Curso de algebra i

Algebra I
El álgebra es el lenguaje a través del cual se describen patrones. Considérala como taquigrafía. En
lugar de tener que hacer algo una y otra vez, el álgebra te da una forma simple de expresar ese
proceso repetitivo.También se ve como un tema "guardián". Una vez que logras entender el álgebra,
los temas avanzados de matemáticas se vuelven accesibles. Sin ella, es imposible avanzar. Es
utilizada por personas con diversos trabajos,como carpinteros, ingenieros y diseñadores de moda. En
estas lecciones, cubriremos mucho terreno. Algunos de los temas incluyen ecuaciones lineales,
desigualdades lineales, funciones lineales, sistemas de ecuaciones, factorización de expresiones,
expresiones cuadráticas, exponentes, funciones y proporciones.
Fundamentación.
A partir del Ciclo Escolar 2009-2010 la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de
estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior cuyo propósito
es fortalecer y consolidar la identidad de este nivel educativo, en todas sus modalidades y
subsistemas; proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita
establecer una relación entre la escuela y su entorno; y facilitar el tránsito académico de los
estudiantes entre los subsistemas y las escuelas.
Para el logro de las finalidades anteriores, uno de los ejes principales de la Reforma Integral es la
definición de un Marco Curricular Común, que compartirán todas las instituciones de bachillerato,
basado en desempeños terminales, el enfoque educativo basado en el desarrollo de competencias, la
flexibilidad y los componentes comunes del currículum.
El enfoque educativo:
Establecer en una unidad común los conocimientos, habilidades,actitudes y valores que el egresado
de bachillerato debe poseer.
Las competencias a desarrollar:
Encontramos las genéricas; que son aquellas que se desarrollarán de manera transversal en todas
las asignaturas del mapa curricular y permiten al estudiante comprender su mundo e influir en él, le
brindan autonomía en el proceso de aprendizaje y favorecen el desarrollo de relaciones armónicas
con quienes les rodean.
Las competencias disciplinares básicas; refieren los mínimos necesarios de cadacampodisciplinar
para que los estudiantes se desarrollen en diferentes contextos y situaciones a lo largo de la vida.
Asimismo, las competencias disciplinares extendidas implican los niveles de complejidad deseables
para quienes optenporunadeterminadatrayectoria académica,teniendo asíuna función propedéutica
en la medida que prepararán a los estudiantes de la enseñanza media superior para su ingreso y
permanencia en la educación superior.
Las competencias profesionales; preparan al estudiante para desempeñarse en su vida con
mayores posibilidades de éxito.

Objetivos del plan de estudio de la Dirección General del Bachillerato:
 Proveer al educando de una cultura general que le permita interactuar con su entorno de
manera activa, propositiva y crítica (componente de formación básica);
 Prepararlo para su ingreso y permanenciaenlaeducaciónsuperior,apartir de sus inquietudes
y aspiraciones profesionales (componente de formación propedéutica);
 Y finalmente promover su contacto con algún campo productivo real que le permita, si ese es
su interés y necesidad, incorporarse al ámbito laboral (componente de formación para el
trabajo).
La asignatura de MATEMÁTICAS I
Tiene la finalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los
estudiantes, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que
conlleven el despliegue de distintos conocimientos,habilidades, actitudes y valores, en la resolución
de problemas matemáticos que en sus aplicaciones trasciendan el ámbito escolar. La finalidad de la
asignatura de Matemáticas I es la de permitiral estudiante utilizar distintos procedimientos algebraicos
para representar relaciones entre magnitudes constantes y variables, y resolver problemas de la vida
cotidiana.
Introducción.
Se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando el
desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de Matemáticas que promueve la
asignatura. Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una
relación vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de
establecer este tipo de relaciones al promover el trabajo disciplinario, en similitud a la forma como se
presentan los hechos reales en la vida cotidiana. Matemáticas I, permite el trabajo interdisciplinario
con las asignaturas de: Química I y II, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas II, III y IV,
Física I y II, Biología I y II, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Temas Selectos de Biología II, Temas
Selectos de Física I y II.
Rol Docente:
Facilita el proceso educativo al diseñar actividades significativas integradoras que permitan vincular
los saberes previos de los estudiantes con los objetos de aprendizaje; propicia el desarrollo de un
clima escolar adecuado, afectivo, que favorezca la confianza, seguridad y autoestima del alumnado,
motivándolo al proponer temas actuales y significativos que los lleven a usar las Tecnologías de la
Información y la Comunicación como un instrumento real de comunicación; despierta y mantiene el
interés y deseo de aprender al establecer relaciones y aplicaciones de las competencias en su vida
cotidiana, así como su aplicación y utilidad, ofrece alternativas de consulta, investigación y trabajo
utilizando de manera eficiente las tecnologías de información y comunicación, incorpora diversos
lenguajes y códigos (iconos,hipermedia y multimedia) para potenciar los aprendizajes del alumnado,
coordina las actividades de las alumnas y los alumnos ofreciendo una diversidad importante de
interacciones entre ellos, favorece el trabajo colaborativo de las y los estudiantes, utiliza diversas
actividades y dinámicas de trabajo que estimulan la participación activa en la clase, conduce las
situaciones de aprendizaje bajo un marco de respeto a la diferencia y de promoción de valores cívicos
y éticos y diseña instrumentos de evaluación del aprendizaje considerando los niveles de desarrollo

de cada uno de los grupos que atiende, fomentando la autoevaluación y coevaluación por parte del
alumnado y el trabajo colegiado interdisciplinario con sus colegas.
Matemáticas I. Ubicación de la materia y relación con las asignaturas en el Plan de Estudios.
Contenido:
Bloque I:
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos.
 En el Bloque Iaprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los
números positivos.
Bloque II:
Utilizas magnitudes y números reales.
 Aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números
reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la
variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables.
Bloque III:
Realizas sumas y sucesiones de números.
 Se estudiarán sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando
funciones discretas (lineales y exponenciales).
Bloque IV:
Realizas transformaciones algebraicas. I
Bloque V:
Realizas transformaciones algebraicas II.
 En los Bloques IV y V se estudiarán operaciones con polinomios en una variable y
factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones
racionales).
Bloque VI:
Resuelves ecuaciones lineales I.
Bloque VII:
Resuelves ecuaciones lineales II.

Bloque VIII: resuelves ecuaciones lineales III.
 En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de
1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.
Bloque IX:
Resuelves ecuaciones cuadráticas I.
Bloque X:
Resuelves ecuaciones cuadráticas II.
 Finalmente en los Bloques IXy X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y
su relación con la función cuadrática.
COMPETENCIAS GENÉRICAS
Las competencias genéricas son aquéllas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de
desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de
la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc., por lo
anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos
que persigue.
2. Es sensible alarte y participaen la apreciacióne interpretaciónde sus expresionesendistintos
géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha,interpreta y emite mensajes pertinentes endistintos contextos mediante lautilización
de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando
otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el
mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,
valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Bloque I:
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos.
 En el Bloque Iaprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los
números positivos.
Desempeños del estudiante al concluir el bloque.
 Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas
(enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.
 Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
 Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
 Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
 Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.
 Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.
 Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
La magnitud es una propiedad que poseen los fenómenos que pueden ser medidos,dicha medida se
representa por una cantidad. Una magnitud es un resultado de una medición utilizando diversos
números los cuales veremos a continuación:
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números reales
Los números Naturales: Estos números fueron los que utilizaron los hombres primitivos para contar
la naturaleza y se representan con el símbolo ℕ, aunque en realidad en ese momento no existía una
representación como en nuestra actualidad; simplemente se hacía un acto de correspondencia uno a
uno para poder contar.
Las civilizaciones antiguas fueron encontrando la manera de representar las magnitudes, a través de
la escritura. Como por ejemplo los números Babilónicos,los números romanos, los números chinos,
etc…
Todas estas civilizaciones tenían en común el inicio del conteo ya que éste comenzaba en el número
1, no existía una representación de la magnitud donde no había “nada”.
Fue hasta la civilización Maya con su sistema de representación numérico basado en el números 20,
los que por primera vez representaron un vacío a través de un símbolo en forma de concha de mar
que representaba el vacío.
Retomando la lección tenemos que los números naturales se representan con la letra ℕ y su campo
de estudio inicia desde el cero hasta el infinito positivo son:
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … …∞+
(hasta el infinito)
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una
recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes
números naturales: 1, 2, 3...
En los números naturales se cumplen las siguientes:
Propiedades para la adición:
1. Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.
2. Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:
7 + 6 = 5 + 8
13 = 13
Propiedades para la multiplicación:
3. Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.
4. Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:
10 · 6 = 5 · 12
60 = 60
5. Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.
Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 ...
6. Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.
Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6
5·9 = 15 + 30
45 = 45

Dentro de los números Naturales existen también los números ordinales pueden funcionar como
adjetivos cuando se los utiliza en una frase, como por ejemplo,“la guerra y la paz, es el primer libro
que debes leer” o “se esforzó mucho a pesar de llegar segundo”.
Notación de los números ordinales.
Los Números ordinales tienen distintas notaciones, en ocasiones se los expresa en forma de
palabras y en otras se los puede expresar en forma de cifras. Para expresarlos en forma de cifras
debemos tomar el número ordinal o la posición del elemento de la sucesión y añadirle una letra volada
superior para denotar dicha posición, por ejemplo 3º para el masculino tercero y 3ª para el femenino
tercera. Sin embargo en el español americano se utilizan otras maneras de expresarlos, como
añadiendo un sufijo de la terminación del número ordinal determinado, siendo 1º o 1ro, para primero;
2º o 2do, para segundo; 3ro para tercero, 4to para cuarto, 5to para quinto, 7mo para séptimo, 8vo
para octavo 9no para noveno y así sucesivamente, incluso a veces se omite el uso del punto en la
tipografía de abreviaturas.
Mientras que Números Cardinales
sonexpresiones idiomáticas que se
relacionan a la aritmética o la
matemática pues sirven para
determinar cantidades enrelacióna
cosas, animales o personas. La
definición de números cardinales
es que son numerales que pueden
enunciar el monto o la cantidad de
elementos en relación a los
números naturales y toda su serie,
incluyendo alcero que significa una
cantidad nula.
Números Enteros.
Los números enteros se representansonelsímbolo ℤ y están conformados porlos números naturales
y sus números opuestos, es decir la parte positiva y la parte negativa, su campo de estudio inicia
desde el infinito negativo pasando por “cero” y terminando en el infinito positivo.
ℤ = { ∞−
… …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … … ∞+
}
Los números Enteros se pueden representar en la recta numérica con distancias entre sus enteros
negativos y positivos equidistantes.

