Clase cálculo

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL
Fecha: sept. 10 DE 2020
PLANEACIÓN Y ORIENTACIÓN DE PROCESOS EDUCATIVOS

2. EQUIPO DE TRABAJO
Profesor
Msc. Osiris Frías Sierra
Estudiantes

3. RESULTADO DE APRENDIZAJE
APLICAR LAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CONTEXTO DE FUNCIONES
ARITMÉTICAS Y TRANSCENDENTALES

4. INDICADOR 1
IDENTIFICA EL CONCEPTO DE DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

5. INDICADOR 1
 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝟏 +
𝟏
𝒏
𝒏
= 𝒆
 Lim ln = ln lim
 Ecuación de la recta :
 y = mx + b
 y 2 - y1 = m ( y 2 - y1)
 Pendiente de una recta , m =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

6. INDICADOR 1
𝒏
𝒙𝒎 = 𝒙𝒎/𝒏
m ln x = ln 𝑥𝑚
log𝑎 𝑢 =
1
ln 𝑎
ln 𝑢

7. CONCEPTO DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
CONCLUSION :
 𝒇′
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙 )
∆𝒙
 𝒇′
𝒙 , se lee : derivada de f
OBSERVEMOS
𝑆𝑖 ∆𝑥 → 0
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑦 + ∆𝑦
⟹ ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
De la Figura:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Pero el limite de una función constante es igual a la misma constante:
𝑚 = lim
∆𝑥→0
𝑚 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
= 𝒇′
𝒙
Observe que 𝑆𝑖 ∆𝑥 → 0 ⟹ 𝐿 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎.
Significa, que la derivada de una función f es la pendiente de la recta
tangente a curva de f

8. CONCEPTOS FUNDAMENTALES CONCEPTO DE DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
CONCLUSION :
𝒇′
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝑦
∆𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙
∆𝒙
⟹ 𝒇′
𝒂 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒂+𝒉 −𝒇 𝒂
𝒉
La derivada como razón de cambio, es el valor limite del incremento relativo de la función
El incremento relativo de la función :
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑦 + ∆𝑦
⟹ ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦
⟹ ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥
⟹ 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝑦
∆𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙
∆𝒙
= 𝒇′
𝒙
OBSERVEMOS :

9. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEFINICIÓN DE DERIVADA COMO LÍMITE
CONCLUSION :
 La derivada de una función es el valor limite del incremento relativo de la función
 Símbolo Lectura Significado
f'(x) f prima Derivada de f
𝒅𝒚
𝒅𝒙
Dy / Dx Derivada de y, con respecto a x
𝒚′
y prima Derivada de y
Método de los cuatro pasos
1. Hallar 𝒇 𝒙 + ∆𝒙
2. Hallar 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙
3. Hallar
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
4. Calcular el límite: 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙

10. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEFINICIÓN DE DERIVADA COMO LÍMITE
Ej. Si y = f (x) = 𝒙
⟹ 𝒇′
𝒙 = ?
CONCLUSION :
1. Hallar 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝒙 + ∆𝑥
2. Hallar 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝒙 + ∆𝑥 − 𝒙
3. Hallar
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
=
𝒙 +∆𝑥 − 𝒙
∆𝑥
4. Calcular el límite: lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝒙 +∆𝑥 − 𝒙
∆𝑥
⟹ lim
∆𝑥→0
𝒙 +∆𝑥 − 𝒙
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝒙 +∆𝑥 − 𝒙
∆𝑥
*
𝒙 +∆𝑥 + 𝒙
𝒙 +∆𝑥 + 𝒙
= lim
∆𝑥→0
𝒙 +∆𝒙 − 𝑥
∆𝑥 ( 𝒙 +∆𝑥 + 𝒙 )
= lim
∆𝑥→0
1
( 𝒙 +∆𝑥 + 𝒙 )
=
1
( 𝒙 +0 + 𝒙 )
=
1
𝟐 𝒙
Método de los cuatro pasos

11. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DERIVADA EN FUNCIONES ALGEBRAICAS
TECNICAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g dos funciones continuas y
derivables:
𝑓 ± 𝑔 ′
= 𝑓′
± 𝑔′
𝑓. 𝑔 ′
= 𝑓𝑔′
+ 𝑔𝑓′
𝑐 ′
= 0
𝑐𝑓 ′
= 𝑐𝑓′
𝑓
𝑔
′
=
𝑔𝑓′−𝑓𝑔′
𝑔2
𝑓𝑛 ′
= 𝑛𝑓𝑛−1
𝑥 ′
= 1
.
CONCLUSION :
Las propiedades anteriores nos
indican que el proceso de derivación
tiene tres pasos fundamentales.
 Reescribir.
 Derivar.
 Simplificar.

12. EJERCICIOS INDICADOR 1 DERIVADA EN FUNCIONES ALGEBRAICAS
Ej 1: 𝒙
′
= ?
R/.
Reescribir: 𝑥1/2 ′
Derivar:
1
2
𝑥−1/2
Simplificar:
1
2 𝑥
.
Puesto que
𝒏
𝒙𝒎 = 𝒙𝒎/𝒏 𝑦 𝑓𝑛 ′ = 𝑛𝑓𝑛−1

13. EJERCICIOS INDICADOR 1
DERIVADA EN FUNCIONES ALGEBRAICAS
Ej. 2
5
3𝑥2
′
= ?
R/.
Reescribir:
5
3
𝑥−2
Derivar:
5
3
(−2𝑥−3)
Simplificar:
−10
3𝑥3
.
Puesto que 𝑐𝑓 ′
= 𝑐𝑓′
y 𝑓𝑛 ′
= 𝑛𝑓𝑛−1

14. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 3 Una partícula se mueve de acuerdo con la ecuación 𝑥 𝑡 = −4𝑡 + 2𝑡, halla la velocidad y
aceleración a los 2 segundos.
R/:
Datos 𝑥 𝑡 = −4𝑡 + 2𝑡 𝑚
⟹ 𝑣 𝑡 = ? ; 𝑎( 𝑡) = ?
Formula y Reemplazo
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
4𝑡2
+ 2𝑡
v 𝑡 = ( 8 𝑡 + 2 ) 𝑚/𝑠
𝑎 =
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝑑 8𝑡 + 2
𝑑𝑡
𝑎 = 8 + 0 = 8 𝑚/𝑠2
CONCLUSION :
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑎( 𝑡) =
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑
𝑑𝑡
( v )
𝑎 =
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) =
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕
Puesto que
𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓′ ± 𝑔′ ; 𝑐𝑓 ′ = 𝑐𝑓′ ; 𝑓𝑛 ′ = 𝑛𝑓𝑛−1

15. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 4 TEOREMA DE ROLLE
Sea f una función continua y derivable en un
intervalo (a, b)
Existe un 𝐶 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
Si 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 ⟹ 𝑓′ 𝐶 = 0
Aplicación en Física Mecánica en M.R.U.
OBSERVEMOS
CONCLUSION :
𝑠𝑖 𝑓′ 𝑡1 = 𝑓′ 𝑡2 = ∃𝐶 𝑡1, 𝑡2 𝑓′ 𝐶 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0 ⟹ 𝑎 = 0

16. EJERCICIOS INDICADOR 1
Conclusión
R/ B.
Puesto que la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada de la
función; en este caso, la función es la velocidad y derivada , es la aceleración
EJ. 5
La gráfica muestra la función
velocidad V(t) = (40 - 5t2 ) m/ s
entonces se puede afirmar:
A. La aceleración no es La pendiente de la
recta
B. La aceleración es -20 m/s2
C. La velocidad es constante
D. La aceleración es constante

17. EJERCICIOS INDICADOR 1
Conclusión
R/ A.
Puesto que :
EJ. 6
De acuerdo a la gráfica de la
izquierda, se puede analizar que la
ecuación que define a la
velocidad es:
A. V ( t ) = 40 – 5t2
B. V ( t ) = 40 + 5t2
C. V ( t ) = 20 – 5t2
D. V ( t ) = 20 + 5t2

18. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 7 La posición en función del tiempo, de un
móvil esta dada por la ecuación :
𝒙 𝒕 = (𝟒𝒕𝟐
+ 𝟓𝒕 + 𝟖 ) m
Entonces la velocidad del móvil en cada
instante de tiempo es:

19. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 8 En la producción de una empresa, la cantidad de artículos defectuosos, se puede
determinar en función del tiempo, por la expresión 𝑦 = 4𝑡 + 5𝑡2
− 𝑡3
, 0 ≥ 𝑡 ≤ 5
Sí el encargado del proceso comienza a trabajar desde las 10:00 am, determine la tasa de
artículos con defectos a las 11:00am.
Conclusión:
𝑦′
= 4 + 10 ( 1 ) – 3( 𝟏 )2
= 11
Formula y Reemplazo
𝑦 = 4𝑡 + 5𝑡2 - 𝑡3
𝑦′
= 4 + 10 t – 3𝒕2

20. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 9 La expresión : 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒓+𝒉 −𝒇(𝒓)
𝒉
se relaciona con :
A. Derivada de una función B. Derivación implícita
C. Regla de la cadena D. limite de una función
R/. A
puesto que :
𝒇′
( x ) = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙

21. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 10 La derivada de y = 𝑥 se puede calcular con
A. lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥 B lim
𝑥→0
𝑥+∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥
C. lim
∆𝑥→0
𝑥+ ∆𝑥 − ∆𝑥
∆𝑥
D. lim
∆𝑥→0
𝑥+ ∆𝑥 − 𝑥
𝑥
Conclusión:
R/ A.
pues es la definición de la derivada por el método de los cuatro pasos

22. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
REGLA DE LA CADENA
EJ. 11
Sea 𝑦 = 𝑓 𝑢 entonces 𝑦′
= 𝑓 ′
𝑢 𝒅𝒖
𝑦 = 𝑥2 + 1 ⟹ 𝒚′ = ?
R/
𝑦′ =
1
2 𝑥2 + 1
𝟐𝒙
⟹ 𝑦′ =
𝑥
𝑥2 + 1
ó TAMBIEN
Sea 𝑦 = 𝑓 °𝑔 una función continua y derivable en u;
u = 𝑔 𝑥 entonces
𝑦′
= 𝑓 °𝑔 ′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ej. Sea 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒚′
= ?
Solución:
𝒔𝒆𝒂 𝒖 = 𝒙𝟐
+ 𝟏 ⇒ 𝒚 = 𝒖
𝟏
𝟐
⟹ 𝒚′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑢
𝑢
1
2
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒚′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢
−1
2
𝒅 𝒙𝟐+𝟏
𝒅𝒙
𝒚′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2 𝑥2+1
𝟐𝒙
𝒚′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑥2+1
Es la derivada de funciones compuestas

23. EJERCICIOS INDICADOR 1 EJ . REGLA DE LA CADENA
𝑬𝑱. 𝟏𝟐 𝑦 =
𝑥+1 2−𝑥 5
𝑥+3 7 ⟹ 𝒚′ = ?
Solución: 𝑦 = 𝑥 + 3 −7 [ 𝑥 + 1 2 − 𝑥 5 ]
𝑦′= 𝑥 + 3 −7 [ 𝑥 + 1 2 − 𝑥 5 ]´
𝑦′
= 𝑥 + 3 −7
𝑥 + 1 ∗ 5 2 − 𝑥 4
−1 + 2 − 𝑥 5
1
2 𝑥 + 1
+ 𝑥 + 1 2 − 𝑥 5
−7 𝑥 + 3 −8
𝑦′
=
2 − 𝑥 4
𝑥 + 3 7
−5 ∙ 𝑥 + 1
1
+
2 − 𝑥
2 𝑥 + 1
+
−7 2 − 𝑥 𝑥 + 1
𝑥 + 3

