curso de ing. económica de ingenieria

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERU
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
CURSO:
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“ MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA”
APLICACIONES FINANCIERAS CON EXCEL
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TEORIA Y PROBLEMAS
Por:
ING. Ms. DEMETRIO SALAZAR MAURICIO
HUANCAYO -.- PERU
2014

INTRODUCCION
Dentro de la inmensa extensión y profundidad del desarrollo del conocimiento de la
Ingeniería química que han llegado a tal punto, que ha permitido al hombre aplicarlos
a los procesos de producción de un número increíble de insumos y productos
terminados muy utilitarios y beneficiosos, muchos de ellos se han convertido en
valiosos artículos de comercio que influyen de una manera esencial en todos los
aspectos en la calidad de vida del hombre, especialmente en el aspecto económico
comprometiendo todo ello el desarrollo de la Industria química.
Prácticamente a diario se toman decisiones económicas que afectan el futuro. Las
opciones que se tomen cambian la vida de las personas de una forma parcial o total.
Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva casa aumenta la posibilidad de vivir
más cómodo y seguro pero reduce la suma de dinero que lleva consigo en el
momento. Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo con un préstamo nos da
opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo
disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los
factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e
intangibles son importantes en la decisión de comprar una casa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los gerentes generales de una
empresa, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias
gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones
significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo
invertir en la mejor forma los fondos, o el capital de la compañía y sus propietarios. El
monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado
el efectivo disponible de un individuo.
Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza
de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una
vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin
embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa
sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las
consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor
importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual. La
ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la determinación
de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección
entre una u otra alternativa. Otra definición de la ingeniería económica plantea que es

una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones
económicas. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y
significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos
(alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado.
Las técnicas funcionan igualmente bien para un individuo o para una corporación que
se enfrenta con una decisión de tipo económico. Algunas de las preguntas usuales
que pueden ser consideradas metódicamente por individuos, negocios y
corporaciones, y por las agencias públicas se trataran de formular en el presente
trabajo así como la solución mas acertada.
Individuos
. ¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado?
. ¿Qué representan financieramente mis estudios universitarios en mi carrera
profesional?
. ¿Las deducciones de impuesto sobre la renta son para la hipoteca de mi casa un
buen negocio o debo acelerar los pagos de mi hipoteca?
. ¿Exactamente qué tasa de retorno obtuvimos en esta inversión en acciones?
. ¿Debo comprar o arrendar mi próximo automóvil o conservar el que tengo ahora y
continuar pagando el préstamo?
Corporaciones y negocios
- ¿En que tiempo lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnología
de fabricación en la planta?
- ¿Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Ayacucho?
. ¿En términos económicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera una
parte componente de una nueva línea de producto?
Unidades gubernamentales que atienden al público
- ¿Cuánto recaudo del nuevo impuesto y cuanto necesito generar para pagar los
desayunos escolares que se está sometiendo a votación?
-¿sobrepasan los beneficios los costos de un puente sobre el río o no es necesario en
este punto?
- ¿Es económico para la ciudad en términos de costos construir un nuevo coliseo
cerrado para eventos deportivos importantes?
- ¿Debe la universidad estatal arrendar un local para el funcionamiento de CEPRE o
es preferible construirlo un nuevo local?

CAPITULO I
CONCEPTOS GENERALES DE INGENIERIA ECÓNOMICA
INGENIERIA ECONÓMICA. Son conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el
análisis, comparación y evaluación económica para definir proyectos de ingeniería;
implica la evaluación de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos.
Los principios y metodología de la ingeniería económica son parte integral de la
administración y operación diaria de compañías y corporaciones del sector privado,
servicios públicos regulados, unidades o agencias gubernamentales. Estos principios
se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en
relación con las cualidades físicas y la operación de una organización.
La Ingeniería Económica se encarga del flujo del dinero en la toma de decisiones de
los ingenieros para hacer que una empresa sea Rentable en un mercado altamente
competitivo.
El objetivo principal es de lograr un análisis económico de una empresa, de tal manera
contribuir notoriamente en la toma de decisiones. Cuyos principios son:
1.- Desarrollar opciones: La elección se da entre las alternativas. Es necesario
identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsiguiente.
2.- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse sólo
aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias
en los posibles resultados.
3.- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las alternativas,
económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un
punto de vista definido.
4.- Utilizar una unidad de medición: Utilizar una unidad de medición para enumerar
todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las
alternativas.
5.- Considerar los criterios: La selección de una alternativa requiere del uso de uno o
varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados
en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o
hechos explícitos de una manera descriptiva.
6.- Hacer la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar los resultados
futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.

7.- Tomar decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso
adaptativo; los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada
deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados.
INDUSTRIA QUIMICA. Se ocupa de la extracción y transformación de las materias
primas o insumos en productos terminados, tanto naturales como sintéticas aplicando
las operaciones y procesos de ingeniería, para satisfacer las necesidades de las
personas mejorando su calidad de vida. Su objetivo principal es elaborar un producto
de calidad en forma eficiente y eficaz con el costo más bajo posible, tratando de
ocasionar el menor daño posible al medio ambiente
EMPRESA INDUSTRIAL. La empresa es la institución o agente económico que toma
las decisiones sobre la utilización de factores de la producción para obtener los bienes
y servicios que se ofrecen en el mercado
El conjunto de actividades productivas que el hombre realiza de modo organizado con
la ayuda de maquinas y herramientas se denomina industria.
PRODUCTO.- Del latín productus, se conoce como producto a la cosa producida. Es un término
bastante amplia y permite que objetos muy diversos se engloben dentro del concepto genérico de
producto. En sentido estricto, producto es un conjunto de atributos tangibles e
intangibles reunidos en una forma identificable que incluye el empaque, color, precio,
prestigio del fabricante y servicios que prestan este y el fabricante para satisfacer
necesidades o deseos de los que la requieren.
Cualquier cambio de una característica física (color, tamaño, forma, etc.) por pequeño
que sea, crea otro producto. Cada cambio brinda al productor la oportunidad de utilizar
un nuevo conjunto de mensajes para llegar a lo que esencialmente es un mercado
nuevo.
PRODUCCIÓN.- Es la actividad económica que aporta valor agregado por creación,
generación o suministro de bienes y servicios y, al mismo tiempo, la creación de valor
agregado a la materia prima para satisfacer las necesidades del hombre para su
existencia y desarrollo de la sociedad. Se considera uno de los principales procesos
económicos, en la cual el conocimiento y el trabajo humano crea riqueza
PRODUCTIVIDAD.- Es la relación entre la cantidad de productos obtenida por un
sistema productivo y todos los recursos utilizados para obtener dicha producción.
También puede ser definida como la relación entre los resultados y el tiempo utilizado

para obtenerlos. En realidad la productividad debe ser definida como el indicador de
eficiencia que relaciona la cantidad de recursos utilizados con la cantidad de
producción obtenida.
MERCADO.- Lugar donde se reúnen los proveedores y consumidores donde se
determinan los precios de los productos (bienes y servicios) definidos por su calidad
a través del comportamiento de la oferta y la demanda. Espacio en el que se da
libertad a las habilidades individuales de cada quien para ofrecer y hacer valer su
producto por medio de estrategias de mercadotecnia.
OFERTA.- Cantidad y calidad de bienes o servicios que los productores están
dispuestos a ofrecer a los consumidores a diferentes precios y condiciones dadas, en
un determinado momento
DEMANDA.- Cantidad y calidades de bienes y servicios requeridas por un consumidor
o por el conjunto de consumidores que pueden ser adquiridos a los diferentes precios
del mercado en un determinado momento.
DINERO.- (Del latín denarius = intermediario) es una representación física (moneda o
billete) del valor económico que sirve como intermediario para intercambiar un bien o
un producto, aceptado por una sociedad para el pago de bienes o servicio. Por tanto,
para ser calificado como dinero, un bien debe satisfacer los tres siguientes criterios:
 Debe ser intercambiable: El dinero es usado como un intermediario en el
comercio para evitar las ineficiencias de un sistema de trueque.
 Debe ser una unidad contable: Cuando el valor de un bien es utilizado con
frecuencia para medir y comparar el valor de otros bienes o productos.
 Debe ser un conservador de valor: Cuando un bien es adquirido con el
objetivo de conservar el valor comercial para futuro intercambio.
PRECIO.- Conceptualmente se define como la expresión del valor monetario que se le
asigna a un bien, producto o servicio y de otros parámetros como esfuerzo, atención,
tiempo, etc. El precio se fija mediante la ley de la oferta y la demanda, A lo largo del
tiempo los precios de un producto pueden crecer (inflación) o decrecer (deflación).
CALIDAD.- Es la percepción del consumidor frente a un producto o servicio y la
capacidad del mismo para satisfacer sus necesidades. También se puede definir
como el valor que el cliente tiene por algún producto o la necesidad de la adquisición
de ese producto.

MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA.- Se define como el mercado en el que
existe un gran número de compradores y vendedores de una mercancía, además de
que se ofrecen productos similares, igualmente existe libertad absoluta para los
compradores y vendedores y no hay control sobre los precios ni reglamento para
fijarlos. (Los precios son fijados por la oferta o la demanda)
MONOPOLIO.- Cuando una persona o una sola empresa producen o comercializa un
determinado bien o servicio que no tiene sustituto, el cual controla todo el mercado,
por lo tanto tiene una gran influencia y control sobre el precio del bien.
MONOPSONIO.- Cuando en un mercado existe un solo comprador de un bien o
servicio, tiene el control sobre el precio de los productos, los productores tienen que
adaptarse de alguna forma a las exigencias del comprador en materia de precio y
cantidad. Esto le permite al comprador obtener los productos a un precio menor al que
tendría que comprarlo si estuviera en un mercado.
OLIGOPOLIO.- Este caso se da cuando existe un número pequeño de empresas que
producen bienes o servicios iguales (como lo son productos como el acero, el
cemento, el alcohol industrial, que físicamente son iguales y difícilmente
diferenciables) o bienes o servicios diferenciados por algún aspecto en particular,
como es el caso de productos como los cereales para el desayuno, los detergentes o
algunos electrodomésticos, las cuales dominan y tienen control sobre el mercado.
LOS BANCOS. Un banco es una empresa financiera que se encarga de captar
recursos en la forma de depósitos, y prestar dinero, así como la prestación de
servicios financieros. La palabra "banco" (escritorio) procede de los que utilizaban los
cambistas para trabajar en las ciudades aristocráticas italianas medievales como en
Venecia, Génova, Florencia. Los cambistas mantenían en circulación centenares de
diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial, sino
por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un experto podía definir.
CLASES DE BANCOS:
Según el origen del capital
a. Bancos públicos: El capital es aportado por el estado.
b. Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares.
c. Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y
estatales.
Según el tipo de operación

a. Bancos corrientes: Sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuenta
corriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por
cuentas de terceros, custodia de títulos y valores, financiación, etc.
b. Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos
Hipotecarios, Banco Industrial, Banco Agrario).
c. Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales.
d. Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría,
CREDITO.- Conceptualmente es utilizado en el comercio y finanzas para referirse a
las transacciones económicas que implican una transferencia de dinero que debe
devolverse transcurrido cierto tiempo. El que transfiere el dinero se convierte en
acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda es una sola acción
que se realiza mediante una transacción económica desde dos puntos de vista
contrapuestos.
Clases de crédito
Según el origen:
a. Créditos comerciales: Cuando los bancos conceden préstamos a personas o
empresas para financiar la adquisición de equipos, materiales o bienes
demandados.;
b. Créditos bancarios: Concedidos por los bancos como préstamos personales o
jurídicas que permiten adquirir bienes o servicios y pagarlos a plazos;
c. Créditos hipotecarios: concedidos por los bancos y entidades financieras
autorizadas, contra garantía del bien inmueble adquirido;
d. Créditos contra emisión de deuda pública: Que reciben los gobiernos
centrales, regionales o locales al emitir deuda pública;
e. Créditos internacionales: Concedidos de un gobierno a otro, o una institución
internacional a un gobierno, créditos que concede el Banco Mundial. etc.
A. Según el destino:
a. De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios,
industrias y transporte de las distintas actividades económicas.
b. De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales.
c. Hipotecarios: destinados a la compra de bienes inmuebles,
B. Según el plazo:
a. A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia
prima para la producción y consumo.
b. A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos,
maquinarias, etc.