Las Propiedades de los Números Enteros:
a) Valor absoluto de un número entero:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
| − 5| = 5 |5| = 5
b) Representación de los números enteros:
 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.
 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...
 A la izquierdadelcero y adistancias iguales que las anteriores,se van señalando los números
negativos: − 1, −2, −3,...
c) Orden en los números enteros.
Los números enteros están ordenados.De dos números representados gráficamente,es mayoral que
él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
d) Criterios para ordenar los números enteros:
- Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
- Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
- De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 > − 10 | − 7| < | − 10|
- De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7 |10| > |7|
Suma de números enteros:
- Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le
pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
- Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos
el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros:
a. Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
𝑎 + 𝑏
3 + (−5)

b. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
c. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
d. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él
da el mismo número.
𝑎 + 0 = 𝑎
(−5) + 0 = − 5
e. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el
cero.
𝑎 + (−𝑎) = 0
5 + (−5) = 0
f. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(−5) = 5
Resta de números enteros:
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros:
a. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.
𝑎 − 𝑏
10 − (−5)
b. No es Conmutativa:
𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎
5 − 2 ≠ 2 − 5
c. Multiplicación de números enteros: La multiplicación de varios números enteros es otro
número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como
signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos
+2 · +5 = +10
(−2) · (−5) = +10
+2 · (−5) = − 10
(−2)· +5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros:
a. Interna: El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
𝑎 · 𝑏
2 · (−5)
b. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
enteros cualesquiera, se cumple que:
(𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐)
(2 · 3) · (−5) = 2 · [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
−30 = −30
c. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎
2 · (−5) = (−5) · 2
−10 = −10
d. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número
multiplicado por él da el mismo número.
𝑎 · 1 = 𝑎
(−5) · 1 = (−5)
e. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = − 6 − 10
−16 = −16
Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo
dicho factor.
𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 + 𝑐)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros: La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene
como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos
+10
+5
= +2
−10
+5
= −2
+10
−5
− 2
−10
−2
= +2
Propiedades de la división de números enteros:
a. No es una operación interna: El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro
número entero.
(−2) ∶ 6
b. No es Conmutativo:
𝑎 ∶ 𝑏 ≠ 𝑏 ∶ 𝑎
6 ∶ (−2) ≠ (−2) ∶ 6
Potencia de números enteros:
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es
el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes
reglas:
1) Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2) Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades.
𝑎0
= 1
𝑎1
= 𝑎
Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
𝑎 𝑚
· 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
(−2)5
· (−2)2
= (−2)5+2
= (−2)7
= −128
División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
(−2)5
22
= (−2)5−2
= (−2)3
= −8

Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(𝑎𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚 ∗𝑛
[(−2)3]2
= (−2)6
= 64
Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
𝑎 𝑛
· 𝑏 𝑛
= (𝑎 · 𝑏) 𝑛
(−2)3
· (3)3
= (−6)3
= −216
Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
𝑎𝑛
𝑏𝑛
∶ = (
𝑎
𝑏
) 𝑛
(−6)3
(3)3
= (−2)3
= −8
Números racionales.
Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como
el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural
positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción
común.
Los números racionales sonnúmeros fraccionarios, sinembargo los números enteros tambiénpueden
ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales
con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denotaconla letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona
“Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los
números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra ℤ. Por ello,en ocasiones se
refieren a los números racionales como números ℚ.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante
fracciones equivalentes, por ejemplo
1
2
puede ser expresado como
2
4
ó
4
8
, debido a que estas son
fracciones reducibles.
Representación de números racionales.
Los números racionales se representan en la recta numérica.
Para representar con precisión los números racionales:
- Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

- Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos.
En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.
- Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos
segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento
auxiliar.
Propiedades de la suma de números racionales:
a. Interna:
𝒂 + 𝒃 ∈ ℚ
b. Asociativa:
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
c. Conmutativa:
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
d. Elemento neutro:
𝒂 + 𝟎 = 𝒂
e. Elemento opuesto
𝒂 + (−𝒂) = 𝟎

f. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Propiedades de la multiplicación de números racionales:
a) Interna:
𝒂 ∗ 𝒃 ∈ ℚ
b) Asociativa:
(𝒂 · 𝒃) · 𝒄 = 𝒂 · (𝒃 · 𝒄)
c) Conmutativa:
𝒂 · 𝒃 = 𝒃 · 𝒂
d) Elemento neutro:
𝒂 · 𝟏 = 𝒂
e) Elemento inverso:
f) Distributiva:
𝒂 · (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 · 𝒃 + 𝒂 · 𝒄
g) Sacar factor común:
𝒂 · 𝒃 + 𝒂 · 𝒄 = 𝒂 · (𝒃 + 𝒄)

Operaciones con números racionales.
a) Suma y resta de números racionales.
- Con el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el
denominador.
b) Suma y resta con distinto denominador
- En primerlugar se reducenlos denominadoresacomúndenominador,y se suman o se restan
los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
c) Multiplicación de números racionales.
d) División de números racionales.
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
5
7
1
6
=
5∗6
7∗1
=
30
7
e) Potencias de números racionales.
- Potencias de exponente entero y base racional
- Propiedades

- Producto de potencias con la misma base:
- División de potencias con la misma base:
- Potencia de una potencia:
- Producto de potencias con el mismo exponente:
- Cociente de potencias con el mismo exponente:
Fracciones:
En matemáticas, una fracción, número fraccionario,es la expresiónde unacantidad divididaentre otra
cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas
también se les llama fracción común.
Una Fracción Común se va dividir en:
- Fracción Propia.
- Fracción Impropia.
- Fracción Mixta.
- Fracción Decimal.
Una fracción común debe cumplir con la forma
𝑎
𝑏
donde 𝑏 siempre debe ser diferente de cero.
Mientras a y b son dos números enteros:

𝒃 Denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
𝒂 Numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
Fracciones propias: Se caracterizan cuando el numerador es más pequeño que el denominador.
Fracciones impropias: Se caracterizan cuando el numerador es mayor que el denominador.
Fracciones decimales: Se identifican cuando se tienen como denominador una potencia de 10.
Fracción mixta: Está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria (Fracción Propia o Impropia).
Para pasar de número mixto a fracción impropia:
a. Se deja el mismo denominador.
b. El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el
numerador, del número mixto.
3
2
5
=
(3 ∗ 5) + 2
5
=
17
5
Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual
al producto de medios.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑠𝑖 𝑎 ∗ 𝑑 = 𝑏 ∗ 𝑐
𝒂 𝑦 𝒅 , son los extremos.
𝒃 𝑦 𝒄 , son los medios.
Radicación
Es la operación inversa a la potenciación. Consiste en: dados dos números, llamados radicando e
índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
(𝑹𝒂í𝒛)í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆
= 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número
conocido su cuadrado.
(𝑹𝒂í𝒛) 𝟐
= 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
Raíces cuadradas:
La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando encontramos un número "b" que elevado al
cuadrado es igual al radicando:
𝑏2
= 𝑎.

Ejemplo:
La raíz cuadrada exacta tiene de residuo 0 .
Ejemplo:
Cuadrados perfectos:
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Algunos de esos números son: 1, 4,9, 16, 25, 36,49, 64, 81,100, 121,144, 169,. ..
Raíz cuadrada entera:
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Ejercicios, raíz cuadrada.
1) √25…
Es un cuadrado perfecto
= 5²
Es una raíz cuadrada exacta
2) 49…
Es un cuadrado perfecto
Es una raíz exacta
= 7
3) El v alo r 35 e n la e x p re s ió n √35 e s ...
El radicando
La raíz
El índice
4) El re s to q ue re s ulta al re s o lv e r √53 e s ...
0 Porque la raíz es exacta.
4 Porque el cuadrado perfecto inmediatamente inferior a 53 es 49.
11 Porque el cuadrado perfecto inmediatamente superior a 53 es 64.

5) El re s to q ue re s ulta d e hac e r una raíz e x ac ta...
Siempre es 0
Depende de la raízen cuestión
Siempre es 1
6) El índ ic e d e √81 e s ...
No tiene
1
2
7) El re s ultad o d e la e x p re s ió n d e l e je rc ic io 6 e s ...
9
1
0
8) √27 e s ...
Una raíz exacta
Una raíz entera con resto 2
Una expresión que no tiene sentido
9) Completa:
√25=
√64=
√144=
√529=
= 5
= 9

= 31
= 58
Ejercicios números cardinales y ordinales.
Indica el tipo de números naturales en cada caso:
1) Mario quedó el segundo en la carrera de obstáculos.
Cardinal
Ordinal
Ni cardinal ni ordinal
2) Mi hermana vive en un quinto piso.
Cardinal
Ordinal
3) Mi número de socio en el club de vela es 59872.
Cardinal
Ordinal
4) Ismael tiene tres hermanos y una hermana.
Cardinal
Ordinal
5) Este ejercicio tiene 8 apartados.
Cardinal
Ordinal

6) El rio Ebro tiene una longitud total de 930 km.
Cardinal
Ordinal
7) El código postal de mi pueblo es 29100.
Cardinal
Ordinal
8) Es la tercera vez que te regañan esta semana.
Cardinal
Ordinal
Números naturales.
9) ¿Qué propiedad de la suma se da en las siguientes operaciones? 17 + (5 + 10) = (7 + 5) + 10
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
10) 1 + 0 = 1
Conmutativa
Elemento neutro
Operación interna
11) 12 + 2 es un número natural
Conmutativa
Operación interna
Asociativa

12) 3 + 4 = 4 + 3
Conmutativa
Operación interna
Elemento neutro
13) 0 + 8 = 8
Operación interna
Asociativa
Elemento neutro
14) 9 + 1458 es un número natural.
Operación interna
Elemento neutro
Asociativa
15) (1 + 0) + 9 = 1 + (0 + 9)
Conmutativa
Asociativa
Operación interna
Completa:
16) 1231 − 121 =
17) 43 − = 23
18) 1235 − = 446
19) − 149 = 145
Multiplicación de números naturales.
¿Qué propiedad del producto se usa en las siguientes operaciones?
20) 3 · (7 + 12) = 3 · 7 + 3 · 12
Asociativa
Factor común
Distributiva

21) 5867 · 1 = 5867
Elemento neutro
Conmutativa
Operación interna
22) 567 · 234 = 234 · 567
Distributiva
Conmutativa
Asociativa
23) 5 · 3 + 8 · 3 = (5 + 8) · 3
Asociativa
Factor común
Conmutativa
24) (7 · 8) · 12 = 7 · (8 · 12)
Asociativa
Distributiva
Operación interna
25) 56794 · 23461 es un número natural.
Elemento neutro
Operación interna
Conmutativa
Saca factor común o utiliza la propiedad distributiva en las siguientes expresiones,según corresponda
en cada caso:
26) 13 · 5 + 4 · 5 =
27) 7 · 23 − 7 · 19 =

28) (12 + 21) · 5 =
29) 2 · 34 − 2 · 31 =
30) 2 · (55 − 23) =
31) 11 · (5 + 11) =
Realiza las siguientes operaciones con potencias, dejando el resultado en forma de potencia.
32)23 · 25 =
33)27 · 24 =
34)(23 )2 =
35)23 · 24 · 25 =
36)(22 )2 · (23 )3 =
37)(23 )4 : (22 )3 =
38){[(2)0 ]1 }2 =
39)(25 :23 )4 · [(2)3 ]5 =
40)25 · 55 =