24. EJERCICIOS INDICADOR 1 REGLA DE LA CADENA
𝑦′ =
2 − 𝑥 4
𝑥 + 3 7
2 𝑥 + 3 𝑥 + 1 −5 𝑥 + 1 + 𝑥 + 3 2 − 𝑥 + 2 𝑥 + 1 −14 + 7𝑥
2 𝑥 + 1 𝑥 + 3
𝑦′
=
2 − 𝑥 4
𝑥 + 3 7
10𝑥 − 30 𝑥 + 1 + 2𝑥 + 6 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥 + 2 −14 + 7𝑥
2 𝑥 + 1 𝑥 + 3
𝑦′ =
2 − 𝑥 4
𝑥 + 3 7
3𝑥2
− 55𝑥 − 52
2 𝑥 + 1 𝑥 + 3
𝑦′
=
2 − 𝑥 4
𝑥 + 3 8
3𝑥2 − 55𝑥 − 52
2 𝑥 + 1

25. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 13 Hallar la ec. recta tangente a f en el
punto indicado
𝑓 =
1
3
𝑥 𝑥2 + 5 𝑒𝑛 (2, 2)
Donde 𝑚 = 𝑓′
𝑥 𝑒𝑛 (2, 2 )
𝑦′ =
1
3
𝑥 𝑥2 + 5
′
+ 𝑥2 + 5
1
3
𝑥 ′
𝑦′=
1
3
𝑥
2𝑥
2 𝑥2 + 5
+ 𝑥2 + 5
1
3
𝑦′
=
𝑥2
3 𝑥2 + 5
+
𝑥2 + 5
3
⟹ 𝑚 =
4
3 9
+
9
3
=
4
9
+ 1 =
13
9
Formula
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝑚(𝒙 − 𝒙𝟏)
Reemplazo
𝑦 − 2 =
13
9
( 𝑥 − 2)
𝑦 − 2 =
13
9
𝑥 −
26
9
𝑦 =
13
9
𝑥 −
26
9
+ 2
𝑦 =
13
9
𝑥 −
26
9
+
18
9
𝒚 =
𝟏𝟑
𝟗
𝒙 −
𝟖
𝟗

26. EJERCICIOS INDICADOR 1
EJ. 14 Hallar la recta tangente a f en el
punto indicado
𝑓( 𝑥) = 9 − 𝑥2 1/3
𝑒𝑛 (1, 2)
Donde 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 𝑒𝑛 (1, 2 )
𝑦′
=
1
3
9 − 𝑥2 −2/3
−2𝑥
𝑦′
=
−2
3
𝑥
3
9 − 𝑥2 2
⟹ 𝑚 =
−2
3
1
𝟑
𝟗 − 𝟏𝟐 𝟐
⟹ 𝑚 =
−2
3
1
𝟑
𝟔𝟒
𝑚 =
−2
3
1
4
=
− 𝟏
𝟔
Formula
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝑚(𝒙 − 𝒙𝟏)
Reemplazo
𝒚 − 𝟐 =
− 𝟏
𝟔
( 𝒙 − 𝟏 )
𝒚 − 𝟐 =
− 𝟏
𝟔
𝒙 +
𝟏
𝟔
𝒚 =
− 𝟏
𝟔
𝒙 +
𝟏
𝟔
+ 𝟐
𝒚 =
− 𝟏
𝟔
𝒙 +
𝟏𝟑
𝟔

27. DERIVACIÓN IMPLICITA
Es el proceso de función de derivación cuando la función no está explicita; por lo tanto, en esta forma se
deriva aplicando la regla de la cadena.
Observemos:
Hallar 𝒚 ′ si 𝑥2 + 𝑦2 = 4
Solución:
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑦2 =
𝑑
𝑑𝑥
(4)
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
2y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑦
= 𝑦 ′
Prueba:
𝑥2
+ 𝑦2
= 4
𝑦2
= 4 − 𝑥2
𝑦 = 4 − 𝑥2 = (4 − 𝑥)
1
2
𝑦 ′ =
1
2
(4 − 𝑥2
)
1
2(−2𝑥)
𝑦 ′ =
−𝑥
4 − 𝑥2
⟹ 𝑦 ′ =
−𝑥
𝑦