C. Según la garantía:
a. Personal: Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y
comerciales.
b. Real (hipotecas): Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un
objeto que afecta en beneficio del acreedor.
CARACTERÍSTICAS DE LA INDUSTRIA QUÍMICA.- La industria química transforma
la materia prima en producto terminado. Compra y vende, usa capital propio o
prestado y paga deudas, emplea personal, planifica, Organiza, dirige y controla para
obtener un beneficio económico, toda industria posee características especiales:
1.- Tiene una gran dependencia del conocimiento científico y tecnológico, muchos
productos químicos son complejos y se obtienen mediante procesos e instalaciones
sofisticados. Por que los productos ya existentes por si solas se hacen obsoletos.
2.- Mantenerse en constante innovación y cambio tanto de los procesos como de los
productos. Generando nuevas tecnologías a base de investigación, con una constante
evaluación económica tanto de la oferta y demanda, precios, necesidades de capital,
rentabilidad, periodo de recuperación, amortizaciones e impuestos etc.
3.- La industria química es de competencia perfecta por la producción del mismo
producto o de productos sustitutos ya sean nacionales, extranjeras o internacionales.
4.- Generar una industria es relativamente fácil. Utilizando equipos sencillos, por
procesos conocidos, de forma rentable.
Antes las fábricas eran inmensas y de alto costo, practicaban el monopolio por ende
los productos tenían altos precios. La tendencia al futuro es la nanotecnología que
permiten financiar plantas pequeñas de alto rendimiento con tecnología de punta
(automatizado) como la denominada llave en mano las cuales han roto el monopolio.
5.- Las empresas que contaminan el ambiente crean un alto costo social en la
Humanidad, aunque ya existen legislaciones para evitarlas pero es un costo que se
ha de pagar. Por lo que obliga a pensar en la tendencia a las tecnologías limpias.
6.- Mayor es la rentabilidad cuando se tiene el menor costo de producción. Ejemplo:
Para producir agua oxigenada se requiere como materia prima el Agua y el oxígeno.
¿De qué compuesto químico UD. Obtendría oxigeno?: Lo primero en definir cuál es la
materia prima o el insumo que contenga Oxigeno, y ellas son:
1. De un oxido metálico CuO
2. Del Aire (Mezcla de Nitrógeno y oxigeno)
3. De un ácido orgánico CH3COOH
4. De una base orgánica CH3COONa

5. De un alcohol C2H5OH.
6. Del H2O (De sus 3 estados)
7. De una sal de CaCO3
8. De un acido H2SO4
9.- De una base NaNO3
10.- De un Hidróxido NaOH
Para poder definir lo primero que se nos llega a la mente en forma heurística es que la
materia prima sea de gran abundancia y que el proceso tenga alto rendimiento pero
de menor costo posible.
¿Cuál de estas dos opciones es más económico producir oxigeno?
SUSTANCIA METODO RENDIMIENTO COSTO
AIRE CRIOSCOPIA 98% $ 2,000 x m3
H2O ELECTROLISIS 90% $ 1,000 x m3
Tabla 1
LA IMPORTANCIA ECONÓMICA DE LA INDUSTRIA QUÍMICA.-
Para implantar una industria las actividades económicas a definir son:
¿Que producir? alternativas
¿Cuánto dinero se requiere? Capital propio – Capital prestado
- Para maquinarias y equipos auxiliares (Precios FOB – precios CIF)
- Para terrenos
- Para construcción
- Capital de trabajo.
¿Qué condiciones afectan al dinero?
- Intereses
- Tiempo ( Inflación, deflación, devaluación)
- Descuentos
- Tributos
- riesgos,
¿Definir el tiempo de recuperación?
- flujo de fondos
- flujo de caja
- ventas - impuestos
- estado de perdidas y ganancias
- costos fijos.-
- Maquinarias.- Depreciaciones - amortizaciones

- costos variables
- Punto de equilibrio
- TIR
- VAN
- Costo residual
- Reposición.
TOMA DE DECISIONES.-
Las disciplinas que ayudan a tomar decisiones son la Ingeniería, Economía y
Administración. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica ayudan a la
gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el
marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el futuro. Por
consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las
mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.
Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza los
métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no se toma
una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de ello, el
análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación puede
haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta desea
conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TIR)
experimentada por esta división. El análisis de resultados y la decisión de alternativas
futuras se consideran el dominio de la ingeniería económica.
EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES EN INGENIERÍA.-
Un procedimiento muy utilizado para considerar el desarrollo y selección de
alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma
de decisiones.
Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes:
Pasos en la solución de problemas
1. Entender el problema y definir el objetivo o meta.
2. Recopilación de información relevante.
3. Definir las alternativas de solución.
4. Identificar los atributos de cada alternativa.
5. Evaluar cada alternativa.
5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.
6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la
técnica principal en el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de cada
alternativa. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y la ingeniería económica
ayuda a estructurar las estimaciones de cada uno. El paso 4 utiliza uno o más
modelos de la ingeniería económica examinados en este texto para completar el
análisis económico sobre el cual se toma una decisión.
Ejemplo: Dos ingenieros; un directivo de una compañía A y un analista de una
compañía B a menudo laboran conjuntamente realizando viajes comerciales juntos
por la región con movilidad rentada. Para la cual tienen la posibilidad de comprar una
camioneta 4x4 d/c del cual sean copropietarias las dos compañías ¿Cuales son
algunas de las preguntas de naturaleza económica.
A.- Comprar una movilidad juntos o
B.- Continuar viajando con movilidad rentada.
Solución.- Las preguntas frecuentes en la alternativa A son las siguientes:
1.- ¿Qué marca de carro comprar? Alternativas de calidad.
2.- ¿Cuanto será el costo total de la movilidad? Se necesita estimar costos
3.- Si compro financiado ¿Cuanto será el pago mensual?
4.- Si compro al contado ¿cual será la diferencia de costos frente a un financiado?
5.- ¿Cuánto será los gastos de mantenimiento?
6.- ¿Cuanto serán los pagos de impuestos y otros?
7.- Compensara la aplicar la alternativa A frente a la alternativa B. ¿En qué tiempo
recuperare el costo invertido? ¿Costo/beneficio?
Aplicando el “Enfoque de solución de problemas o Proceso de toma de
decisiones” Se tiene las siguientes características:
Paso 1: Lógicamente cada compañía tiene como objetivo minimizar costos
manteniendo las ventajas de un transporte permanente y confiable
Pasos 2 y 3: Si se decide la alternativa 1: Se debe estimar el costo de compra,
combustible, conductor, mantenimiento, financiamiento, tasas de interés, impuestos
manteniendo o incrementando los ingresos por estas actividades. Para la alternativa
2: mantener el statu quo, cuyos costos ya son conocidos. Esta información ayuda a
determinar las estimaciones para el análisis (paso 4) y toma de decisión (paso 5).
Paso 4: Este es el centro de La ingeniería económica. Las técnicas generan valores
numéricos denominadas medidas de valor, que consideran inherentemente el valor
del dinero en el tiempo. Algunas medidas comunes del valor son:
Valor presente (VP] Valor futuro (VF)

Valor anual (VA] Tasa de retorno (TR)
Razón beneficio/costo (BK) Costo capitalizado (CC)
En todos estos casos se considera el hecho de que el dinero hoy vale una suma
diferente en el futuro.
Paso 5: Además de la parte económica se debe evaluar los factores no Económicos
como las sociales, ambientales, legales, políticos, para una selección eficiente y
eficaz.
INGENIERÍA.- Profesión que aplica ingenio, habilidades y arte en forma pragmática
en base a conocimientos, experiencias y habilidades, para resolver problemas de la
humanidad mediante diseños, modelos y técnicas, con ayuda de las matemáticas y
ciencias naturales, aplica un juicio razonable para desarrollar formas económicas de
utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad.
TECNOLOGÍA.- Conjunto de habilidades que permiten construir objetos y máquinas
para adaptar el medio y satisfacer nuestras necesidades. Es una palabra de origen
griego, τεχνολογος, formada por tekne (τεχνη, "arte, técnica u oficio") y logos (λογος,
"conjunto de saberes").
ECONOMÍA.- Proviene de la palabra griego: οἰκονομία, '/oikonomía/ administración
de una casa o familia. Ciencia social que estudia las relaciones que tienen que ver con
los procesos de producción, intercambio, distribución y consumo de bienes y servicios,
entendidos estos como medios de satisfacción de necesidades humanas.
EFICIENCIA TÉCNICA Y ECONÓMICA.
Una empresa industrial desea comprar una maquinaria de tecnología de punta para
producir un producto “P” en el mercado existe 2 tipos: una automática (A) y otra
semiautomática (B) en ambos casos la vida útil de las maquinas es de 10 años, si el
capital es prestado al 10 % de interés, como define la elección de la compra.
Eficiencia Costo Mantenimiento
Maquinaria A 80 % 20,000 100
Maquinaria B 90% 10,000 200
Tabla 2
Solución:
MAQUINARIA A
VALOR CRONOLOGICO HOY
20000 a gastar ahora 20000
1000 a gastar dentro de 1 año 909.09
1000 a gastar dentro de 2 años 826.45

1000 a gastar dentro de 6 año 564.47
30000 26,144.57
VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)
Tabla 3
MAQUINARIA B
VALOR CRONOLOGICO HOY
10000 a gastar ahora 10,000
2000 a gastar dentro de 1 año 1,818.18
2000 a gastar dentro de 2 años 1,652.89
2000 a gastar dentro de 6 año 1,128.95
30000 22,289.13
VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)
Tabla 4
TOMA DE DECISIONES SIMPLES EN INGENIERÍA QUÍMICA.- En la vida diaria una
persona desde que hace uso de la razón esta en una continua toma de decisiones ya
sea en forma involuntaria o en forma premeditada.
Ejemplo: Cuando uno sale de la universidad y debe desplazarse hacia la ciudad
¿Como debe realizarlo?
Actividad : Costo (S/.) Tiempo Beneficio C/B
1. A pie 0.00 60 Minutos 00 Minutos
2. En ómnibus 0.90 40 Minutos 20 Minutos
3. En combi 1.20 30 Minutos 30 Minutos
4. En auto colectivo 1.50 25 Minutos 35 Minutos
5. En taxi 5.00 15 Minutos 45 Minutos
6. No ir 0.00 60 Minutos
Tabla 5
En el desarrollo de la vida profesional también se toma decisiones en una forma
constante desde que el ingeniero ingresa a trabajar en una empresa hasta la hora de
salida y en la mayoría de los casos hasta fuera del horario de trabajo.
Una toma de decisión acertada implica permanencia o crecimiento de la Empresa,
mientras una desacertada toma de decisión hace que esta decae económicamente.

Ejemplo: En una fábrica de producción de GASHOL
¿Determinar cuál de las siguientes operaciones unitarias químicas resulta de mayor
eficiencia y de menor costo de producción en la deshidratación de alcohol etílico para
ser usado como combustible en motores de explosión:
- Destilación
- Solidificación
- Absorción
- Adsorción
- Precipitación
- Cristalización
- Formación de hidratos.
Problema.- Las especificaciones de diseño para un almacén refrigerado piden una
transferencia máxima de calor, a través de las paredes del almacén, de 30,000
Joules/hora/m2
de pared cuando exista una diferencia de 30ºC entre la superficie
interior y exterior del aislante. Los dos materiales aislantes que se están considerando
son:
Material Aislante Costo/m3
Conductividad J-m/m2
-ºC-h
Asbesto
Poliuretano
$ 12.50
$ 14.00
140
110
Tabla 6
La ecuación básica para la conducción de calor a través de una pared es:
L
TK
Q
)(∆
=
Donde: Q = Transferencia de calor en J/h/m2
de pared.
K = Conductividad en J – m/m2
-ºC-h
T∆ = Diferencia en temperatura entre las dos superficies en ºC.
L= Grosor del material aislante en metros.
Solución:
El criterio para seleccionar el material adecuado es minimizar el costo en función al
grosor del material aislante.
Grosor requerido del aislante:
Asbesto:
L
TK
Q
)(∆
=
L
)30(140
3000 = L = 0.14 m.
Poliuretano.
L
TK
Q
)(∆
=
L
)30(110
3000 = L = 0.11 m.
Costo del aislante por metro cuadrado de pared:
Costo Unitario = Costo/m2
x grueso del aislante en metros.