Bloque II:
Utilizas magnitudes y números reales.
 Aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números
reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la
variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables.
Desempeños del estudiante al concluir el bloque
 Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.
 Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas,
ingresos,amortizaciones,utilizando distintas representaciones,operacionesy propiedades de
números reales.
 Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones,modelos de variación proporcional directa
e inversa.
 Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los
números reales.
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales,
se designa por ℝ.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par
y radicando negativo, y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden
expresarenforma de fracción. El número irracional más conocido es 𝜋,que se define comolarelación
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
𝜋 = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número 𝑒 aparece en procesos de crecimiento,en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la
catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
𝑒 = 2.718281828459...
El número áureo 𝛷 , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero,
Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Representación de los números reales
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos,
pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
Operaciones de números reales.
1) Suma de números reales
Propiedades:
Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
𝑎 + 𝑏
+
Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
( 𝑎 + 𝑏)+ 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐)
Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Elemento neutro: El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él
da el mismo número.
𝑎 + 0 = 𝑎
𝜋 + 0 = 𝜋
Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
𝑒 − 𝑒 = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(−Φ) = Φ
2) Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo.
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Producto de números reales: La reglade los signos delproducto de losnúmeros enteros y racionales
se sigue manteniendo con los números reales.
Propiedades:
 Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
𝑎 · 𝑏 ∈ ℝ
 Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
reales cualesquiera, se cumple que:
(𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐)
(𝑒 · 𝜋) · Φ = 𝑒 · ( 𝜋 · Φ)
 Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎
 Elemento neutro: El 𝟏 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número
multiplicado por él da el mismo número.
𝑎 · 1 = 𝑎
𝜋 · 1 = 𝜋

 Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como
resultado el elemento unidad.
 Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
𝜋 · (𝑒 + Φ ) = 𝜋 · 𝑒 + 𝜋 · Φ
 Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo
dicho factor.
𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 + 𝑐)
𝜋 ∗ 𝑒 + 𝜋 ∗ Φ = 𝜋 ∗ (𝑒 + Φ)
3) División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
Definición de intervalo: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros
dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto: Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a
y menores que b.
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Intervalo cerrado: Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o
iguales que a y menores o iguales que b.
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Intervalo semiabierto por la izquierda: Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto
de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(𝑎, 𝑏] = { 𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
Intervalo semiabierto por la derecha: Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de
todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
Nomenclatura para varios conjuntos.
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se
utiliza el signo ℧ (unión) entre ellos.
Semirrectas: Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran
todos los números mayores (o menores) que él.
𝑥 > 𝑎
(𝑎, +∞) = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 < 𝑥 < +∞}
𝑥 ≥ 𝑎
[𝑎, +∞) = {𝑥 𝜖 ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < +∞}
𝑥 < 𝑎
(−∞, 𝑎) = {𝑥 𝜖 ℝ / −∞ < 𝑥 < 𝑎}

𝑥 ≤ 𝑎
(−∞, 𝑎] = {𝑥 𝜖 ℝ / −∞ < 𝑥 ≤ 𝑎}
Valor Absoluto: Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es
positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 | − 5 | = 5 |0| = 0
|𝑥| = 2 𝑥 = −2 𝑥 = 2
|𝑥| < 2 − 2 < 𝑥 < 2 𝑥 (−2, 2 )
| 𝑥| > 2 𝑥 < 2 ó 𝑥 > 2 (−∞,2 )℧(2,+∞)
|𝑥 − 2 | < 5 − 5 < 𝑥 − 2 < 5
− 5 + 2 < 𝑥 < 5 + 2 − 3 < 𝑥 < 7
Propiedades:
 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|𝑎| = | − 𝑎|
Ejemplo:
|5| = | − 5| = 5
 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores.
|𝑎 · 𝑏| = |𝑎| · |𝑏|
Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
| − 10| = |5| · |2|

10 = 10
 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos
de los sumandos.
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Ejemplo:
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| = |5| + |2|
3 ≤ 7
Distancia: La distancia entre dos números reales 𝑎 𝑦 𝑏, que se escribe 𝑑(𝑎, 𝑏) , se define como el
valor absoluto de la diferencia de ambos números:
𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑏 − 𝑎|
Ejemplo:
𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 5 𝑦 4 𝑒𝑠:
𝑑(−5,4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|
Definición de entorno: Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por 𝐸𝑟(𝑎) o 𝐸(𝑎, 𝑟) , al
intervalo abierto (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟).
𝐸𝑟(𝑎) = (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟)
Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.
𝐸𝑟(0) = (−𝑟, 𝑟) se expresa también |𝑥| < 𝑟 , o bien, −𝑟 < 𝑥 < 𝑟.
𝐸𝑟(𝑎) = (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟) Se expresa también |𝑥 − 𝑎| < 𝑟 , o bien, 𝑎 − 𝑟 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑟.
 Entornos laterales
Por la izquierda:
𝐸𝑟(𝑎−) = (𝑎 − 𝑟, 𝑎]
Por la derecha:

𝐸𝑟(𝑎+) = [𝑎, 𝑎 + 𝑟)
 Entorno reducido
Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que
ocurre en dicho punto.
𝐸 𝑟 ∗ (𝑎) = { 𝑥 (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟), 𝑥 ≠ 𝑎}
Potencias con exponente entero.
 Con exponente racional o fraccionario
Propiedades:
𝒂 𝟎
= 𝟏
𝒂 𝟏
= 𝒂
Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
𝑎 𝑚
· 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
(−2)5 · (−2)2 = (−2)5+ 2 = (−2)7 = −128

 División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
Ejemplo:
(−2)5
(−2)2
= (−2)5−2
= (−2)3
= −8
 Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(𝑎 𝑚
) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
Ejemplo:
(−23
)2
= 23∗2
= 26
= 64
 Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
𝑎 𝑛
· 𝑏 𝑛
= (𝑎 · 𝑏) 𝑛
Ejemplo:
(−2)3
· (3)3
= (−6)3
= −216
 Cociente o división de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛 = (
𝑎
𝑏
)
𝑛
Ejemplo:
−63
33
= −(
6
3
)
3
= −23
= −8

4) Radicales
Un radical es una expresión de la forma √ 𝑎𝑛
, en la que 𝑛 𝜖 ℕ y 𝑎 𝜖 ℝ; con tal que cuando a sea
negativo, n ha de ser impar.
 Potencias y radicales: Se puede expresar un radical en forma de potencia:
 Radiales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se
multiplica numeradory denominadorporunmismo número la fracción es equivalente,obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se
obtiene otro radical equivalente.
 Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando,se
obtiene un radical simplificado.
Reducción a índice común.
 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica
por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores en un radical: Se descompone el radicando en factores. Si:
 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
 Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
 Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente
obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor
dentro del radicando.
Introducción de factores en un radical: Se introducen los factores elevados al índice
correspondiente del radical.

Suma: Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es
decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Introducción de factores en un radical. Se introducen los factores elevados al índice
correspondiente del radical.
Radicales del mismo índice. Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los
radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
Radicales de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Radicales del mismo índice. Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y
se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
5) Potencia.
Para elevarun radical a una potencia,se elevaadichapotenciaelradicando y se dejaelmismo índice.
6) Raíz
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
7) Racionalización
La racionalizaciónde radicales consiste enquitar los radicales deldenominador,lo que permite facilitar
el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
 Racionalización del tipo:
Se multiplica el numerador y el denominador por

 Racionalización del tipo:
Se multiplica numerador y denominador por
 Racionalización del tipo: y en general cuando el denominador sea un binomio
con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de
cuadrados".

7) Logaritmos
Definición: El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la
base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
Ejemplos:
 De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a dé a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos:
a. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
b. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del
divisor:
Ejemplo
c. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la
base:
Ejemplo
d. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice
de la raíz:
Ejemplo:
e. Cambio de base:
Ejemplo:

Ejercicios: Anota cada expresión al conjunto numérico al que pertenece:
I. Rellena el círculo que tú creas que corresponde la representación gráfica dada.
1. Observa el punto gris.
2 .

3 .
4.
Propiedades de los números reales.
I. Rellenael círculo que tú creas que correspondealaElige la propiedad delas operaciones
con números reales que se aplica en cada caso:
5.
Propiedad distributiva de la suma.
Propiedad asociativa de la suma.
Propiedad conmutativa de la suma.

6.
Propiedad conmutativa del producto.
Propiedad distributiva de la suma respecto del producto.
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
7.
El neutro de un neutro es el mismo número de partida.
El opuesto de un opuesto es el mismo número de partida.
El opuesto de un opuesto es el mismo número opuesto.
8.
Propiedad asociativa de la resta.
La suma de un número ysu opuesto es el elemento nulo.
La suma de un número ysu inverso es el elemento nulo.
9.
Propiedad conmutativa del producto.
Propiedad distributiva del producto.
Elemento neutro del producto.
10.
Elemento neutro del producto.
Propiedad neutra de los números reales.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
11.
Todo número multiplicado por su inverso es igual a la unidad.
Todo número multiplicado por su neutro es igual a la unidad.
12.
Propiedad interior de la suma de números reales.
Propiedad interna de la suma de números reales.
Las dos respuestas anteriores son correctas.
Intervalos.

Elige la opción correcta:
12. El intervalo (2, 8) está formado por ...
Todos los números del 2 al 8 ambos inclusive.
Todos los números del 2 al 8, sin incluir ni el 2 ni el 8.
Los números 2 y8.
13. El intervalo [−3, 1) está formado por ...
Todos los números comprendidos entre −3 y1 incluyendo el −3 pero no el 1.
Todos los números comprendidos entre −3 y1 incluyendo el 1 pero no el −3.
Todos los números comprendidos entre −3 y1 no incluidos por no ser cerrado el intervalo.
14. Escribir (−2, −1) es equivalente a escribir ...
15. Escribir es equivalente a ...
(3, 7)
[3, 7)
(3, 7]
16. La expresión indica todos los números contenidos entre ...
3 y 5 incluyendo el 5 pero no el 3
3 y 5 incluyendo el 3 pero no el 5
3 y 5 ambos números inclusive.
17. El intervalo [2, 5) se corresponde a la representación gráfica ...
18. La representación gráfica indica ...
Cualquier número contenido entre 3 y7 pero sin incluirlos.

Cualquier número contenido entre 3 y7 ambos inclusive.
Cualquier número menor que 3 ymayor que 7.
19. La representación gráfica indica...
Cualquier número menor que −3 ymayor que 2.
Cualquier número menor que −3 ymayor o igual a 2.
Cualquier número mayor que −3 ymenor o igual a 2.
20. La representación gráfica se corresponde con la expresión...
21. La representación gráfica se corresponde con ...
(4, 12)
[4, 12)
(4, 12]
Valor absoluto.
22. La solución de la expresión |𝑥 − 5| > 2 se puede escribir como...
23. | − 8| · |9| =. ..
−72
72
56
24. |𝑥 + 3| ...
= |x| + |3|

≤ |x| + 3
≤ x + 3
25. |2𝑥 − 5| ≤. ..
|2x| − 5
2x + 5
|2x| + 5
26. 𝑑(−5,−2) =. ..
|−5 − (−2)| = 3
|−5 − (−2)| = −3
|−5 − (−2)| = 7
Entornos
27. La expresión también se puede escribir como:
28. La representación corresponde al entorno ...
29. La representación gráfica del entorno es ...
30. La representación corresponde al entorno ...

