guia referencial

1. M. Sc. Willy Ernesto Portugal Duran

2.  La prueba t es una herramienta estadística
utilizada para determinar si hay una
diferencia significativa entre las medias de
dos grupos de datos.
 Fue desarrollada por el estadístico británico
William Sealy Gosset en 1908.

3. La problemática era analizar los datos de
producción de cerveza en pequeñas
muestras.
Su trabajo era encontrar los mejores
materiales con los que realizar el producto
dentro de la empresa.
Gosset constató la necesidad estadística de
desarrollar un método correcto para el
tratamiento de muestras pequeñas.
Gosset acudió al laboratorio de su
compañero Karl Pearson.
Se uso como herramientas la “Teoría de
errores de observaciones” y el “Método de
mínimos cuadrados”
William Sealy Gosset (1876-1937)

4.  Desde entonces, esta prueba, también
conocida como prueba t de Student, se ha
convertido en una de las pruebas estadísticas
más utilizadas en la investigación científica y
de mercado.

5.  La prueba t, es una herramienta estadística
que se utiliza para comparar la media de dos
grupos de datos y determinar si son
significativamente diferentes entre sí.

6.  La prueba t-Student para una muestra es una
técnica utilizada para determinar si la media
de una muestra es estadísticamente diferente
de una media poblacional conocida o
hipotética.
 Esta prueba se utiliza cuando la población no
sigue una distribución normal o cuando
el tamaño de la muestra es pequeño (menos
de 30).

8.  Por ejemplo, si tenemos dos grupos de
estudiantes, uno que tomó clases de
matemáticas y otro que no, podemos utilizar
la prueba para determinar si el grupo que
tomó clases de matemáticas tiene un
promedio significativamente mayor en una
prueba de matemáticas en comparación con
el grupo que no tomó clases de matemáticas.

9.  Al aplicar la prueba t, podemos obtener un
valor llamado «valor t» que nos indica si la
diferencia entre las medias de los dos grupos
es significativa o no.

10. La prueba t distingue entre:
 prueba t de una muestra
 prueba t de muestras independientes
 prueba t de muestra dependiente

11. La elección de qué prueba t utilizar depende de si se dispone de una o dos
muestras. Si se dispone de dos muestras, se distingue entre muestras
dependientes e independientes.

12.  La prueba t de una muestra se utiliza para comprobar si la
población difiere de un valor fijo.
 Por tanto, la pregunta es:
¿Existen diferencias estadísticamente significativas entre la
media de una muestra y el valor fijado?
 Por ejemplo, el valor fijado puede reflejar, el porcentaje de
población restante o un objetivo de calidad que se quiere
controlar.

13. La prueba se utiliza en muchos campos, como la
investigación médica, la psicología, la economía, la
educación.
A continuación se detalla algunos usos de la prueba
t:
 Comparar dos grupos:
La prueba se utiliza para comparar dos grupos de
datos, por ejemplo, para comparar la media de los
resultados de una prueba entre dos grupos de
estudiantes.

14.  Evaluación de la eficacia de un tratamiento:
La prueba t se puede utilizar para evaluar si un tratamiento o
intervención tiene un efecto significativo en una variable de
interés en comparación con un grupo de control que no recibió
el tratamiento.
 Análisis de experimentos:
La prueba se usa a menudo en experimentos científicos para
comparar los resultados de un grupo de tratamiento con un
grupo de control.

15.  Estudio de diferencias de género:
La prueba t también se utiliza a menudo en estudios de género
para comparar las diferencias en las medias entre hombres y
mujeres en una variable de interés.
 Análisis de datos de encuestas:
Se usa para el análisis de datos de encuestas para comparar las
medias de dos grupos de datos, por ejemplo, para comparar la
media de ingresos entre hombres y mujeres.

16.  Ejemplo de ciencias sociales:
Se quiere averiguar si la percepción de la salud de los
directivos en un lugar X difiere de la del conjunto de la
población. Para ello, se pregunta a 50 directivos sobre su
percepción de la salud.
 Ejemplo técnico:
Se quiere averiguar si los tornillos que produce una empresa
pesan realmente 10 gramos de media. Para comprobarlo, se
pesa 50 tornillos y comparas el peso real con el peso que
deberían tener (10 gramos).

