Trigonometria 4º año ii volumen 2007

I.E.P. “SAN AGUSTIN” Trigonometría 4º

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
TOMA NOTA:
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, x; abcisa
se necesita un punto perteneciente a su lado final. y: ordenada
r: radio vector
Ordenada de P y r= x2 + y2
Sen α = =
Radio vector r
Abscisa de P x
Cos α = Radio vector = r TE RETO
Ordenada de P y En la figura: calcular el
Tg α = = r.v.
Abscisae de P x
Abscisa de P x
Ctg α = =
Ordenada de P y
Radio vector r
Sec α = Abscisa de P = x
Radio vector r
Csc α = =
Ordenada de P y
rv=
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PONTE MOSCA

Los signos que toman la
abcisa (x) y la ordenada
(y) depende de cual sea
el cuadrante en el que se
encuentre “P” en cambio
el radio vector siempre es
positivo por ser una
distancia

ÁNGULOS CUADRANTALES
Á
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final es uno de los semi
ejes.

90 º K , k ε z

Forma general  π
2 n , n ε z

R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Ángulo
Cuad. 0º 90º 180º 270º 360º
R.T. 2Kπ (4K+1)π/2 (2K+1) π (4K+3) π/2 (2K+2) π

Sen 0 1 0 -1 0
s
Recuerda ∠ s Coterminales

Os 1 0 -1 0 1

Tg 0 N.D 0 N.D 0

Ctg N.D 0 N.D 0 N.D

Sec 1 N.D -1 N.D 1

Csc N.D 1 N.D -1 N.D

-1-


Ejemplos: CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS
1. Determinar el signo de:
a) Tan 280º: como 280º ∈ IV C 1. Determinar el cuadrante de θ
→ Tan 280º es negativo sabiendo: Secθ > 0 Senθ < o
b) Sen 120º: como 120º ∈ II C
→ Sen 120º es positivo
c) Cos 380º: Como 380º ∈ I C
→ Cos 380º es positivo

2. Determinar ángulos cuadrantales a
50º:
 410º porque 410º-50º=360º
 770º porque 770º-50º=720º
 -310º porque -310º-50º=-360º

3. Si Secθ=1,4 θ ∈ IV C
14 7
Secθ= =
10 5
2. Si: Cosθ < 0 y ctgθ > 0
Senα > 0 y Secα < 0
¿A qué cuadrante pertenecen α y θ?

x = +5
y = -2 6
rv = 7

Calculando: E=5Tanθ - 14Senθ 3. Si θ ∈ II C tal que:
− 2 6 − 2 6  4
E = 5
 5 
 − 14
 7 
 Cosθ= − , hallar:
    5
E=Secθ + Ctgθ
E = −2 6 + 4 6
E=2 6

-2-


4. Simplificar: 6. Calcular Tanθ, siendo:

3Sen90º −2Cos180 º +Sen270 º
M=
3Sen90º +6Sen180 º

7. Si: 4Tanθ=321-2Tanθ
5. Si Cosθ = 0,25; θ ∈ II C
Además: Senθ < 0
Hallar:
Calcular: P=13Senθ + 5Ctgθ
1 − Ctgθ
R=
Secθ − Cscθ

-3-


1
a) 10,5 b) - 2 c) 2
REFORZANDO d) 3 e) n.a
MIS CAPACIDADES
7. Si 712Tanx+5=1
Calcular:
1. Determinar el signo: P=Senx - Cosx
11 10 14
Sen92º.Tan204 º.Cos282º.Tan305 º a) b) c)
E= 13 13 13
Sec 297º.Csc111º.Ctg181º 16
d) e) n.a
a) + b) - c) + y - 13
d) n.a e) t.a 8. Calcular: M=Ctgθ+Csc2θ-3Tanθ
−5 en:
2. Si Tanθ= y θ ∈ II C
12
Calcular:
Senθ(1 + Tan2θ).Cosθ
E=
Secθ.Cscθ
5 13
a) b) 13 c)
12 12
5
d) e) n.a
13
3. Dada la relación:
3π
5Tanθ-1=25 y π<θ<
2
Calcular M=secθ-Cscθ
10 a) 9 b) 8 c) 10
a) 10 b) 2 10 c)
3 d) 12 e) 11
− 2 10 1
d) e) n.a 9. Si Senθ=- ; Tan θ < 0
3 3
4. Hallar el valor de: Hallar:
2 ( Tanθ + senθ)
E=Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) -2
a) 5 b) -5 c) 6
5
d) -6 e) n.a 10. Sea Tanα= calcular:
5. Si Cscx=1,25 y x∈ II C 12
Hallar Tanx P=Cscα - Ctgα
4 4 3 Si α ∈ III C
a) b) − c)
3 3 4
a) 2 b) -2 c) 5
−3
d) e) n.a d) -5 e) N.a.
4

6. Hallar el valor numérico de:

2Sen270 º −3Cos90 º +2Cos180 º −5Sen270 º
M=
Tan180º −2Ctg360 º +2Sen90 º −Cos270 º

-4-


CAPITULO
05 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Al finalizar el presente capitulo Ud. será capaz de:

1. Conocer el concepto de Circunferencia Trigonométrica, así como sus elementos.
2. Identificar las líneas trigonométricas en cada cuadrante así como sus variaciones.
3. Resolver problemas.

x2 + y2 = 1
En los capítulos anteriores se estudiaron las razones trigonométricas de ángulos; existe sin embargo, otro concepto muy
importante el de las razones trigonométricas de números reales. La diferencia principal entre ambos conceptos radica en
la etimología de argumento. Las representaciones trigonométricas de números reales es de amplia importancia en la
matemática. Analiza la teoría y resuelve con entusiasmo y concentración los problemas.

LA CAIDA DEL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES

Recordemos que ELEMENTOS se llamo la magistral colección de libros que en 13 tomos escribió
EUCLIDES en el siglo III A.c. en Alejandría, ciudad situada en el delta del Nilo. Euclides, matemático
griego, era en aquellos tiempos maestro del rey de Egipto Ptolomeo y sus libros han dado la vuelta al
mundo en siglos sucesivos; venerados por los árabes, los ELEMENTOS se convirtieron en la Biblia
científica de la baja Edad Media primero, y en el punto de partida de los pensadores renacentistas
después. En los nueve primeros libros Euclides se encarga de proponer axiomas o postulados a
partir de los cuales se elabora toda una doctrina, pero el quinto postulado origino ya mas de un
problema; este dice:”Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a dicha recta”. En
1733 Saccheri hizo notar que este postulado era equivalente a afirmar que: “La suma de los ángulos
de un triangulo es igual a dos rectos” acercándose ligeramente a la verdad ya que después Bolilla,
Gauss, Lobatchevsky y Riemann aportaron la respuesta correcta a esta cuetios. Todos ellos desde
su propio punto de vista atacaron el 5º postulado de Euclides, básicamente a partir del siguiente
hecho: Una regla apoyada sobre la superficie de una esfera (nuestro planeta) es un arco de circulo, y
una recta por consiguiente, es un circulo completo, es decir: un circulo máximo. Paralelo estaríamos
dibujando un circulo máximo y estos siempre se intersectan. Esto hace también pensar que por la
imprecisión de nuestros instrumentos de medida, Euclides afirmaba que la suma de las medidas de
los ángulos interiores de un triangulo equivale a la de dos ángulos rectos, lo que no se cumple si un
triangulo es enorme. Euclides dijo su verdad, pero solo para figuras pequeñas y en el plano, más
vivimos en un universo curvado, ¡Ese es nuestro mundo real! Newton y Einstein han contribuido en la
CONCEPTOSde la curvatura del fue realmente valiosa. sigue discutiendo el tipo de curvatura que
comprobación universo pero aun se
PREVIOS
adopta, mas el aporte de Euclides

