Derivadas

UTN FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
DERIVADA
Cátedra: Mg. POCO. Adriana Noelia
Lic. PONCE DE LEÓN, Julio Alejandro
Arq. PINTOS, Edith Susana
Ing. SUÁREZ, Joaquín René
Prof. ROMERO, Marisa Viviana
Ing. NAVAS, Laura Evangelina
Ciclo lectivo 2016
MÓDULO 5

2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................5
CONCEPTOS PREVIOS ..................................................................................................................7
Incrementos de la variable y de la función.....................................................................................7
Cociente Incremental ....................................................................................................................9
ACTIVIDAD 1..........................................................................................................................9
LA FUNCIÓN DERIVADA ...........................................................................................................10
ACTIVIDAD 2........................................................................................................................10
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO........................................................................10
Otras notaciones ..........................................................................................................................11
ACTIVIDAD 3........................................................................................................................11
Interpretación geométrica de la derivada .....................................................................................11
Clasificación de puntos de una curva plana .................................................................................13
DERIVADAS LATERALES E INFINITAS ...................................................................................14
ACTIVIDAD 4........................................................................................................................15
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD..........................................................................................15
ACTIVIDAD INTEGRADORA 1 ...........................................................................................16
REGLAS DE DERIVACIÓN..........................................................................................................17
Derivada de la función constante.................................................................................................17
Derivada de la función potencial.................................................................................................17
Derivada del producto de una constante por una función.............................................................18
Derivada de una suma algebraica de funciones............................................................................19
Derivada de un producto de funciones.........................................................................................19
Derivada de un cociente de funciones .........................................................................................20
Derivada de una función compuesta...........................................................................................20
Derivada de la función logarítmica..............................................................................................22
ACTIVIDAD 5........................................................................................................................23
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA IMPLÍCITAMENTE .............................................23
ACTIVIDAD 6........................................................................................................................24
MÉTODO DE LA DERIVADA LOGARÍTMICA ..........................................................................24
Derivada de la función exponencial ............................................................................................25
ACTIVIDAD 7........................................................................................................................25

3
Derivada de la función seno ........................................................................................................26
ACTIVIDAD 8........................................................................................................................26
Derivada de la función coseno ....................................................................................................27
Derivada de la función tangente ..................................................................................................27
ACTIVIDAD 9........................................................................................................................27
Derivada de la cotangente ...........................................................................................................28
Derivada de la secante ................................................................................................................28
Derivada de la cosecante.............................................................................................................28
ACTIVIDAD 10......................................................................................................................29
Derivada de la función seno hiperbólico.....................................................................................29
ACTIVIDAD 11......................................................................................................................29
Derivada de la función coseno hiperbólico..................................................................................29
ACTIVIDAD 12......................................................................................................................29
Derivada de la función tangente hiperbólica................................................................................29
ACTIVIDAD 13......................................................................................................................30
Derivada de la función cotangente hiperbólica ............................................................................30
ACTIVIDAD 14......................................................................................................................30
Derivada de la función secante hiperbólica .................................................................................30
ACTIVIDAD 15......................................................................................................................30
Derivada de la función cosecante hiperbólica..............................................................................30
ACTIVIDAD 16......................................................................................................................30
Derivada de la función inversa....................................................................................................31
Derivada del arco seno................................................................................................................31
ACTIVIDAD 17......................................................................................................................32
Derivada del arco coseno ............................................................................................................32
ACTIVIDAD 18......................................................................................................................32
Derivada del arco tangente..........................................................................................................32
ACTIVIDAD 19......................................................................................................................32
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.............................................................................................34
ACTIVIDAD 20......................................................................................................................34
Interpretación geométrica de la diferencial..................................................................................35
ACTIVIDAD 21......................................................................................................................36
ACTIVIDAD 22......................................................................................................................37

4
DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR .......................................................39
ACTIVIDAD 23......................................................................................................................39
ACTIVIDAD 24......................................................................................................................40
ACTIVIDAD 25......................................................................................................................41
ACTIVIDAD INTEGRADORA 4...........................................................................................41
ANEXO PARA RESOLVER CON PC ...........................................................................................44
Respuestas a ejercicios................................................................................................................46

5
O P0 P
s
s
s0
INTRODUCCIÓN
Un objeto se mueve a lo largo de una
trayectoria rectilínea horizontal, de
acuerdo con la ecuación:
2
1s f t t
donde s es la posición del objeto en el
tiempo t. ¿Cuál es el valor de la
velocidad de este objeto en 1t ?
2
1s f t t
0.5 1 1.5 2
2
3
4
5
t
Seleccionamos un punto de la recta que llamamos O, origen de la trayectoria y consideramos
que la distancia s determina la distancia dirigida desde O hasta el objeto en cualquier instante t.
Si s se expresa en metros y t en segundos, f es la función definida por:
s f t
que indica el espacio recorrido en función del tiempo.
Si la partícula recorre una distancia s0 en un tiempo t0 y la distancia se incrementa un
determinado valor s para un incremento de tiempo t , según muestra la figura:
Designando: 0s s y 0t t t
Definimos la velocidad media 0
0
s ss
v
t t t

6
Si en nuestro ejemplo 1t , la posición es: 1 2s f en cambio para 3t , la posición
será 3 10s f .
En ese intervalo de 2 segundos el objeto sufre un cambio de posición o desplazamiento de:
10 m – 2 m = 8 m
y definimos como velocidad media a:
8
4
2
m
v m / seg
seg
Esto significa que, en promedio, la posición del objeto cambia 4 m hacia la derecha por cada
segundo de tiempo.
La razón
s
t
se denomina razón de cambio promedio de s con respecto a t.
Vemos que la velocidad promedio del objeto no es constante pues depende del intervalo de
tiempo considerado, y por lo tanto la velocidad media no proporciona una información específica
acerca del movimiento en un instante determinado.
Por ejemplo, si consideramos un intervalo más corto, 1t seg tendremos:
2 1 5 2
3
1
f ( ) f ( ) m m mv
segt seg
En general, si 1t seg y 1t t t tenemos:
1 1s f ( t ) f ( )
v
t t
Si t se considerase cada vez más pequeño, la velocidad media en el intervalo desde
1t seg hasta 1t t se transformaría en velocidad instantánea en t = 1 seg.
A continuación se propone una tabla, que nos ayuda a interpretar el concepto anterior.
Intervalo
t = 1 a 1t t
Duración del
intervalo
t
Velocidad media
1 1s f ( t ) f ( )
t t
1 1 10t a t ,
1 1 05t a t ,

7
1 1 02t a t ,
1 1 01t a t ,
1 1 001t a t ,
? ¿Cómo varía la duración del intervalo? ¿Qué sucede con la velocidad media?
Podemos definir ahora el límite de la velocidad media cuando 0t como la velocidad
instantánea v , en el tiempo 1t seg.
También se llama a dicha expresión razón de cambio instantánea de s con respecto a t, en
1t seg.
En símbolos:
0 0 0
1 1
t t t
s f ( t ) f ( )
v lim v lim lim
t t
Si
s
t
es la razón de cambio promedio de s con respecto a t en el intervalo de t a t t , el
límite antes definido que también se denota
ds
dt
, es la razón de cambio instantánea de s con respecto
a t, y la llamaremos “derivada de s con respecto a t ”.
CONCEPTOS PREVIOS
Incrementos de la variable y de la función
Sea una función y= f(x) continua en un entorno del punto x = a y del valor “a” pasamos a
una abscisa x decimos que la variable ha experimentado un incremento, que simbolizamos con x
y este incremento se obtiene mediante.
0
0
si x a xx x a tal que
si x a x
Correspondientemente, la ordenada de la función ha pasado del valor f(a) al valor f(x) y el
incremento lo denominamos y, siendo:

