Este documento presenta información sobre derivadas. Define la derivada de una función como el límite de la pendiente de la recta tangente a la curva representada por la función cuando el intervalo entre los puntos tiende a cero. Explica las reglas para derivar funciones como potencias, exponenciales, sumas, productos, cocientes y funciones compuestas. También cubre conceptos como derivadas implícitas, logarítmicas y la ecuación de la recta tangente.
Definiciones de lo que es una función, dominio, recorrido, características globales como crecimiento, decrecimiento, extremos,... así como operaciones con funciones, incluida la composición de funciones y el cálculo de la función inversa. La presentación concluye con las transformaciones de la función por traslación, dilatación o compresión. Para la correcta visualización de éstas dos últimas diapositivas, se recomienda la descarga de la presentación para observar las animaciones. Está pensado como una iniciación al tema de las funciones en primero de bachillerato.
Definiciones de lo que es una función, dominio, recorrido, características globales como crecimiento, decrecimiento, extremos,... así como operaciones con funciones, incluida la composición de funciones y el cálculo de la función inversa. La presentación concluye con las transformaciones de la función por traslación, dilatación o compresión. Para la correcta visualización de éstas dos últimas diapositivas, se recomienda la descarga de la presentación para observar las animaciones. Está pensado como una iniciación al tema de las funciones en primero de bachillerato.
Expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por medios de suma,resta,multiplicación,división,potenciación,o radiación.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”.
Barquisimeto, Edo. Lara.
DERIVADAS
Integrantes:
Eislerth Aguilar C.I 16.387.563 Sección 1302
Luis Mendoza C.I 19.726781 Sección 1202.
Keiber Duran C.I 26.165.260 Sección 1202.
Dayindris Rodríguez C.I 25.139.428Sección 1202.
Cristian Hernández C.I 26.006.131 Sección 1303.
Facilitador:
Efrén escalona.
Unidad Curricular:
Matemática I
PNF Distribución y Logística.
Barquisimeto, Julio de 2023.
2. Derivada por Definición
Sea la derivada de la función f es la función f’ , tal que su valor en un
numero x del dominio de f es la derivada de f en x:
𝒇′
𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
Ejemplo: Hallar la derivada de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑.
Solución:
Sea x un punto cualquiera del dominio de f.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 𝟑
− 𝒙𝟑
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑 −𝒙𝟑
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒉 𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒉+𝒉𝟐
𝒉
=𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎(𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) = 𝟑𝒙𝟐.
Propiedades de la derivada
Regla de la constante: Si f es la función constante f(x)=c, entonces
𝒇′ 𝒙 = 𝟎
Ejemplo:
Si f(x)= 6, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟎
Regla de la Potencia: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏
y n un numero real, entonces
𝒇′
𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
.
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔, entonces 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟔−𝟏 = 𝟔𝒙𝟓.
Derivada de la Identidad: Si 𝒇 𝒙 = 𝒙 y n un numero real, entonces
𝒇′ 𝒙 = 𝟏.
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙. Hallar 𝒇′
𝒙
3. Solución:
𝒇′
𝒙 = 𝟏𝒙𝟏−𝟏
= 𝟏𝒙𝟎
= 𝟏.
Derivada de la función Exponencial: Si 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
, entonces
𝒇′ 𝒙 = (𝒆𝒙)′ = 𝒆𝒙.
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒆𝒙 . Hallar 𝒇′ 𝒙
Solución:
𝒇′
𝒙 = 𝟑(𝒆𝒙
)′ = 𝟑𝒆𝒙
.
Regla de la suma y diferencia: Si f y g son funciones diferenciables
en x, entonces 𝒇 ± 𝒈 es diferenciable es diferenciable en x y se
cumple que:
𝒇 ± 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 ± 𝒈 𝒙 .
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝒙𝟓. Hallar 𝒇′ (𝒙)
Solución:
𝒇′
𝒙 = 𝟒𝒆𝒙 ′
+ (𝒙𝟓
)′ = 𝟒(𝒆𝒙
)′ + 𝟓𝒙𝟓−𝟏
= 𝟒𝒆𝒙
+ 𝟓𝒙𝟒
.
Regla del producto: Si f y g son funciones diferenciables en x,
entonces 𝒇𝒈 es diferenciable en x y se cumple que
𝒇𝒈 ′
𝒙 = 𝒇′
𝒙 ′
𝒈 𝒙 + 𝒇′
𝒙 𝒈 𝒙 ′.
