derivadas

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”.
Barquisimeto, Edo. Lara.
DERIVADAS
Integrantes:
Leirry Pérez C.I.V- 22.272.310
Elianny Martinez C.I.V- 30.480.662
Jonathan Quintero C.I.V- 19.284.089
Annie Rivas C.I.V- 25.139.818 Sección 1202.
Irene Díaz C.I.V- 31.654.688
Sección: DL1302
Profesor:
Efrén escalona.
Matemática I
PNF Distribución y Logística.
Barquisimeto, Julio de 2023.

2. Derivada por Definición
La derivada es una medida de la tasa de cambio instantánea de una función en
relación a una variable.
Sea la derivada de la función f es la función f’ , tal que su valor en un numero x
del dominio de f es la derivada de f en x:
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉→𝟎 𝒉
Ejemplo: Hallar la derivada de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑.
Solución:
Sea x un punto cualquiera del dominio de f.
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(𝒙 + 𝒉)𝟑 − 𝒙𝟑
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
(𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑)−𝒙𝟑
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
(𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑)
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→
𝟎
𝒉(𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒉+𝒉𝟐)
=𝐥𝐢𝐦
𝒉 𝒉→
𝟎
(𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) = 𝟑𝒙𝟐.
Propiedades de la derivada
Las propiedades de la derivada incluyen la regla de la suma, la regla del producto, la regla del
cociente, la regla de la cadena y la regla de la derivada de una constante.
 Regla de la constante: Si f es la función constante f(x)=c, entonces
𝒇′
(𝒙) = 𝟎
Ejemplo:
Si f(x)= 6, entonces 𝒇′(𝒙) = 𝟎
 Regla de la Potencia: Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 y n un numero real, entonces
𝒇′
(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏.

3. Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟔, entonces 𝒇′
(𝒙) = 𝟔𝒙𝟔−𝟏 = 𝟔𝒙𝟓.
 Derivada de la Identidad: Si 𝒇(𝒙) = 𝒙 y n un numero real, entonces
𝒇′
(𝒙) = 𝟏.
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙. Hallar 𝒇′
(𝒙)

4. Solución:
𝒇′
(𝒙) = 𝟏𝒙𝟏−𝟏 = 𝟏𝒙𝟎 = 𝟏.
 Derivada de la función Exponencial: Si 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 , entonces
𝒇′
(𝒙) = (𝒆𝒙)′ = 𝒆𝒙.
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒆𝒙 . Hallar 𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇′
(𝒙) = 𝟑(𝒆𝒙)′ = 𝟑𝒆𝒙.
 Regla de la suma y diferencia: Si f y g son funciones diferenciables en x,
entonces 𝒇 ± 𝒈 es diferenciable es diferenciable en x y se cumple que:
(𝒇 ± 𝒈)′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒙) ± 𝒈(𝒙).
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒆𝒙 + 𝒙𝟓. Hallar 𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇′
(𝒙) = (𝟒𝒆𝒙)′
+ (𝒙𝟓)′ = 𝟒(𝒆𝒙)′ + 𝟓𝒙𝟓−𝟏 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟓𝒙𝟒.
 Regla del producto: Si f y g son funciones diferenciables en x,
entonces 𝒇𝒈 es diferenciable en x y se cumple que
(𝒇𝒈)′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒙)′
𝒈(𝒙) + 𝒇′
(𝒙) 𝒈(𝒙)′.
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) =
𝟑
√𝒙(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙). Hallar 𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇′
(𝒙) = (
𝟑
√𝒙)
′
(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (
𝟑
√𝒙) (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙)′
𝟏 𝟏 𝟑
= 𝒙𝟑−𝟏
(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (√𝒙)(𝟒𝒙𝟐−𝟏 + 𝟏)
𝟑

5. 𝟏 𝟐 𝟑
= 𝒙−𝟑(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (√𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏)
𝟑
𝟏
=
𝟑
𝟑
√𝒙𝟐
(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (
𝟑
√𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏)
 Regla del cociente: Si f y g son diferenciables en x y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎,
entonces 𝒇 es diferenciable en x y se cumple que:
𝒈
𝒇 ′
( ) (𝒙) =
𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)′
− 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)′
( ) 𝟐
𝒈 (𝒈 𝒙 )
Ejemplo: Sea 𝒇( 𝒙) =
(𝟐𝒙𝟐
+𝟏)
. Hallar
𝒙+𝟑
𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇(𝒙)′
=
(𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)′ − (𝒙 + 𝟑)′(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙
+ 𝟑)𝟐
= (𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙) − (𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙
+ 𝟑)𝟐
= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏
(𝒙 + 𝟑)𝟐
Regla de la Cadena
Si la función g es derivable en x y la función f lo es en g(x), entonces la función
compuesta (𝒇𝒐𝒈) es derivable en x, se cumple que:
(𝒇𝒐𝒈)′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒈(𝒙))𝒈′
(𝒙)
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) =
𝟑
√𝒙𝟔 − 𝟑𝒙. Hallar 𝒇′
(𝒙) Solución:
′ 𝟔 𝟏/
′ 𝟏 𝟔
𝟏
−𝟏 𝟔 ′
𝒇 (𝒙) = [
(
𝒙 − 𝟑𝒙) 𝟑] = (
𝒙
𝟑
− 𝟑𝒙)𝟑 . (𝒙 − 𝟑𝒙)