8
0
0
si f ( x ) f ( a ) yy f ( x ) f ( a ) tal que
si f ( x ) f ( a ) y

9
En particular:
La representación gráfica de la función lineal y = m x + b en un sistema de ejes cartesianos es
una recta. Si además el sistema es ortogonal la constante m mide la pendiente de la recta, es decir la
tangente trigonométrica del ángulo (inclinación) que la recta forma con el semieje positivo de las
abscisas.
Para las rectas dadas en la gráfica, a un incremento x positivo, le puede corresponder un y,
que es positivo si m es positiva, o negativo si m es negativa.
Cociente Incremental
Definición: es la razón ente el incremento de una función y el incremento de la variable
independiente.
Simbólicamente:
y f ( x ) f ( a )
x x a
ACTIVIDAD 1
Consideramos las funciones a) 3 1y x
b) 2
y x y completamos la siguiente tabla para 1a .
x 1 0,5 0,1 0,05 0,01 0,001
x = a + x
y
y
f(x)
f(a)
y
x
y
y
y
x
y
x x
f(x)
f(a)
a x a x

10
y / x
Observemos que:
Lo característico de la función lineal, es que el cociente incremental
y
x
es constante e igual a
la pendiente de la recta cualquiera sea el punto x.
En general en las funciones no lineales este cociente es variable en cada punto.
LA FUNCIÓN DERIVADA
Si f es derivable para todo x en un intervalo entonces, asociando a cada x el número f ' x ,
se obtiene una función f ’ llamada función derivada de f . Su expresión está dada por:
f x lim
f x x f x
xx
' ( )
( ) ( )
0
ACTIVIDAD 2
Obtenga las derivadas de las funciones dadas aplicando la definición y luego su valor
numérico en los puntos indicados:
1) 3
3 2f x x x 2x 2) 3 1g x x
1
2
x
3)
4 3
4
x
h x
x
3x
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea f una función continua en un intervalo I y sea a un punto interior a dicho intervalo,
definimos como derivada de f en el punto a , y denotada por f ’ (a ) al límite del cociente
incremental cuando x tiende a a.
En símbolos:

11
0x x a
a
dy y f ( x ) f ( a )
y'(a) = f '(a ) = lim lim
dx x x a
Otras notaciones
2 1
0 0 02 1 2 1
h x ( x x )
f ( a h ) f ( a ) f ( a x ) f ( a ) f ( x ) f ( x )
f '(a ) lim lim lim
h x x x
ACTIVIDAD 3
Obtenga las derivadas de las funciones dadas en los puntos indicados:
1) 3
3 2f x x x 1x 2) 3 1g x x 2x
3)
4 3
4
x
h x
x
2x
Interpretación geométrica de la derivada
El concepto que tenemos de recta tangente a una circunferencia como la recta que tiene con
ella un punto común, no se puede aplicar a toda línea curva.
Por ejemplo la recta r es tangente a la curva que representa a la función y f ( x ) y sin
embargo la corta en dos puntos A y B.
Precisemos aún más el concepto de recta
tangente a una curva en un punto:
x
y
A
B

12
Dada la función y = f ( x ) continua en un intervalo I y un punto a interior al intervalo:
Consideremos a la derecha de A y sobre la curva un punto P cualquiera que determina con A
una semirrecta secante AP, si hacemos variar el punto P sobre la curva de manera tal que tienda a A,
la semirrecta secante tiende a una posición límite, que es una semirrecta tangente.
Consideremos ahora a la izquierda de A un punto P’ cualquiera que determina con A otra
semirrecta secante, y de la misma manera haciendo variar sobre la curva el punto P’ de manera que
tienda a A, la semirrecta secante tiende nuevamente a una posición límite que es una semirrecta
tangente.
Si ambas semirrectas son opuestas determinan la recta tangente.
La recta tangente, que es la posición límite de todas las rectas secantes que pasan por A es la
tangente a la curva en dicho punto.- El punto A se llama punto de contacto o de tangencia.-
Según el gráfico es el ángulo formado por la recta secante con el semieje positivo de las
abscisas y es el ángulo formado por la recta tangente con el semieje positivo de las abscisas-
En el triángulo PFA es: tg =
y f (a x ) f (a )
x x
Pasando al límite resulta:
0 0
0
x x
x
f ( a x ) f ( a )
lim tg lim f '( x )
x
lim tg tg tg f '( x )
y = f ( x )
recta secante
recta tangente
P
F
A
y
x
y
a
x
a + x
α φ

13
La derivada primera de una función en un punto es igual a la tangente trigonométrica del
ángulo formado por la tangente geométrica (recta tangente) con el semieje positivo de las x.
Es decir, que la derivada en un punto indica la pendiente de la recta tangente a la curva en
dicho punto.
Clasificación de puntos de una curva plana
Punto ordinario: un punto del dominio de una función es un punto ordinario sí y solo sí existe
derivada finita de la función en el mismo.
Punto singular: un punto del dominio de una función es singular si no existe la derivada como
número real en el mismo.
Los puntos singulares se clasifican en:
Punto anguloso: una función posee un punto anguloso en x = a sí y solo sí existen las
derivadas laterales (es decir que toman valor real), pero son distintas.
-3 3
3
Encontrar la derivada de
g(x) = x en x = 0.
Punto cuspidal: una función posee un punto cuspidal en x = a sí y solo sí las derivadas laterales
son infinitas de distinto signo, a la derecha y a la izquierda del punto. Es decir que, por
ejemplo, la derivada lateral derecha tiende a + y la izquierda a - .
-3 3
-1
1
h(x) = x 2 / 3
en x = 0.

14
Punto de inflexión: Una función posee un punto de inflexión en un punto si trazada la recta
tangente en dicho punto, ésta divide a la curva dejando los puntos en distintos semiplanos
respecto del plano tangente.
Si en una función las derivadas laterales tienden a infinito con igual signo a ambos lados de
x=a entonces existe recta tangente vertical.
-3 3
-1
1
h(x) = x 1 / 3
en x = 0.
DERIVADAS LATERALES E INFINITAS
Ampliaremos el concepto de derivada con el fin de analizar derivadas en los extremos de los
intervalos y también introducir una generalización con las derivadas infinitas, para incluir la
interpretación geométrica de una derivada, cuya recta tangente sea vertical. En este último caso no es
posible demostrar que la función es continua en el punto x=a. En consecuencia, exigiremos que lo
sea.
Derivada lateral derecha e izquierda
Sea f x una función definida en un intervalo cerrado I, y supongamos que f es continua en el
punto a de I. Entonces f admite derivada lateral por la derecha de a si:1
x a
f ( x ) f ( a )
f ' ( a ) lim
x a
existe y es finito, o si es o
Análogamente definimos derivada lateral por la izquierda
x a
f ( x ) f ( a )
f ' ( a ) lim
x a
1
T.M. Apóstol – Análisis Matemático