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙
𝟑
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒙 . Hallar 𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇′ 𝒙 = 𝒙
𝟑 ′
𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙
𝟑
𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 ′
=
𝟏
𝟑
𝒙
𝟏
𝟑
−𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙
𝟑
𝟒𝒙𝟐−𝟏 + 𝟏
4. =
𝟏
𝟑
𝒙−
𝟐
𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙
𝟑
𝟒𝒙 + 𝟏
=
𝟏
𝟑 𝒙𝟐
𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒙
𝟑
𝟒𝒙 + 𝟏
Regla del cociente: Si f y g son diferenciables en x y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎,
entonces
𝒇
𝒈
es diferenciable en x y se cumple que:
𝒇
𝒈
′
𝒙 =
𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ′
− 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙)′
(𝒈 𝒙 )𝟐
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙𝟐+𝟏
𝒙+𝟑
. Hallar 𝒇′
𝒙
Solución:
𝒇 𝒙 ′ =
(𝒙 + 𝟑) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 ′ − (𝒙 + 𝟑)′(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)
(𝒙 + 𝟑)𝟐
= (𝒙 + 𝟑) 𝟒𝒙 − (𝟏)(𝟐𝒙𝟐
+ 𝟏)
(𝒙 + 𝟑)𝟐
= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏
(𝒙 + 𝟑)𝟐
Regla de la Cadena
Si la función g es derivable en x y la función f lo es en g(x), entonces
la función compuesta 𝒇𝒐𝒈 es derivable en x, se cumple que:
𝒇𝒐𝒈 ′
𝒙 = 𝒇′
𝒈 𝒙 𝒈′
(𝒙)
Ejemplo: Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔 − 𝟑𝒙
𝟑
. Hallar 𝒇′ 𝒙
Solución:
𝒇′
𝒙 = 𝒙𝟔
− 𝟑𝒙
𝟏
𝟑
′
=
𝟏
𝟑
𝒙𝟔
− 𝟑𝒙
𝟏
𝟑
−𝟏
. 𝒙𝟔
− 𝟑𝒙 ′
5. =
𝟏
𝟑
(𝒙𝟔 − 𝟑𝒙)
−𝟐
𝟑 . 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑 =
𝟔𝒙𝟓
− 𝟑
𝟑(𝒙𝟔 − 𝟑𝒙)
𝟐
𝟑
Recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es
la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por
el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Ejemplo:
Se ha trazado una recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒙𝟑
, cuya pendiente es 3 y
pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2
f' (a)= 3a2
, es decir que 3a2
=3a = ±1
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1 implica que y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1 es decir, y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2. Por tanto el punto de
tangencia será (1, 1) .
Derivada Implícita
Para derivar implícitamente, derivamos la ecuación término a término,
considerando a la variable dependiente como función de la
independiente. Luego, despejar la derivada
6. Ejemplo: hallar 𝒚′ si 𝒙𝟑𝒚 − 𝒚𝟕𝒙 = 𝟓
Solución:
Derivamos término a término
(𝒙𝟑
𝒚)′ − (𝒚𝟕
𝒙)′ = (𝟓)′
→ ((𝒙𝟑)′(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝒚)′) − ((𝒚𝟕)′(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝒙)′) = 𝟎
→ ((𝟑𝒙𝟐)(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝟏𝒚′)) − ((𝟕𝒚𝟔𝒚′)(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝟏)) = 𝟎
→ 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟑𝒚′ − 𝟕𝒚𝟔𝒚′𝒙 + 𝒚𝟕 = 𝟎
→ 𝒚′
(𝒙𝟑
− 𝟕𝒚𝟔
𝒙) = 𝒚𝟕
− 𝟑𝒙𝟐
𝒚
→ 𝒚′ =
𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐
𝒚
𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙
𝟕
Derivación Logarítmica
Para derivar logarítmicamente, se deben seguir los siguientes pasos
1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y, usando las
propiedades logarítmicas, transformar los productos, cocientes y
exponentes en sumas, restas y multiplicaciones respectivamente.
2. Derivar implícitamente.
3. Despejar la derivada y simplificar.
Ejemplo: Hallar la derivada de y mediante derivación logarítmica. Si
𝒚 =
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
𝒙𝟐+𝟏
Solución:
Paso 1: Aplicamos logaritmos y simplificamos, es decir
𝒚 =
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
𝒙𝟐+𝟏
𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
𝒙𝟐+𝟏
7. 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏 𝒙(𝒙𝟐
− 𝟏 – 𝑰𝒏( 𝒙𝟐 + 𝟏)
𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏𝒙 + 𝑰𝒏 𝒙𝟐 − 𝟏 –
𝟏
𝟐
𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)
Paso 2: Derivamos implícitamente
𝟏
𝒚
𝒚′ =
𝟏
𝒙
𝒙 ′ +
𝟏
𝒙𝟐−𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏 ′ −
𝟏
𝟐
𝟏
(𝒙𝟐+𝟏)
(𝒙𝟐 + 𝟏)′
𝟏
𝒚
𝒚′
=
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙𝟐−𝟏
(𝟐𝒙) −
𝟏
𝟐
𝟏
(𝒙𝟐+𝟏)
(𝟐𝒙)
𝟏
𝒚
𝒚′ =
𝟏
𝒙
+
𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝟐𝒙
𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏)
𝟏
𝒚
𝒚′ =
𝟏
𝒙
+
𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)
Paso 3: Despejamos la derivada
𝒚′ = 𝒚
𝟏
𝒙
+
𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)
𝒚′
=
𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)
𝒙𝟐 + 𝟏
𝟏
𝒙
+
𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)
Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función se conoce como primera
derivada. Si ésta es a su vez una función derivable, su derivada se
denomina segunda derivada de la función original, que se denota como:
La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce
como tercera derivada de la función:
8. El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es:
Ejemplo:
Obtener la tercera derivada de la siguiente función:
1. 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐
Solución:
𝒚 = 𝒙𝟓
− 𝟒𝒙𝟑
− 𝟐𝒙 + 𝟐
𝒚′ = (𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐)′
𝒚′
= 𝟓𝒙𝟒
− 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟐.
𝒚′ ′
= (𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐)′.
𝒚′ ′
= (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐).
𝒚′′′
= (𝟐𝟎𝒙𝟑
− 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐)′.
𝒚′′′ = (𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒)′.
9. Bibliografía
Textos Físicos
Bracamonte M. y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial.
Sáenz, J. (2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes
Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa,
Barquisimeto. Venezuela.
Textos digitales
[Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres
https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay
res.pdf