Asbesto = C.U. = 12.50 x 0.14 m = 1.75/ m2
Poliuretano = C.U. = 14.00 x 0.11 m = 1.54/ m2
La alternativa de menor costo es utilizar el material de poliuretano.
TIPOS DE DESICIONES EN INGENIERIA ECONOMICA.- Las decisiones que se
toman dentro de la ingeniería económica son:
Economía de la producción:
- Selección de materia prima, materiales y procesos.
- Reducción de costos.
- Mejora de servicios.
- Valoración de métodos y técnicas de la producción.
Presupuestos de Capital:
- Valoración de Proyectos de Inversión.
- Comparación y Selección de proyectos de inversión.
- Rentabilizar los activos fijos existentes.
- Analizar y valorar los riesgos en los procesos de inversión
- Financiamiento de capitales para la empresa.
- Amortización de deudas.
- Depreciación de equipos y maquinarias.
- Sustitución de Equipos y materiales.
- Valoración de innovaciones tecnológicas.
- La oportunidad de la reinversión y la optimizar el costo residual.

CAPITULO II
CONCEPTOS BÁSICOS DE INGENIERIA ECONOMICA
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.- El dinero es un activo que cuesta conforme
transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias,
semanales, mensuales, trimestrales, etc.).
INTERÉS.- )(I . Es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. En términos
matemáticos es la diferencia entre la cantidad acumulada final de dinero )(VF menos
la cantidad original o capital )(VA En tal sentido existe dos variantes: El interés
pagado por la persona u organización que pide dinero prestado y el Interés ganado
que recibe el prestamista. Los valores numéricos para ambas variantes son, en
esencia, los mismos valores aunque las interpretaciones difieren. Por lo tanto el
interés )(I está determinado mediante la relación:
Interés = cantidad final acumulada - cantidad original o capital.
VAVFI −= (1)
En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de dinero que se prestó
originalmente y el incremento por encima de la suma original es el interés.
TASA DE INTERÉS.- )(i . Cuando el interés se expresa en términos de porcentaje
que es igual al interés dividido por la cantidad original o inicial multiplicado por 100.
100×=
VA
I
i (2)
Remplazando valores de (1) en (2) tenemos:
100×
−
=
VA
VAVF
i (3)
La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés )(n también
denominado plazo, que puede ser; diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral o
anual en caso de no especificar el interés es anual. Es un índice utilizado para medir
la rentabilidad de los ahorros o el coste de un crédito en el tiempo.
INTERES SIMPLE Y COMPUESTO.- Los términos interés, periodo de interés y tasa
de interés son útiles para el calculo de sumas equivalentes de un dinero para un
periodo de interés tanto para el pasado como la del futuro, sin embargo, para mas de

un periodo de interés los términos de interés simple e interés compuesto son
importantes.
A). INTERÉS SIMPLE.- Cuando solo se pagan intereses sobre el principal, es decir
sobre la totalidad del dinero prestado, ignorando cualquier interés producidos en
periodos anteriores.
inVAI **= (4)
Despejando otros valores tenemos:
in
I
VA
*
= (5)
iVA
I
n
*
= (6)
nVA
I
i
*
= (7)
La tasa de interés i esta expresado en forma decimal.
Ahora despejando VF de (1) Tenemos IVAVF +=
Remplazando el valor de I en (3) tenemos:
inVAVAVF **+=
[ ])*(1 inVAVF += (8)
Despejando otros valores en (8) tenemos:
[ ])*(1 in
VF
VA
+
= (9)
n
VAi
1
VF
−
=
(10)
i
VAn
1
VF
−
=
(11)
Problema 1. Una Caja de ahorro crédito paga el 6% anual sobre los depósitos a
plazos. ¿Determinar el pago anual por interés sobre un depósito de $ 18,000?
Solución: Podemos resolver aplicando una regla de tres simple; aplicando formulas
tenemos;
000,18=VA ; 1=n ; 06.0=i ; ?=I
Reemplazando valores en ecuación (4) tenemos:
06,0*1*000,18=I
080,1$=I
Respuesta:
La Caja paga anualmente sobre el depósito de $ 18,000 la suma de $ 1,080
como intereses; por lo tanto el prestamista tendrá que reembolsar la suma total de
$ 19,080 al cabo de un año.

Problema 2. El banco de crédito otorgo un préstamo a un Ingeniero que es miembro
del personal de staff para que esta adquiriera un automóvil. El préstamo asciende a $
10,000 por un periodo de 3 años con un interés simple de 5 % anual ¿Cuanto debe
pagar el Ingeniero al final de los 3 años?
Solución:
El interés para cada año es:
Interés anual = 10,000 * 0,05 = $ 500 por año.
El total por los 3 años será:
Interés por 3 años = 500 * 3 = $ 1,500
Aplicando la formula (1) tenemos:
500,1000,10 +=VF
500,11$=VF
Otra manera de resolver:
Aplicando la formula (8) y reemplazando valores tenemos:
000,10=VA ; i = 0.05; n = 3
)05.0*31(000,10 +=VF
500,11$=VF
Respuesta: el Ingeniero reembolsara al término de 3 años $ 10,000 que es capital
prestado más los intereses que es $ 1,500 en total $ 11,500.
Los detalles de los pagos de los préstamos se tabulan en la tabla 5
Final del año Cantidad de
préstamo
Interés Adeudo Suma pagada
0 $ 10,000
1 - $ 500 $ 10,500 0
2 - $ 500 $ 11,000 0
3 - $ 500 $ 11,500 $11,500
Tabla 7
Problema 3.- Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los
microempresarios al 58.6% anual, Si los ingresos anuales que obtuvo de toda la
operación fueron de $ 500,000 como intereses ¿cuánto dinero prestó?
Solución: Aplicando la formula (5) y reemplazando valores tenemos:
000,500=I ; 1=n ; 466.0=i ; ?=VA
37.961,1072$=VA
Respuesta: El banco presto $ 1 072,961.37
Problema 4. Una entidad financiera invirtió $ 250,000 al 17.6% en
hipotecas locales y ganó $ 22,000. Determinar el tiempo que estuvo
invertido el dinero.
Solución:
)466.0*1(
000,500
=VA

000,250=VA ; 000,22=I ; 176.0=i ; ?=n
Aplicando la ecuación (6) y remplazando valores tenemos:
176,0*000,250
000,22
=n
000,44
000,22
=n
2
1
=n Año.
Respuesta: El dinero estuvo invertido durante medio año.
Problema 5: Si una empresa hipotecaria tiene invertido $ 320,000 durante 3½
años a interés simple y obtiene en total de $ 146,250 de ingresos. ¿Cuál es la
tasa de interés?
Solución:
250,146=I ; 000,320=VA ; 5.3=n ; ?=i
Aplicando la ecuación (7) y reemplazando valores tenemos:
5.3*000,320
250,146
=i
13.0=i
Otra forma de resolver:
Despejando VF en (1) tenemos: IVAVF +=
5.3/250,146000,320 +=VF
71.785,361=VF
Remplazando este valor en (2) tenemos:
000,320
000,32071.785,361 −
=i
13.0=i
Respuesta: La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.
B). INTERÉS COMPUESTO.- Si disponemos de un monto inicial )(VA ahora, al final
del primer periodo de tiempo va producir un interés que ha de ser )*( VAi por lo tanto
el valor final )(VF ha de ser:
1er. Periodo de tiempo: VAiVAVF *)( 1 += (a)
Sacando factor común: )1()( 1 iVAVF += (b)
2do.periodo de tiempo: 112 )()()( VFiVFVF += (c)

Remplazando 1)(VA de (b) en (c) ))1(()1()( 2 iVAiiVAVF +++=
Desarrollando tenemos: )()( 2 VAiVAiVAiVAVF +++=
Operando tenemos 2
2)( VAiVAiVAiVAVF +++=
Por lo tanto obtenemos )21()( 2
2 iiVAVF ++=
El segundo miembro del resultado corresponde a un trinomio cuadrado perfecto;
)21()1( 222
iii ++=+
Por lo que podemos expresar: 2
2 )1()( iVAVF +=
3er periodo de tiempo:
3
3 )1()( iVAVF +=
Y así sucesivamente hasta el periodo (n) donde:
n
iVAVF )1( +=
Por lo que podemos decir que en el último periodo (n) es el valor final del préstamo
por lo tanto será el valor final real que ha de ser:
n
iVAVF )1( += (12)
El interés compuesto es más utilizado tanto en los aspectos económicos y financieros
muy fundamentales para entender las matemáticas financieras.
Problema 6.- Supongamos que nuestra tasa de interés es de 10 % mensual, entonces si
otorgamos en calidad de préstamo $ 100. El monto ha recibir en el futuro dependerá de cual sea
el plazo a devolver el dinero.
Si el periodo esta dado en meses entonces al final del mes recibiremos $ 100 más el 20 % de 100
)100*2.0(100 +=VF o sea $ 120.
Aplicando la Formula tenemos:
Desembolso al final del 1er.Mes
)2.01(*100 +=VF
120=VF
Desembolso al final del 2do. Mes.
)20.01(100*20.0)20.01(*100 +++=VF
2
)20.01(*100 +=VF
144=VF
Si seguimos calculando el monto a recibir para el 3ro, 4to……n - esimo periodo llegamos a la
siguiente ecuación:
n
iVAVF )1( +=
En Resumen podemos explicar en el siguiente ejemplo:
Mostrar los valores acumulados al final de cada trimestre, cuando se invierte la suma
de $ 5,000 a una tasa del 8 % trimestral durante un año.

Solución:
Trimestre Valor Actual Interés Valor Final
0 5,000.00 0
1 5,000.00 400.00 5,400.00
2 5,400.00 432.00 5,832.00
3 5,832.00 466.56 6,298.58
4 6,298.56 503.88 6,802.44
Tabla 8
Si hacemos la tabla anterior pero en forma algebraica, tenemos:
Periodo Valor Actual Interés Valor final
0 VA …. ….
1 VA VAi )1(1 iVAVAiVAVF +=+=
2 )1( iVA + iiVA )1( + 2
2 )1()1()1( iVAiiVAiVAVF +=+++=
3 2
)1( iVA + iiVA 2
)1( + 322
3 )1()1()1( iVAiiVAiVAVF +=+++=
4 3
)1( iVA + iiVA 3
)1( + 433
4 )1()1()1( iVAiiVAiVAVF +=+++=
… … …. …..
n 1
)1( −
+ n
iVA iiVA n 1
)1( −
+ n
n iVAVF )1( +=
Tabla 9
Con lo que llegamos a concluir que la fórmula del interés compuesto es:
n
iVAVF )1( +=
Donde:
=VF Valor final o denominado también Capital final
=VA Valor actual o Capital inicial
=i Tasa de interés para el periodo
=n Número de períodos
VALOR FUTURO.- )(VF El Valor Futuro de una inversión inicial a una tasa de
interés dada compuesta anualmente en un período futuro es calculado mediante
la formula:
n
iVAVF )1( += (12) Formula general de interés
compuesto
Dónde: VF = Valor futuro
=VA Valor actual o presente.
=i Tasa de interéspor periodo.
=n Número de periodos. En Excel esconocido como Nper

El interés )(i y el plazo )(n deben referirse a la misma unidad de tiempo, dado
)(i en años entonces )(n debe ser años, dado )(i en meses )(n será en meses,
etc.).
En Ingeniería Económica es fundamental el empleo de la fórmula general del
interés compuesto para la evaluación y análisis de los flujos de dinero.
Problema 7. Calcular la cantidad de dinero acumulado al final de 5 años de una
inversión de $ 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual
Solución:
000,20=VA ; 5=n ; 20.0=i ; ?=VF
Aplicando la formula general de interéscompuesto (12) yreemplazando valorestenemos:
5
)2.01(000,20 +=VF
40.766,49$=VF .
El valor de n
i)1( + es una constante que depende de i y n denominado (Factor de
pago simple – cantidad compuesta) representado por (spcaf) por las siglas en Ingles
(Single-payment compound – amount factor), por lo tanto este valor encontramos en
tablas. El problema (7) podemos resolver por este método:
n
ispcafVAVF *=
Buscamos en tablas: para %20=i y 5=n encontramos el valor de 2.4883
Reemplazando este valor tenemos:
4883.2*000,20=VF
766,49=VF
Aplicando la función financiera VF en Excel:
Sintaxis
VF (Tasa;Nper;pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF
0.20 5 -20,000 49,766.40
Respuesta: La cantidad acumulada al final de los 5 años es $ 49,766.40
Problema 8. Se tiene un excedente de utilidades de $ 1,000 y se deposita en una
cuenta de ahorros en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; ¿cuánto
tendré dentro de 3 años?
Solución:
000,1=VA ; 3=n ; 08.0=i ; ?=VF
3
)008.01(000,1 +=VF
71.259,1$=VF

Sintaxis
VF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
0.08 3 -1,000 1,259.71
Problema 9. Pedro decide hoy abrir una cuenta de ahorros en el banco de crédito del
Perú en la cual deposita $ 50,000 por espacio de 8 años. El banco se compromete a
pagar 11 % anual con capitalización compuesta. ¿Calcular el valor final que ha de
recibir por esta operación?
Solución:
000,50=VA ; 8=n ; 11.0=i ; ?=VF
8
)11.01(000,50 +=VF
89.226,115=VF
Sintaxis
0.11 8 -50,000 115,226.89
VALOR ACTUAL )(VA .- Describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un
descuento y períodos dados representa valores actuales; que expresados en términos
matemáticos es inversamente proporcional a VF. Está dado por la siguiente formula:
n
i
VF
VA
)1( +
= …………………….. (13)
Dónde: =VA Valor actual o Valor presente.
VF = Valor final ó valor futuro
=i Tasa de interéspor periodo.
=n Número de periodos.
Problema 10.- Una persona nos ofrece pagar $ 8,000 dentro de 5 años, siempre y
cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad de dinero al 10% anual.
¿Cuánto es el monto a entregar hoy?

Solución:
000,8=VF ; 5=n ; 10.0=i ; ?=VA
5
)10.01(
000,8
+
=VA
37.967,4$=VA
Sintaxis
VA(tasa;Nper;pago;vf;tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA
0.10 5 8,000 -4,967.37
Respuesta: La cantidad a entregar el día de hoy es 4,967.37
Problema 11.- Dentro de 3 años debo comprar un auto Toyota Yaris cuyo costo
es de $ 12,000, ¿Cuánto es el monto a entregar hoy si el banco de crédito paga
una tasa de interés del 12 % anual.
Solución:
000,12=VF ; 3=n ; 12.0=i ; ?=VA
3
)12.01(
000,12
+
=VA
36.541,8$=VA
Sintaxis
VA(Tasa;Nper;Pago;vf;tipo)
0.12 3 12,000 -8,541.36
Respuesta: La cantidad a entregar el día de hoy es 8,541.36
TASA DE INTERES )(i .- Conocido también como tasa de rendimiento,
Simbología en Excel es F:(TASA); a: (Tasa) que se obtiene despejando de la
ecuación general y esta dado por la siguiente formula:
1−=n
VA
VF
i …………………………………. (14)
Si sabemos que: VAVFI −= ; entonces el valor actual en términos de Intereses
corresponde a la siguiente formula:
[ ]1)1( −+= n
iVAI …………………………….. (15)
Problema 12. Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $ 25,000
depositado a un banco que ha generado en 3 años intereses totales por $ 6,500.
Solución:

a). Reemplazando valores en (1) y despejando VF tenemos:
000,25=VA ; 500,31=VF ; 500,6=I
VAVFI −=
IVAVF +=
500,6000,25 +=VF
b). Este último valor aplicamos a la ecuación (14):
000,25=VA ; 3=n ; 500,31=VF ; ?=i ;
1
000,25
500,31
3 −=i
0801.0=i
Resolviendo por Excel tenemos:
Sintaxis
TASA(Nper;Pago;va;vf;Tipo)
Nper Pago va vf Tipo TASA
3 -25,000 31,500 0.0801
Respuesta: La tasa de interés es de 8.01 %.
NUMERO DE PERIODOS DE INTERES )(n .- Conocido también como periodo
de Capitalización o de Actualización. Simbología en Excel es F:(NEPER); a:
(Neper)
)log(1
VF
log
i
VAn
+
= . …………………………………(16)
Problema 13. ¿Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $
35,000, si el monto producido fue de $ 56,455 con un interés de 9 %?
Solución:
000,35=VA ; 455,56=VF ; 09.0=i ; ?=n ;
Aplicando la fórmula (14)
)log(1
VF
log
i
VAn
+
=
)09.0log(1
000,35
56,455
log
+
=n
5478.5=n
Por lo que tenemos 5 años y Convirtiendo a meses y días tenemos:
0.5478*12 = 6.5736 meses
0.5736*30 = 17 días
500,31$=VF

El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días.
Resolviendo por Excel: aplicando la función NPER, tenemos:
Sintaxis
NPER(Tasa; Pago; va; vf; Tipo)
Tasa Pago va vf Tipo NEPER
0.09 -35,000 56,455 5.5478
Respuesta:
El tiempo del capital invertido fue de 5 años, 6 meses y 17 días.
Problema 14.- Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 4,800 para
que al 12 % anual de interés produjera un monto de $ 8,700. Comprobar con Excel.
Solución:
Datos: 800,4=VA ; 700,8=VF ; %12=i ; ?=n ;
Aplicando la fórmula de n tenemos:
)log(1
VF
log
i
VAn
+
=
)12.0log(1
800,4
8,700
log
+
=n log1.12
log1.8125
=n
0.049218
0.2582278
=n
246613.5=n
R: 5 años; 2 meses con 29 días.
Resolviendo por Excel:
Sintaxis
NPER (Tasa; Pago; va; vf; Tipo)
Tasa Pago va vf Tipo NEPER
0.12 -4,800 8,700 5.24763
EQUIVALENCIAS.- Cuando se relacionan el valor del dinero en el tiempo y la tasa de
interés ayuda a demostrar el concepto de equivalencia, el cual significa que
cantidades diferentes de dinero en periodos diferentes (valor cronológico) son iguales
en valor económico dependiendo de la tasa de interés y el periodo transcurrido. Por
ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) serían
equivalentes a $106 en un año a partir de hoy.
$ 100 Es equivalente a $ 106
HOY UN AÑO DESPUES
Siempre en cuando la tasa de interés sea 6% anual y el periodo de un año
Entonces podemos afirmar que: si alguien ofreciera a un amigo un obsequio de $100
hoy o de $106 dentro de un año a partir de hoy, no habría diferencia entre cuál oferta
se aceptaría. En cualquier caso se tendrá $106 dentro de un año a partir de hoy. Las
dos cantidades de dinero son equivalentes entre sí cuando la tasa de interés es el 6%

anual en un periodo de un año. Sin embargo, a una tasa más alta o más baja de
interés, $100 hoy no equivaldrán a $106 dentro de un año.
Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para determinar
equivalencia para años anteriores. Si se tienen $100 hoy, tal cantidad es equivalente a
$100/1.06 = $94.34 hace un año a una tasa de interés de 6% anual. De estas
ilustraciones se puede afirmar lo siguiente: $94.34 hace un año, $100 hoy y $106
dentro de un año son equivalentes entre sí a una tasa de interés del 6% anual. El
hecho de que estas sumas sean equivalentes puede establecerse calculando las dos
tasas de interés para periodos de interés de un año.
Años antes Hoy Años después
-2 -1 0 1 2
94.34 100 106
Por lo que podemos deducir que $ 100 Hoy es equivalente a $94.34 hace un año atrás
o es también equivalente a $ 106 a un año después: siempre en cuando el interés sea
el 6 % anual. Aplicando la fórmula (14) 1−=n
VA
VF
i tenemos:
1
34.94
1001 −=i = 1
100
1061 − = 0.06 = 6 %
CAPITULO III
FACTORES FINANCIEROS
El flujo de efectivo resulta fundamental en todo estudio económico. Estos flujos
ocurren en muchas configuraciones y cantidades: Valores únicos aislados, series
uniformes, gradientes ascendentes y descendentes en forma aritméticas y
geométricas, todas ellas derivan de la formula general de interés compuesto.
Por lo tanto podemos mencionar que existen 6 formulas generales para poder
explicar toda transacción económica las que son:
1. Pago simple – Cantidad compuesta.- Dada un VA calcula el VF al final de
n periodos a interés compuesto i .
VA ?=VF

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El VF se puede calcular por:
A. Formula: n
iVAVF )1( +=
B. Factor de tasa de rendimiento: n
i)1( + =
n
ispcaf = Factor de pago simple –
cantidad compuesta (Single-payment compound – amount factor)
n
ispcafVAVF *= Donde (
n
ispcaf se encuentra en tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 15: Se dispone de $ 10,000 la cual se deposita a un banco local que
gana 12 % anual de intereses a plazo fijo, por espacio de 5 años.
a) ¿Cuánto de intereses ha de ganar?
b) ¿Cuanto de efectivo totales recibirá al final de los 5 años?
Solución: Para poder entender el problema podemos graficar el diagrama de flujo
de efectivo y determinar la variable económica. ?=VF
0 1 2 3 4 5
10,000
Datos:
000,10=VA ; 12.0=i ; 5=n ; ?=VF ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
n
iVAVF )1( += 5
)12.01(000,10 +=VF = 17,623.416
b). Aplicando el factor: 5
12* spcafVAVF = . En tablas podemos encontrar
n
ispcaf
para 12.0=i y 5=n ; por lo que tenemos: 1.7623 reemplazando tenemos:
7623.1*000,10=VF = $ 17,623.00
c). Determinación por Excel
Sintaxis
0.12 5 -10,000 17,623.41683
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 17,623.42

Problema 16: Un Ingeniero recibió un bono de $ 12,000 que desea invertir ahora.
Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo
el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en
una isla. Si la tasa de retorno es de 8 % anual para cada uno de los 24 años.
a) ¿Determinar la cantidad que puede obtener después de 24 años?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos: ?=VF
0 1 2 3 21 22 23 24
12,000
Datos:
000,12=VA ; 08.0=i ; 24=n ; ?=VF ;
Aplicando Excel tenemos:
Sintaxis
0.08 24
4
-12,000 76,094.16885
A este resultado la máquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos 76,094.16
Una interpretación de este resultado es que los 12,000 actuales equivaldrán a
76,094.16 después de 24 años al crecer 8 % por año en forma compuesta.
2. Pago simple – Valor Actual.- Dada una cantidad futura VF determina el valor
actual VA donde hay n periodos con un interés compuesto i , que viene a ser
el reciproco de VF
?=VA VF
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El VA se puede calcular por:
A. Formula: n
i
VFVA
)1(
1
+
=
i)1(
1
+
=
n
isppwf = Factor de pago simple –
valor actual (single payment present-worth factor) conocido también como valor

actual.
n
isppwfVFVA *= donde (
n
isppwf se encuentra en tablas)
Problema 17. Si se requiere disponer $ 12,000 dentro de 6 años para una nueva
inversión. ¿Cuanto debo de depositar hoy, si el banco me paga 15 % anual?
económica tenemos: 12,000
0 1 2 3 4 5 6
?=VA
Datos:
?=VA ; 15.0=i ; 6=n ; 000,12=VF ;
1.- Aplicando la formula Tenemos:
n
i
VFVA
)1(
1
+
= 6
)15.01(
1
000,12
+
=VA = 5,187.9315
2.- Aplicando el factor:
n
isppwfVFVA *= . En tablas podemos encontrar
n
isppwf
para i = 15% y n = 6 por lo que tenemos: 0.43233 reemplazando tenemos:
43233.0*000,12=VA = 5,187.96
3.- Determinación por Excel
Sintaxis
VA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa nper Pago vf Tipo VA
0.15 6 12,000 - 5,187.931151
Problema 18: Si he comprado un auto Toyota a un precio de $14,000 ¿Cuánto he
depositado al banco de crédito hace 5 años si me ha pagado el 17 % de interés
compuesto a plazo fijo en forma anual?
0 1 2 3 4 5

