El documento explica los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Define el límite de una función en un punto como el valor al que se aproximan los valores de la función cuando la variable independiente toma valores cada vez más cercanos al punto, siempre que no sea igual. También introduce los conceptos de límites laterales, límites infinitos, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Finalmente, resume algunos métodos para calcular límites simples y particulares.
Este documento presenta varios temas relacionados con las aplicaciones de la derivada, incluyendo el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio, la Regla de L'Hôpital, el cálculo de extremos, la curvatura y los puntos de inflexión, y la resolución de problemas de optimización. Proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos para cada tema.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Introduce las funciones reales de variable real, el concepto formal de límite, los límites infinitos y en el infinito, las propiedades de los límites y diferentes métodos para calcular límites, incluyendo las indeterminaciones. Finalmente, explica el concepto de continuidad y el teorema de Bolzano.
Este documento resume conceptos clave de análisis matemático II como límites, continuidad, derivabilidad y optimización de funciones. Incluye definiciones de límites, reglas para calcular límites indeterminados, y condiciones para la continuidad y derivabilidad de funciones. También explica cómo calcular derivadas, ecuaciones de tangentes, y optimizar funciones de una o dos variables.
Este documento presenta una introducción al concepto de límite en cálculo diferencial. Explica que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente se acerca a un número determinado o al infinito. Además, brinda algunos antecedentes históricos sobre el desarrollo del cálculo y figuras influyentes como Bernard Bolzano. Finalmente, ofrece ejemplos para ilustrar el cálculo de límites y algunas consideraciones al resolver problemas de este tipo.
Este documento introduce las funciones exponenciales. Explica que para funciones exponenciales, si la diferencia entre valores consecutivos de la variable independiente es constante, la razón entre los valores correspondientes de la función también es constante. Incluye ejemplos de tablas de valores que ilustran esta propiedad y aplican leyes de exponentes para calcular valores de funciones exponenciales.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Introduce el concepto de límite en un punto de manera intuitiva a través de ejemplos. Luego define el límite formalmente como la aproximación de una función a un valor L cuando la variable independiente se aproxima a un punto, de tal forma que para cualquier proximidad ε se pueda encontrar un intervalo δ que garantice que la función permanezca dentro de ε del valor L. Finalmente, demuestra tres ejemplos de cálculo de límites usando esta definición formal.
Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
Este documento presenta varios temas relacionados con las aplicaciones de la derivada, incluyendo el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio, la Regla de L'Hôpital, el cálculo de extremos, la curvatura y los puntos de inflexión, y la resolución de problemas de optimización. Proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos para cada tema.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Introduce las funciones reales de variable real, el concepto formal de límite, los límites infinitos y en el infinito, las propiedades de los límites y diferentes métodos para calcular límites, incluyendo las indeterminaciones. Finalmente, explica el concepto de continuidad y el teorema de Bolzano.
Este documento resume conceptos clave de análisis matemático II como límites, continuidad, derivabilidad y optimización de funciones. Incluye definiciones de límites, reglas para calcular límites indeterminados, y condiciones para la continuidad y derivabilidad de funciones. También explica cómo calcular derivadas, ecuaciones de tangentes, y optimizar funciones de una o dos variables.
Este documento presenta una introducción al concepto de límite en cálculo diferencial. Explica que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente se acerca a un número determinado o al infinito. Además, brinda algunos antecedentes históricos sobre el desarrollo del cálculo y figuras influyentes como Bernard Bolzano. Finalmente, ofrece ejemplos para ilustrar el cálculo de límites y algunas consideraciones al resolver problemas de este tipo.
Este documento introduce las funciones exponenciales. Explica que para funciones exponenciales, si la diferencia entre valores consecutivos de la variable independiente es constante, la razón entre los valores correspondientes de la función también es constante. Incluye ejemplos de tablas de valores que ilustran esta propiedad y aplican leyes de exponentes para calcular valores de funciones exponenciales.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Introduce el concepto de límite en un punto de manera intuitiva a través de ejemplos. Luego define el límite formalmente como la aproximación de una función a un valor L cuando la variable independiente se aproxima a un punto, de tal forma que para cualquier proximidad ε se pueda encontrar un intervalo δ que garantice que la función permanezca dentro de ε del valor L. Finalmente, demuestra tres ejemplos de cálculo de límites usando esta definición formal.
Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre el cálculo de derivadas. Explica la definición formal de derivada como un límite, y cómo se usa para determinar la pendiente de una curva en un punto y calcular la tangente. También cubre reglas para calcular derivadas, como la derivada de funciones constantes y compuestas, y el teorema de que la derivabilidad implica continuidad. Finalmente, incluye ejemplos detallados sobre cómo aplicar estas ideas para calcular derivadas a partir de su definición.