17.  Ejemplo médico:
Una empresa farmacéutica promete que su nuevo
medicamento reduce la tensión arterial 10 mmHg en una
semana.
Se desea averiguar si esto es correcto. Para ello, se compara
la reducción observada en la tensión arterial de 75 sujetos de
prueba con la reducción esperada de 10 mmHg (milímetros
de mercurio, la presión arterial es la fuerza de la sangre
contra las paredes de los vasos sanguíneos).

18.  En una prueba t de una muestra, los datos
considerados deben proceder de una muestra
aleatoria, tener escala métrica de medida y
una distribución normal.

19.  Por tanto, si se quiere saber si una muestra
difiere de la población, se tiene que calcular
una prueba t de una muestra.
 Sin embargo, antes de calcular la prueba t se
debe :
Definir una pregunta y las hipótesis.
 Esto determina si hay que calcular una prueba
t de una cola (unilaterales) o de dos colas
(bilaterales).

20.  La pregunta te ayuda a definir el objeto de
investigación. En el caso de la prueba t de una
muestra, la pregunta es:
Bilaterales
 ¿Existe una diferencia estadísticamente significativa
entre el valor medio de la muestra y el de la
población?
Unilaterales
 ¿Es el valor medio de la muestra significativamente
mayor (o menor) que el valor medio de la
población?

21. Para los ejemplos anteriores, se formula las siguientes
preguntas:
 ¿Difiere la percepción de la salud de los directivos de la
población general X?
 ¿Produce la planta de producción tornillos con un peso de
10 gramos?
 ¿Reduce el nuevo medicamento la tensión arterial 10
mmHg en una semana?

22. Para realizar una prueba t de una muestra, se
formulan las siguientes hipótesis:

23. Es un suposición acerca del
valor de un parámetro de
una población con el
propósito de discutir su
validez.
8-3

24. Ejemplo de hipótesis acerca de un parámetro
de una población son:
• El sueldo promedio de un profesional asciende a
Bs. 2,625.
• El veinte por ciento de los consumidores utiliza
aceite de oliva.

25. Es un procedimiento, basado en la
evidencia de la muestra y en la teoría de las
probabilidades, usado para determinar si la
hipótesis es una afirmación razonable y
debería no ser rechazada o si no es
razonable debería ser rechazada.
8-4

26. No rechzar la hipótesis nula Rechazar la nula y aceptar la alternativa
Paso 5: Tomar una muestra, llegar a una decisión
Paso 4: Formular una regla de decisión
Paso 3: Identificar el estadístico de prueba
Paso 2: Seleccionar el nivel de significación
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa
8-5

27. • Hipótesis nula H0: Una afirmación acerca del
valor de un parámetro de la población.
• Hipótesis Alternativa H1: Una afirmación que
es aceptada si la muestra provee la evidencia
de que la hipótesis nula es falsa.
• Nivel de significación: La probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando en realidad
es verdadera.
• Error tipo I: Rechazar la nula cuando en
realidad es verdadera
8-6

28. • Error tipo II: Aceptar la hipótesis nula
cuando en realidad es falsa.
• Estadístico de prueba: Es un valor,
determinado a partir de la información de
la muestra, usado para decidir si rechazar
o no la hipótesis nula.
• Valor crítico: El punto que divide la región
entre el lugar en el que la hipótesis nula es
rechazada y y la región donde la hipótesis
nula es no rechazada.
8-7

29. - 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f
(
x
r a l i t r b u i o n :  = 0 ,  = 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Valor Crítico
z= 1.96
Distribución de muestreo para la estadística z
A dos colas- Nivel de Significación 0.05
025 región
de rechazo
.95 probabilidad
.025 región de
rechazo
Valor Crítico
z= -1.96
Región de no
rechazo

30. - 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f
(
x
r a l i t r b u i o n :  = 0 ,  = 1
0 1 2 3 4
Valor Critico
z= 1.65
Distribución de muestreo para la estadística z
Una cola- .05 Nivel de Significación
.95 probabilidad
.05 región de
rechazo
Región de no
rechazo