?=VA
Datos:
?=VA ; 17.0=i ; 5=n ; 000,14=VF ;
1.- Aplicando la formula Tenemos:
n
i
VFVA
)1(
1
+
= 5
)17.01(
1
000,14
+
=VA = 6,385.5561327
2.- Aplicando el factor:
n
isppwfVFVA *= . En tablas podemos encontrar
n
isppwf
para 17.0=i y 5=n por lo que tenemos: 0.45611 reemplazando tenemos:
45611.0*000,14=VA = 6,385.54
3.- Determinación por Excel
Sintaxis
0.17 5 14,000 - 6,385.556133
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o defecto
por lo que tenemos $ 6,385.56
3. Pago de series Uniformes – cantidad compuesta.- dado una serie de pagos
uniformes de ingresos o desembolsos del final del periodo P ; Determina
cuanto se acumulará como VF en n pagos a interés compuestos i .
P P P P P P P
?=VF
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
P P P P P P P
Para Determinar la formula planteamos el siguiente gráfico:
?=VF
P P P P P
0 1 2 3 4 5

4
)1( iPVF += + 3
)1( iP + + 2
)1( iP + + 1
)1( iP + + P ………….a
Multiplicando por )1( i+ Tenemos:
)1( iVF + = 5
)1( iP + + 4
)1( iP + + 3
)1( iP + + 2
)1( iP + + 1
)1( iP + …….….b
Restando b – a Tenemos:
VFiVF −+ )1( = PiP −+ 5
)1(
VFi = [ ]1)1( 5
−+iP





 −+
=
i
i
PVF
1)1( 5





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(
…………………………………..…………….. (17)
El VF se puede calcular por:
A. Formula: 




 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(
B. Factor de tasa de rendimiento:
i
i n
1)1( −+
=
n
iuscaf = Factor de series
uniformes – cantidad compuesta (Uniform series compound amount factor)
n
iuscafPVF *= (
n
iuscaf se encuentra en tablas)
Problema 19: Si depositamos en la oficina principal del banco continental del Perú
en forma continua durante 5 años la suma de $ 100 anuales ¿Cuánto se acumulara
si el banco paga 17% anual en forma compuesta?
económica tenemos:
?=VF
1 2 3 4 5
0=VA 100 100 100 100 100
Datos:
100=P ; 17.0=i ; 5=n ; ?=VF ;
El problema se puede resolver por varios métodos pero entre los principales
tenemos:

i
i
PVF
n
1)1( −+
=
17.0
1)17.01( 5
−+
= PVF
44.701=VF
b). Aplicando el factor:
5
17*uscafPVF = . En tablas podemos encontrar
5
17uscaf para
17.0=i ; 5=n por lo que tenemos: 7.0144 reemplazando tenemos:
0144.7*100=VF
44.701=VF
c). Determinación por Excel.
Sintaxis
0.17 5 -100 701.440021
defecto por lo que tenemos $ 701.44
Problema 20: Juan ha depositado en una cuenta de ahorros del Banco de Crédito
del Perú la suma de 5,000 Dólares Americanos anuales durante 4 años
¿Determinar cuánto dispondrá hoy en su cuenta de ahorros si la tasa de interés
anual es de 20 %?
económica tenemos:
?=VF
1 2 3 4
0=VA 5,000 5,000 5,000 5,000
Datos:
5000=P ; 20.0=i ; 4=n ; ?=VF ;
El problema se puede resolver por varios métodos pero entre los principales
tenemos:

i
i
PVF
n
1)1( −+
=
20.0
1)20.01( 4
−+
= PVF
840,26=VF
4
20*uscafPVF = . En tablas podemos encontrar
4
20uscaf
para 20.0=i ; 4=n por lo que tenemos: 5.9680 reemplazando tenemos:
3680.5*000,5=VF
840,26=VF
Sintaxis
VF (Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa nper Pago va Tipo VF
0.20 4 -5000 26,840
defecto por lo que tenemos $ 26,840
4. Depósito de Fondo de Amortización.- Calcula la serie uniforme de depósitos
P de fin de periodo durante n periodos a interés compuesto i para que
proporcione una futura cantidad requerida VF.
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
0=VA VF
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
El valor de P se puede calcular por:
A. Formula: 





−+
=
1)1( n
i
i
VFP ………………………….. (18)
1)1( −+ n
i
i
=
n
isfdf = Factor de depósito de
fondo de amortización (sinking fund deposit factor)
n
isfdfVFP *= (Tablas)
Problema 21: Se requiere tener $ 12,000 al cabo de 6 años. ¿Cuánto debo
depositar anualmente si el banco me paga el 15 % anual?

1 2 3 4 5 6
0=VA ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
Datos:
?=P ; 15.0=i ; 6=n ; 000,12=VF ;






−+
=
1)1( n
i
i
VFP
1)15.01(
15.0
000,12 6
−+
=P = $ 1,370.8428
6
15* sfdfVFP = En tablas podemos encontrar sfdf para i =
15 % y n = 6 por lo que tenemos: 0.11424 reemplazando tenemos:
11424.0*12000=P = $ 1,370.88
Sintaxis
PAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)
Tasa Nper va vf Tipo PAGO
0.15 6
7
12,000 -1,370.842879
Problema 22: Al cabo de 5 años se ha recibido del banco de la nación la suma de
$10,000. ¿Cuánto se ha depositado cada uno de los 5 años anteriores si el banco
paga el 15 % anual?
económica tenemos: 000,10=VF
1 2 3 4 5
0=VA
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
Datos:
?=P ; 15.0=i ; 5=n ; 000,10=VF ;







−+
=
1)1( n
i
i
VFP
1)15.01(
15.0
000,10 5
−+
=P = $ 1,483.155
5
15* sfdfVFP = En tablas podemos encontrar sfdf para i =
14832.0*000,10=P = $ 1,483.20
Sintaxis
PAGO (Tasa;Nper;va;vf;Tipo)
Tasa nper va vf Tipo PAGO
0.15 6
7
12,000 -1,483.155525
5. Recuperación de capital.- Determina la serie futura de pagos P uniformes de
final de periodo que permitirá recuperar una cantidad actual VA sobre n
periodos a interés compuesto i.
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
VA
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
El valor de P se puede calcular por:
A. Formula: 





−+
+
=
1)1(
)1(
n
n
i
ii
VAP ………………………………. (19)
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
ii
= crf =Factor de recuperación de
capital (capital recovery factor).
n
icrfVAP *= (Tablas)
Problema 23: Requiero un préstamo de $ 18,000 y deseo pagar al banco en 5
cuotas anuales e iguales ¿Cuánto es la cuota anual si el banco me cobra 20 %
anual?
económica tenemos:

. 000,18=VA
1 2 3 4 5
?=P ?=P ?=P ?=P ?=P
Datos:
?=P ; 20.0=i ; 5=n ; 000,18=VA ;






−+
+
=
1)1(
)1(
n
n
i
ii
VAP
1)20.01(
)20.01(20.0
000,18 5
5
−+
+
=P = $ 6,018.8346
5
20*crfVAP = En tablas podemos encontrar
n
icrf para i =
33438.0*000,18=P = $ 6,018.84
Sintaxis
0.15 5
7
18,000 -6,018.834659
Problema 24: César compra a plazos un automóvil por $ 20,000. Si se da una
inicial de $ 5,000 y el resto se paga en 18 cuotas iguales, a una tasa de interés de
3.5% mensual. ¿Calcular el valor de la mensualidad? Comprobar con Excel.
Solución: Si se da como adelanto $ 5,000 entonces el monto a financiar es de $
15,000.
Datos:
000,15=VA ; 18=n ; %5.3=i ; ?=P
a). Aplicando formula tenemos: Conociendo valor actual determinar P.






−+
+
=
1)1(
)1(
n
n
i
ii
VAP 





−+
+
=
1)035.01(
)035.01(035.0
000,15 18
18
P




−
=
18574882.1
065012.0
000,15P 



=
8574882.0
065012.0
000,15P

25.137,1=P
18
5.3*crfVFP = En tablas podemos encontrar
n
icrf para i =
3.5 % y n = 18 por lo que tenemos: 0.07582 reemplazando tenemos:
07582.0*000,15=VA = $ 1,137.3
c). Demostrando por Excel:
Sintaxis
0.035 18 15,000 -1,137.25261
R: Los pagos mensuales han de ser $ 1,137.25
6. Series Uniformes – valor actual.- Determina el valor actual VA de una serie
uniforme de pagos de final de periodo P durante n periodos a interés
compuesto i .
P P P P P P P
?=VA 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
P P P P P P P
El valor de VA se puede calcular por:
A. Formula: 





+
−+
= n
n
ii
i
PVA
)1(
1)1(
…………………………. (20)
n
ii
i
)1(
1)1(
+
−+
=
n
iuspwf = Factor de series
uniformes - valor actual (uniform series present worth factor)
n
iuspwfPVA *= (Tablas)
Problema 25: Si pague 200 soles anuales durante 7 años a un banco que me cobra
15 % de intereses ¿Cuánto fue mi préstamo?
económica tenemos:
?=VA
0 1 2 3 4 5 6 7

200 200 200 200 200 200 200
Datos:
200=P ; %15=i ; 7=n ; ?=VA ;






+
−+
= n
n
ii
i
PVA
)1(
1)1(
7
7
)15.01(15.0
1)15.01(
+
−+
= PVA = $ 832.08396
7
15*uspwfPVA = En tablas podemos encontrar
n
iuspwf para
%15=i y 7=n por lo que tenemos: 4.1604 reemplazando tenemos:
1604.4*200=VA = $ 832.08
Sintaxis
0.15 7 -200 832.08394468
defecto por lo que tenemos $ 832.08
Problema 26: Si se puede pagar 500 soles anuales durante 6 años a un banco
privado que cobra 17 % de intereses ¿Cuánto de préstamo me pueden dar hoy?
económica tenemos:
?=VA
0 1 2 3 4 5 6
500 500 500 500 500 500
Datos:
500=P ; %17=i ; 6=n ; ?=VA ;






+
−+
= n
n
ii
i
PVA
)1(
1)1(
6
6
)17.01(17.0
1)17.01(
+
−+
= PVA = $ 1,794.592
6
17*uspwfPVA = En tablas podemos encontrar
n
iuspwf para
%17=i y 6=n por lo que tenemos: 3.5892 reemplazando tenemos:
5892.3*500=VA = $ 1,794.60

Sintaxis
0.17 6
6
-500 1,794.592377

TIPOS DE PAGOS: En los flujos de pagos de ingreso o desembolso para
determinar las variables económicas n , i , P ,VF o VA en una transacción
económica pueden realizarse de dos tipos:
• Vencidas o Pos pagables.- Cuando el Pago se realiza al fin de periodo.
. ?=VF
0=VA
0 1 2 3 4 5
P P P P P
• Anticipadas o Prepagables.- Cuando el Pago se realiza al inicio del
periodo.
. ?=VF
0=VA
0 1 2 3 4 5
P P P P P
Problema 27: Si depositamos en un banco en forma continua durante 5 años la
suma de $1,000 anuales a una tasa de interés de 15 %.
a. ¿Cuánto se acumulará si el pago se realiza al final de cada periodo?
b. ¿Cuánto se acumulará si el pago se realiza al inicio de cada periodo?
Solución:
a. Para pagos al final de periodo, vencido o postpagable
Para poder entender el problema podemos graficar el diagrama de flujo de
efectivo y determinar la variable económica. ?=VF
0 1 2 3 4 5
0=VA
100 100 100 100 100
Datos:
1000=P ; 15.0=i ; 5=n ; ?=VF ;

i
i
PVF
n
1)1( −+
=
15.0
1)15.01(
000,1
5
−+
=VF = $ 6,742.3806
5
15*uscafPVF = En tablas podemos encontrar
5
15uscaf
7424.6*000,1=VA = $ 6,742.4
Sintaxis
VA (Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
0.15 5
6
-1,000 0 6,742.38125
b. Para pagos al inicio de periodo, anticipado o prepagable.
Para poder entender el problema podemos graficarlo y determinar la variable
económica. ?=VF
0=VA
0 1 2 3 4 5
Datos: 100 100 100 100 100
000,1=P ; 15.0=i ; 5=n ; ?=VF ;
)1(
1)1(
i
i
i
PVF
n
+
−+
= )15.01(
15.0
1)15.01(
000,1
5
+
−+
=VF
15.1*38.742,6=VF 3.753,7=VF
5
15*uscafPVF = En tablas podemos encontrar
5
15uscaf
15.1*7424.6*1000=VF = $ 7,753.3
Sintaxis
0.15 5
6
-1,000 1 7,753.738437
GRADIENTES.- Hasta ahora hemos visto cuando los flujos de pagos son de
series uniformes, pero en la vida financiera existen flujos en forma ascendente
y/o descendente a la vez pueden ser en forma aritmética o geométrica.