15
Derivadas infinitas
Si a es un punto interior de I, diremos que f posee derivada f '(a)=+ si ambas derivadas
laterales en a son .
Así mismo, diremos que f posee derivada f '(a)= - si las derivadas laterales en a son .
ACTIVIDAD 4
1) Encontrar la derivada de 2
3f x x en 4x .
2) Analizar si existe o no la derivada de las siguientes funciones en los puntos
indicados. Graficar.
a) 3y x en 3x b)
2
2 1
2 2 1
x x si x
f ( x )
x si x
en 1x
c)
3 2
3
3 2 4
2
0 4
si x
f ( x ) x si x
si x
en 2x y en 4x
d)
3 2
1y x en 0x
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
Para una función, la propiedad de ser derivable es más fuerte que la de ser continua.- Es decir,
la derivabilidad asegura la continuidad, mientras el recíproco no se cumple, pues existen funciones
continuas en un punto que no son derivables en él.
Ejemplo: La función y x es continua en 0 y no es derivable en él.
Teorema
Si una función tiene derivada finita en un punto, entonces es continua en dicho punto.
Es decir, el teorema asegura que si existe un número real k tal que:

16
k f '( a ) entonces f es continua en a.
ACTIVIDAD INTEGRADORA 1
1) Proponga una función que lo ejemplifique.
2) Demuestre el teorema anterior.
3) Dada la función j x
si x
x si x
( )
1 1
1 12
a) Graficar la función
b) Graficar la función derivada primera
c) Indicar puntos ordinarios y singulares
d) Obtener j ‘ (- 1 ) ; j ‘ ( 1 ) y j ‘ ( 0)
4) Dadas las siguientes funciones, hallar sus primeras derivadas aplicando la
definición:
a f x
x
b f x x c f x
x
) ( ) ) ( ) ) ( )
2
5
3 1
4
5 1
5) En las siguientes funciones hallar sus derivadas en los puntos indicados:
a f x x en a b f x
x
en a) ( ) ) ( )1 3
2
4
83
6) Si f ’’(x)= lim
f x x f x
xx 0
' ( ) ' ( )
hallar f ‘’(x) si:
a) 2
f ( x ) a x b x b)
a
f ( x )
x
7) Si g( x ) es continua en x a y f ( x) x a .g( x), hallar f ' ( a ).
8) Dada 3
1f ( x ) x , halle f '( x ). ¿Es f derivable en 1x ?
9) Sea f la función: f x
x si x
x si x
( )
2 1 3
8 3
a) trazar la gráfica de f
b) demostrar que f es continua en 3x .
c) hallar las derivadas laterales en 3x .
d) ¿Es f derivable en 3x ?
10) Sea f definida por: f x x( ) 1 2
a) trazar la gráfica de f
b) Demostrar que f es continua pero no derivable en 1x .

17
REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de la función constante
Si la función es constante y C , es 0y para cualquier x .
Por lo tanto: y
y
x xx x x
lim lim lim
0 0 0
0
0 0
Gráficamente, podemos observar que, la tangente a la recta y C es ella misma, el ángulo que
forma con el semieje positivo de abscisas es nulo, y es y tg0 0.
La derivada de una constante es cero.
Derivada de la función potencial
Dada la función y x n Nn
( ) , el incremento y es :
y x x x
n n
b g
Como en el primer término del segundo miembro figura la potencia enésima de un binomio,
aplicamos la fórmula del binomio de Newton:
a b a na b
n n
a b
n n n
a b b
n n n n n n
b g b g b gb g1 2 2 3 31
2
1 2
3! !
.........
donde a x b x; .
y x n x x
n n
x x
n n n
x x x xn n n n n n1 2 2 3 31
2
1 2
3
b g b gb g
! !
.............
Cancelando xn
:
1 2 2 3 31 1 2
2 3
n n n nn n n n n
y n x x x x x x ............. x
! !
x
C

18
El cociente incremental será:
y
x
n x x
n n
x x
n n n
x x x
x
n n n n1 2 2 3 31
2
1 2
3
b g b gb g
! !
.............
Distribuyendo y simplificando:
y
y
n x
n n
x x
n n n
x x xn n n n1 2 3 2 11
2
1 2
3
b g b gb g
! !
.............
El límite de esta expresión será la derivada de la función:
L
NM O
QPy
y
x
n x
n n
x x
n n n
x x x
x x
n n n n
lim lim
! !
.............
0 0
1 2 3 2 11
2
1 2
3
b g b gb g
Al distribuir el límite, observamos que todos los términos del segundo miembro, con excepción
del primero, tienen a x como factor, por lo tanto se anulan.
Por lo tanto, la derivada de la función potencial n
y x es la función 1n
y' n.x .
Por ejemplo: si y x y x5 4
5 .
Este resultado, que hemos demostrado para n entero positivo, se generaliza para cualquier n
real, así por ejemplo:
Si y
x
x y x x
x
1
2 2
2
2
2 2 1 3
3
,
Si y x x y x x
x
x
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
,
Derivada del producto de una constante por una función
Dada y k f x( ) , es y k f x x k f x k f x x f x
k
( ) ( ) ( ) ( )
factor común
  
.

19
Formando el cociente incremental, y pasando al límite, se tiene:
y
y
x
k f x x f x
x
k
f
x
k f x
x x x
lim lim
( ) ( )
lim ( )
0 0 0
.
Resultado que podemos expresar:
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante
por la derivada de la función.
Derivada de una suma algebraica de funciones
Consideremos la función y u v w , siendo u f x v f x w f x1 2 3( ); ( ); ( ) .
Demostraremos que y u v w .
A un incremento cualquiera x de la variable independiente, corresponden incrementos
u v w, , de las funciones f x f x f x1 2 3( ), ( ) ( )y , que sumados algebraicamente dan y , es decir:
y u v w
Formando el cociente incremental y pasando al límite:
y
y
x
u v w
x
u
x
v
x
w
x
u v w
x x x x x
lim lim lim lim lim
0 0 0 0 0
distribuyendo el cociente y el límite
  
Por lo tanto, podemos enunciar:
La derivada de una suma algebraica de funciones es la suma algebraica de las derivadas de
dichas funciones.
Derivada de un producto de funciones
Consideremos la función y u v u f x v f xsiendo 1 2( ); ( ) . Al incremento x de la
variable independiente le corresponden los incrementos u vy , respectivamente.
El incremento de la función, y , resulta: y u u v v u vb gb g .

20
Aplicando la propiedad distributiva, se tiene: y u v u v v u u v u v ,
cancelando u v , es:
y u v v u u v
Formando el cociente incremental y pasando al límite:
y
y
x
u v v u u v
xx x
lim lim
0 0
Distribuyendo el cociente y el límite, queda:
y
u
x
v
v
x
u
u
x
v
x x x
lim lim lim
0 0 0
Si x u v0 0 0,entonces también y , con lo que resulta:
y u v u v u u v u v0
que podemos enunciar de la siguiente manera:
La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función
multiplicada por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la
segunda.
Derivada de un cociente de funciones
Queda como propuesta para el alumno, demostrar que si y
u
v
, siendo u y v funciones de x
su derivada es y
u v u v
v2
.
Derivada de una función compuesta
Sea la función compuesta y f g x = f o g x , que podemos anotar:
y f (u ) siendo u g( x ) con un argumento intermedio u.
Tal que f y g son derivables con respecto a u y a x respectivamente en todo punto x interior a su
dominio.

