2
c . d = -5 . 2 . 1/2 = c . d = -5 ( por sentido contrario)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Hallar el producto a . b, dónde : / a / = 4 ; / b / = 5 , dirección
inclinada 60° con la horizontal y sentido ascendente hacia la derecha.
2) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo que
forman los vectores.
3) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c . d = 90° ; / a / = 5
/ b / = 6 ; / d / = 4 ; / c / = 5

38. 37
4) En el triángulo se conocen:
α B = 82° 30’
c = 40 m c A b
a = 80 m B C
Hallar : b a
5) En el triangulo conocemos que : a = 10 m ; b = 40 m y c = 70 m.
Calcular el ángulo de A.
b
c A
B C
a
6) En el triángulo conocemos:
a = 64 m
b = 48 m a
c = 80 m b C
Calcular: α A y α B A B
c

39. 38
Funciones Directas: las funciones trigonométricas directas son uniformes ( tienen
un solo valor).
Funciones Inversas: las funciones trigonométricas inversas son multiformes
(tienen varios valores).
Ejemplos:
1) Tg x = √3 inversa = x = arc, tg √3 ó x = Tg-1
√3
2) Cos x = √2/2 inversa = x = arc, Cos √2/2 ó x = Cos-1
√2/2
Resolver las ecuaciones trigonométricas inversas:
1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90°
x1 = arc, Cos 1/2 = x1 = Cos 1/2 = Inv.Cos-1
= x1 = 60°
2) Resolver Sen x = 1/2
x1 = arc,Sen1/2 = x1 = Sen 0,5 = inv. Sen-1
= x1= 30°
x2 = 150°
150° 30°

40. 39
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando inversa:
1) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90°
2) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°
3) Resolver Tg x = 1 0° < x < 360°
4) Resolver 2 Sen x + 1 = 0 0° < x < 360°
5) Resolver √2 Cos x – 1 = 0 0° < x < 360°
Sucesión en R:
Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N en R..
( f : N R )
Determinar los elementos de una Sucesión:
f1, f2, f3............fn f1 = primer término
f2 = segundo término
f3 = tercer término
fn = término general
Término general de una Sucesión:
Para calcular cada uno de los términos de la sucesión, se sustituye en la
expresión el término general “n” por 0, 1, 2, etc; y así se obtiene el primero,
segundo, etc, términos de la sucesión.

41. 40
Progresión Aritmética:
Una progresión aritmética es una sucesión de N° reales, tales que cada término se
forma, sumando algebraicamente una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una progresión aritmética:
Cantidad constante = r razón
Términos = a1, a2, a3,.......an
a1 = primer término n = N° de términos an = último término
Progresión Geométrica como una función sucesión:
Una progresión geométrica es una sucesión de N° reales, tales que cada término
se forma multiplicando por una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una Progresión Geométrica:
Formula: an = a1 . rn-1
an = ultimo término
a1 = primer término
r = razón
n = N° de términos

42. 41
Ejemplo de Sucesiones: Calcular la Sucesión fn = 2n
n+1
f0 = 2 . 0 f0 = 0 f1 = 2 . 1 f1 = 1
0 + 1 1+1
f2 = 2 . 2 f2 = 4/3 fn = 0, 1, 4/3, ……. 2n
2+1 n+1
Formulas y despejes:
Término enésimo:
1) an = a1 + (n-1) . r 2) n = an – a1 + 1
r
3) r = an – a1 4) an = a1 . rn-1
n-1
5) a1 = an 6) r = n-1
an
rn-1
a1
7) n = lgan – lga1 + 1
lgr

