Descargar para leer sin conexión
![Bibliografía
Textos Físicos
Bracamonte M. y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial.
Sáenz, J. (2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes
Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa,
Barquisimeto. Venezuela.
Textos digitales
[Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres
https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay
res.pdf](https://image.slidesharecdn.com/tareadederivadas-230912000803-0fea9736/85/DERIVADAS-9-320.jpg)
DERIVADAS
- 1. República Bolivariana deVenezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”. Barquisimeto, Edo. Lara. DERIVADAS Integrantes: Eislerth Aguilar C.I 16.387.563 Sección 1302 Luis Mendoza C.I 19.726781 Sección 1202. Keiber Duran C.I 26.165.260 Sección 1202. Dayindris Rodríguez C.I 25.139.428Sección 1202. Cristian Hernández C.I 26.006.131 Sección 1303. Facilitador: Efrén escalona. Unidad Curricular: Matemática I PNF Distribución y Logística. Barquisimeto, Julio de 2023.
- 2. Derivada por Definición Seala derivada de la función f es la función f’ , tal que su valor en un numero x del dominio de f es la derivada de f en x: 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒉 Ejemplo: Hallar la derivada de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑. Solución: Sea x un punto cualquiera del dominio de f. 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒙 + 𝒉 𝟑 − 𝒙𝟑 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎 𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑 −𝒙𝟑 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎 𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎 𝒉 𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒉+𝒉𝟐 𝒉 =𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎(𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) = 𝟑𝒙𝟐. Propiedades de la derivada Regla de la constante: Si f es la función constante f(x)=c, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 Ejemplo: Si f(x)= 6, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 Regla de la Potencia: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏 y n un numero real, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 . Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟔−𝟏 = 𝟔𝒙𝟓. Derivada de la Identidad: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙 y n un numero real, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟏. Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙. Hallar 𝒇′ 𝒙
- 3. Solución: 𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝒙𝟏−𝟏 =𝟏𝒙𝟎 = 𝟏. Derivada de la función Exponencial: Si 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙 , entonces 𝒇′ 𝒙 = (𝒆𝒙)′ = 𝒆𝒙. Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝒙 . Hallar 𝒇′ 𝒙 Solución: 𝒇′ 𝒙 = 𝟑(𝒆𝒙 )′ = 𝟑𝒆𝒙 . Regla de la suma y diferencia: Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces 𝒇 ± 𝒈 es diferenciable es diferenciable en x y se cumple que: 𝒇 ± 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 ± 𝒈 𝒙 . Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝒙𝟓. Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇′ 𝒙 = 𝟒𝒆𝒙 ′ + (𝒙𝟓 )′ = 𝟒(𝒆𝒙 )′ + 𝟓𝒙𝟓−𝟏 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟓𝒙𝟒 . Regla del producto: Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces 𝒇𝒈 es diferenciable en x y se cumple que 𝒇𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 ′ 𝒈 𝒙 + 𝒇′ 𝒙 𝒈 𝒙 ′. Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 . Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇′ 𝒙 = 𝒙 𝟑 ′ 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙 𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 ′ = 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝟑 −𝟏 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙 𝟑 𝟒𝒙𝟐−𝟏 + 𝟏
- 4. = 𝟏 𝟑 𝒙− 𝟐 𝟑 𝟐𝒙𝟐 +𝒙 + 𝒙 𝟑 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟏 𝟑 𝒙𝟐 𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙 𝟑 𝟒𝒙 + 𝟏 Regla del cociente: Si f y g son diferenciables en x y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎, entonces 𝒇 𝒈 es diferenciable en x y se cumple que: 𝒇 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ′ − 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙)′ (𝒈 𝒙 )𝟐 Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐+𝟏 𝒙+𝟑 . Hallar 𝒇′ 𝒙 Solución: 𝒇 𝒙 ′ = (𝒙 + 𝟑) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 ′ − (𝒙 + 𝟑)′(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟑)𝟐 = (𝒙 + 𝟑) 𝟒𝒙 − (𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 (𝒙 + 𝟑)𝟐 Regla de la Cadena Si la función g es derivable en x y la función f lo es en g(x), entonces la función compuesta 𝒇𝒐𝒈 es derivable en x, se cumple que: 𝒇𝒐𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒈 𝒙 𝒈′ (𝒙) Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔 − 𝟑𝒙 𝟑 . Hallar 𝒇′ 𝒙 Solución: 𝒇′ 𝒙 = 𝒙𝟔 − 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 ′ = 𝟏 𝟑 𝒙𝟔 − 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 −𝟏 . 𝒙𝟔 − 𝟑𝒙 ′