33. La representación corresponde al entorno que se lee como...
Entorno de centro 1 yradio 3.
Entorno lateral por la izquierda de centro 1 yradio 3.
Entorno reducido de centro 1 yradio 3.
Potencias con exponente fraccionario.
34. Escribe en los espacios vacíos los números de las potencias con exponente fraccionario que
le es correspondiente:
Operaciones con sucesiones

I. Elige la opción correcta:
1 (2, 5, 8, 11, . . . ) − (3, 4, 5, 6, . . . )
(−1, 1,3, 5,. .. )
(1, 1,3, 5,. .. )
(5, 9,13, 17, .. .)
2 (1, 2, 3, 4, 5, . . . ) + (1, 2, 4, 8, 16, . . . ) = . ..
(2, 4,7, 12, 21)
(2, 4,7, 12, 21,22, .. .)
(2, 4,7, 12, 21,38, .. .)
3 𝑆𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3, 𝑏𝑛 = 𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 . ..
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = (3𝑛 − 3) = (2,6, 9,. .. )
(𝑎𝑛 · 𝑏𝑛) = (2𝑛2 − 3) = (−1,5, 15, .. .)
(𝑎𝑛 · 𝑏𝑛) = (2𝑛2 − 3𝑛) = (−1,2, 9,. .. )
4 𝐷𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑎𝑛) = (3𝑛), (𝑏𝑛) = (2𝑛 − 5), 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 ...
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = (𝑛 + 5)
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = (5𝑛 − 5)
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = (𝑛 − 5)
5 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (𝑎𝑛) = (2, 4, 6,. . . ) 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠 . ..
𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠.
6 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (𝑏𝑛) = (1, 0, 3, 0, 5, . . . ) . ..
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠
𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠.
𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠.
7 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (0, 1, 2, 4, 8, ) . ..

𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒.
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠 (0,1, 0.5,0.25,0.125,. .. )
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠 (1,0.5, 0.25, 0.125, .. .)
8
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 . . .
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 (5,10, 15, ... )
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 (1,5, 10,15,. ..)
𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 (5, 10, 15,. .. )
Dadas las sucesiones 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 4, 𝑏𝑛 = 2𝑛, 𝑐𝑛 = 10𝑛2 + 20𝑛, 𝑑𝑛 = 5, 𝑒𝑛 = 𝑛2 −
4 elige la opción correcta:
9
1 0
5𝑛 + 20𝑛
5𝑛 + 10
5 + 10𝑛
1 1
2𝑛2 + 4𝑛
2𝑛 + 4
2𝑛2 + 4
1 2
𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟.

2(𝑛 − 2)
Reducción de radicales a índice común.
35. En los espacios vacíos anotar los procedimientos y encontrar el índice común.
Bloque III:
Realizas sumas y sucesiones de números.
 Se estudiarán sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando
funciones discretas (lineales y exponenciales).
 Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas y así como sus propiedades.
 Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas.
 Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas.
 Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y
geométricas.
 Emplea la calculadora para la verificación de resultado en los cálculos de obtención de
términos de las sucesiones.
 Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en una
sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas
correspondientes.
 Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y
geométricas.
Límites de sucesiones: Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación
de otro.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , . . . , 𝑎𝑛
Los números 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , . ..; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es 𝑎𝑛 es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Límite de una sucesión
 Límite finito

Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 tiene por límite 𝐿 si y sólo si para cualquiera número positivo ε que
tomemos, existe un término 𝑎𝑘, a partir del cual todos los términos de 𝑎𝑛, siguientes a 𝑎𝑘 cumplen
que |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀.
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 tiene por límite 𝐿 si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos,
por pequeño que sea su radio 𝜀, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes
términos pertenecen a dicho entorno.
 Límite infinito
Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 tiene por límite +∞ cuando para toda 𝑀 > 0 existe un término 𝑎𝑘, a
partir del cual todos los términos de 𝑎𝑛, siguientes a 𝑎𝑘 cumplen que 𝑎𝑛 > 𝑀.
Se dice que una sucesión 𝑎𝑛 tiene por límite − ∞ cuando para toda 𝑁 > 0 existe un término 𝑎𝑘, a
partir del cual todos los términos de 𝑎𝑛, siguientes a 𝑎𝑘 cumplen que 𝑎𝑛 < −𝑁.
Propiedades de los límites
1. El límite si existe es único.
2. Si una sucesión 𝑎𝑛 tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismmo límite que 𝑎𝑛.
3. Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4. Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5. Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.
6. Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.
Infinitésimos
Una sucesión 𝑎𝑛 es un infinitésimo si tiene por límite cero.
Propiedades:
a) La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
b) El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.
c) El producto de infinitésimos es un infinitésimo.
d) El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
e) Si una sucesión 𝑎𝑛 converge a 𝐿, la sucesión (𝑎𝑛 − 𝐿) es un infinitésimo.
f) Si una sucesión 𝑎𝑛 es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Operaciones con límites
𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛) + 𝑙𝑖𝑚 (𝑏𝑛)
𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛) − 𝑙𝑖𝑚 (𝑏𝑛)
𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛 · 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛) · 𝑙𝑖𝑚 (𝑏𝑛)
𝑙𝑖𝑚 𝑘 · 𝑎𝑛 = 𝑘 · 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛
𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛𝑘 = (𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛)𝑘
𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛
Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:
Hay que advertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente igualdades,
puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de expresar resultados.
∞ ± 𝑘 = ∞
∞ ± ∞ = ∞
∞ − ∞ = 𝐼𝑛𝑑
∞ ∗ 𝑘 = ∞
∞ ∗ ∞ = ∞
∞ ∗ 0 = 𝐼𝑛𝑑
0
𝑘
= 0
𝑘
0
= ∞
𝑘
∞
= 0
∞
𝑘
= ∞
0
∞
= 0
∞
0
= ∞
0
0
= 𝐼𝑛𝑑
∞
∞
= 𝐼𝑛𝑑
𝑘0
= 1 0∞
= 0 ∞∞
= ∞
0 𝑘
= {
0 𝑠𝑖 𝑘 > 0
∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 0
𝑘∞
= {
∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 1
0 𝑠𝑖 0 < 𝑘 < 1
00
= 𝐼𝑛𝑑 ∞0
= 𝐼𝑛𝑑 1∞
= 𝐼𝑛𝑑

Determinación de una sucesión.
Por el término general
𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1
Por una ley de recurrencia. Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛:
𝑎𝑛 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛
𝑏𝑛 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏𝑛
 Suma con sucesiones.
(𝑎𝑛) + (𝑏𝑛) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
(𝑎𝑛) + (𝑏𝑛) = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3,. .. , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
Propiedades
1) Asociativa:
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) + 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 + (𝑏𝑛 + 𝑐 𝑛)
2) Conmutativa:
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛 + 𝑎 𝑛
3) Elemento neutro
(0) = (0,0, 0, . . . )
𝑎𝑛 + 0 = 𝑎𝑛
4) Sucesión opuesta
(−𝑎𝑛) = (−𝑎1, −𝑎2,−𝑎3, . . . , −𝑎𝑛)
𝑎𝑛 + (−𝑎𝑛) = 0
 Diferencia con sucesiones.
(𝑎𝑛) − (𝑏𝑛) = (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)
(𝑎𝑛) − (𝑏𝑛) = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3,. .. , 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)
 Producto con sucesiones.
(𝑎𝑛) · (𝑏𝑛) = (𝑎𝑛 · 𝑏𝑛)
(𝑎𝑛) · (𝑏𝑛) = (𝑎1 · 𝑏1, 𝑎2 · 𝑏2, 𝑎3 · 𝑏3,. . . , 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛)

Propiedades.
1) Asociativa:
(𝑎𝑛 · 𝑏𝑛) · 𝑐 𝑛 = 𝑎𝑛 · (𝑏𝑛 · 𝑐 𝑛)
2) Conmutativa:
𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛 · 𝑎 𝑛
3) Elemento neutro
(1) = (1,1, 1, . . )
𝑎𝑛 · 1 = 𝑎𝑛
4) Distributiva respecto a la suma
𝑎𝑛 · (𝑏𝑛 + 𝑐 𝑛) = 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 · 𝑐 𝑛
Sucesión inversible: Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de
cero. Si la sucesión 𝑏𝑛 es inversible, su inversa es:
Cociente: Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.
Tipos de sucesiones
𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑴𝒐𝒏ó𝒕𝒐𝒏𝒂𝒔{
𝑬𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝑬𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
I. Sucesiones estrictamente crecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente creciente
si cada término es mayor o igual que el anterior.
𝑎𝑛 + 1 > 𝑎𝑛
II. Sucesiones crecientes: Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o
igual que el anterior.
𝑎𝑛 + 1 ≥ 𝑎𝑛

III. Sucesiones estrictamente decrecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente
decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
𝑎𝑛 + 1 < 𝑎𝑛
IV. Sucesiones decrecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada
término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
𝑎𝑛 + 1 ≤ 𝑎𝑛
V. Sucesiones constantes: Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son
iguales,
𝑎𝑛 = 𝑘.
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 + 1
VI. Sucesiones acotadas inferiormente: Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus
términos son mayores o iguales que un cierto número 𝐾, que llamaremos cota inferior de la
sucesión.
𝑎𝑛 ≥ 𝑘
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente: Una sucesión está acotada superiormente si todos sus
términos son menores o iguales que un cierto número 𝐾′, que llamaremos cota superior de la
sucesión.
𝑎𝑛 ≤ 𝑘′
- A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
- Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
- Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas: Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es
decir si hay un número 𝑘 menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro 𝐾′ mayor o igual
que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están
comprendidos entre 𝑘 𝑦 𝐾′.
𝑘 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝐾′
a. Sucesiones convergentes: Son las que tienen límite finito.
b. Sucesiones divergentes: Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).
Sucesiones oscilantes: No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a
menor o viceversa.

1, 0, 3,0 ,5, 0, 7, ...
Sucesiones alternadas: Son aquellas que alternan los signos de sus términos.
Progresiones aritméticas: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada
uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se
representa por 𝑑.
Término general de una progresión aritmética
1. Si conocemos el 1er término.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) · 𝑑
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 + (𝑛 − 𝑘) · 𝑑
Interpolación de términos:
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números,es construiruna progresiónaritmética
que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos 𝑎 𝑦 𝑏, y el número de medios a interpolar 𝑚.
𝑑 =
𝑏 − 𝑎
𝑚 + 1
Suma de términos equidistantes: Sean 𝑎𝑖 y 𝑎𝑗 dos términos equidistantes de los extremos, se
cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎 𝑛−2, 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛
𝑎3 + 𝑎𝑛 − 2 = 𝑎2 + 𝑎𝑛 − 1 = 𝑎1 + 𝑎𝑛
Suma de n términos consecutivos
𝑆 𝑛 =
( 𝑎1 + 𝑎 𝑛) 𝑛
2
Progresiones geométricas: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
𝑟 =
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
Término general de una progresión geométrica:
a. Si conocemos el 1er término.
𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑟𝑛 − 1
b. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 · 𝑟𝑛 − 𝑘
Interpolación de términos: Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es
construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
𝑟 = √
𝑏
𝑎
𝑚+1
Suma de 𝑛 términos consecutivos
𝑠 𝑛 =
𝑎 𝑛 ∗ 𝑟 − 𝑎1
𝑟 − 1
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
𝑠 =
𝑎1
1 − 𝑟
Producto de dos términos equidistantes: Sean 𝑎𝑖 y 𝑎𝑗 dos términos equidistantes de los extremos,
se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
𝑎𝑖 . 𝑎𝑗 = 𝑎1 . 𝑎𝑛
𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3, … 𝑎 𝑛−2, 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛
𝑎3 · 𝑎𝑛 − 2 = 𝑎2 · 𝑎𝑛 − 1 = . . . = 𝑎1 · 𝑎𝑛
Producto de 𝑛 términos equidistantes
Término general de una sucesión.
1. Comprobar si es una progresión aritmética.
2. Comprobar si es una progresión geométrica.
3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados
perfectos.
4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (−1)𝑛.
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (−1)𝑛 − 1.
5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
Estudio de las indeterminaciones:

Infinito partido infinito
∞
∞
Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Regla práctica
I. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los
coeficientes de las potencias de mayor grado.
𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛 𝑘
+ ⋯
𝑏𝑛 𝑘 + ⋯
=
𝑎
𝑏
II. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 es ± ∞ , dependiendo del
signo del coeficiente de mayor grado.
𝑙𝑖𝑚
±𝑎𝑛 𝑘+𝑟
+ ⋯
𝑏𝑛 𝑘 + ⋯
= ±∞ 𝑟 ∈ ℝ
III. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛 𝑘
+ ⋯
𝑏𝑛 𝑘+𝑟 + ⋯
= 0 𝑟 ∈ ℝ
Infinito menos infinito
∞ − ∞
Ejercicios.
II. Elige la opción correcta:
1𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑛 = (3.5 − 0.5𝑛) ...
Es convergente y tiene límite 1.
Es divergente.
Es oscilante.
2La s uc es ión...
Es convergente y su límite es 3/2.
Es divergente.
Es oscilante.
3La s uc e s ió n...
Es convergente y su límite es 0.

Es divergente.
Es oscilante.
Es convergente y sus límite son 2 e infinito.
Es divergente.
Es oscilante.
Los términos de esta sucesión alternan de mayor a menor y viceversa, con lo que la sucesión no es
convergente ni divergente. Este tipo de sucesiones se llama oscilante.
5La s uc e s ió n 𝑎 𝑛 = (2, 5, 8,11, 14, )...
Es estrictamente decreciente.
Es estrictamente creciente.
No es monótona.
6La s uc e s ió n (𝑏 𝑛) = (5, 4, 3,3, 2, 1, 0, 0,. . . ) ...
Es monótona decreciente.
Es monótona creciente.
Es constante.
7La s uc e s ió n (𝑏 𝑛) = (20, 10,5, 2.5, 1.25, . . . ) ...
Es constante.
8La s uc e s ió n 𝑎 𝑛 = (2,4, 3, 5, 4,6, ) ...
No es monótona.
9La s uc e s ió n 𝑎 𝑛 = (1,1, 2, 3, 4,4, 5, . . . ) ...
Es monótona estrictamente creciente.

Las dos respuestas anteriores son correctas.
Es estrictamente creciente.
Es estrictamente decreciente.
Es constante.
11La s uc e s ió n (𝑎 𝑛) = (1,3, 5, 7, . . . ) ...
Está acotada inferiormente.
Está acotada superiormente.
Está acotada.
1 2 La s uc e s ió n (𝑎 𝑛) = (−1,1, −1, 1,. . . ) ...
Está acotada inferiormente.
Está acotada superiormente.
Está acotada.
1 3 La s uc e s ió n...
Está acotada inferiormente por 1.
Está acotada inferiormente por 0.
Está acotada inferiormente por 0 ysuperiormente por 3.
Está acotada superiormente y 10 es una cota superior.
Está acotada inferiormente y 0 es una cota inferior.
Está acotada inferiormente y 2 es una cota inferior.
Tiende a su ínfimo.
Tiende a su supremo.
No es acotada y por tanto no tiene límite.

Tiene ínfimo (y mínimo) 8.
No es convergente.
No está acotada superiormente y es creciente.
Las tres respuestas anteriores son correctas.
Está acotada inferiormente y tiende a su ínfimo, que es 0.
Es decreciente.
Está acotada.
18La s uc e s ió n (𝑎 𝑛) = (4𝑛 + 7) ...
Está acotada superiormente y su supremo es 11.
Está acotada inferiormente y su ínfimo (y mínimo) es 11.
Converge a 11 porque es su ínfimo (y mínimo).
Converge a 11 porque es su supremo.
19La s uc e s ió n (𝑎 𝑛) = (8,4, 2, 1, 0.5, . . . ) ...
Está acotada superiormente y su supremo es 0.
Está acotada inferiormente y su ínfimo es 0.
Tiene límite su ínfimo, 8.
Tiene límite su supremo, 0.
Es creciente, acotada superiormente por 0 y converge a 0.
Es decreciente, acotada inferiormente y converge a 1.5.
Es creciente, acotada superiormente, con supremo 2 y converge a 2.
III. Di si las siguientes progresiones son aritméticas o no:
1. La s uc e sió n (𝑎 𝑛) = (29,27, 25,23, 21, .. . ) e s una p ro g re s ió n aritmé tic a.
Sí y su distancia es d = 2
Sí y su distancia es d = −2

No
2. La s uc e s ió n (𝑎 𝑛) = (1,3, 6, 10,15, . . . ) e s una p ro g re s ió n aritmé tic a.
Sí y su distancia es 3
Sí y su distancia es 2n+1
No
3. La sucesión (𝑎 𝑛) = (1, 2,3, 11, 12,13, 21, ... ) es una progresión aritmética.
Sí pero no tiene distancia.
Sí y sus distancias son d1 = 1 yd2 = 8
No
3. La s uc e s ió n ( 𝑎 𝑛) = (1, 5, 9, 13, 17,...) e s una p ro g re s ió n aritmé tic a.
Sí y su término general es ( 𝑎 𝑛) = 4n − 3
Sí y su término general es ( 𝑎 𝑛) = 4n + 5
No
IV. Completa con lo que se pida en cada caso:
5. ( 𝑎 𝑛
) = ( 4 3 , 3 6 , 2 9 , 2 2 , . . . )
a 1 =
d =
6. ( 𝑏 𝑛
) = ( 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , . . . )
𝑏 𝑛
=
7. ( 𝑏 𝑛
) = ( 3 . 7 5 , 4 , 4 . 2 5 , 4 . 5 , . . . )
a 2 0 =
d =
8. ( 𝑏 𝑛
) = ( 1 , 1 . 1 , 1 . 2 , 1 . 3 , 1 . 4 , . . . )
𝑏 𝑛
=

V. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas conociendo los datos
indicados de cada una:
9 . a 3 = 5 , a 1 0 = 6 1
a 1 =
d =
a 9 = 4 , a 1 5 = 1 3
a 1 =
d =
a 1 0 = 1 7 , a 1 3 = 2 3
𝑎 𝑛
=
d =
a 2 5 = −1 1 5 , a 2 = 0
𝑎 𝑛
=
d =
VI. Completa sabiendo que los números son términos de progresiones aritméticas:
2 , , , , 2 6
−5 , , , 3 0
3 9 , , , 2 7
−9 , , , , , 5
VII. Realiza las siguientes sumas de términos consecutivos de progresiones aritméticas:
Calcula la suma de los primeros siete términos de la progresión aritmética.
( 𝑎 𝑛) = (−4, 1, 6, 11, 16, ...)
S7 =
Calc ula la s uma d e lo s p rime ro s 4 té rmino s d e la s uc e s ió n (𝑎 𝑛 ) = (3𝑛 − 1)
Sn =
¿Cuál e s la s uma d e lo s p rime ro s 100 núme ro s naturale s ?

S1 0 0 =
VIII. Realiza el siguiente problema:
Marco, Ana, José y Eva son hermanos que se llevan 3 años cada uno con su siguiente. Sus edades
suman 38 años. Sabiendo que José tiene 11 años y que el orden en que se dan los nombres es de
menor a mayor edad ¿sabrías decir la edad de cada uno de ellos?
Marc o
Ana
J o s é
Ev a
Bloque IV:
Realizas transformaciones algebraicas. I
Desempeños del estudiante al concluir el bloque.
 Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable.
 Ejecuta sumas, restas ymultiplicaciones con polinomios de una variable.
 Empleaproductosnotablesparadeterminaryexpresarel resultadodemultiplicaciones de binomios.
 Comprende las diferentes técnicas de factorización, como, de extracción de factor común y
agrupación; de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados
perfectos.
 Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.
Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados yde trinomios cuadrados perfectos.
Álgebra:
Es una parte de las ciencias Matemáticas que se encarga de estudiar números y letras de forma
general. Al trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se
representan por letras.
Conceptos Básicos:
Termino Algébrico: Es una expresión matemática que está compuesta por varios elementos, cada
término puede llegaraformar parte de una expresiónmatemáticamayor:binomio,trinomio,polinomio.
Por tanto un término también se le conoce como monomio (ya que el monomio se distingue por tener
un solo termino) y un polinomio puede estar formado por “n” cantidad de términos.

Elementos de un término algebraico.
Signos: los términos que están precedidos de un signo + se llaman términos positivos, en tanto los
términos que están precedidos del signo – se llaman términos
negativos.
Coeficiente: se llama coeficiente al número que se coloca
delante de una cantidad para multiplicarla.
Parte literal: La parte literal está formada por las letras que
haya en el término.
Términos Semejantes:
Son aquellos que tiene idéntico “factor literal”, es decir tienen las mimas letras, y los mismos
exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
Reducción de términos semejantes:
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su
factor literal.
Ejemplo:
yxyxyx 222
853 
xyxzxzxyxz 1026108 
Expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las
operaciones:adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.Las expresiones algebraicas
nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: 2𝜋𝑟, donde 𝑟 es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: 𝑆 = 𝑙2
donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: 𝑉 = 𝑎3
, donde a es la arista del cubo.
Evaluar una expresión algebraica consiste en “sustituir” las letras por los “valores” numéricos dados
para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.
Ejemplo: Si 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 𝑦 𝑐 = −2, entonces 234
3cba 
Sustituimos…. 234
)2(3)1()1(  = +1 − 1 − 3(+4) = 0 − 12 = −12
Resuelve:
1) Si 𝑎 = −2, 𝑏 = −3 𝑦 𝑐 = 4, entonces
𝑎𝑏2
−𝑎3
𝑐
=

2) 𝑆𝑖 𝑥 = −5, 𝑦 = 2, 𝑧 =
1
2
, entonces ( 𝑥 + 𝑦) 𝑧 =
4. Si 𝑎 = −2 𝑦 𝑏 = 7, encuentra el valor de cada expresión
3𝑎𝑏 – 𝑏 + 2𝑎𝑏 + 3𝑏
4) 2𝑎2
−
3
2
𝑎2
𝑏 − 1 =
5) 3𝑎 2𝑏 − 7 𝑎 2𝑏 =
Lenguaje algebraico: ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los
que se puede enfrentar cualquierserhumano en la vidacotidiana.Por lo que es necesario comprender
lo siguiente:
 Se usan todas las letras del alfabeto.
 Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir,
cualquier número o constante como el vocablo pi.
 Por lo regular las letras 𝑋. , 𝑌 𝑦 𝑍 se utilizan como las incógnitas o variables de la función o
expresión algebraica.
Ejemplos:
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número:
𝒙
𝟐

Un tercio de un número:
𝒙
𝟑
Un cuarto de un número:
𝒙
𝟒
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
a. Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la
misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
b. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
variables son el producto y la potencia de exponente natural.
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Operaciones con monomios.
a) Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la
suma de los coeficientes.
b) Producto de un número por un monomio
El producto de unnúmero porun monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es elproducto
del coeficiente de monomio por el número.
c) Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y
cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
d) Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y
cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
Polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 1 + 𝑎𝑛 − 2 𝑥 𝑛 − 2 + .. . + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎 0
Siendo 𝑎𝑛, 𝑎𝑛 − 1 .. . 𝑎1 , 𝑎𝑜 números, llamados coeficientes.
𝑁, un número natural.
𝑥, la variable o indeterminada.
𝑎𝑜, es el término independiente.
a. Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
b. Polinomio completo
Es aquel que tiene todos los términos desde eltérmino independiente hastael término de mayorgrado
c. Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
d. Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
 Los dos polinomios tienen el mismo grado.
 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
e. Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Operaciones con polinomios.
Suma de polinomios:
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
La diferencia: consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
Multiplicación de polinomios:
- Producto de un número por un polinomio: Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
- Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por todos y cada uno de
los monomios que forman el polinomio.
- Producto de polinomios
 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
 Se suman los monomios del mismo grado.