-5-


1. ARCO ORIENTADO: Es la
trayectoria descrita por un punto al
desplazarse sobre una curva, en un
determinado sentido. Estos arcos
tienen un origen y un extremo.
Para “ α ” : B → Origen
A → Extremo
Para “β” : P → Origen
Q → Extremo

ELEMENTOS

O (0,0) : Origen
A (1,0) : Origen de arcos
B (0,1) : Origen de complementos de arcos
A’ (-1,0) : Origen de suplementos de arcos
B’ (0-1) : Sin nombre especial
ARCO EN POSICION NORMAL: Son P (x,y) : Extremos de arco
arcos orientados que se determinan en Q (x,y)
una circunferencia canónica; con origen α : (+) ∧ β : (-)
en el punto “A” que es el punto de Siendo un punto de la circunferencia
interseccion del eje X con la trigonométrica (C.T) cuyas coordenadas
circunferencia, según se muestra en la son (x;y) y el radio r= 1 se cumple que:
figura; los cuales pueden tomarse en
sentido antihorario (+) o en sentido X2 + y2 = 1
horario (-), pc. ⇒ Ecuación de la C.T.

Ejemplos: Determinar cual de los
siguientes puntos pertenece a la C.T.

1 3 3 4
 P ;   M ; 
2 2 5 5

 “α”∧ “θ” son arcos en posición normal.
 “ α ” : positivo
“ θ ”: negativo
 “M” y “N” extremos de arco

OJO: Estudiar a la circunferencia
unitaria (r =1) es lo mismo que estudiar
a la circunferencia Trigonométrica.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

-6-


LOS NUMEROS REALES SOBRE REPRESENTACION DE LAS
LA CIRCUNFERENCIA RAZONES TRIGONOMETRICAS
TRIGONOMETRICA (LINEAS) EN LA CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMETRICA.

SENO: Es la Ordenada del extremo del
En la matemática muchas veces
Arco.
realizamos aproximaciones, como:
π = 3,14; 2 π =6,28
π
= 1, 57 3 π /2 = 4, 71
2

A continuación presentamos un grafico
en el que estos números aproximados
sean ubicados sobre la circunferencia
Trigonométrica.
π
AB=Senα(+) OA=Sen (+)
2
MN=Senθ (-) OB=Sen(-β)(-)
-1 ≤ α 1≤ 1 Sen(Max)=1
Sen(Min)=-1

COSENO: Es la Abcisa del extremo del
Observamos que ambas graficas sean Arco.
equivalentes: En el grafico, tenemos entonces que:

Por lo tanto tomando como referencia
dichos gráficos: Ubicar
aproximadamente ± 1 ; ± 3 ± 5 ± 7

MS=Cosα(+)
NR=Cosβ(-)
PT=Cosθ(-)

TOMA NOTA: usualmente en el
lenguaje matemático no se escribe rad. (Cosα ) max = 1
-1≤Cosα≤+1 
Sino se sobre entiende, ejemplos: (Cosα ) min = −1
∠ AOB = 2 en lugar de X AOB= 2,00,
π π rad TANGENTE: Es la ordenada del punto
Sen en lugar de Sen
3 4 de intersección entre la recta tangente

-7-


que pasa por el origen de arcos y la
prolongación de radio que pasa por el
extremo del arco.
En el grafico, tenemos que:

Ejemplo 3: Graficar
π
Tan 2 ; Tan
4

Debe notarse que la L.T. Tangente
puede ser trazada para cualquier arco “
α ” excepto para los extremos de arco B
y B’ ( αεℜ - [ 2n + 1] π / 2 ), ya que en esos
puntos la recta tangente nunca se
cortara con la prolongación de los radios
debido a que son paralelas,
cumpliéndose además: COTANGENTE: Es la abscisa del punto

(Tg α)max = +∞ de intersección entre la recta tangente

-∞ < Tgα < +∞  que pasa por el origen de complementos
(Tg α)
 min = −∞ y la prolongación del radio que pasa por

el extremo del arco.
4π
Ejemplo 1: Graficar Sen 2 ; Sen
3

−π
Ejemplo 4: Graficar Ctg 2 ; Ctg
4

Ejemplo 2: Con la ayuda de la C.T. LINEA SECANTE: Es la abscisa del
Graficar: Cos 70º ; Cos 220º punto de intersección entre la recta

-8-


tangente que pasa por el extremo del
arco y el eje “X”.
En el grafico, tenemos entonces que:

LINEAS TRIGONOMETRICAS
+1 ≤ Secα ≤ -1 AUXILIARES

1. Seno Verso o Verso (Vers): Es lo
COSECANTE: Es la ordenada del punto que le falta al Coseno de un arco “ θ ”
de intersección del eje y con la recta para valer la unidad. El verso es
tangente trazada por el extremo del siempre positivo.
arco.

Por definición:
Vers θ = 1 – Cos θ ν θεR

Teniendo en cuenta lo anterior, se llega
OU = Csc α (+); OV = Csc β (-), Debe
a deducir la variación del Verso:
notarse que la L.T. Cosecante puede ser
trazada para cualquier arco “ α ” excepto θ ≤ vers θ ≤ 2
para los extremos de arco A y A¡ ( Ejemplo 6: Calcular
αεℜ − nπ ), ya que la Tangente
π
geométrica que pase por estos puntos Ver  
nunca se cortara con la abscisa o eje 3 
“Y”, debido a que son paralelas,
cumpliéndose además:

-∞ < Cscα ≤ -1 
(Cscα)max = +∞
+1 ≤Cscα < ∞ 
(Cscα)
 min = −∞
Es lo mismo que:

Cscα ≤ -1 v Cscα ≥ 1
Ejemplo 5: Graficar: Sec 2,5 ∧ Csc 3

-9-


2. Coseno Verso o Coverso (Vov): Es Ejemplos:
lo que falta al Seno de un arco “ θ ”
para valer la unidad. El Coverso es
siempre positivo. 1. Con la ayuda de una C.T. señale la
expresión de menos valor entre:
a) Cos70º b) Cos130º c) Cos160º
d) Cos220º e) Cos12º

Resolución:
Graficamos en la C.T los arcos
mencionados y ubicamos en ella las
líneas trigonométricas coseno y
observamos que:
Por definición:

Cov θ = 1 – Sen θ ∀ θ ε R

Teniendo en cuenta lo anterior, se llega
a deducir la variación del Coverso:
O ≤ Cov θ ≤ 2
Cos70º y cos310º: son (7)
Ejemplo 7. Cos130º, cos160º y cos220º son(-)

∴ entre los negativos notamos que
el menor o más negativo es
Cos160º.