43. 42
Ejemplos:
1) Calcular el quinto término de una P. A de razón 2 que empieza en 3.
an = x an = 3 + (5-1) . 2 an = a1 + (n-1) . r
a1 = 3 an = 3 +( 4 . 2)
n = 5 an = 3 + 8
r = 2 an = 11
2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 5, termina en 83 y la
razón es 3.
n = x n = an – a1 + 1
a1 = 5 r
an = 83 n = 83 – 5 + 1 = n = 78 + 1 = n = 26+1
r = 3 3 3
n = 27
4) Calcular la razón de una P. A que empieza en 8, termina en 40 y tiene 17
términos.
r = x r = an – a1 = r = 40 – 8 = r = 32 = r = 2
a1 = 8 n-1 17-1 16
an = 40
n = 17
5) Calcular el cuarto termino de una P. G de razón 1/2 que empieza en 8.
n = 4 an = a1 . rn-1
an = 8 . (1/2)4-1
an = 8 . (1/2)3
an = x
r = 1/2 an = 8 . 1/8 an = 1
a1 = 8

44. 43
5) Calcular la razón de una P. G de cuatro términos que empieza en 3 y termine
en 81.
r = x r = n-1
an r = 4-1
81
n = 4 an 3
a1 = 3
an = 81 r = 3
27 r = 3
6) Calcular el ultimo término de una P. G de 5 términos, que empieza en 1/16 y
la razón es 2.
an = x an = a1 . rn-1
an = 1/16 . 25-1
an = 1/16 . 24
r = 2
n = 5 an = 1/16 . 16 an = 1
a1 = 1/16
7) Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20.
a1 = 5 r = an – a1 r = 20 – 5 r = 15 r = 3
an = 20 r-1 6 – 1 5
n = 4+2 = 6
r = x
a1 = 5
a2 = a1 + r = 5 + 3 = 8
a3 = a2 + r = 8 + 3 = 11
a4 = a3 + r = 11 + 3 = 14
a5 = a4 + r = 14 + 3 = 17
a6 = a5 + r = 17 + 3 = 20

45. 44
8) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 64
a1 = 2 r = n-1
an r = 6-1
64
an = 64 a1 2
n = 4+2 = 6
r = x r = 5
32 r = 2
a1 = 2
a2 = r . a1 = 2 . 2 = 4
a3 = 2 . 4 = 8
a4 = 2 . 8 = 16
a5 = 2 . 16 = 32
a6 = 2 .32 = 64
9) Calcular la suma de los términos de una P. G de razón ½ que empieza en 2/5
y termina en 50.
S = x S = an . r – a1 S = 50 . (1/2) – (2/5)
r = ½ r –1 (1/2) - 1
a1 = 2/5
an = 50 S =50/2 – 2/5 S = 123/5 S = - 246/5
1 –2 -1/2
2

46. 45
10) Calcular el término central de una P. G que empieza en √2 y termina en
200√2.
a1 = √2 ac = a1 . an ac = √2 . 200√2
an = 200√2
ac = x ac = 400 ac = 20
Calcular las siguientes sucesiones:
1) fn = 3n – 1 2) fn = n + 4
3) fn = 3n + 2 4) fn = 3n –0
n
5) fn = 5 + 3n 6) fn = n2
+ 2
2
1) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza en 4.
2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7, termina en
23 y la razón es 2.
3) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en 25 y tie-
ne 16 términos.

47. 46
1) Calcular el quinto término de una P. G de razón 6 que empieza en 3.
2) Calcular la razón de una P. G de seis términos que empieza en 5 ter-
mina en 56.
3) Calcular el último termino de una P. G de 3 términos, que empieza en
6 y la razón es 5.
1) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25.
2) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.
3) Interpolar 6 medios aritméticos entre los números 6 y 30.
1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54.
2) Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.
3) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40.

48. 47
1) Calcular el término central de una P. G que empieza en 4 y termina
en 12.
2) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P. A que em-
pieza en ½ y termina en 2/5.
3) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4 , termina
en 100 y la suma vale 520.

49. 48
BIBLIOGRAFÍA
NAVARRO, E..................................................Matemática para Cuarto Año. Libro
de Práctica. Distribuidora Zacarías.
Caracas. Venezuela.
GONZALEZ, Reinaldo....................................Matemática. Primer Año. Educación
Media Diversificada y Profesional .
Editorial Obelisco. Caracas. Venezuela
1991.