A). GRADIENTE ARITMETICO.- Para poder deducirlos y entenderlo podemos
partir de las formulas ya descritos como: Pago de series Uniformes –
cantidad compuesta que menciona dado una serie de pagos uniformes
del final del periodo P ; cuanto se acumulará como en n pagos a
interés compuestos i .
?=VF
P P P P P
0 1 2 3 4 5
4
)1( iPVF += + 3
)1( iP + + 2
)1( iP + + 1
)1( iP + + P ………….a
Multiplicando por )1( i+ Tenemos:
)1( iVF + = 5
)1( iP + + 4
)1( iP + + 3
)1( iP + + 2
)1( iP + + 1
)1( iP + …….….b
Restando b – a Tenemos:
VFiVF −+ )1( = PiP −+ 5
)1(
VFi = [ ]1)1( 5
−+iP





 −+
=
i
i
PVF
1)1( 5
Formula corresponde para 5 periodos por lo que para n periodos tenemos:





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(
Corresponde a la formula (17) ?=VF
Ahora bien como es una gradiente de pagos: GnP )1( −+
GP 3+
GP 2+
GP +
P
VA
0 1 2 3 4 n
Desarrollando tenemos:






−
−+
+




 −+
= n
i
i
i
G
i
i
PVF
nn
1)1(1)1(
……………….. (21)
Como podemos notar la primera parte de esta fórmula corresponde a un

flujo uniforme de pagos y la segunda al flujo del gradiente, por lo tanto
cuando se requiere tan solo la ecuación de una gradiente puro tenemos:
(n -1) G
3G ?=VF
2G
G
P
VA
0 1 2 3 4 n






−
−+
= n
i
i
i
G
VF
n
1)1(
……………………………………(22)
Esta fórmula se cumple teniendo en cuenta la gráfica de gradientes, donde
la gradiente empieza en el periodo 2.
Desarrollando de igual manera para VA tenemos:






+
−
+
−+
+





+
−+
= nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
i
PVA
)1()1(
1)1(
)1(
1)1(
……….. (23)
Para una gradiente puro:






+
−
+
−+
= nn
n
i
n
ii
i
i
G
VA
)1()1(
1)1(
……………………………. (24)






+
−
+
−+
=
nn
n
i
n
ii
i
i
VA
G
)1()1(
1)1(1 ……………………………. (25)
Problema 28: Calcular el valor de contado de un producto adquirido con
financiamiento. Con una cuota inicial de $ 1,500 y el saldo en 24 armadas
mensuales que aumentan en $ 80 cada mes, siendo de $ 250 la primera cuota.
La tasa de interés es de 2.8% mensual.
Solución: Podemos dividirlo en 2 tipos de flujo: Un flujo de serie uniforme de
P = 250 y un flujo de gradiente que aumenta de 80 en 80 por cada mes; por lo
que tenemos:
DATOS:
250=P ; 24=n ; %8.2=i ; 80=G ?=VA ;
1.- Calculando VA de la serie:







+
−+
= 24
24
)028.01(028.0
1)028.01(
250VA = $ 4,327
Determinación por Excel
Sintaxis
0.028 24 -250 4,326.564952
2.- Calculando el valor actual de la gradiente:






+
−
+
−+
= 2424
24
)028.01(
24
)028.01(028.0
1)028.01(
028.0
80
VA = $ 17,740
3.- Finalmente calculamos el valor de contado del producto, sumando los
valores actuales: 1,500 + 4,327 + 17,740 = $ 23,527
Problema 29: Una persona deposita al finalizar el primer mes en su cuenta de
ahorros la suma de $ 300 y durante los próximos 9 meses el monto depositar
aumentará en $ 100 por mes. Si la tasa de interés es de 10% mensual
determinar el monto disponible al finalizar el décimo mes.
Solución: De igual manera dividimos en dos flujos o aplicamos la formula
general:
Datos:
300=P ; 100=G ; %10=i ; 10=n ; ?=VF ;
Calculando VF de la serie uniforme más la gradiente tenemos:






−
−+
+




 −+
= 10
1.0
1)1.01(
1.0
100
1.0
1)1.01(
300
1010
VF






−
−
+




 −
= 10
1.0
1)1.1(
1.0
100
1.0
1)1.1(
300
1010
VF






−+





= 10
1.0
5937423.1
1000
1.0
5937423.1
300VF
423.937,52269.781,4 +=VF
649.718,10$=VF
Problema 30: Calcular el Valor final y el valor actual del siguiente flujo: Si la
tasa de interés por periodo es 10%.
200

180
160
140
120
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
100 100 100 100 100 100
Resolver por cualquier método: comprobar por Excel.
Solución: Para poder resolver podemos dividirlo en dos formas: Uno en pagos
de gradiente aritmético y la otra en descuentos uniformes:
a) Pagos gradientes: Depósitos
Datos:
100=P ; 20=G ; %10=i ; 6=n ; ?=VF
Aplicando formulas de VF en el periodo 6:






−
−+
+




 −+
= n
i
i
i
G
i
i
PVF
nn
1)1(1)1(






−
−+
+




 −+
= 6
1.0
1)1.01(
1.0
20
1.0
1)1.01(
100
66
VF
122.343561.771 +=VF
683.114,1=VF
Comprobando por Excel el valor uniforme:
Sintaxis
0.1 6 -100 711.561
Valor final en el periodo 12:
n
iVAVF )1( += 6
)1.01(683.114,1 +=VF
7289.974,1=VF
Comprobando por Excel:
Sintaxis
0.1 6 -1,114.683 1,974.7289

b) Pagos uniformes: Descuentos





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(





 −+
=
1.0
1)1.01(
100
6
VF
561.771=VF
Comprobando por Excel tenemos.
Sintaxis
0.1 6 100 -711.561
c) Restando: Depósitos – Descuentos tenemos:
1,974.7289 – 771.561
1689.203,1=VF
d) Llevando al valor actual tenemos:
n
i
VF
VA
)1( +
= 12
)1.01(
1689.203,1
+
=VA
B). GRADIENTE GEOMETRICO.- Un flujo de Pagos geométrico se origina
cuando aumenta o disminuye la magnitud del flujo del efectivo o Pagos en
un porcentaje fijo de un periodo al siguiente en forma consecutiva. En la
progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un
mismo número denominado razón de la progresión, representado por E
(Escalera). Tal como se muestra en el siguiente grafico:
E
E
E
Q E
EVA
0 1 2 3 (n -1) n
3667.383=VA

VALOR ACTUAL DE UNA GRADIENTE EN ESCALERA.- Podemos
determinar mediante la formula siguiente:
iE
i
E
Q
VA
n
n
E
−






−
+
+
=
1
)1(
)1(
…………………………….. (26)
Donde:
=EVA Valor actual de la serie escalera.
Q = Cantidad de dinero en el año 1
i = Tasa de valoración
E = Tasa de escalada.
n = Número de periodos.
VALOR FINAL DE UNA GRADIENTE EN ESCALERA.- No podemos
determinar una formula especifica para poder desarrollar este tipo de
gradiente pero podemos realizar mediante una deducción lógica.
El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización,
para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado
después de un plazo determinado.
Problema 31: Determinar el valor actual y valor futuro de los ingresos anuales
vencidos de una persona que el primer año ganará $ 30,000 con la esperanza
que crezcan un 8% anual de forma acumulativa durante 5 años considerando la
tasa de valoración 10 %.
Solución.- Graficando tenemos: VF
E
E
E
Q E
EVA
0 1 2 3 4 5
Datos:
000,30=Q ; 08.0=E ; 10.0=i ; 5=n ; ?=EVA
Aplicando la fórmula del EVA de forma gradiente tenemos:

iE
i
E
Q
VA
n
n
E
−






−
+
+
=
1
)1(
)1(
10.008.0
1
)10.01(
)08.01(
000,30 5
5
−






−
+
+
=EVA
50.494,131=EVA
Conociendo el Valor Actual podemos determinar el valor Final.
n
iVAVF )1( += 5
)1.01(5.494,131 +=VF
20.773,211$=VF
El valor final también podemos determinar por Excel así tenemos:
Sintaxis
0.10 5
6
-131,494.5 211,773.2
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por
exceso o defecto por lo que tenemos $ 211,773.2
Problema 32: Calcular el valor final y el valor actual del siguiente flujo a una
tasa de interés de 15%. Aplicando fórmula.
50(1.1)
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Solución: Para este caso aplicamos la formula de gradiente geométrico
Datos:
50=Q ; 1.0=E ; 15.0=i ; 10=n ; ?=EVA
a) Primero calculamos él EVA

Aplicando la Formula tenemos:
iE
i
E
Q
VA
n
n
E
−






−
+
+
=
1
)1(
)1(
15.01.0
1
)15.01(
)1.01(
50 10
10
−






−
+
+
=EVA
8665.358=EVA
b) Calculando valor Final tenemos:
n
iVAVF )1( += 10
)15.01(6565.358 +=VF
96.450,1=VF
C) OTROS TIPOS DE FLUJO DIFERENTES A LOS PROPUESTOS.- Por
cambios bruscos de la economía pueden surgir diferentes formas de pago
de acuerdo a la realidad y se pueden desarrollar por deducción lógica o
formulas específicas.
1.- Pagos diferentes indiscriminadamente.-
a) Pagos iguales en forma secuencial:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Se desarrolla haciendo como tres series uniformes diferentes
empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0 para VA,
Siendo i constante.
b) Pagos ascendentes seguidas de pagos uniformes y luego
descendentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Se desarrolla haciendo como tres series: ascendente, uniforme y
descendente. Empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0
para VA, Siendo i constante.
c) Depósitos ascendentes, descendentes para luego realizar
descuentos.
0
Se desarrolla haciendo como tres series uno de pagos ascendentes
seguida de una descendente y la otra serie descuentos o desembolsos.
Empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0 para VA,
Siendo i constante.
2.- Pagos no Uniformes:
0
Se desarrolla periodo por periodo o se acomodar a las series ya conocidas.
3.- Pagos en periodos diferidos. De cualquiera de los tipos anteriores:
0
4.- Cambio indiscriminado de la tasa de interés por periodo. De
cualquiera de los tipos anteriores:
12.0=i 15.0=i 13.0=i
0 1 2 3 4

Problema 33: Una persona deposita en una cuenta de ahorros $ 5,000
mensualmente durante 4 meses, determinar cuanto dispondrá en su cuenta de
ahorros al final del mes 5 si la tasa de interés mensual es de 10 %.
0 1 2 3 4 5
Solución: Primero determinamos el valor futuro en el periodo 4





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(





 −+
=
1.0
1)1.01(
000,5
4
VF
295,23=VF
Llevando al periodo 5 y haciendo que 295,23=VA .
n
iVAVF )1( += 1
)1.01(295,23 +=VF
5.624,25=VF
Resolver aplicando Excel y comparar el VF .
Problema 34: Una persona desea hacer un único depósito hoy que le permita
retirar desde el mes 5 al mes 12 una cantidad mensual de $ 3,000 si la tasa de
interés mensual es de 12 % ¿Cuál debe ser el monto a depositar hoy día?
Solución:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?=VA
Hay diferentes alternativas para resolver este flujo, una de ellas es el VA en el
momento 4.