2. Señale verdadero (v) o falso (f),
según corresponda:
I. Sen100º > Sen 170º
II. Cos100º > Cos 140º
III. Sen210º > cos 210º

3. Ex -Secante o External: Es el Resolución:
execeso de la Secante respecto a la Cada caso lo representaremos en
unidad.Si la Secante se mide hacia una C.T.
la derecha del origen de arcos
entonces la Ex – Secante es positiva
de lo contrario es negativo. I)

Sen100º > Sen 170º

-10-


II)

Resolución:

En el gráfico se puede reconocer:

 AOM ∼  AHP
Por ser más negativo cos140º
h 1
Cos 100º > Cos 140º =
senθ 1 + cos θ

senθ
III) h=
1 + cos θ

Observamos que sen 210º y Cos 210º
son negativos pero Cos210º es más
negativo:
Donde:
∴ Sen210º > Cos 210º
senθ=senθ cosθ=-cosθ

Después de analizar cada caso se tiene: senθ
∴ h=
I) V II) V III) F 1 − cos θ

3. En la C.T. mostrada expresar en
términos de θ.

a) La longitud del segmento OM

-11-


CONSTRUYENDO 4. Determinar verdadero (v) o falso
MIS (F) en:
CONOCIMIENTOS
I. Sen 3 > Sen 1
1. Señale la expresión de mayor valor:
II. Cos 6 > Cos 5
Sen 10º; Sen100º y Sen 300º
III. Tan 1 < Tan 3

2. Señale la expresión de menor valor:

a) Cos 70º
b) Cos 130º
c) Cos 160º
d) Cos 220º
e) Cos 310º
− 3π
5. Si < x 2 < x 1 < −π
2
Analizar la verdad o falsedad en:
Sen x1 < Sen x2
 x1   x2 
Sen   < Sen 
 π  π 

3. Indicar A + B siendo:

A el máximo valor de:
4Senx + 2Cos y

B el mínimo valor de:
2Cosθ + Senθ

-12-


6. Si α=30º calcular: 8. ¿Cuál es la variación de
S=versα . covα + ExSecα M=3Senθ+1; θ∈R?

7. Calcular la ordenada y1 la abscisa π
9. Si <α<θ<π
x2 de los puntos P y Q en la C.T. 2

Señalar las proposiciones
verdaderas:

I. Tanα < Tanθ
II. Ctgα < Ctgθ
III. Tanα . Tanθ < 0

-13-


6. Determine el signo de
REFORZANDO comparación que se debe ubicar
MIS CAPACIDADES en el recuadro:
Sen 110º  Sen 10º
1. Indicar el signo de comparación Cos 200º  Cos 100º
que debe ir en el círculo, si x ∈
IIC. a) >; > b) >; = c) >; <
d) <; < e) =; <
Sen x  Tgx
a) > b) < c) ≥ 7. ¿Cuál de los siguientes valores
es el menor?
d) ≤ e) = a) Cos20º b) Cos100º c)Cos160º
d) Cos260º e) Cos320º
2. Indicar el orden creciente de los
siguientes valores: Sen 3; Cos3; 8. Señale (V) o (F) en:
Tg3. Tan 50º > Tan 70º ……… (
)
a) Sen 3; Cos3; Tg3 Tan100º > Tan140º …….. ( )
b) Cos 3; Tg3; Sen3 Tan200º > Tan 240º…….. ( )
c) Cos 3; Sen 3; Tg3 a) FVV b) VFF c) VFV
d) Tg 3; Cos 3; Sen3 d) FFF e) VVV
e) Tg 3; Sen 3; Cos3
π
9. Si: 3 < α < β < 2π
2
3. Indicar el orden creciente de los Señale (V) o (F) en:
siguientes valores: Sen1; Cos3; Sen α > senβ ( )
Tg5. Tan α > tanβ ( )
Ctg α > Ctgβ ( )
Sen1; Cos3; Tg5
Tg5; Cos3; Sen1 a) VVF b) VVV c) FFF
Tg5; Sen1; Cos3 d) FFV e) FVV
Cos3; Tg5; Sen1
Cos3; Sen1; Tg5 10. Determinar el área en:
4. Cuando el ángulo x aumenta de
90º a 180º ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es
verdadera?

a) El seno aumenta
b) El coseno aumenta
c) La cosecante aumenta
d) La secante disminuye

5. Indicar el máximo valor de:
A=Cosx + Cosy – Cosz
a) 1 b) 2 c) -1
d) 4 e) 0

-14-


CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMETRICA II 3. Calcular el área sombreada:

1. En la C.T. hallar el área de la
región sombreada:

2. Hallar el área de la región 4. En la C.T. mostrada expresar en
sombreada: términos de θ:

A: La longitud del segmento OM
B: El área de la región triangular AOP

-15-


REFORZANDO MIS CAPACIDADES 3. Calcular el área de la región
sombreada:

1. Hallar el área de la región
sombreada en la C.T.

1
a) Senθ b) Cosθ c) 2 senθ a) Senθ b) Cosθ c) -Cosθ
d) 1
Cosθ e) 2Senθ d) -Senθ e) 1
2

4. Determinar el área de la región
sombreada:
sombreada en función de θ.

a) 0,5 Cosθ
b) -0,5 Cosθ a) 3
4 Cosθ b) 3
4 senθ c) −43 Senθ
c) 0,5 Senθ d) - 3 Cosθ
4 e) 1
2 Senθ
d) 2Cosθ
e) n.a

-16-


sombreada: 7. Determine el área en:

3
a) Senθ
4
1
a) Cosθ b) 2Cosθ c) cosθ 1
2
b) 2
Senθ
d) Senθ e) 2Senθ
c) Senθ
1
d) - 2 Senθ
3
e) - Senθ
4

2
8. Si Senα=0,8. Hallar MQ.
6. En la C.T. mostrada. Cosθ= 3 y
OM=MB. Calcular el área de la
región triangular OMP.

a) 3 b) 4 c) 5
d) 0,8 e) 0,6
1 1 1
a) b) c)
6 3 4
1 2
d) e)
2 3

CAPITULO
06 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
-17-


Al finalizar el capitulo; Ud. Será capaz de:

1. Conocer los distintas relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo
ángulo
2. reducir expresiones donde intervienen razones trigonométricas aplicando
conveniente las identidades dadas.

Una de las muchas aplicaciones que se puede presentar sobre las identidades
trigonométricas se muestra en la figura. La distancia “d” que recorrerá la pelota en el aire
2V 2 SenθCosθ
esta dada por la expresión: d =
9

V 2 Sen 2θ
Aplicando Identidades queda Simplificada: d =
9

-18-


IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
FUNDAMENTALES
NO OLVIDES
Son igualdades en las que intervienen razones trigonométricas,
las cuales se verifican para todo valor permitido de la variable, Cscx =
las Identidades principales son: Secx =
Ctgx =
A Identidades Reciprocas

Sen x Cscx= 1 Cosx Secx = 1
IDENTIDADES AUXILIARES

Tan x Ctgx =1 Sen4x+Cos4x=1-2Sen2xCos2x
Sen6x+Cos6x = 1-3Sen2xCos2x
B Identidades Por Cociente: Sec2+Csc2x = Sec2x . Csc2x
Tagx + Ctgx = Secx . Cscx
Senx Cosx (1±Senx±Cosx)2=2(1±Senx)(1±Cosx)
Tanx = Cta x=
Cosx Senx Versx = 1-Cosx
Covx = 1-Senx
Ex Secx = Secx-1
C Identidades Pitagóricas:

Sen2 + Cos2x = 1

1 + Tan2x = Sec2x

1 + Cta2x = Csc2x

TIPOS DE EJERCICIOS SOBRE IDENTIDADES

Los ejercicios sobre identidades pueden ser de 4 tipos:
TE RETO
I. Demostraciones: Para demostrar una identidad, Demostrar:
D
implica que el primer miembro se pueda reducir al
segundo miembro o viceversa o que cada miembro por
separado se pueda reducir a una misma forma. Para
la verificación de identidades se puede utilizar las
diferentes transformaciones tanto algebraicas como
trigonométricas y en este último caso resulta muy
útil escribir la identidad en términos de senos y
cosenos.