División de polinomios:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
A la izquierda situamos el dividendo.Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares
que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado
lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por
tanto no se puede continuar dividiendo.
Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:
𝐷 = 𝑑 · 𝑐 + 𝑟
Regla de Ruffini.
Si el divisor es un binomio de la forma 𝑥 — 𝑎 , entonces utilizamos un método más breve para hacer
la división, llamado regla de Ruffini.
(𝑥4
− 3𝑥2
+ 2 ) ∶ (𝑥 − 3 )
- Si el polinomio no es completo,lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
- Sumamos los dos coeficientes.

- Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.
- El último número obtenido es el resto.
- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes
son los que hemos obtenido.
Identidades notables.
a) Binomio al cuadrado.
(𝑎 ± 𝑏)2
= 𝑎2
± 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2
b) Suma por diferencia
(𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2
− 𝑏2
c) Binomio al cubo.
(𝑎 ± 𝑏)3
= 𝑎3
± 3 · 𝑎2
· 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2
± 𝑏3
Factorización de un polinomio.
1. Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor numérico
de dicho polinomio para el valor: x = a.
2. Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Observaciones.
1. Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.
2. A cada raíz del tipo 𝑥 = 𝑎 le corresponde un binomio del tipo (𝑥 − 𝑎).
3. Podemos expresarun polinomio enfactores al escribirlo como producto de todos los binomios
del tipo 𝑥 — 𝑎, que se correspondan a las raíces 𝑥 = 𝑎 que se obtengan.
4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz 𝑥 = 0, ó lo que es lo
mismo, admite como factor 𝑥.
6. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
Métodos para factorizar un polinomio.
A. Sacar factor común: Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 + 𝑎 · 𝑑 = 𝑎 (𝑏 + 𝑐 + 𝑑)
- Igualdades notables
- Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)
B. Trinomio cuadrado perfecto:Un trinomio cuadrado perfecto es iguala un binomio alcuadrado.
𝑎2
± 2 𝑎 𝑏 + 𝑏2
= (𝑎 ± 𝑏)2
C. Trinomio de segundo grado
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 · (𝑥 − 𝑥1 ) · (𝑥 − 𝑥2 )
D. Polinomio de grado superior a dos: Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
1) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3) Dividimos por Ruffini.
4) Por ser la división exacta, 𝐷 = 𝑑 · 𝑐
5) Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que
obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.
Fracciones algebraicas.
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes:
o Dos fracciones algebraicas
Son equivalentes, y lo representamos por:
Si se verifica que 𝑃(𝑥) · 𝑆(𝑥) = 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥).
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por
un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas.

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un
polinomio que sea factor común de ambos.
Reducción de fracciones algebraicas a común denominador
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones
algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
o Descomponemoslos denominadoresenfactores para hallarles elmínimo común múltiplo,que
será el común denominador.
o Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el
resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
o Operaciones con fracciones algebraicas
o Suma y diferencia de fracciones algebraicas
o Fracciones algebraicas con igual denominador
o La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con
el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.
o Fracciones algebraicas con distinto denominador
o En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador, posteriormente se
suman los numeradores.
Producto de fracciones algebraicas.
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.
Cociente de fracciones algebraicas.
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del
numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la segunda.
I. Completa la siguiente tabla, colocando dentro de los recuadros lo que se te indica.

II. Indica cuales de las siguientes expresiones sonmonomios.Encaso afirmativo,indicasugrado
y coeficiente.
a) 13𝑥3
=
b) 5𝑥 − 3 =
c) 3𝑥 + 1 =
d) √4𝑥 =
e) −
3
4
𝑥4
=
III. Realiza las sumas y restas de monomios.
f) 2𝑥2
𝑦3𝑧 + 3𝑥2
𝑦3𝑧 =
g) 2𝑥3
− 5𝑥3
=
h) 3𝑥4
− 2𝑥4
+ 7𝑥4
=
i) 2𝑎2
𝑏𝑐3
− 5𝑎2
𝑏𝑐3
+ 3𝑎2
𝑏𝑐3
− 2𝑎2
𝑏𝑐3
=
IV. Efectúa los productos de monomios.
j) (2𝑥3)· (5𝑥3) =
k) (12𝑥3)· (4𝑥) =
l) 35 · (2𝑥2
𝑦3
𝑧) =
m) (5𝑥2
𝑦3
𝑧)· (2𝑦3
𝑧2) =
n) (18𝑥3
𝑦2
𝑧5) · (6𝑥3
𝑦𝑧2)
o) (−2𝑥3)· (−5𝑥) · (−3𝑥2) =
V. Realiza las divisiones de monomios.
p)
(12𝑥3)
(4𝑥)
=
q)
(18𝑥6
𝑦2
𝑧5 )
(6𝑥3 𝑦𝑧2)
=
r)
(36𝑥3
𝑦7
𝑧4 )
(12𝑥2 𝑦2 =
s)
4𝑥5
+18𝑥4
−18𝑥5
𝑦4
−48𝑥10
𝑦3
6𝑥2 𝑦3 =
t)
12𝑥3
𝑦5
+18𝑥5
𝑦7
−48 𝑥12
𝑦6
3𝑥2 𝑦2 =
VI. Calcula las potencias de los monomios.
u) (2𝑥3)3
=

v) (−3𝑥2)3
=
w) (
2
3
𝑥3
)
2
=
VII. Desarrolla los siguientes binomios:
1) ( 𝑥 + 5)2 =
2) (2𝑥 − 5)2 =
3) (3𝑥 − 2)2 =
4) (𝑥2
−
1
2
𝑥)
2
=
VIII. Desarrolla los siguientes binomios al cubo:
5) (2𝑥 − 3)3
=
6) ( 𝑥 + 2)3
=
7) (3𝑥 − 2)3
=
8) (2𝑥 + 5)3
=
IX. Desarrolla los siguientes productos:
9) (3𝑥 − 2) · (3𝑥 + 2) =
10) ( 𝑥 + 5) · ( 𝑥 − 5) =
11) (3𝑥 − 2) · (3𝑥 + 2) =
12) (3𝑥² + 5) · (3𝑥² − 5) =
X. Desarrolla las expresiones:
13) ( 𝑥2
− 𝑥 + 1)2
=
14) 8𝑥3
+ 27 =
15) 8𝑥3
− 27 =
16) ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) =
XI. Factorización y raíces de polinomios.
Factorizar
17) 𝑥3
+ 𝑥2
=
18) 2𝑥4
+ 4𝑥2
=
19) 𝑥2
− 4 =
20) 9 + 6𝑥 + 𝑥2
=
21) 2𝑥4
+ 𝑥3
− 8𝑥2
− 𝑥 + 6 =
22) 2𝑥3
− 7𝑥2
+ 8𝑥 − 3 =

23) 𝑥3
− 𝑥2
− 4 = 𝑥3
+ 3𝑥2
− 4 𝑥 − 12 =
24) 6𝑥3
+ 7𝑥2
− 9𝑥 + 2 =
XII. Dados las siguientes operaciones elige la opción correcta:
a) (𝑥 + 5)2
=. ..
2𝑥2
+ 2 · 5 · 𝑥 + 52
𝑥2
+ 25𝑥 + 10
𝑥2
+ 10𝑥 + 25
b) (2𝑥3
− 6)2 =. ..
2𝑥6
− 24𝑥3
+ 36
4𝑥6
− 24𝑥3
+ 36
4𝑥6
+ 24𝑥3
− 36
c) (2 + 3)2
Se puede hacer usando la fórmula del binomio cuadrado...
Y esta es la única forma de hacerlo.
Y también se puede hacer: (2 + 3)2
= 52
= 25, que es más rápido.
Y esta es la forma más eficaz de hacerlo.
d) (3𝑥2
+ 7)(3𝑥2
− 7) =. ..
9𝑥4
− 49
9𝑥2
− 49
3𝑥4
− 49
e) 25 − 4𝑥6
=. ..
(5 − 2𝑥)(5 + 2𝑥)
(5 − 2𝑥3
)(5 + 2𝑥3
)
(5 + 𝑥3
)(5 − 𝑥3
)
f) (2𝑥 − 5)3
=. ..

8𝑥3
− 30𝑥2
+ 150𝑥 − 125
8𝑥3
+ 60𝑥2
+ 150𝑥 + 125
8𝑥3
− 60𝑥2
+ 150𝑥 − 125
g) (4𝑥2
+ 5𝑦 + 3)2
=...
16𝑥4
+ 25𝑦2
+ 9 + 40𝑥2
𝑦 + 24𝑥2
+ 30𝑦
16𝑥2
+ 25𝑦2
+ 9 + 40𝑥2
𝑦 + 24𝑥2
+ 30𝑦
16𝑥2
+ 25𝑦2
+ 9 + 20𝑥2
𝑦 + 24𝑥2
+ 30𝑦
h) 27𝑥6
− 125 =. ..
(3𝑥3
− 5)(9𝑥4
+ 15𝑥4
+ 25)
(3𝑥2
+ 5)(9𝑥4
− 15𝑥2
+ 25)
(3𝑥2
− 5)(9𝑥4
+ 15𝑥2
+ 25)
i) (3𝑥 + 5)(3𝑥 − 5) =. ..
9𝑥2
− 25
9𝑥2
− 5
3𝑥2
– 25
XIII. Calc ula lo s v alo re s numé ric o s ind ic ad o s e n c ad a c as o :
𝐴(𝑥) = 7𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 + 10
𝐴(2) =
𝑃(𝑥) = 5𝑥7
− 4𝑥2
− 11𝑥 + 17
𝑃(−1) =
𝐵( 𝑥) = 𝑥4
− 5𝑥2
+ 7𝑥 − 20
𝐵(0) =

BLOQUE V
Realizas transformaciones algebraicas II.
En los Bloques IV y V se estudiarán operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones
básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones racionales).
 Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑐 + 𝑐 Y 𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥 + 𝑐. Con, 𝑎 ≠ 0,1, como un producto de factores lineales y polinomios que requieren
combinar técnicas.
 Expresa trinomios de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑐 + 𝑐 Y 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Con, 𝑎 ≠ 0,1, como un
producto de factores lineales.
 Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser
simplificadas.
 Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.
 Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la
división de polinomios.
 Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos.
 Escribe expresiones racionales enformasimplificadautilizando factores comunes y la división
de polinomios.
 Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
Factorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión significa escribirla
como un producto de otras expresiones.
Consiste en escribir una expresión como producto de las otras expresiones.
El primer paso de factorización es determinar si todos los términos del polinomio tienen un Máximo
Factor Común (MFC) y si es así factorizar por él.
Los casos de factorización son:
 Factor común monomio
 Factor común polinomio
 Factor común por agrupación
 Diferencia de cuadrados perfectos
 Diferencia de cubos perfectos
 Suma de cubos Perfectos
 Trinomio cuadrado perfecto
 Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑐 + 𝑐
 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑐 + 𝑐
a) Método Agrupación
b) Método Cruzado
c) Sustitución.
Factorización de polinomios.
CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término
común, entonces se puede sacar este término como factor común.
I. Factor Común Monomio: Para factorizar monomios se realizara el siguiente procedimiento.
a. Factorizar los coeficientes por m.cd.
b. Factorizar la parte literal.
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.
1) 𝑎2
+ 2
Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término común y el
𝑚. 𝑐. 𝑑 (1,2) 𝑒𝑠 1
Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es 𝑎.
La solución entonces viene dada por: 𝑎2 + 2𝑎 = 𝑎(𝑎 + 2𝑎)
2) 10𝑏 − 30𝑎𝑏
Factorización deloscoeficientes: Eneste casose tieneque hallar 𝑒𝑙 𝑚. 𝑐. 𝑑 (10,30) descomponiendoen
factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene que
𝑚. 𝑐. 𝑑 (10,30) = 10
Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es b.
La solución entonces viene dada por: 10𝑏 − 30𝑎𝑏2 = 10𝑏(1 − 3𝑎𝑏)
3) 2𝑏𝑥2
+ 2𝑏2
𝑥 − 3𝑏2
𝑥3
Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término común y el
𝑚. 𝑐. 𝑑 (3,2) 𝑒𝑠 1
Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término 𝑏𝑥.
La solución entonces viene dada por: 2𝑏𝑥2 + 2𝑏2 𝑥− 3𝑏2 𝑥3 = 𝑏𝑥(2𝑥 + 2𝑏 − 3𝑏𝑥2)
4) 93𝑎3 𝑥2 𝑦 + 62𝑎2 𝑥3 𝑦 − 124𝑎2 𝑥
Factorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el 𝑚. 𝑐. 𝑑 (93, 62,124) ,
descomponiendoenfactoresprimosytomandolosfactorescomuneselevadosala menorpotenciaseobtiene
que m.c.d (93, 62, 124)=31
Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término
2
a x
La solución entonces viene dada por:
3 2 2 3 2 2 2 2
93a x y 62a x y 124a x 31a x(3axy 2axy 4)    
5)
24 15 12 21 16 9
a y a y a y 
Factorización de los coeficientes: En este caso el factor común es 1
Factorización dela parteliteral: Paraobtenerfactorcomúndelaparte literalprimerosedebehallarelm.c.d
de losexponentesdecadatérmino.Paraelcasodeltérmino a se tienem.c.d(24, 12, 16)= 4 y paraeltérmino
y m.c.d (15, 21, 9) = 3, por lo tanto el factor común de la parte literal es
4 3
a y
La solución entonces viene dada por:
24 15 12 21 16 9 4 3 20 12 8 18 12 6
a y a y a y a y (a y a y a y )    
b)FactorComún Polinomio: Parafactorizarpolinomiossedeberáhallarelbinomioopolinomiodelaexpresión
dada que es común para los demás términos.

1) a(x y) b(x y)  
En esta expresiónlostérminosa y b tienencomofactorcomúnelbinomio (x y) ,por lo tanto la solución
viene dada por: a(x y) b(x y) (x y)(a b)     
2) a(x 2) x 2  
Parapoderfactorizarla expresióndadaprimerodebemoshacerunamanipulación,factorizandoelsignomenos
que acompaña a x y a 2, nos queda entonces:
a(x 2) (x 2)  
Expresiónen lacualse ve de maneramásclaraquesetiene comofactorcomúnel binomio (x 2) ,por lo
tanto la solución viene dada por:
a(x 2) (x 2) (x 2)(a 1)     
3)
2 2
(a b 1)(a 1) a 1    
Parapoderfactorizarla expresióndadaprimerodebemoshacerunamanipulación,factorizandoelsignomenos
que acompaña
2
a 1  , nos queda entonces
2 2
(a b 1)(a 1) (a 1)    
Expresiónen lacualseve de maneramásclaraquesetiene comofactorcomúnel binomio
2
(a 1) ,porlo
tanto la solución viene dada por:
2 2 2 2
(a b 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a b 1 1) (a 1)(a b 2)             
CASO II: Factor común por agrupación de términos.
En unaexpresióndedos, cuatro,seis o un númeropardetérminosesposibleasociarpormediodeparéntesis
dedos endoso detres entres o decuatroencuatrodeacuerdoalnúmerodetérminosdelaexpresiónoriginal.
Se debe dar que cadaunode estos paréntesisque contienedos, o tres o mástérminosse le puedasacarun
factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el
factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.
1) ax bx ay by  
Al observar detalladamentelaexpresióndadasepuedeapreciarquelosdosprimerostérminostienena xcomo
factor común y los dos últimos términos tienen a y como factor común, por lo tanto podemos reescribir la
expresión como: x(a b) y(a b)   y en esta expresión el binomio (a b) es factor común del
término x y del término y por lo que la solución viene dada por:
ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y)         
La expresióndada tambiénpuedeser factorizada considerandoelprimery tercer términotienencomofactor
común a a y el segundo y cuarto término tienen como factor común a b , podemos entonces reescribir la
expresión dada como: a(x y) b(x y)   y en esta expresión el binomio (x y) es factor común
del término a ydel término b por lo que la solución viene dada por:
ax bx ay by a(x y) b(x y) (a b)(x y)         

2)
2
2x 3xy 4x 6y  
Observandolaexpresióndadapodemosnotarqueelprimeryeltercertérminotienencomofactorcomúna 2x
y el segundo y cuarto término tienen como factor común a 3y, reescribiendo se tiene:
2x(x 2) 3y( x 2)    , factorizando signo menos en la ( x 2)  se tiene: (x 2)  por lo
tanto nos queda: 2x(x 2) 3y(x 2)   , expresiónquetienecomofactorcomúnelbinomio (x 2)
, por lo tanto la solución es:
2
2x 3xy 4x 6y (2x 3y)(x 2)     
3)
2 2 2 3 2
a x ax 2a y 2axy x 2x y    
En la expresión dada se pueden agrupar los términos de varias maneras en este caso agruparemos de la
siguiente manera: primer y tercer término, segundo y quinto termino y finalmente cuarto y sexto termino,
tenemos entonces:
Agrupación de primer ytercer término: Tienen como factor común el término
2
a .
Agrupación de segundo yquinto término: Tienen como factor común el término
2
x .
Agrupación de cuarto ysexto término: Tienen como factor común el término 2xy .
Reescribiendo se tiene:
2 2 2 3 2 2 2
a x ax 2a y 2axy x 2x y a (x 2y) x (a x) 2xy(a x)          
Si observamosdetalladamentetodavía podemosseguirfactorizado,ya que el segundoy tercertérminotienen
como factor común el binomio (a x) , por lo tanto:
2 2 2 2
a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)( x 2xy)          
En esta últimaexpresión aúnpodemosfactorizarunpocomásyaqueen
2
( x 2xy)  se tienea x como
factor común, nos queda entonces:
2 2 2
a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)x( x 2y)           , y en esta
expresión resultante factorizando el signo menos se tiene al binomio (x 2y) como factor común, por lo
que tiene:
2 2 2
a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) (x 2y)(a (a x)x)        
El resultado final es:
2 2 2 3 2 2 2
a x ax 2a y 2axy x 2x y (x 2y)(a ax x )        
Nota: La forma en que se agruparonlos términosnoes única,se le recomiendaalestudianteque agrupelos
términos de manera diferente para verificar que se obtiene el mismo resultado.
CASO III: Trinomio Cuadrado Perfecto.
Antes de entrar en detallesobre este caso es recomendablequeelestudiantetenga claroalgunosconceptos
básicos necesarios para poder reconocer y factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Entre esos conceptos
básicos se tienen los siguientes:
Cuadrado Perfecto:Sedicequeuna cantidadescuadradoperfectocuandoesel cuadradodeotra cantidad,
es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.
Ejemplo:
2
9b Es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 3b, es decir:  
22
9b 3b
RaízCuadradadeun Monomio: Paraextraer la rías cuadradadeun monomioseextrae la raíz cuadradade
su coeficiente yel exponente de la parte literal se divide entre dos.
Ejemplo: Extraer la raízcuadrada de
4 6
49a b

Solución:
4 6
4 6 2 32 2
49a b 7a b 7a b
   
   
   
 
Trinomio CuadradoPerfecto: Untrinomioescuadradoperfectocuandoeselcuadradodeunbinomio,osea,
el producto de dos binomio iguales.
Ejemplo:
2 2 2
(x y) (x y)(x y) x 2xy y      
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomioescuadradoperfectocuandoelprimeroytercertérminossoncuadradosperfectosypositivos, y el
segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplo: Dado
2 2
25x 10xy y  determine si es un Trinomio Cuadrado Perfecto.
Para determinar si es un trinomio cuadrado perfecto debemos aplicar la regla anterior, para ello debemos
determinarsi el primery tercertérminoson cuadradosperfectosy si el segundotérminoes el doble producto
de las raíces cuadradas del primer ytercer monomio.
2
2
25x 5x
y y
2*5x * y 10xy



Se cumplen las condiciones por lo tanto
2 2
25x 10xy y  es un trinomio cuadrado perfecto.
Regla para factorizar un trinomio es cuadrado perfecto.
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer
términosdeltrinomioy se separanestas raícespor el signodelsegundotérmino.El binomioasíformado,que
es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
1)
2 2
a 2ab b 
Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
Cálculo de las raíces cuadradas del primer ytercer término.
2 2
a a b b 
Doble producto de las raíces: 2*a*b 2ab
Si es un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:
2 2 2
a 2ab b (a b)   
2)
2 2
16a 40ab 25b 
2 2
16a 4a 25b 5b 
Doble producto de las raíces: 2*4a*5b 40ab
Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar,
tenemos:
2 2 2
16a 40ab 25b (4a 5b)   
3)
8 4
a 18a b 81 

8
8 42
a a =a 81 9
 
 
 
 
Doble producto de las raíces:
4 4
2*a *9 18a
tenemos:
8 4 4 2
a 18a b 81 (a 9)   
4)
4
6 3 2 y
16x 2x y
16
 
4
6 44 22
6 32 yy y y
16x 4x =4x
16 4 416
 
     
 
   
Doble producto de las raíces:
2
3 3 2y
2*4x * 2x y
4

tenemos:
24 2
6 3 2 3y y
16x 2x y 4x
16 4
 
    
 