21
Entonces la función compuesta y f g x en el punto x tendrá también derivada y será:
dy df du
y'( x ) .
dx du dx
En efecto:
0
0
(1)
(2)
x
u
du u
u'( x ) lim
dx x
dy y
y'(u ) lim
du u
por una propiedad de los infinitésimos, de (2) obtenemos:
( u )
y dy
u du
siendo ( u ) un infinitésimo para 0u .
( u )
dy
y u u
du
dividiendo toda la expresión por x y pasando
al limite para 0x
0 0 0
( u )
x x x
y dy u u
lim lim lim
x du x x
dy du df du
y' . .
du dx du dx
u
x
x
y
u
u
Ejemplo:
n
( x )y u siendo función compuesta y f ( x )
dy dy du
y'( x ) . y'(u ) . u'( x )
dx du dx
con lo cual
1
1
n
( x ) ( x )
n
y'(u ) n.u con u ' f '( x ) u´
y'( x ) n.u .u'
y y = f (u)
u u = (x)

22
Así para
7
2
6 6
2 2
3 5
7 3 5 6 42 3 5
y x
y' x . x x x
Derivada de la función logarítmica
Sea la función y xalog , entonces:
y x x xa alog logb g
Por propiedad del logaritmo de un cociente:
y
x x
x
x
x
a a
F
HG I
KJ F
HG I
KJlog log 1
Formamos el cociente incremental:
y
x
x
x
x x
x
x
a
a
F
HG I
KJ F
HG I
KJ
log
log
1
1
1
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
y
x
x
x
a
xF
HG I
KJlog 1
1
Pasando al límite:
F
HG I
KJy
y
x
x
xx x
a
x
lim lim log
0 0
1
1
Como el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite,. Se tiene:
F
HG I
KJ
L
N
MM
O
Q
PPy
y
x
x
xx
a
x
x
lim log lim
0 0
1
1
El límite que quedó entre corchetes es de la forma 1 y puede llevarse a la forma del número e:

23
1
1
1
0 0 0
1
1 1
1
x x x
x x x
x
a a a a
x x x
a
y x x
y lim log lim log lim log e log e
x x x x
y' log e
x
Caso particular: Si la función logarítmica considerada es la función logaritmo natural, resulta:
y ln x, su derivada es y
x
e
x
e
x
e
1 1 1
log ln o sea
1
y
x
ACTIVIDAD 5
1) Hallar la derivada de:
a) ay log u siendo u f ( x )
2) Generalizar la regla para la composición de tres funciones.
3) Hallar y’ si
9
3
3
3
x
y ln
x
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA IMPLÍCITAMENTE
Se ha visto ya que una función f puede estar definida implícitamente por una expresión del
tipo 0f x;y donde y f x .
Por ejemplo para la ecuación x y xy3 3
6 0 , cuando decimos que f es una función definida
implícitamente significa que la ecuación
x f x xf x3 3
6 0( ) ( )
es válida para todos los valores de x pertenecientes el dominio de f.
Por fortuna, para encontrar la derivada de y no es necesario resolver una ecuación para y en
términos de x. En vez de ello podemos utilizar el método de diferenciación (o derivación) implícita.
Este método consiste en derivar ambos miembros de la relación con respecto a x y luego resolver la
ecuación resultante para y .

24
Ejemplo:
Sea 2 2
25x y una relación que define a y implícitamente como función de x, encontrar y .
Derivando ambos miembros de la ecuación sin olvidar que y es función de x y aplicando la
regla de la cadena tenemos:
2 2 0 2 2
x
x y y' x y y' y'
y
Ahora bien volviendo a derivar la última igualdad respecto a x (teniendo en cuenta que y es
función de x) y substituyendo aquí y por su expresión, se obtiene la derivada segunda. Derivando
nuevamente hallamos la derivada tercera y así sucesivamente (en las páginas siguientes se
desarrollará este tema).
ACTIVIDAD 6
1) Calcular f ’(x) si x
x
y
y
x
3 3
2
2) Hallar f ’(x) y f ’’(x) si:
a) 2 3
8x y b) 3 3
2 1 1x y x y en P ;
c) 3
5 9x y y
MÉTODO DE LA DERIVADA LOGARÍTMICA
La derivada del logaritmo natural y la derivada de una función compuesta permiten simplificar
muchos cálculos.
Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de n
y x (o cualquier otra función) comenzamos
aplicando logaritmos naturales a ambos miembros:
n
ln y ln x
En el segundo miembro aplicamos propiedades de los logaritmos:
ln y n.ln x

25
Derivamos miembro a miembro, teniendo en cuenta que al derivar el primer miembro se debe
aplicar derivada de la función compuesta, ya que y es una función de x:
1 1
y n
y x
Despejamos y' :
1
y' n. .y
x
, y reemplazamos y:
1 n
y' n. .n
x
.
Aplicando cociente de potencias de igual base: 1n
y' n. x , resultado ya obtenido.
Puede resumirse el método en los siguientes pasos:
I- Aplicar logaritmo natural a ambos miembros
II- Derivar miembro a miembro
III- Despejar y
Derivada de la función exponencial
Aplicaremos el método de la derivada logarítmica para hallar la derivada de la función
y a a ax
0 1b g:
1x
x
ln y ln a ln y x ln a y ln a
y
y y ln a y a ln a
Caso Particular: La función exponencial natural y ex
tiene por derivada a
y e e ex x
ln
1
1
x
y e
ACTIVIDAD 7
Hallar la derivada de:
1) u
y a siendo u f ( x)
2) u
y e siendo u f ( x )
3) Hallar y’ si
5
3 7x
y

26
Derivada de la función seno
Si y senx , el incremento de la función es y x x xsen senb g , y el cociente
incremental es
y
x
x x x
x
sen senb g .
Transformando en producto el numerador del segundo miembro (ver tabla de fórmulas
trigonométricas):
y
x
x x x x x x
x
x x x
x
x
x x
x
F
HG I
KJ F
HG I
KJ
F
HG I
KJ F
HG I
KJ F
HG I
KJ F
HG I
KJ
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
cos
cos
sen
cos sen sen
Reagrupando y pasando al límite:
0 0 0 0
2
2 2 2
2
2
x x x x
x x x
cos x sen sen
y x
y lim lim lim cos x lim cos x
xx x
1, por infinitésimos
equivalentes
y' cos x
ACTIVIDAD 8
Hallar la derivada de:
1) y senu siendo u f ( x )
2) Hallar y’ si 5
3 7y sen x

27
Derivada de la función coseno
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si y cosx, y' senx , por un método
similar al utilizado para demostrar la derivada del seno.
Y demostrar que si y cosu con u g x
y' senu.g' x sen g x .g' x , por un método similar al utilizado para demostrar la
derivada del seno.
Derivada de la función tangente
Como
senx
y tgx
cosx
, podemos aplicar la derivada de un cociente:
y
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
y
x
x
sen sen sen sen sen2
b g b g
b g
b gcos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
[ ]
cos
sec
2 2
2
2
2
2
1
1
1
  
Si en vez de aplicar la relación pitagórica en [1], distribuimos, se puede obtener otra expresión
de la derivada:
y
x x
x
x
x
x
x
x
cos
cos
cos
cos cos
2
2
2
2 2
2
1
sen sen
tg
2 2
En resumen 2 2
2
1
1y' sec x tg x
cos x
ACTIVIDAD 9
Hallar la derivada de y tg u siendo u f ( x )