Este documento presenta la definición intuitiva de límites en cálculo diferencial e integral. Explica que un límite describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Proporciona ejemplos de cómo calcular límites mediante tabulación de valores y simplificación de expresiones racionales en formas indeterminadas como 0/0. También cubre métodos para determinar límites a partir de gráficas de funciones.
Este documento presenta información sobre el cálculo de límites. Explica que los límites son una herramienta fundamental del cálculo y que representan el valor al que se aproxima una función cuando se acerca a un punto. Incluye ejemplos de cómo calcular límites mediante factorización y presenta la regla de L'Hôpital para evaluar límites indeterminados usando derivadas.
Cálculo Diferencial, se abordarán el concepto del límite de forma informal, para establecer la notación y la existencia del límite cuando sus límites laterales son iguales.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y cómo surgió para resolver problemas en el cálculo del siglo XVII. Explica el concepto de límite a través de sucesiones y ejemplos de funciones, y analiza propiedades como el límite de una constante por una función, la suma y el producto de funciones, y límites indeterminados.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones como la noción de límite, reglas para calcular límites, límites infinitos y el teorema del sándwich. 2) Se proveen varios ejercicios de cálculo de límites aplicando las reglas y propiedades presentadas. 3) También se explica el comportamiento de funciones en puntos donde presentan límites infinitos.
Este documento presenta conceptos sobre límites y continuidad de funciones. Explica qué es un límite de sucesiones y funciones en puntos, en el infinito y geométricamente. Muestra ejemplos del cálculo de límites de funciones racionales, trigonométricas y gráficas para ilustrar la continuidad.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones, incluyendo: (1) la definición intuitiva de límite y ejemplos numéricos, (2) la definición formal ε-δ, (3) teoremas de límites como herramientas para calcular límites, (4) límites unilaterales y bilaterales, y (5) tipos de indeterminaciones y continuidad de funciones. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para reforzar
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en cálculo. Explica la definición de continuidad en un punto y continuidad lateral. También presenta teoremas sobre continuidad de funciones compuestas y sumas y productos de funciones continuas. Por último, cubre límites al infinito de funciones racionales y funciones que se hacen infinitas en el infinito.
Este documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad en matemáticas. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a ese punto. También define las diferentes clases de límites como límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos. Por último, analiza la noción de continuidad de una función basada en los límites y las diferentes formas en que una función puede ser discontinua.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
El documento explica los límites de funciones y cómo calcularlos mediante tablas de valores o sustitución directa. Además, ofrece ejemplos prácticos de cómo usar los límites para calcular velocidades, tasas de crecimiento y distancias variables. Finalmente, concluye recomendando aplicar más los límites debido a que su entendimiento y uso práctico es más favorable.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento introduce el concepto de límite de una función matemática y cómo se aplica a la medicina. Explica que el límite de una función cuando x tiende a x0 es el número real L tal que, para cualquier ε>0, existe un δ>0 que cumple que si 0<|x-x0|<δ, se verifica que |f(x)-L|<ε. Además, presenta teoremas sobre límites, ejemplos de cálculo de límites laterales e infinitos, formas indeterminadas y continuidad de funciones.
Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por la izquierda como por la derecha. El límite existe si el límite izquierdo y derecho son iguales. El límite, si existe, es único independientemente de si la función está definida en ese punto.
El documento trata sobre la continuidad de funciones. Explica que una función es continua en todo su dominio si se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz. Presenta varios ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y analiza los tipos de discontinuidades (evitable, de 1a especie, salto finito, salto infinito). Muestra cómo determinar si una función es continua en un punto evaluando si existe el límite y coincide con el valor de la función.
Definición de límites, continuidad y derivadasEduca-training
El documento explica los conceptos fundamentales de límites, continuidad y derivadas. Introduce la noción de límite de una función en un punto y diferentes tipos de límites como límites infinitos y laterales. Explica las indeterminaciones como el caso 0/0 y cómo resolverlas. Define la continuidad de una función en un punto y diferentes tipos de discontinuidades. Finalmente introduce el concepto de derivada de una función en un punto como el límite de un cociente incremental cuando el incremento tiende a cero.
Este documento presenta una serie de problemas típicos sobre límites y continuidad de funciones. Incluye problemas sobre el cálculo de límites utilizando técnicas como factorización, expresiones conjugadas y simplificación de términos. También cubre conceptos como la continuidad de funciones y métodos para determinar la existencia de soluciones a ecuaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre límites y continuidad de funciones. Introduce las definiciones de dominio, recorrido y límite de una función en un punto de forma intuitiva y formal. Explica propiedades de los límites como la unicidad y el cálculo de límites simples. Finalmente, clasifica los tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de econometría. En la primera sección, se demuestra que el estimador propuesto para el modelo yi = βxi + ui está sesgado hacia 0, y que su varianza es inferior a la del estimador MCO. En la segunda sección, se calculan la esperanza y varianza de varios estimadores propuestos para el modelo Yt = α + βXt + ut, sugiriendo que el estimador de mínimos cuadrados ordinarios debería usarse. En la tercera sección, se demuestra que el coeficiente de pendiente estimado
Este documento presenta un resumen de cálculo integral, incluyendo la definición de integral definida, casos en que el teorema fundamental del cálculo no se cumple, y definición de integral impropia convergente y divergente. Luego, evalúa seis integrales impropias y propone resolver cuatro integrales más utilizando métodos como integración por racionalización e integración por sustitución trigonométrica.