+
−+
= n
n
ii
i
PVA
)1(
1)1(






+
−+
= 8
8
)12.01(12.0
1)12.01(
000,3VA
92.902,14=VA
Ahora llevando este flujo al momento 0:
n
i
VF
VA
)1( +
= 4
)12.11(
92.902,14
+
=VA

0754.471,9=VA
Resolver y comparar por:
1) Llevar el flujo uniforme al momento 12 luego hallar el valor presente de
ese flujo en el momento 0.
2) Resolver y comparar el Problema utilizando tablas.
3) Resolver y comparar el problema aplicando Excel.
RESUMEN DE FORMULAS
INTERES FORMULAS
INTERES SIMPLE VAVFI −= ……………… (1)
100×=
VA
I
i ……………… (2)
VA
VAVF
i
−
= …………… (3)
inVAI **= …………… (4)
in
I
VA
*
= …………….. (5)
iVA
I
n
*
= …………… (6)
nVA
I
i
*
= …………… (7)
)*1( inVAVF += ………. (8)
)*1( in
VF
VA
+
= ………… (9)
n
VAi
1
VF
−
=
…………. (10)
i
VAn
1
VF
−
=
…………… (11)

INTERES
COMPUESTO
n
iVAVF )1( += ………. (12)
n
i
VF
VA
)1( +
= ………... (13)
1−=n
VA
VF
i ……….. (14)
[ ]1)1( −+= n
iVAI …... (15)
)log(1
VF
log
i
VAn
+
= ………. (16)





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(
…….. (17)






−+
=
1)1( n
i
i
VFP ……. (18)






−+
+
=
1)1(
)1(
n
n
i
ii
VAP …… (19)






+
−+
= n
n
ii
i
PVA
)1(
1)1(
….. (20)
GRADIENTE
ARITMETICO






−
−+
+




 −+
= n
i
i
i
G
i
i
PVF
nn
1)1(1)1(
….… (21)






−
−+
= n
i
i
i
G
VF
n
1)1(
…………….. … (22)






+
−
+
−+
+





+
−+
= nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
i
PVA
)1()1(
1)1(
)1(
1)1(
. (23)






+
−
+
−+
= nn
n
i
n
ii
i
i
G
VA
)1()1(
1)1(
……………….. (24)






+
−
+
−+
=
nn
n
i
n
ii
i
i
VA
G
)1()1(
1)1(1 ………………… (25)
GRADIENTE
GEOMETRICO
iE
i
E
Q
VA
n
n
E
−






−
+
+
=
1
)1(
)1(
………………………… (26)
Tabla 10

CONDICIONES REFERENCIALES A TENER EN CUENTA PARA LA
APLICACIÓN DE LAS FORMULAS ELEMENTALES
1.- En una transacción económica el flujo de efectivo debe darse en una sola
unidad monetaria ejemplo. Todo en Dólares ($) o Todo en soles (S/.) etc.
2.- La tasa de interés i debe de estar en concordancia con el periodo es decir
si esta es 10 % mensual, entonces n debe de estar en meses.
3.- El final de cualquier periodo coincide con el inicio del nuevo periodo.
4.- El valor presente VA se da al inicio del periodo 1 o sea en 0.
5.- El valor final VF se produce al final del último periodo.
6.- En una transacción: Si él VA es positivo entonces él VF es negativo,
contrariamente si él VA es negativo entonces él VF es positivo.
7.- Los pagos P pueden realizarse al inicio o al final de cada periodo;
Conocidas también como anticipadas o vencidas.
7.- La gradiente G se realiza después de un primer Pago P .
8.- La gradiente E se produce después de Q o primer pago.
9.- Todo planteamiento de problema se puede desarrollar por deducción
lógica.
10.- La Nomenclatura se muestra en la tabla 11.
NOMENCLATURA
Descripción Formula Excel
FUNCION atributo
Valor final
Valor Actual
Pago
Tasa de interés
Periodo
VF
VA
P
i
n
VF
VA
PAGO
TASA
NEPER
vf
va
Pago
Tasa
Neper
tipo: Vencidas = 0
Anticipadas = 1
Tabla 11.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- ¿Qué elegiría Ud.?

a) Tener $1,000 hoy u
b) obtener $1,000 dentro de un año.
2.- ¿Qué eligería Ud.?
a) Tener $1,000 hoy u
b) obtener $1,500 dentro de un año.
3.- ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto? Y
¿cuándo son iguales?
4.- Un ingeniero solicita a la Caja Municipal Huancayo un préstamo de $ 10,000
con un interés anual compuesto de 15%. ¿Calcule el adeudo total después
de tres años? Elabore un cuadro de acumulación por Excel?
5.- Una entidad financiera me ofrece $ 5,000 dentro de 3 años, siempre y
cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual.
¿Cuánto es el monto a entregar hoy?
6.- Daniel desea viajar al extranjero dentro de 18 meses en un tour cuyo costo
para entonces es $10,000. Quiere saber cuánto debe depositar hoy para
acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el Banco
gana el 3.5 % mensual.
7.- Si hoy recibo $ 80,000 y dentro de 5 meses recibo otra suma de $ 45,000
ambos han sido depositados en su momento a un banco que paga 4.5%
mensual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año?
8.- Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $ 25,000 que ha
generado en tres años intereses totales por $ 6,500.
9.- Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $ 35,000, si el
monto producido fue de $ 56,455 con un interés de 9 %.
10.- ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión se duplique con 5% por
año, con a) interés simple, y b) interés compuesto.
11.- Una empresa que manufactura oxidantes termales regenerativos hizo una
inversión hace diez años que ahora tiene $1 300,000. ¿De cuánto fue la
inversión inicial con una tasa de 15% anual de a) interés simple, y b)
interés compuesto?
12.- Si usted tiene ahora $62,500 en su cuenta de ahorros y quiere jubilarse
cuando en ésta haya $ 2 000,000 calcule la tasa de rendimiento que debe
ganar para retirarse dentro de 20 años sin agregar más dinero a la cuenta.

13.- Una compañía que ofrece gran variedad de servicios recibió un préstamo
de $ 2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del
crédito más $ 275,000 de intereses por un año. ¿Cuál fue la tasa de interés
del préstamo?
14.- Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el
proyecto de un ducto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un
año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones,
¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?
15.- La compañía US Filter celebró un contrato para una planta pequeña que
desala agua con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28%
sobre su inversión. Si la empresa invirtió $ 8 millones en equipo durante el
primer año, ¿cuál fue la utilidad en dicho año?
16.- Determinar el valor actual de $ 100 a ser recibido dentro de 3 años a
partir de hoy si la tasa de interés es 9%.
17.- ¿A cuánto equivale tener $1,000 hoy que haber tenido 5 años atrás o 5
años después? Si tasa de interés de un banco es 18 % de interés.
18.- ¿cuánto dinero podría una persona estar dispuesta a gastar ahora en lugar
de gastar $40,000 dentro de cinco años si la tasa de interés es 12% anual?
19.- Una pareja de casados está planeando comprar un nuevo vehículo para un
negocio de deportes dentro de cinco años. Ellos esperan que el vehículo
cueste $32,000 en el momento de la compra. Si ellos desean que la cuota
inicial sea la mitad del costo. ¿Cuánto deben ahorrar cada año si pueden
obtener 10% anual sobre sus ahorros?
20.- Tengo un préstamo de S/. 5,000 de un banco con una tasa de interés de
20 % anual de interés compuesto. Se me presenta una oportunidad de
prestar a un comerciante que me quiere pagar además del préstamo 40
sacos de arroz al final de 3 años? si el saco de arroz cuesta S/. 91.
a) ¿Me conviene o no realizar la transacción económica?
b) ¿Cuánto de ganancia o perdida me arroja dicha transacción económica?
R: Decisión personal. No se gana ni se pierde. Oportunidades y riesgos.
21.- Tenemos una anualidad de $ 500 anual, durante cinco años. Si la tasa de
descuento es igual a 13%, ¿cuál es el valor actual de la anualidad?
R: 1,758.62

22.- Una inversión de $ 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un
valor de $ 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del
proyecto.
R: 25.41 %.
23.- Se ha abonado 8 cuotas iguales de $ 5,000 cada una y al efectuar el
último pago nos dicen que tenemos $ 48,800 ¿Cuál es la tasa de interés de
esta inversión y cuanto de interés se ha ganado?
R: 5.61 %; $ 8,800
24.- Se ha depositado $ 50,000 en un banco; al término de 3 años he recibido
por parte del banco la suma de $ 70,000.
a) ¿Cuánto es la tasa de interés si la capitalización es anual?
R. 11.86 %
25.- Tengo un préstamo realizado hace 3 años por $ 12,000, el préstamo es
por un periodo de 5 años que al final de periodo debo pagar $ 3,000 por
intereses por el préstamo; Si decido pagar hoy dicho préstamo.
a) ¿Cuánto de descuento tengo si la tasa de interés es anual.
R: 1,280.85
26.- Se obtiene un crédito de $ 10,000 para pagar 24 cuotas trimestrales
iguales a la tasa de 12 % por trimestre. ¿Cuánto es la cuota trimestral?
R: $ 1,284.63
27.- ¿Determinar los intereses y el capital final producidos por $ 50,000 al 15 %
anual de interés durante 5 años?.
R: $ 50,567.85 y $ 100,567.85
28.- Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 4,800 para que al
12% anual de interés produjera un monto de $ 8,700.
29.- Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre
sus afiliados y asume, como como préstamo $1,200, para pagar en 36
cuotas constantes a 2.87%. ¿Calcular el valor de las cuotas mensuales?
R= $ 53.90
30.- ¿Cuánto debo invertir hoy para retirar $ 2,800 al final de cada uno de los 5
años y cuánto tendré al final. si el interés es 7% compuesto anualmente.
R= 11,480.55 Invertir hoy y se obtiene $ 16,102.07 al final de 5 años.