- 5. = 𝟏 𝟑 (𝒙𝟔 − 𝟑𝒙) −𝟐 𝟑. 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑 = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑 𝟑(𝒙𝟔 − 𝟑𝒙) 𝟐 𝟑 Recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Ecuación de la recta tangente La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a). Ejemplo: Se ha trazado una recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒙𝟑 , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) f' (x)= 3x2 f' (a)= 3a2 , es decir que 3a2 =3a = ±1 Las ecuaciones de las rectas tangentes son: a = 1 f(a) = 1 implica que y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2 a = −1 f(a) = −1 es decir, y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2 El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2. Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) . Derivada Implícita Para derivar implícitamente, derivamos la ecuación término a término, considerando a la variable dependiente como función de la independiente. Luego, despejar la derivada
- 6. Ejemplo: hallar 𝒚′si 𝒙𝟑𝒚 − 𝒚𝟕𝒙 = 𝟓 Solución: Derivamos término a término (𝒙𝟑 𝒚)′ − (𝒚𝟕 𝒙)′ = (𝟓)′ → ((𝒙𝟑)′(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝒚)′) − ((𝒚𝟕)′(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝒙)′) = 𝟎 → ((𝟑𝒙𝟐)(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝟏𝒚′)) − ((𝟕𝒚𝟔𝒚′)(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝟏)) = 𝟎 → 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟑𝒚′ − 𝟕𝒚𝟔𝒚′𝒙 + 𝒚𝟕 = 𝟎 → 𝒚′ (𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔 𝒙) = 𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚 → 𝒚′ = 𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙 𝟕 Derivación Logarítmica Para derivar logarítmicamente, se deben seguir los siguientes pasos 1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y, usando las propiedades logarítmicas, transformar los productos, cocientes y exponentes en sumas, restas y multiplicaciones respectivamente. 2. Derivar implícitamente. 3. Despejar la derivada y simplificar. Ejemplo: Hallar la derivada de y mediante derivación logarítmica. Si 𝒚 = 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) 𝒙𝟐+𝟏 Solución: Paso 1: Aplicamos logaritmos y simplificamos, es decir 𝒚 = 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) 𝒙𝟐+𝟏 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) 𝒙𝟐+𝟏
- 7. 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏 – 𝑰𝒏( 𝒙𝟐 + 𝟏) 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏𝒙 + 𝑰𝒏 𝒙𝟐 − 𝟏 – 𝟏 𝟐 𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) Paso 2: Derivamos implícitamente 𝟏 𝒚 𝒚′ = 𝟏 𝒙 𝒙 ′ + 𝟏 𝒙𝟐−𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 ′ − 𝟏 𝟐 𝟏 (𝒙𝟐+𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟏)′ 𝟏 𝒚 𝒚′ = 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐−𝟏 (𝟐𝒙) − 𝟏 𝟐 𝟏 (𝒙𝟐+𝟏) (𝟐𝒙) 𝟏 𝒚 𝒚′ = 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟏 𝒚 𝒚′ = 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏) Paso 3: Despejamos la derivada 𝒚′ = 𝒚 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒚′ = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟏 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏) Derivadas de Orden Superior La derivada de una función se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original, que se denota como: La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera derivada de la función:
- 8. El proceso essucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es: Ejemplo: Obtener la tercera derivada de la siguiente función: 1. 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐 Solución: 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒚′ = (𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐)′ 𝒚′ = 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐. 𝒚′ ′ = (𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐)′. 𝒚′ ′ = (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐). 𝒚′′′ = (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐)′. 𝒚′′′ = (𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒)′.
- 9. Bibliografía Textos Físicos Bracamonte M.y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial. Sáenz, J. (2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa, Barquisimeto. Venezuela. Textos digitales [Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay res.pdf