Este documento presenta una introducción al cálculo de límites y derivadas. Explica la definición intuitiva y formal de límites, incluyendo límites laterales y en un punto. También cubre propiedades de límites, resolución de indeterminaciones, continuidad y cálculo de derivadas usando definiciones, reglas y funciones básicas.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre el cálculo de derivadas. Explica la definición formal de derivada como un límite, y cómo se usa para determinar la pendiente de una curva en un punto y calcular la tangente. También cubre reglas para calcular derivadas, como la derivada de funciones constantes y compuestas, y el teorema de que la derivabilidad implica continuidad. Finalmente, incluye ejemplos detallados sobre cómo aplicar estas ideas para calcular derivadas a partir de su definición.
Este documento presenta la definición intuitiva de límites en cálculo diferencial e integral. Explica que un límite describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Proporciona ejemplos de cómo calcular límites mediante tabulación de valores y simplificación de expresiones racionales en formas indeterminadas como 0/0. También cubre métodos para determinar límites a partir de gráficas de funciones.
Este documento presenta información sobre el cálculo de límites. Explica que los límites son una herramienta fundamental del cálculo y que representan el valor al que se aproxima una función cuando se acerca a un punto. Incluye ejemplos de cómo calcular límites mediante factorización y presenta la regla de L'Hôpital para evaluar límites indeterminados usando derivadas.
Cálculo Diferencial, se abordarán el concepto del límite de forma informal, para establecer la notación y la existencia del límite cuando sus límites laterales son iguales.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y cómo surgió para resolver problemas en el cálculo del siglo XVII. Explica el concepto de límite a través de sucesiones y ejemplos de funciones, y analiza propiedades como el límite de una constante por una función, la suma y el producto de funciones, y límites indeterminados.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones como la noción de límite, reglas para calcular límites, límites infinitos y el teorema del sándwich. 2) Se proveen varios ejercicios de cálculo de límites aplicando las reglas y propiedades presentadas. 3) También se explica el comportamiento de funciones en puntos donde presentan límites infinitos.
Este documento presenta conceptos sobre límites y continuidad de funciones. Explica qué es un límite de sucesiones y funciones en puntos, en el infinito y geométricamente. Muestra ejemplos del cálculo de límites de funciones racionales, trigonométricas y gráficas para ilustrar la continuidad.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones, incluyendo: (1) la definición intuitiva de límite y ejemplos numéricos, (2) la definición formal ε-δ, (3) teoremas de límites como herramientas para calcular límites, (4) límites unilaterales y bilaterales, y (5) tipos de indeterminaciones y continuidad de funciones. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para reforzar
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en cálculo. Explica la definición de continuidad en un punto y continuidad lateral. También presenta teoremas sobre continuidad de funciones compuestas y sumas y productos de funciones continuas. Por último, cubre límites al infinito de funciones racionales y funciones que se hacen infinitas en el infinito.
Este documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad en matemáticas. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a ese punto. También define las diferentes clases de límites como límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos. Por último, analiza la noción de continuidad de una función basada en los límites y las diferentes formas en que una función puede ser discontinua.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
El documento explica los límites de funciones y cómo calcularlos mediante tablas de valores o sustitución directa. Además, ofrece ejemplos prácticos de cómo usar los límites para calcular velocidades, tasas de crecimiento y distancias variables. Finalmente, concluye recomendando aplicar más los límites debido a que su entendimiento y uso práctico es más favorable.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento introduce el concepto de límite de una función matemática y cómo se aplica a la medicina. Explica que el límite de una función cuando x tiende a x0 es el número real L tal que, para cualquier ε>0, existe un δ>0 que cumple que si 0<|x-x0|<δ, se verifica que |f(x)-L|<ε. Además, presenta teoremas sobre límites, ejemplos de cálculo de límites laterales e infinitos, formas indeterminadas y continuidad de funciones.
Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por la izquierda como por la derecha. El límite existe si el límite izquierdo y derecho son iguales. El límite, si existe, es único independientemente de si la función está definida en ese punto.