28
Derivada de la cotangente
Queda para el alumno, demostrar de forma similar a la derivada de y cotgx , que la derivada
de la cotangente es: 2 2
2
1
1y' cosec x cotg x
sen x
Y que si y cotgu con u f ( x )
2 2
2
1
1y .u'( x ) u'( x ). cosec u( x ) ( cotg u( x )) . u'( x )
sen u( x )
Derivada de la secante
Dado que
1
y secx
cosx
, puede obtenerse la derivada aplicando la derivada de un cociente,
teniendo en cuenta que la derivada del numerador es igual a cero por ser éste constante:
y
x x
x
x
x
x
x x
x x
0 1 1
2 2
cos
cos cos cos cos
sec
sen sen sen
tg
b g
2
senx
y' sec x.tan gx
cos x
Si y secu 2
senu( x )
y' u'( x )secu( x ).tan g u( x ) u'( x )
cos u( x )
Derivada de la cosecante
Queda para el alumno demostrar usando el mismo procedimiento que el usado para hallar la
derivada de la secante que si
1
y cosecx
senx
y' cosecx.cotgx

29
ACTIVIDAD 10
Hallar la derivada de y cosec u siendo u f ( x )
Derivada de la función seno hiperbólico
Dado que
2
x x
e e
f ( x ) Sh x puede demostrarse aplicando la regla de derivación de
la función exponencial que:
2
x x
e e
f '( x ) Ch x
ACTIVIDAD 11
Hallar la derivada de y Shu siendo u f ( x )
Derivada de la función coseno hiperbólico
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si y Ch x ,entonces y Sh x , por un
método similar al utilizado para demostrar la derivada del seno hiperbólico.
ACTIVIDAD 12
Hallar la derivada de y Chu( x ) siendo u f ( x )
Derivada de la función tangente hiperbólica
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si 2
y Th x ,entonces y Sech x ,
aplicando la regla de derivación del cociente
Sh x
Th x
Ch x

30
ACTIVIDAD 13
Hallar la derivada de y Thu siendo u f ( x )
Derivada de la función cotangente hiperbólica
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si 2
y Cth x ,entonces y Csch x ,
aplicando la regla de derivación del cociente
Ch x
Cth x
Sh x
ACTIVIDAD 14
Hallar la derivada de y Cthu( x ) siendo u f ( x )
Derivada de la función secante hiperbólica
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si y Sech x, entonces
y Sech x. Th x .
ACTIVIDAD 15
Hallar la derivada de y Sechu siendo u f ( x )
Derivada de la función cosecante hiperbólica
Queda como ejercicio para el alumno, demostrar que si y Csch x , entonces
y Csch x. Cth x
ACTIVIDAD 16
Hallar la derivada de y Cschu siendo u f ( x )

31
Derivada de la función inversa
Teorema
Si para la función continua y = f (x) existe una función inversa continua y = f-1
(x) o escrita
de otra forma x = h(y) tal que en un punto analizado y tiene derivada h’(y), distinta de cero,
entonces la función y = f(x), en el punto correspondiente x, tiene derivada f’(x), igual a
1
h'( y )
, es
decir, se verifica que: f’(x) =
1
h'( y )
Hipótesis:
En un punto determinado x:
y = f (x) (1) su inversa es x = h(y) (2)
Tesis:
1
f '( x )
h'( y )
Demostración:
Dando a y el incremento y de la igualdad (2)
x = h( y + y ) - h (y)
De anotar
1y
xx
y
, por ser continua la función h(y), x 0 al darse que y 0
Tomando el límite, si y 0, en ambos miembros de la última identidad obtenemos:
y’ (x) =
1
x'( y )
o sea
1
f '( x )
h'( y )
que es la tesis
Derivada del arco seno
Si y x x yarc sen sen, , y aplicando la regla de derivación de funciones inversas:
dy
dx dx
dy
y
1 1
cos

32
Pero, por relación pitagórica:
sen
sen
2 2
2 2
1
1 1
y y
y y x
cos
cos
Reemplazando: y
x
1
1 2
ACTIVIDAD 17
Hallar la derivada de y arcsenu siendo u f ( x )
Derivada del arco coseno
Queda para el alumno demostrar usando el mismo procedimiento que el usado para hallar la
derivada del arco seno que si y x y
x
arc cos entonces
1
1 2
.
ACTIVIDAD 18
Hallar la derivada de y arccos u siendo u f ( x )
Derivada del arco tangente
Si y = arctg tgx x y
dy
dx dx
dy
y y x
1 1 1
1
1
12 2 2
sec tg
ACTIVIDAD 19
1) Hallar las derivadas de las funciones y arc cotg x , y arcsec x y
y arctg x y las de sus funciones compuestas.
2) Hallar las derivadas de las funciones inversas a las hiperbólicas.
Y las de sus funciones compuestas

33
1) Hallar las derivadas primeras de las siguientes funciones:
2
3 2 4
3 2
5 1
3
5
2
7
2 1
2
x
a )f ( x ) b)f ( x ) x . x
x x
c )f ( x ) tg x cot g x d )f ( x ) sen x x cos x
sen x
e)f ( x ) x .sen x x.cos x f )f ( x )
cos x
.cos ecx
g )f ( x ) h)f ( x ) Chx.cos x Shx.sen x
cos ecx
2) Hallar f ’(x) de las siguientes funciones compuestas:
3
2
2
63 34 2 2
2
32 2
6
4 5 9
5 4
6
5 5 10 4 1 2
4 3
x
a ) f ( x ) x x b ) f ( x )
x
c ) f ( x ) x x log d ) f ( x ) x x
x
e ) f ( x ) tg x x f ) f ( x ) cos sen x
2
2
2
1 1 2
8 1 2
x
x
g ) f ( x ) a x .x h ) f (t ) ln cos t
b
cos x
i ) f ( x ) ln j ) f ( x ) e .ln x
cos x
2 2
2 2
1
1 1
1 1
1
2
arcsen
x
r
x z
k ) f ( x ) arcTh l ) f ( z ) arc cos
x z
tg .sen x
m ) f ( x ) e n ) f ( x ) arc tg
sec .cos x
o ) f ( r ) ln a.r.e p ) f (t ) arc sen t

34
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Al dar la definición de derivada de una función en un punto (página 3) simbolizamos:
y ‘0 = f ‘ ( x0 ) = lim
y
xx 0
Según analizamos al estudiar los infinitésimos: “Toda función con límite finito en un punto x
= a es igual a la suma de su límite más un infinitésimo.”
f ( x ) = L + ( x )
Adaptando esta conclusión a la definición de derivada es:
y
x
f x x' ( ) ( )
despejando y resulta: y f x x x x'( ). ( ).
El infinitésimo y es, por lo tanto, igual a la suma de dos infinitésimos.- El primer término de
dicha suma se llama infinitésimo principal y el segundo infinitésimo secundario, siendo este último
un infinitésimo de orden superior al primero.- En efecto, por comparación de infinitésimos es:
lim
f x x
x xx 0
'( ) .
( ) .
Lo que indica que el infinitésimo del denominador es de mayor orden que el del numerador.
Al infinitésimo principal se lo designa con el nombre de diferencial de una función.
La diferencial de una función y = f ( x ) es igual al producto de su derivada por un incremento
cualquiera de la variable independiente, y se denota con dy .
dy f' x . x
ACTIVIDAD 20
Obtenga las diferenciales de las funciones:
a) y lnx
1
4
2
x ; x
b) y arctgx
1
3
4
x ; x