Ejemplo: Demostrar que:
( Senx + Cosx ) 2 − 1 = 2Tan 2 x
Ctg − SenxCos

Resolución:

Sen 2 x + Cos 2 x + 2SenxCosx − 1 2SenxCosx.Senx 2Sen 2 x
= = = 2Tan 2 x
Cosx Cosx(1 − Sen 2 x ) Cos 2 x
− SenxCosx
Senx

-19-


II. Simplificaciones: Se buscara una expresión reducida
de la planteada con ayuda de las Identidades IMPORTANTE
fundamentales y/o auxiliareis con transformaciones
algebraicas. Una buena recomendación
consiste en transformar
todo el miembro elegido en
Ejemplo: Simplificar:
una expresión en función
Senx.Secx de Seno y Coseno
P=
Cosx + SenxTanx
Resolución:
1
Senx.
P= Cosx
Senx
Cosx + Senx.
Cosx
NO OLVIDES
Senx
P= Cosx E
En:
Sen 2 x
Cosx +
Cosx a2 = c2 - b2
Senx c2 = a2 + b2
Cosx Senx b2 = c2 - a2
P= = = Senx
Cos x + Sen x
2 2
1
Cosx

III. Condiciones: Si la condición es complicada debemos
simplificarla y así llegar a una expresión que
pueda ser la perdida o que nos permita hallar
fácilmente la que nos piden de lo contrario se
procede a encintrar la expresión pedida.
1
Si Senx-Cosx= Hallar Secx.Cscx
3
DESAFIO
Resolución:
1 1 1 Calcular el equivalente de:
Secx.Cscx= . = ...(I)
Cosx Senx SenxCosx (Cscθ-Ctgθ)(Ctgθ+Cscθ)
Además:
2
 1
(Senx-Cosx)2=  
3
1
Sen2x+Cos2x-2SenxCosx=
9
1
-2SenxCosx= − 1
9
4
SenxCosx=
9
1 1/ 1 9
= =
En (I) SenxCosx 4 4
9

CONSTRUYENDO
MIS
CONOCIMIENTOS -20-


1. Demostrar
Senx . Secx = Tanx

5. Demostrar:
2. Demostrar: 1-Tan2αCos4α-Ctg2αSen4α=
Cos3θ + CosθSen2θ=Cosθ Sen4α+Cos4α

6. Si: Cos4θ-Sen4θ=MCos2θ-1
3. Demostrar: Es una identidad. Hallar M.

 1 
 Ctg x + Cos x + Senx = Cscx
2 2

 Csc 2 x 

4. Demostrar: 7. Determinar “n” en:
(Tanα+Ctgα)3=Sec3αCsc3α

-21-


Secθ − Cosθ Sen2x.Ctgx.Secx-Senx.Ctgx+Cos2x.tanx
= (ctgθ) n
Cscθ − Senθ

10. Simplificar:
 Senx 1 + 3Cosx 
E = (Cscx − Ctgx ) + 
 1 + Cosx Senx 

8. Simplificar:
(Sen4αCos2α+Cos4αSen2α)(Tanα+Ctgα)2

REFORZANDO MIS CAPACIDADES
9. Reducir:

-22-


Seca − Cosa
T=
Csca − Sena
Demostrar:
a) Sec2a
1. Sec2x-Tan2x=1
b) 1-tan2a
2. Sen4x+Cos4x=1-2Sen2xCos2x
c) Sen3acos3a
3. Tanx+ctgx=secxcscx
d) Tan3a
Sen 3 α e) 1
4. + SenαCosα=Tanx
cos α 12. Reducir:
1 − cos x senα Cosx
5. = P= − tan x
senx 1 − cos α 1 − Senx
a) 1
6. (senα+cosα)2(senα-cosα)2 b) Senx
=2(sen4α+cos4α)-1 c) Secx
d) Cosx
7. (Tanα-ctgα)(tan2α+csc2α)=tan3α- e) Cscx
ctg3α
13. ¿Qué valor debe ocupar k para ser
8. Simplificar: una identidad?
Secθ-Cosθ=Ksecθ
2 a) Senθ
P = ( Senx − cos x ) +
2
b) Cosθ
sec x. csc x
c) Secθ
a) 1 b) 2 c) 3 d) Cscθ
d) 4 e) n.a e) Sen2θ
9. Simplificar:
14. Al simplificar:
senα 
2  Senx 1 + Cosx 
 2 P= + Senx
A = 1 +  −
cos α  1 + Cosx Senx  
 cos 2 α
Se obtiene:
a) 2tanα
a) 1
b) Sec2α b) 2
c) 2tanα+sec2α c) Senx
d) 2tanα-sec2α d) Cosx
e) n.a e) Tanx

10. Simplificar: 15. Al simplificar:
Senα + Tanα
Ctgα + Cscα (Tanx − Senx)(ctgx − Cosx )
a) Secαtanα ( Secx − 1)(Cscx − 1)
b) cosαtanα Se obtiene:
c) senαtanα a) Senx
d) cscαctgα b) Cosx
e) secαcscα c) Tanx
d) Senx Cosx
11. Simplificar: e) n.a

-23-


IV. Eliminación del ángulo: Estos ejercicios consisten en que
a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos ATENCIÓN
encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el
ángulo. En este tipo de problemas
tenemos que operar con
las igualdades
EJEMPLOS proporcionadas de tal
modo que obtengamos
otra donde no aparezca el
ángulo a eliminar.
1. Determinar una expresión independiente de la variable
angular “x”; si se sabe que se verifican los siguientes
condiciones:
a b
= .........(1)
Senx Cosx
1
Senx . Cosx = ......( 2)
3

Resolución:
1 1
De (2) ……..: . =3
Senx Cosx
Secx . Cscx=3
∴ Tanx+Ctgx=3
Reemplazado en 1 DESAFIO
Senx a a
Porque: = ∴ Tanx = Eliminar x en:
Cosx b b a + b Senx = 2
a – b Cosx = 4
a b
+ =3 ∴ a 2 + b 2 = 3ab
b a

2. Eliminar θ en:

Senθ=x y Cosθ=y

Resolución:

Sea Senθ=x …… I
Cosθ=y …… II
Elevamos al cuadrado
Sen2θ=x2 …… I
Cos2θ=y2…… II
Sumamos: I y II
Sen2θ+Cos2θ=x2+y2
1= x2+y2

-24-


CONSTRUYENDO
MIS 5. Se sabe que:
P=Sec2P-1
CONOCIMIENTOS Z=Csc2p-Ctg2p
2 A=1-Sen2p
1. Si Tanx= calcular: Hallar: P.A.Z
3
A=Sen m+ Cos m