31.- César compra a plazos un automóvil por $ 15,000 pagadero en 18 cuotas
iguales, a una tasa de interés de 3.5% mensual. ¿Calcular el valor de la
mensualidad?
R: 1,137.25
32.- Tenemos la posibilidad de efectuar la compra de activos que valen $
200,000 al contado. Como no disponemos de ese monto decidimos por la
compra a crédito según las siguientes condiciones de venta: cuota inicial
de $ 20,000 y cuatro cuotas iguales futuras de $ 52,000 cada una.¿Que
intereses nos costo la compra acredito?
R: 6 %
33.- Hace un año y medio una PYME invirtió UM 20,000 en un nuevo proceso
de producción y ha obtenido hasta la fecha beneficios por UM 3,200.
¿Determinar a que tasa de interés mensual debería haber colocado este
dinero en una entidad financiera para obtener los mismos beneficios?
R: 0.83 mensual.
34.- Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de $ 5,000
cada una y al efectuar el último abono tendremos la suma de $ 48,600.
¿Cuál es la tasa de interés de esta inversión?
R: 5.5 %
35.- Supongamos una deuda a pagar en seis cuotas mensuales iguales de $
8,000 cada una, con el primer vencimiento dentro de un mes. Pero como
pagamos toda la deuda al contado nos rebajan el total de la obligación a $
35,600. Encontrar la tasa de interés.
R: 9.27 %
36.-Una persona se presta 4,000 soles, el pago lo hará en dos partes: el primer
pago será de 1,000 soles al finalizar el primer mes. ¿Cuanto deberá
pagar al final del cuarto mes si la tasa de interés es de 8% mensual?
R: 4,182.2
37.- Una máquina que cuesta hoy $ 60,000 puede producir ingresos por $
3,500 anuales. Determinar su valor de venta dentro de 5 años al 21%
anual de interés, que justifique la inversión.
R: $ 120062.27

38.- Un microempresario deposita $ 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que
da una tasa de interés del 1.8% mensual y considera retirar $ 390
mensuales, empezando dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo
podrá realizar retiros completos?
R: 7 meses
39.- La implementación de una mejora en un proceso productivo requiere una
inversión de $ 56,000 dentro de dos años. ¿Qué ahorros anuales debe
hacerse para recuperar este gasto en siete años, si contempla una tasa
de interés del 12% anual?
R: 9,792.07
40.- Juan deposita en una cuenta de ahorros de un banco local la suma de
5,000 soles mensuales durante 10 meses. ¿Determinar cuanto dispondrá
en su cuenta de ahorros al final del mes 11 si la tasa de interés mensual
es de 10 %?
R: $ 87,655.83
41.- Qué monto podríamos acumular en 12 años invirtiendo ahora $ 600 en un
fondo de capitalización que paga el 11% los 6 primeros años y el 13% los
últimos 6 años.
R: 2,336.47
42.- Si depositamos hoy $ 6,000, $ 15,000 dentro de cuatro años y $ 23,000
dentro de seis años a partir del 4to. año. En qué tiempo tendremos una
suma de $ 98,000 si la tasa de interés anual es de 14.5%.
R: 11 años; 6 meses; 28 días.
43.- Cuál será el monto después de 12 años si ahorramos: $ 800 hoy, $ 1,700
en tres años y $ 500 en 5 años, con el 11% anual.
R: 8185.50
44.- En un banco local hago los siguientes depósitos; hoy día $ 5,000; al final
del periodo de tres años la suma de $ 10,000 y después al final del
periodo 5 años $ 2,500; Si la tasa de rendimiento es de 12 %.
a) ¿Cuánto me debe pagar el banco al final del periodo 6 años?
R: $ 28,740.30
45.- Un banco me hace los siguientes prestamos; hoy día $ 2,500; al final del
periodo de tres años la suma de $ 5,000 y después al final del periodo 5

años $ 10,000 siempre en cuando lo cancelo en 6 años y si la tasa de
interés es de 15 %.
a) ¿Cuánto debo cancelar al banco?
b) ¿Realizar un diagrama de ingresos y egresos? R:
46.- Un pequeño empresario ahorra mensualmente $ 3,000 en una institución
financiera que paga 1.5% mensual. Asimismo, tiene proyectado incrementar
cada depósito en 8% por período. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año?
R: 61,956.48
47.- Juana deposita al finalizar el primer mes en una cuenta de ahorros la suma
de 300 soles y durante los próximos 9 meses el monto depositado
aumentara en 10 soles por mes. Si la tasa de interés es de 10 % mensual
¿determinar el monto disponible al finalizar el 10mo. Mes?
R: $ 5,912.46
48.- Si depositamos a una cuenta bancaria en miles de dólares a una tasa del
15 % según el grafico ¿Determinar el valor final?
30 30 30 30
20 20 20 20
10 10 10 10
?=VF
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
49.- Dado los diferentes pagos en miles de dólares según el grafico a un interés
del 10 % ¿Calcular el valor actual?
50 50 50 50
40
30
20
10
?=VA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50.-
40
30
20
10

0
-10
-20
-30
-40
51.-
40 50 30
20 20
10 10
?=VA
0 1 2 3 4 5 6 7
52.-
40
30
?=VA
0
-10
-30
53.-
40
20
?=VA 12.0=i 15.0=i 13.0=i
0 1 2 3 4
20
30
CAPITULO III
TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO
Para poder entender la diferencia de Tasa de Interés Nominal y Tasa de interés
efectiva presentamos un ejemplo práctico:

Problema 27: Si una persona deposita $ 100 en una cuenta de ahorros que
paga 30 % anual. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de año? Si la
Capitalización es a) anual. b) semestral. Y c) trimestral.
Respuesta a: Si la capitalización es anual el número de periodos n = 1; i =
0.30/1
1
)30.01(100 +=VF = $130
Entonces para este caso la tasa de interés efectiva anual es de 30.00 %
Respuesta b: Si la capitalización es semestral el número de periodos n = 2 por
lo tanto i = 30/2 Entonces los intereses generados en el primer semestre
pasaran a ser parte del principal, luego al término del segundo periodo será:
2
)2/30.01(100 +=VF = 132.25
Para este caso la tasa de interés efectiva anual es de 32.25 %
Respuesta c.- Si la capitalización es trimestral tendremos:
4
)4/30.01(100 +=VF = 133.25.
El interés efectiva anual es de 33.25 %.
Por lo tanto si tenemos una tasa nominal anual de 30 %; podemos determinar
la tasa efectiva anual en periodos de capitalización:
TABLA DE INTERÉS EFECTIVA ANUAL
Tasa nominal anual 30%
Periodo de capitalización Tasa efectiva anual TEA
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Diaria
Instantánea
30.00 %
32.25 %
33,55 %
34.49 %
34.97 %
34.99 %
Tabla 12
Como podemos notar la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva anual.
TASA NOMINAL ANUAL (j).- Por convención, las tasas de interés son en base
anual. La tasa de interés expresada anualmente en periodos menores a esta
es la tasa nominal, es una tasa de interés simple; ignora el valor del dinero en
el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés.
TASA DE INTERES PERIODICA.- En el mundo real, las tasas de interés son
en más de un período por año.

n
j
iperiodica =
Para el ejemplo anterior (Problema 27) tenemos: Si la tasa de interés nominal
anual es 30 %; La tasa periódica anual (n=1) será; Aplicando la formula
tenemos:
n
j
iperiodica =
1
30
=periodicai
%30=periodicai
La tasa periódica semestral (n=2) será;
n
j
iperiodica =
2
30
=periodicai
%15=periodicai
Para visualizar mejor elaboramos una tabla:
Tabla de Interés Periódica
Base temporal Anualj %30= Tasa periódica
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Semanal
Diaria
30/1
30/2
30/4
30/12
30/52
30/365
30.00 %
15.00 %
7.5 %
2.5 %
0.577 %
0.08219 %
Tabla 13
Conociendo una tasa periódica periodicai (diaria, semanal, mensual, trimestral,
semestral) podemos determinar la tasa nominal (j) anual:
nij periodica *=
TASA EFECTIVA ANUAL (TEA) ( i ).- La tasa que realmente paga o cobra por
una operación financiera, incluye todos los costos asociados al préstamo. Si el
interés capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, etc. la cantidad
efectivamente pagada o ganada es mayor que la compuesta en forma anual.
No es aplicable para el caso de las anualidades o flujos variables, en estos
casos son de mucha utilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes)
y TIR (flujos variables) de Excel.
Para el cálculo de la tasa de interés efectiva anual i (TEA) dada una tasa de
interés nominal anual se tiene:





−+= 1)1( m
m
j
i
Donde:
m = Numero de periodos de capitalización
J = Tasa nominal
i = Tasa efectiva anual (TEA)
Conociendo TEA podemos determinar J:
[ ] 1)1(
1
−+= m
imj
TEA en términos de interés periódica:
Si tenemos:
[ ] 1)1( −+= n
periodica ii
Entonces TEA en la formula general será:
[ ] 11 −+=
n
periodicaii
Problema 28: Calcular las tasas efectivas ( i ) a partir de las tasas nominales
anuales (j) de: 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50%. Utilizando la fórmula con
períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, semanal y diaria.
Solución:
Para tasa nominal 0.25 % anual: Tasa efectiva semestral
Datos: j =0.0025; m=2; i=?
Aplicando la formula general tenemos:




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
2
0025.0
1( 2
i
0025015.0=i
Para tasa nominal 7 % anual: Tasa efectiva trimestral
Datos: j =0.07; m=4; i=?
Aplicando la formula general tenemos:




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
4
07.0
1( 4
i
0718589.0=i
Para tasa nominal 21 % anual: Tasa efectiva mensual
Datos: j =0.21; m=12; i=?




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
12
21.0
1( 12
i

2314.0=i
Para tasa nominal 28 % anual: Tasa efectiva semanal
Datos: j =0.28; m=52; i=?




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
52
28.0
1( 52
i
3221.0=i
Para tasa nominal 50 % anual: Tasa efectiva diaria
Datos: j =0.50; m=365; i=?




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
365
50.0
1( 365
i
6482.0=i
Desarrollando para cada una de las preguntas podemos obtener una tabla:
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES EQUIVALENTES A TASAS
NOMINALES
Tasa nominal j % Semestral
m = 2
Trimestral
m = 4
Mensual
m = 12
Semanal
m = 53
Diario
m = 365
0.25
7
21
28
45
50
0.25
7.123
22.103
29.960
50.063
56.250
0.25
7.186
22.712
31.079
53.179
60.181
0.25
7.229
23.144
31.888
55.545
63.209
0.25
7.246
23.315
32.214
56.528
64.479
0.25
7.247
23.358
32.298
56.788
64.816
Tabla 14
Problema 29: Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés periódica es
2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta (TEA).
Solución: Datos. 5.2=periodicai ; n = 12; j =?
Calculando la tasa Nominal anual tenemos:
nij periodica *= 12*0025.0=j
%30=j
Calculando la TEA tenemos:
[ ] 11 −+=
n
periodicaii [ ] 10025.01
12
−+=i
49.34=i
Calculando en términos de J.





−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
12
3.0
1( 12
i
49.34=i
Problema 30: Se desea ahorrar $ 1,000 anuales durante 5 años; se tiene la
oportunidad de ahorrar en 2 bancos A y B. El banco A paga un interés del 32
% nominal anual capitalizable en forma trimestral y el Banco B paga el 30 %
nominal anual de interés capitabilizable en forma mensual.
a) ¿En cual de los bancos conviene ahorrar?
b) ¿A cuanto asciende la perdida o ganancia de A frente a B?
Solución.-
a) El Banco A:
Datos.
n = 5; P = 1,000; j = 32 % anual – Cap. trimestral?; VF=?
Resolviendo tenemos: 3/12=m 4=m




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
4
32.0
1( 4
i 3605.0=i
TEA = 36.05 %





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(





 −+
=
3605.0
1)3605.01(
000,1
5
VF
744.155,10=VF
Desarrollando por Excel:
Sintaxis
0.3605 5 -1,000 10,155.7455
b) El Banco B:
Datos.
n = 5; P = 1,000; j = 30 % anual – Cap. mensual?; VF=?
Resolviendo tenemos: 1/12=m 12=m




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
12
30.0
1( 12
i
3448.0=i
Por lo tanto:
TEA = 34.48 %





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(





 −+
=
3448.0
1)3448.01(
1000
5
VF
965.855,9=VF

Desarrollando por Excel:
Sintaxis
0.3448 5 -1000 9,855.9657
A = $ 10,155.7455
B = $ 9,855.9657
Por lo tanto me conviene ahorrar en el banco A por tener una TEA mayor que
la de B, las cuales me arroja una ganancia mas de 10,155.7455 – 9,855.9657 =
$ 299.78
RESUMEN DE TASAS DE INTERES
TASA PERIODICA
n
j
iperiodica =
[ ] 1)1( −+= n
periodica ii
TASA NOMINAL
nij periodica *=
[ ] 1)1(
1
−+= m
imj
TASA EFECTIVA
[ ] 11 −+=
n
periodicaii




−+= 1)1( m
m
j
i
Tabla 15
Problema 31: Si ahorramos $ 3,000 anuales durante 3 años en un banco que
paga el 18 % anual nominalmente y deseamos saber cuanto de dinero
tendremos ahorrado al final de los 3 años, Si la capitalización es mensual.
Solución:
Determinando TEA con capitalización mensual tenemos:
Datos: j = 0.18 m = 12




−+= 1)1( m
m
j
i 



−+= 1)
12
18.0
1( 12
i
1956176.0=i
TEA = 19.56 %
Determinando VF Tenemos:
P = 3000; n = 3; i = 19.56176





 −+
=
i
i
PVF
n
1)1(





 −+
=
1956176.0
1)1956176.01(
000,3
3
VF
355.875,10=VF
Comprobando por Excel:
Sintaxis

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