35
Si consideramos la función identidad: y = x
dy = 1 . x ; d(x) = 1 . x ; por lo tanto dx = x
Expresión analítica de la diferencial:
Sustituyendo x por dx en la definición anterior resulta:
dy df x f' x ,dx y'.dx
Considerando: dy f x dx'( ).
y dividiendo miembro a miembro por dx:
dy
dx
f x'( )
Es decir que la derivada es igual al cociente entre la diferencial de la función por la diferencial
de la variable independiente y esta forma de simbolizar a la derivada se llama Notación de Leibnitz.
Una función se dice que es diferenciable en un punto si y sólo si existe la diferencial de la
misma en el punto. La condición necesaria y suficiente para que una función sea diferenciable es que
sea derivable en el punto.
Interpretación geométrica de la diferencial
y = f ( x )
y
Q
F y
P0 dy
R
x
x0 x0+ x x
En el triángulo P0FR es : 0 0
0
FR FR
tg f '( x ) FR f '( x ). x
xP R
FR dy

36
La diferencial de una función es geométricamente igual al incremento de la ordenada de la
recta tangente a la gráfica de la función en el punto analizado, al incrementarse la variable
independiente en un x.
Observación importante:
Vemos en la gráfica que y dy pues, según vimos es:
y f x x x x'( ). ( ).
o sea: y dy x x( ).
Siendo x) . x = FQ
Conclusión: x) . x puede ser positivo si la función tiene su gráfica situada por encima de
la recta tangente, y negativo si está ubicada por debajo de la misma.- En el caso de la función lineal
este infinitésimo es cero y , por lo tanto es: y = dy.
ACTIVIDAD 21
1) Interpretar gráficamente la conclusión anterior.
2) Demostrar que y y dy son infinitésimos equivalentes para x 0.
3) Si 2
y x encontrar dy para 3x .
4) Hallar dy si y x.senx .
La aproximación y dy tiene aplicaciones en la teoría de errores . Supóngase que un
investigador mide una cantidad física, pero debido a las imprecisiones de los instrumentos, por lo
general no obtendrá el valor exacto de x , es decir de la cantidad medida, sino que , por el contrario
tendrá un x + x , donde x es el error de medición.
Si a su vez se desea medir una cantidad y que depende de x , el error x genera un error y ,
que es necesario conocer.

37
A continuación se enuncia la definición general de estos conceptos:
Sea x una medida con un error máximo x , se llama:
Error absoluto a la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.-
EA = f ( x + x ) - f ( x ) dy
Error Medio al cociente entre dy /y
Error porcentual al error medio expresado en %.
ACTIVIDAD 22
1) Se mide el lado de un campo cuadrado y resulta ser de 10 km. con un error
posible de medición de 0,1 km. Usar diferenciales para estimar el error
cometido en la obtención de su área.
2) El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40 cm
aproximadamente, con un error en la medición de 0,15 cm. Utilizando
diferenciales, estime el error máximo en el cálculo del área de la tapa. Calcule
el error medio y el porcentual.
3) Una escalera de 5 m está apoyada sobre un muro vertical. Si la parte inferior de
la escalera se desliza sobre el suelo alejándose del muro con una velocidad de
1 m/seg. ,¿con qué rapidez desciende la parte superior de la escalera sobre el
muro cuando está a 2 m del suelo?
1) Calcular y y dy de y = x 3
+ 4 si x varía desde 2 a 1,88.
2) 2- En los años cuarenta Emmanuel Zacchini en su circo ejecutaba regularmente el
acto de la bala humana. La boca del cañón se elevaba a 2,60 m sobre el suelo y
apuntaba según un ángulo de 45 º. La trayectoria parabólica tenía un alcance de
53 m:
a) Encuentre una ecuación cuadrática que represente la trayectoria parabólica.
b) Calcule aproximadamente la altura máxima alcanzada por la bala humana.
3) Una escalera de 8 m de largo está apoyada contra un muro vertical. Si su base es
empujada horizontalmente lejos de la pared a 1 m/s, ¿con qué rapidez resbalará la
parte superior de la escalera cuando su base esté a 5 m del muro?

38
4) Un cohete que se ubica al pie de una colina cuya pendiente es de 1/5 se dispara
hacia la loma y sigue una trayectoria dada por: y = -0,016 x 2
+ 1,6 x
a) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete en el momento del disparo?
b) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando choca contra la colina?
c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo.
5) Una pelota baja rodando por un plano inclinado de manera que la distancia en cm
que recorre al cabo de 3 seg está dada por s ( t ) = 2t 3
+ 3 t 2
+ 4 donde 0 t 3.
a)¿Cuál es la velocidad de la pelota en t = 2 seg.?
b) ¿En qué momento alcanza una velocidad de 30 cm/seg.?
6) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de
120 m/seg. Su altura sobre el suelo t seg. después está dada por
s(t)=- 4,9 t 2
+ 120 t .
Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad
en ese momento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? ¿Cuál es
la aceleración en cualquier momento t?
7) Una fábrica de productos electrónicos calcula que el costo de producir x
componentes para juguetes de un tipo determinado está dado por:
C ( x ) = 200 + 0,005 x + 0,0001 x 2
a) Calcular el costo, el costo medio y el costo marginal para la producción de 500,
de 1000 y de 5000 unidades.
b) Comprobar el costo marginal por la producción de 1000 unidades, con el costo
real de aumentar la producción de 1000 a 1001 unidades.
8) La fachada de una vivienda tiene la forma de un cuadrado coronado por un
triángulo equilátero. La base mide 48 m con un error máximo en la medición de 1
cm. Calcule el área en función del lado y use diferenciales para estimar el error
máximo cometido en el cálculo. Evalúe el error medio y el porcentual.
9) El área S de la superficie curva de un cono circular recto de altura h y radio r está
dado por S = .r r h2 2
. Un cono con radio r = 6 cm, tiene una altura de 8
cm, con un error máximo en la medición de 0,1 cm. Calcule S a partir de estas
medidas y use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo. Calcule
también el error porcentual.-
10) La tripulación de un barco divisa desde cubierta una ballena y calcula que tiene
una longitud L de 10 m con un error posible de 0,60 m. Las investigaciones sobre
las ballenas han mostrado que su peso W en toneladas se relaciona con L según la
expresión W = 0,000137 . L 3 ,18
. Usar diferenciales para estimar el error en el
cálculo del peso de la ballena. ¿Cuánto vale aproximadamente el error
porcentual?

39
DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Si f es una función diferenciable, entonces su derivada f también es una función, así que f
puede tener su propia derivada, denotada por f f . Esta nueva función se llama segunda
derivada de f , porque es la derivada de la derivada de f .
De modo que:
2
2 2
2
df' x df x d f xd
f'' x d f x f'' x dx
dx dx dx dx
Por ejemplo, si f x x( ) 8
, entonces f x x( ) 8 7
, así que
f x
df x
dx
d x
dx
x( )
( ) ( )8
56
7
6
Notación: Si y f x( ), entonces
y f x
d
dx
dy
dx
d y
dx
D f x D f xx( ) ( ) ( )
2
2
2 2
El símbolo D2
indica que la operación de derivación se efectúa dos veces.
Análogamente, la tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada: f f .
Si y f x( ), entonces las notaciones alternativas son:
y f x
d
dx
d y
dx
d y
dx
D f x D f xx( ) ( ) ( )
2
2
3
3
3 3
ACTIVIDAD 23
Hallar la 3
d f ( x )
El proceso se puede continuar. La cuarta derivada f normalmente se denota con f ( )4
. En
general, la n-ésima derivada de f se denota con f n( )
y se obtiene de f derivando n veces.