2. Si Sen2θ + Csc2θ = 7
Calcular: A = 2Senθ + Cosθ Ctgθ
6. Sea:
Senα=a
Cosα=b
Eliminar el ángulo.

3. Calcular el valor numérico de:
Q=Cosz(Senz+Cos2z.Cscz)
Se sabe que: Tan2z=0,25

7. Si Senx + Cosx=b
Hallar el valor de:
R=2Senx . Cosx+1

4. Se sabe que:
6
Cosa + Sena Tana=
5
Calcular Seca 8. Si Senx-Cscx=7
Calcular Senx + Cscx

-25-


d) m2+n2=1 e) m2-n2=4

8. Si se sabe que:
Senθ = 0,4
REFORZANDO MIS CAPACIDADES Calcular el valor de:
1
C=(Sen2θ-1)2 ( ) Cos2θ
Tan 2 θ
24 3
a) b) c) 1
25 4
1. Si Senx+Cosx . Ctgx=1,2 1 4
Calcular: Cscx d) e)
a) 1 b) 1,2 c) 0,8 2 5
d) 0,6 e) n.a 9. Si Senθ + Cscθ=a, calcular:
E=Sen2θ + Csc2θ
2. Hallar “x” para que sea una a) a2 b) 2 c) a2-1
identidad: d) a2-2 e) n.a
Ctgα - Cosα = xCtgα
a) 1-Cosα b) 1-Senα c) Tanα 10. Elimina “θ” de:
d) Ctgα e) n.a x=1+Senθ+Sen2θ+Sen3θ+…..
y=1+Cos2θ+Cos2θ+Cos3θ+….
3. Sabiendo que:
a) (1 − 1 ) 2 + (1 + 1 ) 2 = 1
x y
Senθ + Cosθ= 2 encontrar
M=Tanθ + Ctgθ b) (1 + 1 ) + (1 + 1 ) 2 = 1
x
2
y
a) 1 b) -1 c) 2
d) 5 e) n.a
c) (1 − x ) + ( 1 − y ) 2 = 1
2

d) (1 + x ) 2 + ( 1 + y ) 2 = 1
4. Si: Cscx – Senx = a e) N.a
Secx – Cosx = 2a
Hallar Tan x:
a) 2 b) 3 c) 3
2
d) 3
3 e) 4
2

Sec 2 α Tan 2 α 1
5. Si: − =
a b ab
Hallar: Tanα
b −1 a−b b −1
a) a−b
b) b −1
c)
a −1
a −1
d) e) n.a
b −1

6. Si 2Sec2x-Csc2y=1
Calcular: M=2Sec2y-Csc2x

a) 1 b) -1 c) 0
d) 2 e) -2

7. Eliminar “x” de:
Tanx + ctgx=m
Tanx – ctgx=n

a) mn=1 b) 2mn=1 c) 4mn=1

-26-


CAPITULO
07 REDUCCIÓN AL I CUADRANTE

Al finalizar el presente capítulo Ud. estará en la capacidad de:

Conocer la equivalencia de la razón trigonométrica de ángulos de la forma (K90º±x) en
los términos de la razón trigonométrica del ángulo x (K∈Z).

N

105º

N

52º

CIUDAD B

CIUDAD A

EL VALOR DE LA BUENA CONDUCTA Y LA PERSEVERANCIA CONQUISTA A TODO
LO QUE SE LES PONE POR DELANTE.

Emerson.

-27-


REDUCCIÓN AL I CUADRANTE cuadrante al que pertenece el
ángulo.
Ejemplos:
Es el procedimiento mediante el cual se
expresa el valor de las funciones 1. Reducir al I cuadrante:
trigonométricas de un ángulo de Sen 250º
cualquier magnitud en función de un
ángulo agudo del primer cuadrante  250º ∈ III C
(ángulo reducido).  Sen 250º es de signo (-)
 Ángulo referencial:
A. PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y 250-180º = 70º
MENORES QUE UNA VUELTA. ∴ Sen 250º=-Sen70º
Para esto usaremos un criterio muy
sencillo al que llamaremos el ángulo 2. Calcular el ángulo reducido
más pequeño: suplementario de los siguientes
Ángulo Referencial: rs ángulos menores de una vuelta:

α = 235º, β=320º, γ=139º,

δ=145º, ϕ=-298º, θ=-195º

Resolución.

Como α=235º ⇒ α ∈ III C
Luego: rs=235º - 180º = 55º

Como β =320º ⇒ β ∈ IV C
Luego: rs = 360º-320º = 40º

Como γ = 139º ⇒ γ ∈ II C
Luego: rs = 180º-139º = 41º

Como δ= -145º ⇒ δ ∈ III C
Luego: rs = -145º+180º=35º

Como ϕ = -298º ⇒ ϕ ∈ I –C
Luego: rs = 360º - 298º = 62º

Como θ = -195º ⇒ θ ∈ II C
Luego: rs = 195º - 180º = 15º

B. PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y
Pasos a emplear:
MAYORES QUE UNA VUELTA
1. Ubicamos el cuadrante al que Como la diferencia de dos ángulos
pertenece θ. (ángulo) coterminales es un número entero de
2. Determinamos su ángulo vueltas y cuyo valor es el mismo se
referencial empleando los casos procede a resolver de la siguiente
anteriores. manera:
3. Establecemos el signo de la
razón trigonométrica en el

-28-


iv) El valor de la F.T. del ángulo
dado es igual al valor de la
F.T. del ángulo reducido
suplementario con el signo
Ejemplos: respectivo determinado en el
paso anterior.
1. Calcular el ángulo reducido de los Ejemplos:
siguientes ángulos mayores de una 1. Reducir al primer cuadrante:
vuelta. Cos320º
α = 1478º Solución:
Como el ángulo 320º ∈ IVC
 Dividimos entre 360º ⇒ rs = 360º - 320º ∈ IVC
Y el signo del coseno en IV C es +
1478º 360º
1440º 4 Luego: Cos320º = +Cos40º
38º
Aplicando el criterio de confusión el
38º ∈ IC resultado puede ser también así:
Como el ángulo 320º ∈ IVC
2. Reducir: θ=-8595º ⇒ rc = 320º - 270º = 50º

- 8595º 360 Y el signo del Coseno en IV es (+)
8280º 23 Luego: Cos320º ) +Sen50º
315º Uniendo los dos resultados podemos
decir:
-315º ∈ IV C ∴ Cos 320º = +Cos40º = +Sen50º
Su coterminal es 45º
2. Reducir al primer cuadrante: Sen(8π/
∴ Para entenderlo mejor ten en cuenta 5)
los siguientes casos: Solución:
Como el ángulo 8π/5 ∈ IVC
⇒ rs = 2π - 8π/5 = 2π/5
Y el signo del seno en IVC es (-)
Luego: Sen(8π/5) = sen(2π/5)
CASOS DE REDUCCIÓN
Aplicando el criterio de confusión el
resultado puede ser también así:
1er. Caso: Para ángulos positivos
menores de una vuelta. Como el ángulo 8π/5 ∈ IV C
⇒ rc = 8π/5 - 3π/2 = π/10
Se tienen los siguientes pasos a seguir:
Y el signo del seno en IV C es (-)
i) Se determina el cuadrante al
Luego: Sen(8π/5) = -Sen(2π/5)
que pertenece el ángulo
dado. = -Cos(π/10)
ii) Se encuentra el ángulo
reducido suplementario del 2do. Caso: Para ángulos positivos
ángulo dado. mayores de una vuelta.
iii) Se determina el signo que Se tienen los siguientes pasos a seguir:
tiene la F.T. del ángulo dado, i) Se divide el ángulo dado entre
según el cuadrante al que 360º ó 2π y se obtiene el resto de
pertenece, el cual ha sido dicha división.
obtenido en el paso inicial. ii) El cuadrante al que pertenece el
ángulo dado es el mismo que del
ángulo obtenido en el resto de la

-29-


división realizada en el paso Solución:
anterior, ya que son Efectuando la división obtenemos:
coterminales. 313π 6π/3
iii) El ángulo reducido suplementario 312π 52
del ángulo dado es el mismo que π/3 ∈ IC
del ángulo obtenido en el resto ⇒ rs = π/3
de la división realizada en el
primer paso. Y el signo de la Tg en IC es (+)
iv) Se determina el signo que tiene
la f.T. del ángulo dado, según el Luego: Tg(313 π/3) ) +Tg π/3 = 3
cuadrante al que pertenece, el
cual ha sido obtenido en el
segundo paso. Aplicando el criterio de Cofunción el
v) El valor de la F.T. del ángulo resultado pueden ser también así:
dado es igual al valor de la F.T.
del ángulo reducido Como el ángulo (313π/3) ∈ IC
suplementario con el signo ⇒ rc = π/2 - π/3 = π/6
respectivo determinado en el
paso anterior. Y el signo de la Tg en IC es (+)
Luego: Tg(313π/3) = +Ctgπ/6= 3
Ejemplos:
Uniendo los dos resultados podemos
1. Reducir al primer cuadrante: decir:
Sen 1290º
∴Tg (313π/3) = +Tgπ/3 = +Ctgπ/6 =
Solución:
3
Efectuadnos la división obtenemos:
1290º 360º
1080º 3 3er. Caso: Para ángulos negativos.
210º ∈ IIIC Se tienen los siguientes pasos a seguir:
i) La F.T. del ángulo negativo se
⇒: rs = 210º - 180º=30º
convierte a F.T. del ángulo
positivo: con signo más (+) para
Y el signo del seno en IIIC es (-)
el coseno y la secante y con
signo menos (-) para seno,
Luego: Sen1290º = -Sen30º = -1/2
tangente, cotangente y
cosecante.
Aplicando el criterio de cofunción el
ii) Luego se aplican las reglas del
resultado pueden ser también así:
1er ó 2do caso según sea el
ángulo positivo resultante menor
Como el ángulo 1290º ∈ III C
o mayor de una vuelta.
⇒ rc=370º-210º=60º
Ejemplos:
Y el signo del seno en III C es (-) 1. Reducir al primer cuadrante:
Luego: Sen 1290º=-Cos60º=-1/2 Sen(-210º)
Solución:
Uniendo los dos resultados podemos La F.T. del ángulo negativo, lo
decir: convertimos a F.T. de ángulo
∴ Sen 1290º = -Sen30º positivo.
= -Cos60º=-1/2
Sen(-210º) = - [ Sen210 º ]
2. Reducir al primer cuadrante:
Tg(313π/3) Como el ángulo 210º ∈ IIIC

⇒ rs = 210º - 180º = 30º

-30-


Sen(90 + x )
Y el signo del seno en el IIIC es (-) C=
Cos(180 − x )
Luego: Sen(-210º)=- [ sen30º ]
Resolución:
=+sen30º=1/2
Sen(90+x) = +Cosx
También se puede obtener el Cos (180-x) = -Cosx
resultado considerando el ángulo
+ Cosx
reducido directamente del ángulo C=
negativo: − Cosx
Como el ángulo -210º ∈ IIC C=1
⇒ rs = 210º - 180º = 30º
Ejemplos:
Y el signo del seno en el II C es (+)
1. Calcular:
Luego: Sen(-210º) = +Sen30º
=1/2 Cos300 º +Cos120 º +Sen150 º
N=
Sen330º +Cos240º + Tan135 º
2. Reducir al primer cuadrante:
Sec(-335π/8) Resolución:
Solución: Aplicando reducción al IC.
La F.T. del ángulo negativo, lo
convertimos a F.T. de ángulo Cos60º −Cos60º +Cos60º
positivo. N=
− Sen30º −Cos60º −Ctg45º
Sec (-335π/8)=sec(335π/8)
Reemplanzando valores:
Efectuando la división
obtenemos: 1 1
335π/8 16π/8 2
N= = 2
320π/8 20 1 1 −2
15π/8 ∈ IV C − − −1
2 2
⇒ rs = 2π - 15π/8 = π/8
1
Y el signo de la sec en el IV C es (+) ∴ N= −
4
Luego: sec(-335π/8)=+sec(π/8)
2. Calcular:

S=Cos10º+Cos20º+Cos30º+…......
OTRO CASO DE REDUCCIÓN +Cos160º+Cos170º

Como los ángulos que están
Rt (90±α) = ± co-r+(α) equidistantes suman 180º por lo
Rt (180±α) = ± R+(α) tanto:
Rt (270±α) = ± CO – R+(α)
x+y = 180º → Cosx = -Cosy
Rt (360±α) = ± R+(α)
∴ S=Cos10º+Cos20º+Cos30º+…....
Ejemplo:
–Cos20º-Cos10º
Reducir:
S=0

-31-


CONSTRUYENDO 3. Simplificar:
MIS
Sec 37º Cos16º Sec 53º Tan 2 π
CONOCIMIENTOS 3

1 + Csc 3 π
6
+ 3 Tan 4 + 25Csc 74º
π

1. Reducir al I cuadrante:
a) Sen 210º
b) Cos 200º
c) Sen (180 + θ)

4. Reducir:
Cos130 º.Tan740 º −Sen(180º +a)
P=
Ctg430º.Sen220 º.Cos(270 º +a)
2. Reducir al I cuadrante:
a) Tan 800º
b) Sec 18905º

-32-


7. Calcular:
33π 3Cos( α − β) + Cosα + Cosβ
5. Reducir: Sec F=
4 α −β
3Sen  + Senα + Senβ
 3 

8. Reducir:
 3π   3π 
6. Simplificar: 2Cos − x Sen + x  − Cos( 2π − x )
E=  2   2 
Sec(360º −a)Cos(270 º −a)Tan(180 º +a)  π 
M= 1 + Sen( π + x ) + Cos 2  + x  − Cos 2 ( π − x )
Csc(90º +a)Sen(360 º −a)Ctg(270 º +a) 2 

-33-


Cos330º.Ctg300 º.Csc135º
M=
Sec 315º.Sen300 º Tan330º
1 2
a) -1 b) 2 c)
2
d) 1 e) 2

8. Efectuar:
REFORZANDO MIS CAPACIDADES  77 π   55π 
Sen   Tan  
 3   6 
1 1
a) 2
b) 1 c) -
2
1. Simplificar: d) 2 e)
3
2

 3π 
Tan + θ  + Ctg( π − θ) 9. Simplificar:
M=  2  (a + 1)Cos540º −(a − 1)Sen630º
 5π  E=
Ctg( 2π − θ) − Tan − θ (b − 1)Cos1260 º +(b + 1)Sen450º
 2  a
a) 0 b) 1 c) 2 a) 1 b) -1 c)
1
b
d) 2 e) -Tanθ −b b
d) e)
2. Calcular:
a a
E=Sen150º.Ctg225º.Tan220º
π
3 1 10. Si θ=
a) 6
b) 1 c)
4 6
3 Calcular:
d) e) 2 3  3π   π
4 Sen θ +  + Cos( π − θ) − tan θ + 
3. Efectuar:  2   6
M=
π 
M=Sen(90-θ) Csc(270º-θ) Cos( 2π − θ) − Sen( − θ) + Csc + θ 
a) 1 b) 2 c) -1  2 
d) Sen θ
2
e) Csc θ
2 a) 8 b) 6 c) 2
4. Hallar Tan 36660º d) -6 e) -6
11. Calcular:
1 − 2  71π   59 π 
a) 3 b) − c) Tan −  − Sen 
2 2  4   3 
d)
1
e) − 3 Csc
 74π 
[
2 3 +3 ]
2  3 
5. Calcular: 1 1
3.Sec180330 º a) 1 b) c)
4 2
a) 1 b) -2 c) − 2 1 4
d) -1 e) 2 d) e)
16 9
6. Calcular:
Tan120º.Sen315º.Sec150º
R=
Csc120º.Cos225 º.Ctg150º
b) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 3
7. Calcular:

-34-


REDUCCIÓN AL I CUADRANTE II 3. La expresión:

Sen( −650 º )Cos(520 º )Tan( −470 º )
E=
1. Simplificar: Ctg( −340 º )Sec (290 º )Csc( −160 º )
M=Cos6º+Cos12º+…Cos168º+Cos174º
Es equivalente a:

2. Calcular el valor de R en: 4. Hallar el signo de la expresión:
2(1 − 2Sen270º +Sec 2 180º ) E=Ctg432º.Tan2134º.Csc3214º.Sen4360º
R=
1 + 2(Cos2π)(Csc π + Sec 2 2π)
2

-35-


a) 3(a-b) b) a+b c) 3(a+b)
d) 3(a+b)2 e) n.a

8. Calcular “x”:
1 − Cos180 º
x=
Sec 2520 º −Sen990 º

REFORZANDO MIS CAPACIDADES a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) n.a.
9. Hallar el valor de:
2Tg( −2010 º ) + Tg(1470 º )
P=
Tg(1140 º )
1. Determina la expresión falsa: a) 1 b) 2 c) 0
d) -2 e) n.a
a) Sen185º=-Cos85º
b) Sec205º=-Sec25º 10. Halla
c)
d)
Tg29º=Ctg61º
Csc305º=-Csc55º
[ Csc390º +Csc( −π / 6)] . Tg45º
e) Sec111º=-Csc69º
a) 3 b) 2 c) 1
2. Hallar: d) 0 e) n.a.
Sen210º⋅Tg105 º
11. Reducir:
Ctg375 º
a) 1/2 b) 2 c) 1 L=Tg(x-π/2)Tg(x-π)Sen(x-3π/2)
d) 3 e) 1/3
a) Senx b) -Senx c) Cosx
3. Hallar el valor de: d) -Cosx e) -1
N=Sen2390º+Tg315º+3Cos2135º+4Tg217º
a) 4/3 b) 3/4 c) -3/5 12. Calcular:
d) -1 e) 15/4 325 π
4. Halla el valor numérico de: A = Cos153 º1πSen − Cos173 π
2
Sen( −240 º ) Csc 210 º a) 1 b) -1 c) -2
x= + d) 0 e) 2
Cos510 º Tg( −240º )
a) 0,1547 b) 2,1547 c) 3 13. Reducir:
d) 2 e) n.a Sec(123 π + x )Tg(157π / 2 − x )
U=
Csc(321π / 2 + x )
5. Simplificar: a) Ctgx b) Tgx c) -Tgx
Cos165º+Tg375º+Ctg465º d) -Ctgx e) -1
a) 2Tg15º b) 0 c) 1
d) Tg15º e) 2 n.a 14. En un triángulo ABC, reducir:
Sen( A + B) Cos(B + C) Tan(C + A )
I= + +
6. Calcular: SenC CosA TanB
a) -1 b) 1 c) 0
E=Sen1500º+Cos720º d) 3 e) -3
3 +1 3 +2
a) 3 +2 b) c) 2 15. Hallar el signo de LIVIA
2
3 −2 L=Sena Tana Secc a∈IIIC
d) e) n.a
2 I=Tana Tanb Tan200º b∈IIC
7. Simplificar: V=Seca.Sena-Secb c∈IVC
N=bTg21140º-9aSec900º.Tg21470º A=Tan404g.Cosa

-36-


a) -, -,++ b) +,-,+- c) +,+,+,+
d) -,-,-,- e) n.a
CAPITULO
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
08 DE ARCO COMPUESTO

Al finalizar el presente capítulo usted será capaz de:
 Conocer el desarrollo de la forma Sen(c±y); cos(x±y) y Tan(x±y)
 Calcular el valor de razones trigonométricas de ángulos no conocidos mediante las
identidades de la suma o diferencia de arcos cuyas razones sean conocidas.

El Príncipe d las Matemáticas

Así se le reconoce a Carl Friedrich Gauss genio matemático alemán, nacido en 1777
quien de mayor solía decir que aprendió a contar antes que andar. A los 3 años de edad
corrigió a su padre una suma de salarios que efectuaba en su casa. Cuentan también
sus biógrafos que a los 10 años de edad no le permitió a su maestro de escuela darse un
descanso mientras les propuso efectuar la suma 1+2+3+..+99+100; al poco rato de
escrito el ejercicio en la pizarra, el niño Carl anunció que el resultado era 5050…. ¿Cómo
lo hizo?...
¡¡había notado que 1+100=2+99=3+98=4+97=..!! es decir, descubrió que lo que el
maestro propuso equivalía a la suma de 50 veces 101 ó 50x101=5050.

Si bien es cierto que revolucionó todas las ramas de las matemáticas, también es verdad
que contribuyó al desarrollo de la astronomía, la óptica y el magnetismo.

… ¿Podríamos imaginar a un asteroide que se les perdió a los científicos?.... veamos:
resulta que en 1801 los astrónomos conmocionan al mundo con el descubrimiento del
asteroide CERES, pero tras escasas observaciones los científicos perdieron su rastro,
intentando recuperarlo después de enormes esfuerzos, entonces aparece el genio de
Carl Gauss que al tiempo de culminar algunos cálculos matemáticos les indicó a los
astrónomos hacia donde debían dirigir sus telescopios y … CERES fue ubicado

-37-


nuevamente, prodigio que les permitió ser nombrado Director del Observatorio de
Göttingen.
IDENTIDADES DE LA SUMA Y Tan(A+B)=TanA+TanB+TanATanBTan(A+B)
DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS
CONSTRUYENDO
IDENTIDADES BÁSICAS MIS
CONOCIMIENTOS
Las idetnidades básicas para la suma o
diferencia de 2 ángulos son las 1. Aplicar la identidad correspondiente
siguientes: en: cada caso:
Sen(A+B)=SenACosB+CosASenB

Ejemplo: Sen(2x+3y) = __________________

Sen(x+2y)=SenACosB-CosASenB Sen(30º+θ)=___________________

Sen(A-B)=SenA CosB - CosASenB
Cos(2α+β)=____________________
Cos(60º-30º)=__________________

Ejemplo:
Sen(α-β)=SenαCosβ-CosαSenβ Cos ( 4 − θ) =__________________
π

Cos(A+B)=CosACosB-SenASenB _____________________________
Ejemplo:
Cos(25+x)=Cos25Cosx-Sen25Senx Tan(45º+θ)=___________________
_____________________________
Cos(A-B) = CosA CosB + SenA SenB

2. Identificar:
Ejemplo:
Sen2xCosθ+Cos2xSen4θ
Cos(x-30)=CosxCos30+SenxSen30
_____________________________
TanA + TanB _____________________________
Tan(A+B)=
1 − TanATanB
Ejemplo:
Sen3θSen4θ-Cos3θCos3θ
Tana + Tan2b
Tan(a+2b)= _____________________________
1 − TanATanB
_____________________________
TanA − TanB
Tan(A-B)=
1 + TanATanB Cos60Cos30+Sen60Sen30

IDENTIDADES AUXILIARES _____________________________
_____________________________
Sen(A+B)Sen(A-B)=Sen2A-Sen2B _____________________________

-38-


3. Calcular: 7. Simplificar:
Sen22ºCos8º+Cos22ºSen8º Tan24º+Tan20º+Tan20ºTan24Tan44

4. Calcular: 8. Simplificar:
Cos50ºCos5º-Sen40ºSen5º Tan12º+Tan48º+ 3 Tan12ºTan48º

5. Hallar el valor de:
9. Ctg(π+4θ)
Sen7º

6. Calcular:
5π  Tanπ 
Cos 3 − 
12  12 

-39-


REFORZANDO MIS CAPACIDADES 6. Simplificar:
a) Tan8º+Tg10º+Tg8º+Tan10ºTg18º
b) Tan21º+Tg24º+Tg21º.Tan24ª

1. Aplicar la identidad correspondiente: 7. Simplificar:
Sen(3x+4y)=___________________ a) Sen(180º+2x)
Cos(x+5y)=____________________ ___________________________
Sen(45º+A)=___________________ ___________________________
____________________
____________________ b) Cos(360º-3x)
Tan(45º+B)=___________________ ___________________________
____________________ ___________________________
____________________

2. Calcular: c) Tan(180º-4x)
Cos20ºCos80º-Sen80ºSen20º ___________________________
___________________________

3. Hallar el valor de: 8. Simplificar:
Sen23º π 
a) Sen  − θ 
Cos23º 2 
Tan82º
 3π 
b) Cos  + θ
 2 
c) Tan(2π+3θ)
π 
4. Hallar el valor de: d) Sec  + 50º 
2 
Cos29ºCos24-Sen29Sen24

5. Calcular:
Tan97º
Cosc23º

-40-


PROBLEMAS RESUELTOS 3. Siendo:
1
Tan(α+β+θ)= .
12 2
1. Senx= (x∈IC)
13 1 1
Donde Tanα= Tanβ=
Cosy=0,6 (y∈IC) 3 2
Calcular: Tan(x+y) Calcular Tanθ

2. A partir de la identidad: πrad
4. Si α+β+θ=
TanM − A 2
Tan(45-M)=
− ATanM − 1 Calcular:
Calcular: M=TanαTanβ+TanαTgθ+TgβTgθ
 Aπ  π
Tan  + Sen 
 4  A

-41-


1
Tgα - Tgθ =
12
REFORZANDO MIS CAPACIDADES Sen( α + θ)
Calcular P=
Sen(α − θ)
Sen( x + y ) + Sen( x − y ) 1
1. Reducir: A = Cos( x − y ) − Cos( x + y ) a) 7 b) 4 c)
4
a) Tgx b) Ctgy c) Tgy 1
d) e) 2
d) Ctgx e) 1 7
2. Reducir: 7. De la condición:
Sen48º Cos12º +Sen12º Cos48
E= Tg 2 α − Tg 2β 1
Sen33Cos3 − Sen3º Cos33 =
1 − Tan αTg β 3
2 2

1 3
a) b) 1 c) Calcular: Tg(α-β)
2 2

1
d) 2 e) 3 a) 3 b) c) -3
3
1
3. Si Ctgθ= −1
4 d) e) 6
3
Calcular: Tg(45º+θ)
π
−5 8. Siendo A+B=
a) -1 b) -3 c) 3
3
−4 1 1
d) 3 e) Calcular: K = −
3 TgA + TgB CtgA + CtgB

4. Hallar Tgθ en: 3 3
a) 3 b) c)
2 4
3 − 3
d) e)
3 3
9. Si α y β son complementarios y
además:
1 Senα Senβ
a) 9/19 b) c) 21 =
10 3 4
1 9
d) e) Calcular: Tan(α-β)
21 10
7 −7 24
5. Si se cumple: a) b) c)
24 24 7
2Sen(x+y)=3Sen(x-y)
24
Calcular Tgx . Ctgy b) e) n.a
−7
a) 1/5 b) 5 c) -5
10. Si: 5 Senb=Sen(2a+b)
−1
d) e) 1
5 ¿Cuál es el equivalente de:
7 Tan(a+b)?
6. De: Tanα + Tgθ =
12
a) 1 b) 1,5 c) Tana

-42-


d) 1,6 e) N.A
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

Objetivos
Deducir las identidades relativas a funciones trigonométricas de ángulo doble.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
IDENTIDADES AUXILIARES
Sabemos que:
A. ÁNGULOS DOBLES.- Se tiene: Cos2x=1-2Sen2x
Ejemplo:
Sen del ángulo doble 2Tanx
Sen( x + x ) = SenxCosx + CosxSenx Tan4θ=
1 − Tan 2 x
∴ Sen2x=2Senx Cosx Ejemplo:
2Tan 2θ
Ejemplo: Tan4θ=
1 − Tan 2 2θ
Sen(10a) = Sen(5a+5a)
= 2Sen 5a Cosa IDENTIDADES AUXILIARES
Coseno del Ángulo doble: Sabemos que:
Cos(x+x)=CosxCosx-SenxSenx Cos2x==1-2Sen2x
Cos2x=Cos2x-Sen2x 1 − Cos 2 x
Sen2x=
2
También:
2
Además Cos2x=2Cos2x-1
Cos2x=1-2Sen x
1 + Cos 2 x
Cos2x=2Cos2x-1 Cos2x=
2
Ejemplo:
Cos6β=Cos23β-Sen23β B. ÁNGULO MITAD
También: Seno del ángulo mitad:
Si:
Cos6β =1-2Sen23β 1 − Cos 2 x
Sen2x=
=2Cos2 β-1
3 2
α
Si x=
2
Tangente del ángulo Doble: α 1 − Cosα
Sen =±
Tanx + Tanx 2 2
Tan( x + x) = Ejemplo:
1 − TanxTanx
45 1 − Cos 45
Sen =±
2 2
2Tanx Coseno del ángulo mitad:
∴ Tan2 x =
1 − Tan 2 x α 1 + Cosα
Cos =±
2 2
Ejemplo:
75 1 + Cos 75
Cos =±
2 2

-43-

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