CASO IV: Trinomio de la forma
2
x bx c  .
Para poder factorizar un trinomio de la forma
2
x bx c  se debe cumplir las siguientes condiciones:
El coeficiente del primer término es 1.
El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
Elsegundotérminotienelamismaletraqueelprimeroperoconexponenteunoysucoeficiente esunacantidad
cualquiera, positiva o negativa.
El tercertérminoes independientedela letra que apareceenel primery segundotérminoy es una cantidad
cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorizar un trinomio de la forma:
2
x bx c  .
1) Sedescomponeendosfactoresbinomioscuyoprimertérminoesx,oseala raíz cuadradadelprimertérmino
del trinomio.
2) Enelprimerfactor,despuésdexse escribeelsignodelsegundotérminodeltrinomio,yenelsegundofactor,
despuésde x se escribeelsignoque resulta demultiplicarelsignodelsegundotérminoporel signodel tercer
término.
3) Silosdosfactoresbinomiostienenenmediossignosiguales,sebuscandosnúmeroscuyasumaseaelvalor
absolutodel segundotérminodeltrinomioycuyo productoseaelvalor absolutodeltercertérminodeltrinomio,
mismos que serán los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomiostienenenmediossignosdistintos,se buscandosnúmeroscuyadiferenciasea
el valor absolutodel segundotérminodeltrinomioy cuyo productosea el valor absoluto deltercer términodel

trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo
término del segundo binomio.
1.
2
x 6x 9 
Pasos:
2
1 2x 6x 9 (x )(x )     
1 2 6  
1 2* 9  
En este ejercicio es fácil ver que los valores son: 1 2 3   por lo tanto la solución es:
2
x 6x 9 (x 3)(x 3)    
2.
2
x 3x 10 
Pasos:
2
1 2x 3x 10 (x )(x )     
1 2 3  
1 2* 10  
En este ejercicio es fácil ver que los valores son: 1 25 y 2   por lo tanto la solución es:
2
x 3x 10 (x 5)(x 2)    
3.
2
x 6x 216 
Pasos:
2
1 2x 6x 216 (x )(x )     
1 2 6   (I)
1 2* 216   (II)
En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de 𝑥1 𝑦 𝑥2 que cumplan con las ecuaciones
dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos el tercer término y
variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los números buscados.En nuestro
caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, es decir:
2
b b 4ac
x
2a
  

En nuestro ejercicio tenemos:
2
6 6 4( 216) 6 900 6 30
2 2 2

       
  
Obtenemos entonces dosvalorespara  ,dichos valores son-18y 12, tomamos los valores absolutos
de estos números, es decir, 𝑥1 = 18 𝑦 𝑥2 = 12 por lo tanto la solución es:
2
x 6x 216 (x 18)(x 12)    

CASO V: Trinomio de la forma
2
ax bx c  .
Para factorizar este tipo de trinomios realizaremos lo siguientes pasos.
1) Multiplicar el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto de apor
bx
2 2 2
a(ax bx c) (a x b(ax) ac)    
2) Reescribimos la expresión como: 2
(ax) b(ax) ac  y aplicamos el procedimiento empleado
para factorizar trinomios de la forma
2
x bx c 
1)
2
6x 7x 2 
Pasos:
2 2 2
6(6x 7(6x) 2) (6 x 7(6x) 12)    
2
(6x) 7(6x) 12 
A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma
2
x bx c  , es decir,
2
1 2(6x) 7(6x) 12 (6x )(6x )     
1 2 7   (I)
1 2* 12   (II)
En este ejercicio es fácil ver que los valores son: 1 24 y 3   por lo tanto la solución es:
2
(6x) 7(6x) 12 (6x 4)(6x 3)    
Pero como inicialmente multiplicamos por 6, se debe dividir por 6 para obtener la solución final,
tenemos entonces:
2 (6x 4)(6x 3)
6x 7x 2
6
 
   Como ninguno de los binomios es divisible por 6, se
descompone el 6 en 2 * 3, para tener:
(6x 4)(6x 3) (6x 4)(6x 3) (6x 4) (6x 3)
(3x 2)(2x 1)
6 2*3 2 3
     
    
Finalmente el resultado buscado es:
2
6x 7x 2 (3x 2)(2x 1)    
2)
2
20x 7x 6 
Pasos:
2 2 2
20(20x 7x 6) (20 x 7(20x) 120)    
2
((20x) 7(20x) 120) 
A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma
2
x bx c  , es decir,
2
1 2((20x) 7(20x) 120) (20x )(20x )     
1 2 7   (I)

1 2* 120   (II)
En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de 1 2y  que cumplan con las
ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos el tercer
término y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los números buscados.
En nuestro caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, es
decir:
2
b b 4ac
x
2a
  

En nuestro ejercicio tenemos:
2
7 7 4( 120) 7 529 7 23
2 2 2

       
  
Obtenemos entonces dos valores para  , dichos valores son -15 y 8, tomamos los valores absolutos
de estos números, es decir, 1 215 y 8   por lo tanto la solución es:
2
((20x) 7(20x) 120) (20x 15)(20x 8)    
Pero como inicialmente multiplicamos por 20, se debe dividir por 20 para obtener la solución final,
tenemos entonces:
2 (20x 15)(20x 8)
20x 7x 6
20
 
   Como ninguno de los binomios es divisible por 20, se
descompone el 20 en 4 * 5, para tener:
2 (20x 15)(20x 8) (20x 15) (20x 8)
20x 7x 6 (4x 3)(5x 2)
4*5 5 4
   
      
Finalmente el resultado buscado es:
2
20x 7x 6 (5x 3)(4x 2)    
CASO VI: Factorización por Completación de cuadrados.
Se dice que en un trinomio cuadrado de la forma
2
ax bx c  con a 0 , se ha completado
cuadrados, si se han encontrado tres números reales  ,  , y  tal que se cumpla:
 
22
ax bx c x      
Donde:  
2 2 2 2
x x 2 x         por lo tanto:
2 2 2 2
ax bx c x 2 x          Igualando los coeficientes delos términos semejantes
se tiene;
2
a a   
b
b 2 2 a
2 a
    
2 2
2 b b
c c
4a2 a
   
 
       
 
Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio
2
4x 8x 5 

Si aplicamos las fórmulas anteriores se tiene:
4 2  
8 8
2
2*2 4
   
2
8 64
5 5 5 4 9
4*4 16
           
Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:
 
22
4x 8x 5 2x 2 9    
Procedimiento para completar cuadrados en un trinomio de la forma
2
ax bx c  sin hacer uso
de las fórmulas anteriores:
1) Obtener factor común del coeficiente del término
2
x
2 2 b c
ax bx c a x x
a a
 
     
 
2) Multiplicar y dividir por 2 el término
b
x
a
2 2 b c
ax bx c a x 2 x
2a a
  
      
  
3) Elevar al cuadrado al coeficiente
b
2a
y sumarlo y restarlo a la expresión
2 2
2 2 b c b b
ax bx c a x 2 x
2a a 2a 2a
      
                   
4) Seleccionar de la expresión resultante los términos correspondiente a un producto notable de la
forma 2 2 2
(a b) a 2ab b   
2 2
2 2 b b b c
ax bx c a x 2 x
2a 2a 2a a
       
                      
2 2
2 b b c
ax bx c a x
2a 2a a
     
                
Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio
2
4x 8x 5 
Siguiendo los pasos para completar cuadrado se tiene:
1)
2 2 28 5 5
4x 8x 5 4 x x 4 x 2x
4 4 4
   
          
   
2)
2 2 22 5 5
4x 8x 5 4 x 2 x 4 x 2x
2 4 4
    
           
    
3)
2 2 5
4x 8x 5 4 x 2x 1 1
4
 
       
 

4)    
22 2 5 9
4x 8x 5 4 x 2x 1 1 4 x 1
4 4
   
            
   
Si queremos verificar que el resultado es el mismo que obtuvimos por fórmula realizamos las
operaciones algebraicas necesarias:
         
2 2 29 9
4 x 1 4 x 1 4 4 x 1 9 2 x 1 2 x 1 9
4 4
 
            
 
          
2 29
4 x 1 2 x 1 2 x 1 9 2x 2 2x 2 9 2x 2 9
4
 
             
 
Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:
 
22
4x 8x 5 2x 2 9    
Ejercicios de factorización de un polinomio
Elige la opción correcta:
1) La s ra íc e s de l po lino mio 2x3 − 4x2 s o n. . .
0 y 2
0 y −2
2
2) La s ra íc e s de l po lino mio x2 − 3x − 4x + 12 s o n. . .
2 y 3
2 y 4
3 y 4
3) El po lino mio x2 − 36 s e f a c to riz a c o mo . . .
( x + 6) 2 y s u únic a ra íz e s −6
( x − 6) 2 y s u únic a ra íz e s 6
( x − 6) ( x + 6) y s us ra íc e s s o n 6 y −6
4) La s ra íc e s de l po lino mio 16x4 − 256 s o n. . .
2 y −2
2, −2, y
2

5) La s ra íc e s de x4 − 18x2 + 81 s o n. . .
3 y −3
3 que e s ra íz do ble .
−3 que e s ra íz do ble .
6) 9x2 + 72x + 144 t ie ne c o mo ra íz . . .
4 que e s una ra íz do ble .
−4 que e s una ra íz do ble .
2 que e s una ra íz do ble .
7) La s ra íc e s de l po lino mio x2 − 5x − 176 s o n. . .
8 y −11
11 y −16
−11 y 16
8) La s ra íc e s de l po lino mio x4 − 10x2 + 9 s o n. . .
3 y 1
3, −3, 1 y −1
9 y 1
9) La s ra íc e s de l po lino mio x3 − 3x2 − 4x + 12 s o n. . .
−2, 2 y 3
2, −3 y 3
4, 3 y 2
10) La s ra íc e s de l po lino mio 16x3 − 4x2 − 32x + 15 s o n. . .

BLOQUE VI
RESUELVES ECUACIONES LINEALES I
En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de 1x1, 2x2
y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.
 Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la
relación entre ellas.
 Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.
 Reconoce a como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal.
 Aplica diversas técnicas para grafica
como una ecuación lineal y/ o una función lineal.
 Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones
lineales en una variable y/ o funciones lineales.
 Describe el comportamiento de las variables y/ o resultados al solucionar problemas de
ecuaciones y/ o funciones lineales; tanto algebraica como gráfica.
 Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.
 Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal.
 Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

BLOQUE VII
RESUELVES ECUACIONES LINEALES II
interpreta sistemas de ecuaciones dos incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes
soluciona situaciones u
problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y
conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

BLOQUE VIII
RESUELVES ECUACIONES LINEALES III
ecuaci
o sistemas de ecuaciones con tres
situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.
BLOQUE IX
RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS I.
Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su
relación con la función cuadrática.
, es
do trinomio cuadrado perfecto y fórmula
situaciones con ecuaciones c
problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.
BLOQUE X
RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS II.
Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su
relación con la función cuadrática.
fo
que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución de la ecuación cuadrática, y

que dependen de la naturaleza del discriminante √ tiene soluciones reales, imaginarias o
ir de
situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles.

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