40
Si y f x( ), escribimos
y f x
d y
dx
D f x D f xn n
n
n
n
x
n( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ACTIVIDAD 24
Hallar la d(n)
y
Ejemplo 1:
Si y x x x3 2
6 5 3, entonces
y x x3 12 52
y x6 12
y 6 y( )4
0
y, de hecho, y( )4
0 , para todo n 4.
Ejemplo 2:
Si f x
x
( )
1
, encontrar f xn( )
( ) .
f x
x
x f x x
x
f x x
x
f x x
f x x f x x
f x n n n x
f x
n
x
n n n
n
n
n
( ) ( ) .
( ) ( ).( ) ( ) . . .
( ) . . . . ( ) . . . . .
( ) ( ) . .( ).( )... . .
( )
( ) . !
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
2 1
2
32 1
4 32 1 54 32 1
1 1 2 2 1
1
1 2
2
3
3
4
4 5 5 6
1
1


41
ACTIVIDAD 25
1) Encuentre las derivadas primera y segunda de la función y
x
x1
2) Encuentre una fórmula para f xn( )
( ) si f x x( )
3) La ecuación de movimiento de una partícula es s t t t2 5 3 43 2
, en donde
s se mide en centímetros y t en segundos. Encontrar la aceleración en función
del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 s?
4) Encuentre las fórmulas para calcular la derivada n-ésima de la suma y del
producto de dos funciones.
5) Si f es una función tal que su 1 2f'' x x x :
a) ¿En qué puntos es 0f'' x ?
b) ¿En que puntos es 0f'' x ?
c) Grafique la función derivada segunda.
d) Obtenga la derivada tercera de la función.
1) Verificar las siguientes derivadas:
a) 2 3
4 4y x y'' y
b) 2
4y sen x y''' y'
c)
42
5
3 72
4 5 8y x x y
x x
d) 2
3
2
2
x y y
y e y''
y
2) Dada 4 3
3 4 5 1y y x x hallar f'' x .
3) En las sig. funciones, encuentre f'' x , si existe:
a) 3 3
1x y b) 2 3
1x .y
c) 2 2
3 4x x y y d) 2 2x y
e e x y
4) Sea
1
y
x
. Encuentre una fórmula para n
y x para todo entero positivo n.

42
5)
Dada la función y
a
e ex a x a
2
/ /
verificar: y’’ = y / a 2
6) Hallar la constante “a” de forma tal que la función 2y asen x verifique:
3 3 2y'' y sen x
7) Dada 2 3y cosax senax demostrar: 2
0y'' a y .
8) Hallar y' e y'' de: 2 2
3x x y y .
9) Evaluar y’ aplicando el método de la derivada logarítmica:
a)
3
42 2
2 5
1
x
y
x x
b) x
y x c)
x
e
y ln x
d)
2
2
4
4
x
y
x x
e) sen x
y x
10) Sea f la función definida por. f x
x si x
x si x
( )
2 1 3
8 3
a) Graficarla
b) Demostrar que es continua en 3x .
c) Hallar sus derivadas laterales en 3x .
d) ¿Es f derivable en 3x ?
11) Sea f definida por 2
1f x x a) Graficarla
b) ¿Es f continua en 1x ?
c) ¿Es f derivable en 1x ?
12) Hallar, si existe, la derivada de y x en x = 0.
13) La magnitud M de un terremoto y su energía E están relacionadas mediante la
expresión: 1,5 M = log
E
2 5 1011
, .
en la que M está dada en términos de la
escala Richter de 1958 y E está en ergs. Determine la tasa de variación de la
energía con respecto a la magnitud.
14) Si 3
0 3 2 850C , q q es una función de costo, ¿en qué grado cambia el
costo marginal cuando 100q ?

43
15) Calcule 2k y 2k' suponiendo que k x f g x y 2 4f ,
2 2g , 2 3f ' y 2 5g' .
16) Dada f x
x
si x b
x
si x b
( )
1
1
4
a) Obtener el valor de “b” para que la función sea continua.
b) ¿Es f derivable para el valor de b obtenido en a).
17) Calcular la velocidad en los siguientes movimientos en el instante 2t seg
si s se expresa en metros:
a) 2
3s t t b) 3 2
3s t t c) 2s t
18) Dada la función 3 2 3
4 5 6 0x y x y x x , encontrar su derivada primera
e indicar en qué caso dicha derivada existe.
19) Muestre que la derivada primera de una función par es siempre una función
impar.
20) Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la parábola y x x2
5 6 en
los puntos de intersección con el eje x.

44
ANEXO PARA RESOLVER CON PC
1) Dibuje Las gráficas de
3 2
4 3f ( x ) x x y su derivada f´(x) en el intervalo
2 5; utilizando los mismos ejes y responda:
a. ¿Dónde es 0f´( x ) en dicho intervalo?
b. ¿Dónde es f(x) decreciente si x crece en dicho intervalo?
c. Extraiga conclusiones del análisis anterior, recordando que “la
derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
en un punto.
d. ¿En que intervalo es f ( x ) f '( x )?
e. Halle los ceros de f(x) y de f’(x).
f. Obtenga la función compuesta f '[ f ( x )] y determine los puntos en
los cuales esta nueva función posee derivada nula.
g. Halle los intervalos de positividad y de negatividad de la derivada
segundo de la función f '[ f ( x )] .
2) Grafique las funciones
2
x
f ( x ) cos x sen y su derivada primera y responda:
a. ¿Qué tipo de funciones ha obtenido?
b. ¿Dónde es 0f´( x ) en dicho intervalo?
c. ¿Dónde es f(x) creciente en el mismo intervalo?
d. ¿Qué conclusiones puede extraer?
e. Halle la función s( x ) f ( x ) f '( x ) y determine los intervalos en
los cuales 0s'( x ) .
3) Sea f ( x ) x senx :
a. Dibuje las gráficas de f(x) y de f´(x) en 6; .
b. ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 en el intervalo dado? ¿Y cuántas
tiene f´(x) = 0?
c. ¿Puede determinar el valor máximo de f ( x) f '( x) en el mismo
intervalo?
d. Indique dos puntos en la gráfica de f ( x) f '( x) en los que no
exista la derivada y clasifíquelos.
e. Discuta la continuidad la derivabilidad de la función en el intervalo en
estudio.
f. Encuentre tres puntos de la gráfica f ´ (x) que verifiquen: 0f '( x ) .
g. Halle tres puntos de la gráfica de f ’’(x) en los que se cumpla:
0f ''( x ) .
h. Calcule 2f '( ) y diga que tipo de punto es de acuerdo a la derivada
hallada.

45
4) Dadas las funciones f ( x ) x ln x y g( x ) x ln x :
a. Dibuje las gráficas de f(x) y de g(x) en el mismo sistema de ejes
cartesianos y halle el punto en el que se verifica f(x)=g(x).
b. Obtenga c( x) f g( x) y determine el dominio de esta función.
c. Indique los puntos en los cuales la recta tangente a la función c(x)
forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x.
d. Estudie en forma completa la continuidad y la derivabilidad de esta
función c(x).
e. Defina la función k( x) c( x) , determine la continuidad y la
derivabilidad de esta función en su dominio.
f. Encuentre el punto en el cual la recta tangente a k(x) es horizontal.

46
Respuestas a ejercicios
ACTIVIDAD 1
A cargo del alumno.
ACTIVIDAD 2
a) 2
' 9 2; ' 2 34f x x f b)
3 3
' ; ' 2 2
22 3 1
g x f
x
c) 2
19 19
' ; ' 3
( 4) 49
f x f
x
ACTIVIDAD 3
a) 7 b)
3 5
10
c)
19
36
ACTIVIDAD 4
1) ' 2 ; ' 4 8f x x f
2) a) No existe (punto anguloso) b) No existe (punto anguloso)
c) No existen (puntos angulosos) d) No existe (Punto de retroceso)
1) A cargo del alumno.
3) a) y b) A cargo del alumno.
c) Puntos ordinarios: ; 1 1;1 1; , puntos singulares: 1;1 .
d) ' 1j no existe, ' 1j no existe, ' 0 0j
4) a) 2
2
'
5
f x
x
b)
3
'
2 3 1
f x
x
c)
3
10
'
5 1
f x
x

47
5) a) ' 3 27f b)
1
' 8
8
f
6) a) 2f ''( x ) a b) 3
2a
f ''( x )
x
8)
2
3
1 1
3 1
f '( x )
x
No.
9) a) A cargo del alumno.
b)
3 3
2 1 5 3 5 8 5
x x
lim x ; f ; lim x
c) 3 2 3 1f ' f '
d) No, las derivadas laterales son distintas.
10) a) A cargo del alumno.
b) 2 2
1 1
1 0 1 0 1 0
x x
lim x ; f ; lim x
1 2 1 2f ' f ' Las derivadas laterales son distintas.
ACTIVIDAD 5
1)
1
ay' u' log e
u
3)
2 38
3
3 2
1
3 3 3
3 3 2
9
3 3 3
x x x
x x x
y' ln
x x x
ACTIVIDAD 6
1)
4 4 2
4 4
3
3
y x y x y
y'
x x y
2) a)
2
2
3 2
x y
y' y''
xy
b)
2 2
1 1 1 12 2
3
1 1
3
; ;
y x y y
y' ; y' y'' ; y''
xx x y

48
c)
2 2
15 15
y y
y' y''
y x y x
ACTIVIDAD 7
1) u
y' a u' ln a
2) u
y' e u'
3)
5
3 7 4
15x
y' ln x
ACTIVIDAD 8
1) y' cos u u'
2) 5 4
3 7 15y' cos x x
ACTIVIDAD 9
y' sec u tg u u'
ACTIVIDAD 10
y' cosec u cotg u u'
ACTIVIDAD 11
y' Ch u u'
ACTIVIDAD 12 ACTIVIDAD 13
y' Sh u u' 2
y' Sech u u'
2
y' Csch u u' y' Sech u Th u u'
y' Csch u Cth u u'
2
1
u'
y'
u
2
1
u'
y'
u
A cargo del alumno.

49
1) a)
2
13
5 1
y'
x
b)
5 2 3
5 2
6 3 12 2/
/
x x x x
y'
x
c)
2
2
2
1
1
tgx
y' tg x
tgx
d) 2y' cos x x sen x
e) 2
2y' x cos x cos x f)
2
7 5
7
cos x cos x sen x sen x
y'
cos x
g)
2
5
2
cosec x cotg x
y'
cosec x
h) 2y' Sh x cos x
2) a)
2
8 5
2 4 5 9
x
y'
x x
b)
2 322 2
4
6 6 5 4 10 5 4 6
5 4
x x x x x
y'
x
c) 3
2223
10 6
4
3 5
x
y' x
x
x
d)
52 2 2
12 4 1 2 5 2y' x x x x
e)
2
2 2 2
3 2 1 2y' tg x x tg x tg x x
f) 12 3 3y' sen sen x cos x g)
2 2
2
2
2
x ax x ax
y'
b b x ax
h)
2
2
ln sen x
y'
cos x
i)
2
2
ln sen x
y'
cos x
j)
2
2 1 2 1 2
sen x
y'
cos x cos x
k)
1
y'
x

50
l)
3
2x
y'
x x
m)
1
2
2
1
1
arcsen
xe
y'
x
x
n)
2 2
2 2 2 2
2 1
tg a cos x sec a sen x sec a cos x
y'
tg a sen x cos x sec a sec a cos x
o)
1x
y'
x
p)
2
1
2 4 1
y'
arcsen x x
ACTIVIDAD 20
a)
1
dy x
x
1
8
dy
b) 2
1
1
dy x
x
1
40
dy
ACTIVIDAD 21
3) 2dy x dx Si 3x ; 6dy dx
4) dy sen x x cos x dx
ACTIVIDAD 22
1) 2
2dA km 2) 2
37 7dA , cm ; 0 0075Em , ; 0 75Em% , %
3) 2 29y
dy
v , m/ seg
dt
1) 1355y , 144dy ,
2) a) 2
0 01979 2 60y , x x ,
b) 25 26 15 23V , ; ,

51
3) 0 8
dy m
,
dt s
4) a) 16y' , b) 87 5 137 2,y' , c) 40h max m
5) a) 36
cm
v
seg
b) 179t , seg
6) 179t , seg 102 46
m
v ,
s 12 24
734 7x , )
hmax , m 2
9 8y'' , m/ s
7) a) 500 227 5 1000 305 5000 2725C , C C
500 0 455 1000 0 305 5000 0 545C , C , C ,
500 0105 1000 0 205 5000 1005C' , C' , C' ,
b) 1001 1000 0 2051 0 205C C , ,
8) 2
1376dA , m
9) 2
60S cm 2
4 27dS , cm 0 0227ME , 2
2 27 1376M %E , % , m
10) 0 0396dW , t 0 318M %E , %
ACTIVIDAD 23
A cargo del alumno.
ACTIVIDAD 24
A cargo del alumno.
ACTIVIDAD 25
1) 2
1
1
y'
x
3
2
1
y''
x
3) 12 10a t 2 2
14
cm
a
s
a) 1 2x ;x b) 1 2; ;
c) A cargo del alumno. d) 2 3f '' x

52
2)
3
2 2
2 4 3
12 5
x y
y''
y x
3)
y
y''
x
b)
y
y''
x
c)
y
y''
x
d)
2 4 2
2 2 4
x x y y
x y y x
e y e e y e
y''
e e e x e x
6) 3a .
8)
2
2
x y
y'
x y
y
y''
x
9) a)
3 2
2
1 2 25 4 20
2 2 5 1
x x x
y'
x x x
b) 1 x
y' ln x x
c)
xx
ex e
y' e ln ln x ln x
x ln x
d)
2
2 2 2
1 4
4 4 4
x x x
y'
xx x x x
e) senxsenx
y' cos x ln x x
x
13) 11 15
2 5 10 10 , M
E , 11 15
8 63 10 10 , M
E' ,
14) 180C'' q $

53
16) a) 2b b) Sí, lo es.
1
2
4
f '
17) a) 2 7
m
v
s
b) 2 24
m
v
s
c)
1
2
4
m
v
s
18)
3 2
2 2
4 3 2 5
12
y x xy
y'
x xy
Existe para 0x y para
1
2 3
x
y
20) 2 1xy' 3 1xy'

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