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Definición de límites, continuidad y derivadasEduca-training
El documento explica los conceptos fundamentales de límites, continuidad y derivadas. Introduce la noción de límite de una función en un punto y diferentes tipos de límites como límites infinitos y laterales. Explica las indeterminaciones como el caso 0/0 y cómo resolverlas. Define la continuidad de una función en un punto y diferentes tipos de discontinuidades. Finalmente introduce el concepto de derivada de una función en un punto como el límite de un cociente incremental cuando el incremento tiende a cero.
Este documento presenta una serie de problemas típicos sobre límites y continuidad de funciones. Incluye problemas sobre el cálculo de límites utilizando técnicas como factorización, expresiones conjugadas y simplificación de términos. También cubre conceptos como la continuidad de funciones y métodos para determinar la existencia de soluciones a ecuaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre límites y continuidad de funciones. Introduce las definiciones de dominio, recorrido y límite de una función en un punto de forma intuitiva y formal. Explica propiedades de los límites como la unicidad y el cálculo de límites simples. Finalmente, clasifica los tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de econometría. En la primera sección, se demuestra que el estimador propuesto para el modelo yi = βxi + ui está sesgado hacia 0, y que su varianza es inferior a la del estimador MCO. En la segunda sección, se calculan la esperanza y varianza de varios estimadores propuestos para el modelo Yt = α + βXt + ut, sugiriendo que el estimador de mínimos cuadrados ordinarios debería usarse. En la tercera sección, se demuestra que el coeficiente de pendiente estimado
Este documento presenta un resumen de cálculo integral, incluyendo la definición de integral definida, casos en que el teorema fundamental del cálculo no se cumple, y definición de integral impropia convergente y divergente. Luego, evalúa seis integrales impropias y propone resolver cuatro integrales más utilizando métodos como integración por racionalización e integración por sustitución trigonométrica.
Este documento presenta una introducción al cálculo de límites y derivadas. Explica la definición intuitiva y formal de límites, incluyendo límites laterales y en un punto. También cubre propiedades de límites, resolución de indeterminaciones, continuidad y cálculo de derivadas usando definiciones, reglas y funciones básicas.
Análisis matemático I - Límites y Continuidad de funcionesSergioSantillan11
El documento resume los conceptos de límites de funciones exponenciales y logarítmicas y continuidad de funciones. Explica cómo calcular límites de funciones exponenciales y logarítmicas usando propiedades y teoremas. Luego define funciones continuas como aquellas cuya gráfica no presenta saltos ni huecos, y provee ejemplos para ilustrar la continuidad y discontinuidad de funciones.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
El documento presenta una introducción a los conceptos de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición matemática de recta tangente a una curva y=f(x) y la definición formal de derivada. También presenta técnicas básicas para calcular derivadas, incluyendo reglas para funciones constantes, potencias, sumas, productos, cocientes y cadena. Finalmente, cubre derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
1) El documento presenta dos ejercicios de cálculo de límites y continuidad de funciones. 2) En el ejercicio 19, se analiza la continuidad y existencia de asintotas de la función g(x)=(x^2-9)/(x-3). 3) En el ejercicio 30, se piden ejemplos de diferentes tipos de límites y funciones con asintotas verticales.
El documento presenta una introducción a los conceptos de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición matemática de recta tangente a una curva y=f(x) y la definición formal de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el punto se acerca al punto de tangencia. También resume las técnicas básicas para calcular derivadas de funciones como potencias, sumas, productos y cocientes, así como funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
El documento trata sobre los límites de funciones. Explica que un límite describe la tendencia de una función cuando un parámetro se acerca a un valor determinado. Define formalmente el concepto de límite y provee ejemplos de cómo calcular límites utilizando factorización y racionalización. También cubre propiedades de límites y límites laterales izquierdo y derecho. Finalmente, incluye actividades de aprendizaje con ejercicios de cálculo de límites.
i) El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a algún punto o se vuelve extremadamente grande.
ii) El límite de una función f en un punto c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x suficientemente a c.
iii) Un límite puede no estar definido en el punto c, pero sí en sus alrededores.
El documento resume conceptos fundamentales sobre límites de funciones como su definición formal, propiedades, límites laterales, límites indeterminados, límites trigonométricos, exponenciales e infinitos. Explica cómo calcular límites y resolver indeterminaciones mediante procesos algebraicos para determinar si el límite existe o no.
Este documento presenta definiciones básicas sobre la transformada de Laplace, incluyendo funciones continuas por tramos, funciones de orden exponencial y la definición formal de la transformada de Laplace. También incluye ejemplos para ilustrar estas definiciones y discute las condiciones suficientes pero no necesarias para que una función admita una transformada de Laplace.
Este documento presenta el análisis de una función racional f(x)=(x+5)/(x-3). Se determina que el dominio es R-{3}, y que el límite cuando x tiende a 3 es -∞ desde la izquierda y +∞ desde la derecha, por lo que 3 es una asintota vertical. La función tiende a 1 cuando x tiende a infinito, por lo que su asintota horizontal es 1. No tiene puntos críticos ni de inflexión, y decrece en (-∞,3) y (3,∞).
Este documento resume conceptos clave de cálculo como límites, continuidad, derivabilidad y derivadas de funciones. Explica cómo calcular límites, determinar la continuidad y derivabilidad de funciones, y derivar funciones comunes. También cubre temas como extremos relativos, puntos de inflexión, ecuaciones de tangentes, y problemas de optimización que involucran funciones de una o más variables.
El documento trata sobre el concepto de valor límite de una función. Explica diferentes tipos de límites como límites laterales, trigonométricos e infinitos. También presenta ejemplos de cálculo de límites y la importancia de racionalizar cuando hay radiciales en el numerador o denominador. Finalmente, indica que los límites se usan para modelar fenómenos como la propagación de una enfermedad contagiosa entre una población a lo largo del tiempo.
Este documento presenta conceptos sobre límites, continuidades y derivadas de funciones de dos variables. Introduce la definición formal de límite para funciones de dos variables y propiedades como la suma, resta, multiplicación y división. Luego, presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular límites y determinar su existencia, incluyendo el uso de la definición formal. Finalmente, explica cómo resolver indeterminaciones al calcular límites de funciones racionales de dos variables.
Este documento trata sobre integrales impropias. Explica que estas integrales generalizan el concepto de integral definida al permitir intervalos infinitos o funciones con discontinuidades infinitas. Describe dos tipos de integrales impropias: de primera especie, con intervalos infinitos pero función acotada, y de segunda especie, con intervalos finitos pero función no acotada. Proporciona fórmulas y ejemplos para calcular valores de diferentes integrales impropias.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo integrales inmediatas, el método de sustitución, integración por partes e integrales de funciones racionales. Explica cómo aplicar estos métodos para resolver integrales específicas y descomponer fracciones racionales en fracciones simples integrales.
El documento presenta el análisis de dos funciones racionales f(x) y g(x). Resume los siguientes puntos clave:
1) Se calculan los límites de f(x) cuando x tiende a 2 y -2, y se analiza su continuidad.
2) Se calculan los límites infinitos de f(x) y se grafica la función.
3) Para g(x), se analiza su continuidad en x=3 y se propone una redefinición. También se estudian sus asíntotas y límites infinitos.
El documento presenta conceptos sobre límites laterales, límites infinitos y asintotas de funciones matemáticas. Introduce las definiciones de límite lateral izquierdo y derecho, y establece que un límite existe cuando ambos límites laterales son iguales. También define límites cuando la variable tiende al infinito o menos infinito, e incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
El documento publicado por el Dr. Gabriel Toro aborda los priones y las enfermedades relacionadas con estos agentes infecciosos. Los priones son proteínas mal plegadas que pueden inducir el plegamiento incorrecto de otras proteínas normales en el cerebro, llevando a enfermedades neurodegenerativas mortales. El Dr. Toro examina tanto la estructura y función de los priones como su capacidad para propagarse y causar enfermedades devastadoras como la enfermedad de Creutzfeldt-Jakob, la encefalopatía espongiforme bovina (conocida como "enfermedad de las vacas locas"), y el síndrome de Gerstmann-Sträussler-Scheinker. En el documento, se exploran los mecanismos moleculares detrás de la replicación de los priones, así como las implicaciones para la salud pública y la investigación en tratamientos potenciales. Además, el Dr. Toro analiza los desafíos y avances en el diagnóstico y manejo de estas enfermedades priónicas, destacando la necesidad de una mayor comprensión y desarrollo de terapias eficaces.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
MÉTODO SIMPLEX EN PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN.pptx
LIMITES_CONTINUIDAD_proc.pdf
1. TEMA III: LÍMITES y CONTINUIDAD
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Cuando 𝑥 se acerca a 1 por la derecha, 𝑓(𝑥) se acerca a – 2
Cuando 𝑥 se acerca a 1 por la izquierda, 𝑓(𝑥) se acerca a – 2
x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1
f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333
Una función 𝑓(𝑥) tiene un límite 𝐿 en el punto 𝑥0, si la variable independiente 𝑥 toma valores próximos al número
𝑥0, los correspondientes valores de 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳
Límites laterales, son los valores hallados al estudiar la tendencia de la función a la izquierda y a la derecha del
punto, 𝑥0
+
y 𝑥0
−
. Si lo límites laterales son distintos, la función no tiene límite en él; si los límites laterales son
iguales, la función tiene límite.
Ejemplo: La función no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta cuando 𝑥 toma valores cada vez
más próximos a 1?
IMPORTANTE: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y único.
Se escribe lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
= −2
2
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
3. Ejemplo: La función 𝑥 = “mayor número entero menor o igual a x”, tiene la siguiente una gráfica:
Como los límites laterales no coinciden la función no tiene
límite cuando 𝑥3.
3
Se dice que el número 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiene a 𝑥0 por la derecha (izquierda), si al
tomar valores 𝑥 estrictamente mayores (menores) próximos a 𝑥0, los correspondientes de 𝑓(𝑥) se
aproximan al número 𝐿.
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
+
𝒇(𝒙) = 𝑳 𝑜 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
−
𝒇(𝒙) = 𝑳
lim
𝑥→3+
𝑥 = 3
lim
𝑥→3−
𝑥 = 2
LIMITES LATERALES
3
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
5. El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia el punto “𝑎” es mas infinito, si la función 𝑓(𝑥) se hace tan
grande positivamente (demasiado grande), siempre que se tomen valores de 𝑥 suficientemente próximos
al número a, pero distintos de él
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = +∞
El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia el punto “𝑎” es menos infinito, si la función 𝑓(𝑥) se hace tan
grande negativamente (demasiado grande), siempre que se tomen valores de 𝑥 suficientemente
próximos al número a, pero distintos de él
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = −∞
LÍMITES INFINITOS
Ejemplo: A partir de la gráfica de la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, se
tiene que:
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= ∞ lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ , Así lim
𝑥→0
1
𝑥
= ∞
5
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
6. LÍMITES EN EL INFINITO
x 10 102
103
104
+
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1
Ejemplo: En la medida en que x se hace muy grande con valores positivos, ¿a dónde se aproxima
𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
?
L es el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a infinito (menos infinito), si la distancia |𝑓(𝑥) – 𝐿| se hace
tan pequeña siempre que se tomen valores de 𝒙 suficientemente grande en sentido positivo (en
sentido negativo).
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝑳
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥
= 1
6
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
7. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
x+
lim x2
= +
Ejemplo: En la medida en que 𝑥 se hace muy grande, con valores positivos ¿a dónde se
aproxima 𝑓 𝑥 = 𝑥2
?
x 10 102
103
104
+
f(x) = x2
102
104
106
108
+
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
El límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a infinito es infinito, si para todo número real 𝑴 se puede
encontrar otro número real 𝑲 tal que 𝒇(𝒙) > 𝑴, si 𝒙 > 𝑲, donde 𝐾 = 𝐾(𝑀).
7
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
8. La recta 𝒙 = 𝒂 es una asíntota vertical de la función 𝑓 , si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂±
𝒇 𝒙 = ±∞
Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas 𝑥 = 𝑎, donde “𝑎” no forma parte del dominio de las
funciones racionales
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−2
, se
tiene que: lim
𝑥→2±
1
𝑥−2
= ∞.
Así, la recta 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.
ASÍNTOTAS VERTICALES
8
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
9. La recta 𝒚 = 𝒃 es una asíntota horizontal de la función 𝑓(𝑥), si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝒃
En la práctica, si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, se puede
descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas.
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥+3
, se tiene
que: lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥+3
= 1.
Así la recta 𝑦 = 1 es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
9
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
10. La recta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 es una asíntota oblicua de la función 𝑓, si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒙
= 𝒎 ≠ 𝟎 y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 = 𝒃 ∈ ℝ
En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales se debe
suponer que existen asíntotas oblicuas.
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
2𝑥2
𝑥+3
, se tiene
que: lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥+3
𝑥
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2+3𝑥
= 2 y
lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥+3
− 2𝑥 = −6.
Así la recta 𝑦 = 2𝑥 − 6 es una asíntota oblicua.
ASÍNTOTAS OBLICUAS
10
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
11. CÁLCULO DE LÍMITES
Límites simples, Cuando las funciones verifican lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 , se pueden obtener directamente por el
procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable 𝒙 por el de 𝒂.
Límites particulares (típicos o especiales)
1. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙
= 𝟎
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
6. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏 + 𝒙
𝟏
𝒙 = 𝒆
7. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏 +
𝟏
𝒙
𝒙
= 𝒆
8. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒆𝒙
𝒙𝒑 = ∞ ;
9. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒍𝒏𝒙
𝒙𝒑 = 𝟎 ; 𝒑 > 𝟎
11. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒙−𝟏
𝒙
= 𝒍𝒏 𝒂 ; 𝒂 > 𝟎
12. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
10. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒆𝒙−𝟏
𝒙
= 𝟏
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝒑
𝒆−𝒙
= 𝟎 ; 𝒑 ∈ ℝ
11
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
13. INDETERMINACIONES
Cuando se puede calcular el límite que da como resultado un valor numérico, se dice que el límite
es determinado. En caso de que no se pueda aplicar ninguna propiedad que permita calcular el
límite, se dirá que es indeterminado.
No depende de las funciones f y g.
El límite es determinado.
El límite depende de las funciones f y g. El
límite es indeterminado.
xa
lim f(x) = 2
xa
lim g(x) = 3
Entonces
xa
lim
f(x)
g(x) =
2
3
x a
lim f (x) = 0
x a
lim g (x) = 0
No es posible obtener
x a
lim
f(x)
g(x)
Tipos de
indeterminaciones
L
0 , L 0 0
0
0 . – 0
00
1
Para poder salvar la indeterminación se debe
conocer f y g
13
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
14. EJEMPLOS: TIPO L/0, CON L 0
En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función a izquierda y
derecha del valor al cual tiende la variable
x2–
lim
1
x – 2
= –
x2+
lim
1
x – 2
= +
x2
lim
1
x – 2 no existe
x2–
lim
1
(x – 2)2 = +
x2+
lim
1
(x – 2)2 = +
x2
lim
1
(x – 2)2 = +
14
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
15. EJEMPLOS: TIPO 0/0
x3
lim
–18+ 21x– 8x2
+ x3
x2
– 9
=
x3
lim
(x – 3)2
(x – 2)
(x– 3)(x+ 3)
=
x3
lim
(x – 3)(x– 2)
(x + 3)
=
0
6 = 0
x
3
2
lim
–18+ 33 x – 20 x2
+ 4 x3
9 – 12x + 4 x2 =
x
3
2
lim
(x – 2)(2x– 3)2
(2x– 3)2 =
x
3
2
lim (x– 2)=
–1
2
Cuando el lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es una indeterminación
0
0
siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) polinomios, se puede superar la
indeterminación factorizando el factor 𝑥 − 𝑎
15
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
16. EJEMPLOS: TIPO 0 .
= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0
1/x = y
Recordando que
x
lim xp
e–x
= 0
x
lim (x3
+ 5x2
+ 7x)e–x
=
Recordando que x
x
x
ln
lim
= 0
x0
+
lim x ln x =
x0+
lim ln x
1
x
= 0
y
lim
– ln y
y =
5
x
lim x2
e–x
+
x
lim x3
e–x
+ 7
x
lim xe–x
=
Esta indeterminación se resuelve a veces operando previamente para obtener una expresión
más sencilla o reduciéndola a otras del tipo
0
0
,
∞
∞
.
16
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
17. EJEMPLOS: TIPO /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x
lim
–2x3
+ 3x– 5
–x3
– 2x + 5 =
x
lim
–2 +
3
x2 –
5
x3
–1 –
2
x2 +
5
x3
=
–2
–1 = 2
x
lim
ln (ln x)
ln x =
y
lim
ln y
y = 0
Cuando el lim
𝑥→∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es una indeterminación
∞
∞
siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) polinomios, se puede superar
la indeterminación dividiendo tanto el numerador y denominador por la potencia más alta de 𝑥
que aparece en ambos.
17
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
18. EJEMPLOS: TIPO –
x
lim (x3
– x2
) = x
lim x2(x– 1)=
.
=
x
lim [ x2
+ 1 – x2
– 1] =
x
lim
[ x2
+ 1 – x2
– 1] [ x2
+ 1+ x2
– 1]
[ x2
+ 1+ x2
– 1]
=
=
x
lim
(x2
+ 1) – (x2
– 1)
[ x2
+ 1 + x2
– 1]
=
x
lim
2
x2
+ 1 + x2
– 1
=
2
= 0
En estos casos es recomienda operar previamente para simplificar la expresión, si es posible
antes de tomar el límite.
Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multiplicar y
dividir por la expresión conjugada.
18
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
19. EJEMPLOS: TIPOS 0, 00
ln
0
lim 1
x
x
x
e e
e0 = 1
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la
función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x0+
lim xx
=
x0+
lim eln (x
x
)
=
x0
+
lim ex ln x
=
( )
1
lim x
x
x
1
ln
lim
x
x
x
e
19
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
20. EJEMPLOS: TIPO 𝟏∞
1
2x2
+ x4 = y
e8
x
lim
1 +
1
x
2x
=
x
lim
1+
1
x
x 2
=
x
lim
1+
1
x
x 2
= e2
x0
lim(1 + 2x
2
+ x4
)
4
x2
=
x0
lim
1 +
1
1
2x2
+ x4
4
x2
=
x0
lim
1 +
1
1
2x2
+ x4
1
2x2
+ x4 (2x2
+ x4
)
4
x2
=
=
y
lim
1 +
1
y
y x0
lim
4(2x2
+ x4
)
x2
=
y
lim
1 +
1
y
y x0
lim (8 + 4x2
)
=
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión de 𝑒𝑎
como límite, combinada con un cambio de variable.
Una manera simplificada de calcular el limite de este tipo de indeterminación es:
𝒍𝒊𝒎
𝒙⟶𝒂
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
= 𝒆
𝒍𝒊𝒎
𝒙⟶𝒂
𝒈(𝒙) 𝒇 𝒙 −𝟏
20
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
21. CONTINUIDAD EN UN PUNTO E INTERVALO
Una función es continua en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], si es continua en cada uno de los puntos
del intervalo (𝑎, 𝑏), y además es continua en 𝑎 por la derecha y en 𝑏 por la izquierda.
f(x) = 1 – x2
es continua en
[–1, 1]
f(x) =
1
x no es continua en
[–1, 1], porque no está
definida en 0.
f(x) =
x2
si x < 1
2 si x 1
No es continua en [–1, 2], porque
no existe el límite en 1
Una función es continua en un intervalo abierto (𝒂, 𝒃), si es continua en cada uno de sus puntos.
Una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 por la derecha, si lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑏 por la izquierda, si lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
Una función 𝑓(𝑥), definida en 𝒙 = 𝒂, es continua en dicho punto cuando: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
21
−1
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
22. 3
FUNCIÓN DISCONTINUA EN UN PUNTO
Cuando una función no cumple la definición de función continua en un punto, se dice que es
discontinua.
Estas funciones no son
continuas en el punto 1
Esta función no es
continua en los puntos 1 y
– 1
Función discontinua en 0
4
22
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
23. DISCONTINUIDAD EVITABLE
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y
no coincide con el valor de la función en el mismo.
f(x) =
x2
– 1
x – 1
si x 1
3 si x = 1
x1
lim f(x) =
x1
lim
x2
– 1
x – 1 =
x1
lim
(x – 1)(x + 1)
x – 1 =
x1
lim (x + 1) = 2 3 = f(1)
Por tanto 𝑓(𝑥) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.
Estudiamos el comportamiento de 𝑓(𝑥) en el punto 1:
23
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
24. EVITANDO UNA DISCONTINUIDAD EVITABLE
El valor que se asigna a una función en un punto, en el que la función presenta discontinuidad
evitable) para que dicha función se vuelva continua
Ejemplo: La siguiente función 𝑔(𝑥), evita la discontinuidad que presenta 𝑓(𝑥) en el punto 1:
• El verdadero valor de f(x) en el
punto 1 es 2.
• La función g(x) es continua en el
punto 1.
g(x) =
x2
– 1
x – 1
si x 1
2 si x = 1
=
(x – 1)( x + 1)
x – 1
si x 1
2 si x = 1
= x + 1
24
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
25. DISCONTINUIDAD INEVITABLE
y = sig(x) presenta discontinuidad
inevitable en el punto 0 de salto 2.
y =
x + 1
x
si x 0
0 si x = 0
y = sig(x)
Esta función presenta discontinuidad
inevitable de salto infinito en el punto 0.
• Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable, cuando existen los
límites laterales en él y son distintos.
• Si 𝑓(𝑥) es discontinua en el punto 𝑥 = 𝑎, la diferencia entre los dos límites se llama
salto de la función en dicho punto.
• Si alguno de los límites laterales en el punto 𝑎 es infinito, se dice que el salto es
infinito.
25
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
29. TEOREMA DE BOLZANO
Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], que toma en 𝑎 y 𝑏 valores de
signo opuesto (es decir 𝑓(𝑎) · 𝑓(𝑏) < 0), entonces al menos un punto 𝑐 interior al
intervalo en el que 𝑓(𝑐) = 0.
c
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏]
𝑓(𝑎) < 0
𝑓(𝑏) > 0
Entonces c (𝑎, 𝑏) / f(c) = 0
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏]
𝑓(𝑎) > 0
𝑓(𝑏) < 0
Entonces c (𝑎, 𝑏) / f(c) = 0
c
29
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
30. Toda función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], alcanza en dicho intervalo al menos
un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [𝑎, 𝑏], presenta en
x1 un máximo absoluto de valor M y en x2
un mínimo absoluto de valor m.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [𝑎, 𝑏], presenta en
x1 un máximo absoluto de valor M y en x2
un mínimo absoluto de valor m.
TEOREMA DEL MÁXIMO – MÍNIMO (TEOREMA DE WEIERSTRASS)
30
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)
31. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO O DE DARBOUX
Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐾 un número real tal que:
𝑓(𝑎) < 𝐾 < 𝑓(𝑏) o 𝑓(𝑏) < 𝐾 < 𝑓(𝑎),
entonces existe al menos un punto c en el intervalo tal que 𝑓(𝑐) = 𝐾.
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑎) < 𝐾 < 𝑓(𝑏)
Entonces c (𝑎, 𝑏) / 𝑓(𝑐) = 𝐾
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑏) < 𝐾 < 𝑓(𝑎)
Entonces c (𝑎, 𝑏) / 𝑓(𝑐) = 𝐾
c
K
c
K
La demostración se hace comprobando que la función 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) – 𝐾 cumple el
teorema de Bolzano luego 𝑔(𝑐) = 0 por lo que 𝑓(𝑐) = 𝐾.
31
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)