31. - 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f
(
x
r a l i t r b u i o n :  = 0 ,  = 1
0 1 2 3 4
Valor
Crítico
z= -1.65
.95 probabilidad
.05 región de
rechazo
Distribución de muestreo para la estadística z
Una cola- .05 Nivel de Significación
Región de no
rechazo
Región de no
rechazo

32.  La probabilidad de observar un valor de
prueba más extremo que el valor observado,
dado que la hipótesis nula es verdadera.
 Si el valor p es más chico que el nivel de
significación la hipótesis nula es rechazada.
 Si el valor p es más grande que el nivel de
significación la hipótesis nula no es
rechazada.

33. Cuando se plantean hipótesis para la media de
la población y la desviación estándar
poblacional es conocida o el tamaño de la
muestra es grande, el estadístico de prueba
está dado por:
el cual se distribuye como una Normal de
media 0 y desvío estándar 1.
)
1
,
0
(
n
/
N
x
z 




8-12

34. Cuando se plantean hipótesis para la media de la
población y la desviación estándar poblacional es
desconocida y el tamaño de la muestra es
pequeño, el estadístico de prueba está dado por:
el cual se distribuye como una t de Student con n-1
grados de libertad.
Prueba de hipótesis para la media de una población,
desviación estándar desconocida y tamaño muestral pequeño
1
1 n
/





 n
gl
n
t
S
x
t


35. Cuando se plantean hipótesis para la proporción de
la población, el estadístico de prueba está dado
por:
donde
el cual se distribuye como una Normal de media 0 y
desvío estándar 1
Prueba de hipótesis para la proporción de una población
)
1
,
0
(
N
p
p
z
p
Ho



 n
q
p Ho
Ho
p
*



36. Características de la distribución t-Student
Tiene las siguientes propiedades:
• Es continua, forma de campana y simétrica como
la distribución z.
• Existe una familia de distribuciones t con media
cero, pero con diferentes desviaciones estándar.
• La distribución t es más aplanada y de colas más
largas que la z.
• Tiende a la z para tamaños grandes de muestra.

37. Distribución z
Distribución t
Los grados de
libertad de la
distribución t
son gl = n - 1.
9-3
9-
3
Forma de la distribución Normal estandarizada
y la t-Student

38.  Cuando se plantean hipótesis para la diferencia
de medias de dos poblaciones y las desviaciones
estándar poblacionales son conocidas o el
tamaño de la muestra es grande, el estadístico de
prueba está dado por:
el cual se distribuye como una Normal de media
0 y desvío estándar 1.
)
1
,
0
(
(
)
(
2
2
2
1
2
1
)
2
1
2
1
N
n
n
x
x
z 










39.  Cuando se plantean hipótesis para la diferencia de medias
de dos poblaciones y las desviaciones estándar
poblacionales son desconocidas y el tamaño de la muestra
es pequeño, el estadístico de prueba está dado por:
;donde
el cual se distribuye como una t de Student con n1+n2-1
grados de libertad
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
1
1
(
)
(
)
(








 n
n
gl
p
t
n
n
S
x
x
t


)
1
(
)
1
(
*
)
1
(
*
)
1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2







n
n
S
n
S
n
Sp

40.  Cuando se plantean hipótesis para la diferencia de medias
de dos poblaciones y las desviaciones estándar
poblacionales son desconocidas y el tamaño de la muestra
es pequeño, el estadístico de prueba está dado por:
;donde parte
entera
el cual se distribuye como una t de Student con v grados
de libertad
v
gl
t
n
S
n
S
x
x
t 






)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
1
2
1 

)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1





n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
v

41.  Cuando las muestras están relacionadas y se quiere
probar si luego de aplicar un tratamiento las medias
difieren (antes/después) y las desviaciones estándar
poblacionales son desconocidas y el tamaño de la
muestra es pequeño, el estadístico de prueba está
dado por:
donde
el cual se distribuye como una t de Student con n-1
grados de libertad.
1




 n
gl
d
d
t
n
s
d
t

n
x
x
n
d
d
n
i
i
n
i
i 
 



 1
2
1
)
(
1
)
(
1
2
2





n
d
d
S
n
i
i
d

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