Este documento describe las relaciones trigonométricas y cómo se usan para resolver triángulos rectángulos. Explica las definiciones de seno, coseno y tangente en términos de lados de un triángulo rectángulo. También cubre el cálculo de valores trigonométricos para ángulos notables como 30, 45 y 60 grados.

1. COLEGIO DE BACHILLERES PLATEL
IGNACIO ZARAGOZA
• Materia: Matemáticas 2
• Profesor: Gustavo Kanxoc Dzib
• Alumno: Gabriel Antonio Canul Kau
• Semestre y grupo: 2 A

2. Describes las relaciones trigonométricas
para resolver triángulos rectángulos
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado
etimológico es 'la medición de los triángulos'.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones
trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y
se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como
es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas
de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir
distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos
geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

3. Funciones
trigonométricas
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin
de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y
complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía,
náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas
aplicaciones.
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados
de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son
funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un
triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).
Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de
ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y
negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en
relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por
medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen
en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos
θ) y la exsecante (sec θ − 1).

4. Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sen, sin
Coseno cos
Tangente tan, tg
Cotangente ctg (cot)
Secante sec
Cosecante csc (cosec)

5. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: ,
del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo
arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de
los lados de este triángulo rectángulo que se usará en
los sucesivo será:
• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al
ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo.
• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al
ángulo .
• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente
al ángulo .
Todos los triángulos considerados se encuentran en
el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus
ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En
consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los
ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2
radianes. Las definiciones que se dan a continuación
definen estrictamente las funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:

6. • 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la longitud de la hipotenusa:
• El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo
rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en
cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
• 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud de la hipotenusa:
• 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del
cateto opuesto y la del adyacente:
• 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del
cateto adyacente y la del opuesto:
• 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
• 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

7. Sistema sexagesimal
• El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como
base aritmética el número 60. Tuvo su origen en la antigua Mesopotamia, en la
civilización sumeria. También fue empleado por los árabes durante el califato omeya.
El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y
ángulos (grados) principalmente.
• El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,
20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el
número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.os (horas, minutos y
segundos) y ángulos (grados) principalmente.
• Todos los triángulos rectángulos de lados enteros tienen la propiedad de que el
producto de sus tres lados es siempre un múltiplo de sesenta. Si uno de los catetos
es primo, el otro es al menos múltiplo de doce y resulta múltiplo de sesenta si
también la hipotenusa es prima. Si no hay cateto primo, un cateto es divisible por
tres y el otro por cuatro; cualquiera de los tres lados es múltiplo de cinco. Esta
penúltima afirmación tiene por excepción al triángulo sagrado egipcio, que tiene un
cateto primo y la hipotenusa prima, pero el cateto compuesto es múltiplo de cuatro:
(3, 4, 5), aunque el producto es sesenta. Otros ejemplos de triángulos con cateto e
hipotenusa primos son: (11, 60, 61) y (71, 2520, 2521).
• Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medición del tiempo. Hay 24 horas
en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto. Las unidades
menores que un segundo se miden con el sistema decimal.

8. Suma y resta del sistema sexagesimal en las
matemáticas
• El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada
unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su
sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la
medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h 60 min 60 s
1° 60' 60"
• Operaciones en el sistema sexagesimal
Suma
1.er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo
de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo
de los segundos; y se suman.
2.º paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre
60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.
3.er paso Se hace lo mismo para los minutos.

9. • Resta
1.er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los
grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos
y los segundos debajo de los segundos.
2.º paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible,
convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo
sumamos a los segundos del minuendo. A continuación
restamos los segundos.
3.er paso Hacemos lo mismo con los minutos.

10. Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo
usaremos para definir las razones seno, coseno y
tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A,
situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse
"sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre
la hipotenusa.
• El coseno (abreviado como cos) es la razón
entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la
razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

11. Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano
(x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

12. Razones trigonométricas
inversas
Triángulo ABC
proporcional con un
ángulo inscrito en una
circunferencia de centro
A y radio 1
• La cosecante: (abreviado como csc
o cosec) es la razón inversa de seno, o
también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación
geométrica es:
• La secante: (abreviado como sec)
es la razón inversa de coseno, o también su
inverso multiplicativo:
En el esquema su representación
geométrica es:
• La Cotangente: (abreviado como
cot o cta o ctg) es la razón inversa de la
tangente, o también su inverso
multiplicativo:
En el esquema su representación
geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y
salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se
simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

13. Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas inversas en el plano cartesiano
(x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

14. Cálculo de valores 30, 45 y 60 grados
• Consideramos como “Cálculo de
valores 30,45,60 grados
sexagesimales” aquel proceso en el
cuál resulta muy sencillo determinar
los valores exactos de las funciones
trigonométricas, dados los ángulos
anteriores.
• Ya que se establece desde un
principio el cálculo de estas en una
base considerada como primaria
(Unitaria). (2 unidades de longitud
lados) como producto de dos
triángulos implícito cuyo lados
equivalen a una unidad. Como se
observará mas adelante..
• Dichos ángulos (30 y 60) se obtienen
geométricamente de la construcción
de un triángulo equilátero y de la
altura del mismo. Como se muestra:

15. • Por el contrario de los ángulos de (45 grados) de un triángulo
rectángulo, como se muestra:
Debido a las medidas de construcción de los polígonos base, es por ello
que podemos determinar con facilidad los valores de la funciones
trigonométricas por decirlo por simple (Inspección). Motivo por el cual en
algunos textos se conocen, como: Cálculo de funciones trigonométricas a
base de ángulos notables.

16. • Como se puede observar en la primera imagen la altura de ambos
triángulos que componen al triángulo equilátero es calculado a base
del teorema de Pitágoras, es por ello que tiene dicho valor. Aclarado
este punto, podemos definir los valores de las funciones para un
ángulo de (30 grados):
De igual forma para el ángulo de (60 grados):

17. • En el contexto del (Triángulo rectángulo) los cálculos de estas
funciones trigonométricas se basan en el concepto de una
construcción cuyos catetos miden una unidad de longitud y su
hipotenusa es obtenida de igual forma con la utilización del teorema
de Pitágoras, como en la segunda superior se muestra. Definiendo
las funciones trigonométricas básicas (Seno, Coseno, Tangente)
para un ángulo de (45 grados) como:
Entre las propiedades que destacan, a estas funciones trigonométricas calculadas
es su mínima expresión.. Ya que es posible encontrar la practicidad de estas en
distintos campos de la ciencia, pues permiten declaraste directamente sin la
ejecución de todo el proceso ya que se conocen casi por simple inspección, lo cual
facilita un proceso cuando se requiere tiempo y eficiencia, como muchos
procesos lo exigen. He allí una de las principales ventajas

18. Resolución de triángulos rectángulos
Para resolver un triángulo rectángulo es
necesario encontrar los lados y los
ángulos que se desconocen a través de
los ya conocidos.
Recordemos que un Triángulo
Rectángulo es aquel que está
constituido por dos lados (Opuesto y
Adyacente), Hipotenusa y forma un
ángulo de 90 grados (90°).
En el Diagrama se simbología asignada
para cada variable.
El Lado c es opuesto al ángulo α (Alfa)
El Lado b es opuesto al ángulo β (Beta)
El Lado a es opuesto al ángulo γ
(Sigma)
Veamos un Ejemplo, nos proporcionan
la siguiente información:
Veamos un Ejemplo, nos proporcionan la
siguiente información:

19. Revisemos la información que tenemos:
Tenemos un ángulo β equivalente a 25° 12 ' 42'', por lo que tenemos
que pasarlo a Grados; Nos piden encontrar un ángulo y dos lados,
1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a Grados
2. Conociendo β, podemos conocer γ, ya que α = 90°, así:

20. 3. Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta, ya
que conocemos γ, podemos encontrar el lado por medio de las
funciones trigonométricas:
Despejemos la Variable: c Sen 64.79 ° =
Aplicamos por medio de la Calculadora La Función Seno de 64.79,
que es : 0.9047527, luego dividimos 7 ÷ 0.9047527 = 7.73 = c.

21. 4. Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras:
5. Quedando finalmente la gráfica así:

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