6. 𝟏 −𝟐
= (𝒙𝟔 − 𝟑𝒙) 𝟑 . (𝟔𝒙𝟓 − 𝟑) =
𝟑
(𝟔𝒙𝟓 − 𝟑)
𝟐
𝟑(𝒙𝟔 − 𝟑𝒙)𝟑
Recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es
la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto
(a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Ejemplo:
Se ha trazado una recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒙𝟑, cuya pendiente es 3 y pasa por
el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2
⇒f' (a)= 3a2
, es decir que 3a2
=3a = ±1 Las
ecuaciones de las rectas tangentes son:
 a = 1 f(a) = 1 implica que y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
 a = −1 f(a) = −1 es decir, y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2. Por tanto el punto de tangencia será
(1, 1) .
Derivada Implícita
Para derivar implícitamente, derivamos la ecuación término a término,
considerando a la variable dependiente como función de la independiente. Luego,
despejar la derivada

7. Ejemplo: hallar 𝒚′
si 𝒙𝟑𝒚 − 𝒚𝟕𝒙 = 𝟓
Solución:
Derivamos término a término
(𝒙𝟑𝒚)′ − (𝒚𝟕𝒙)′ = (𝟓)′
→ ((𝒙𝟑)′(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝒚)′) − ((𝒚𝟕)′(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝒙)′) = 𝟎
→ ((𝟑𝒙𝟐)(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝟏𝒚′)) − ((𝟕𝒚𝟔𝒚′)(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝟏)) = 𝟎
→ 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟑𝒚′ − 𝟕𝒚𝟔𝒚′𝒙 + 𝒚𝟕 = 𝟎
→ 𝒚′
(𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙) = 𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐𝒚
→ 𝒚′
=
𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐𝒚
𝟕
𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙
Derivación Logarítmica
Para derivar logarítmicamente, se deben seguir los siguientes pasos
1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y, usando las propiedades
logarítmicas, transformar los productos, cocientes y exponentes en sumas,
restas y multiplicaciones respectivamente.
2. Derivar implícitamente.
3. Despejar la derivada y simplificar.
Ejemplo: Hallar la derivada de y mediante derivación logarítmica. Si
𝒚 =
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
√𝒙𝟐+𝟏
Solución:
Paso 1: Aplicamos logaritmos y simplificamos, es decir
𝒚 =
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏 (
𝒙(𝒙𝟐−𝟏)
)
√𝒙𝟐+𝟏 √𝒙𝟐+𝟏

8. ⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏( 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏 )– 𝑰𝒏(√𝒙𝟐 + 𝟏)
⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏𝒙 + 𝑰
𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟏 )–
𝟏
𝟐
𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)
Paso 2: Derivamos implícitamente
𝟏 𝒚′
=
𝟏
(𝒙)′
+
𝟏
( 𝒙𝟐 − 𝟏)′
−
𝟏
𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟏)′
𝒚 𝒙 𝒙𝟐−𝟏 𝟐 (𝒙𝟐+𝟏)
⇒
𝟏
𝒚′ =
𝟏
+ 𝟏 (𝟐𝒙) −
𝟏
𝟏 (𝟐𝒙)
𝒚 𝒙 𝒙𝟐−𝟏 𝟐 (𝒙𝟐+𝟏)
⇒
𝟏
𝒚′
=
𝟏
+
𝟐
𝒙 𝟐𝒙
−
𝒚 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏)
⇒
𝟏
𝒚′
=
𝟏
+
𝟐𝒙
−
𝒙
𝒚 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟏)
Paso 3: Despejamos la derivada
⇒ 𝒚′ 𝟏
= 𝒚 ( +
𝟐𝒙 𝒙
𝟐 − 𝟐 )
𝒙 𝒙 − 𝟏 (𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟏
⇒ 𝒚′
= ( +
√𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙
𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)
)
Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función se conoce como primera
derivada. Si ésta es a su vez una función derivable, su derivada se denomina segunda
derivada de la función original, que se denota como:
La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera

9. derivada de la función:

10. El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es:
Ejemplo:
Obtener la tercera derivada de la siguiente función:
1. 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐
Solución:
𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐
⇒ 𝒚′
= (𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐)′
⇒ 𝒚′
= 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐.
⇒ 𝒚′ ′
= (𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐)′.
⇒ 𝒚′ ′
= (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐).
⇒ 𝒚′′′
= (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐)′.
⇒ 𝒚′′′
= (𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒)′.

11. Bibliografía
Textos Físicos
Bracamonte M. y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial. Sáenz, J.
(2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes
Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa,
Barquisimeto. Venezuela.
Textos digitales
https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay res.pdf
[Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres