El documento describe conceptos fundamentales de cálculo vectorial como el gradiente, divergencia y rotacional. El gradiente indica la dirección de máximo cambio de una función escalar. La divergencia mide la razón de expansión de un campo vectorial, y el rotacional mide su tendencia a girar. Se proveen definiciones y fórmulas para calcular estas operaciones en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

1. Departamento De Ciencias – Cajamarca Facultad De Ingeniería
OPERACIONES DIFERENCIALES
GRADIENTE𝛁𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧
El gradiente implica la dirección de
máximo crecimiento de una función o
campo escalar.Ejm:Si se toma como
campo escalar y se le asigna a cada punto
del espacio una temperatura T, entonces
el vector gradiente en cualquier punto del
espacio indicará la dirección en la cual la
temperatura cambiará más rápidamente.
La definición operacional será:
Coordenadas cartesianas:
𝛁𝜑 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 𝜑
=
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝜑
𝜕𝑧
𝑘
Coordenadas cilíndricas:
∇𝜑 =
𝜕
𝜕𝑟
𝑒𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕∅
𝑒∅ +
𝜕
𝜕𝑧
𝑒𝑧 𝜑
Coordenadas esféricas:
∇𝜑 =
𝜕
𝜕𝑟
𝑒𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝑒 𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕∅
𝑒∅ 𝜑
Obs:
 La componente de 𝛁𝜑en la dirección de
un vector unitario 𝑎 es igual a 𝛁𝜑. 𝑎 y
se llama derivada de 𝜑 en la dirección
de 𝑎, o bien, derivada de 𝜑 según 𝑎.
 Si queremos movernos en la dirección
en que 𝜑 crece más rápidamente
debemos movernos en la dirección de
𝛁𝜑.
 Si queremos movernos en la dirección
en que 𝜑 decrece más rápidamente
debemos movernos en la dirección de
– 𝛁𝜑.
 El campo vectorial gradiente muestra
la dirección que es ortogonal a todas
las superficies de nivel de 𝜑
RELACIÓN ENTRE LA DIRECCIÓN DEL
GRADIENTE Y UNA SUPERFICIE DE
NIVEL
Para ilustrar que el gradiente de un
campo escalar es perpendicular en todo
punto a las superficies de nivel de ese
campo. Sea P1 cualquier punto sobre la
superficie de nivel 𝑔 𝑟 = 𝐶 y sea P2 un
segundo punto situado a una distancia
vectorial infinitesimal 𝑑𝑟 del punto P1.
Además, supóngase que P2 se localiza en la
misma superficie de nivel. Por lo tanto.
𝑑𝑔 𝑟 = 𝑔 𝑃2 − 𝑔 𝑃1 = 0 = 𝛻𝑔 𝑟 . 𝑑𝑟
En este caso particular.
Siempre y cuando la magnitud de 𝛻𝑔 𝑟
sea distinta de cero en el punto P1 el lado
derecho de la ecuación anterior sugiere
que 𝑑𝑟 debe ser perpendicular a ∇𝑔(𝑟)en
el punto P1 puesto que el vector 𝑑𝑟, entre

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dos puntos que estén sobre la misma
superficie debe ser tangencial a la
superficie, se concluye que ∇𝑔 𝑟
evaluando en el punto en el punto P1 debe
ser perpendicular a la superficie de nivel
de g 𝑟 que pasa por el punto P1
Para medir la rapidez de cambio de un
campo vectorial se utilizará la divergencia
y el rotacional. Fundamentalmente, estas
son las dos formas en que un campo
vectorial puede “cambiar”: una es
(escalar) midiendo el grado en que el
campo “diverge” (o “explota”, por así
decirlo) en cada punto. Y la otra
(vectorial) es midiendo la tendencia a
“girar” (o formar remolinos internos).
DIVERGENCIA𝛁. 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Si imaginamos que 𝑉 es el campo de
velocidades de un fluido, entonces 𝑑𝑖𝑣𝑉
representa la razón de expansión por
unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
Si 𝑑𝑖𝑣𝑉 < 0 , el fluido se está
comprimiendo. Para un campo vectorial en
el campo 𝑉, la divergencia se define como:
En coordenadas cartesianas
𝛁. 𝑉 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 . 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘
𝜕𝑣1
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣3
𝜕𝑧
En coordenadascilíndricas
𝛁. 𝑉 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝑉𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕∅
𝑉∅ +
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
En coordenadasesféricas
∇. 𝑉 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝑉𝑟 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑉𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉∅
𝜕∅
Mide la razón de expansión del volumen.
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) =
(ex
sen(y),ex
cos (y), z) determine su
divergencia.
Solución:
𝛁. 𝐹 =
𝜕 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑒 𝑥
cos 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕 𝑧
𝜕𝑧
𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 1
= 1

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ROTACIONAL𝛁 × 𝑉
𝛁 × 𝑉 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
× 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑣1 𝑣2 𝑣3
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑣2 𝑣3
𝑖 −
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
𝑣1 𝑣3
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑣1 𝑣2
𝑘
=
𝜕𝑣3
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣2
𝜕𝑧
𝑖 −
𝜕𝑣3
𝜕𝑥
−
𝜕𝑣1
𝜕𝑧
𝑗
+
𝜕𝑣2
𝜕𝑥
−
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
𝑘
En coodenadascilíndricas
𝛁 × 𝑉 =
𝑒𝑟 𝑟𝑒∅ 𝑒𝑧
𝜕
𝜕𝑟
𝜕
𝜕∅
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑟 𝑟𝑉∅ 𝑉𝑧
En coordenadasesféricas
𝛁 × 𝑉 =
1
𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑒𝑟 𝑟𝑒 𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒 𝜑
𝜕
𝜕𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝜕
𝜕𝜑
𝑉𝑟 𝑟𝑉𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴 𝜑
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (0,
cos (xz), −sen (xy)) determine
surotacional.
Solución:
𝛁 × 𝑉 =
𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )
𝜕𝑦
−
𝜕(cos⁡(𝑥𝑧)
𝜕𝑧
𝑖
−
𝜕(0)
𝜕𝑥
−
𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )
𝜕𝑧
𝑗
+
𝜕(cos 𝑥𝑧 )
𝜕𝑥
−
𝜕(0)
𝜕𝑦
𝑘
= −𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗
+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘
𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗
+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘
2. Determine si el campo vectorial
definido por F (x, y, z) = (2xy, x2
+ 2yz,
y2
) es un campo conservativo.
Solución:
Un campo vectorial es conservativo si
𝛁 × 𝑉 = 0 , para verificar aplicamos el
rotacional a la función.
𝛁 × 𝐹 =
𝜕(𝑦2
)
𝜕𝑦
−
𝜕(𝑥2
+ 2𝑦𝑧)
𝜕𝑧
𝑖
+
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑦2
)
𝜕𝑧
𝑗
+
𝜕(𝑥2
+ 2𝑦𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑦
𝑘
= 2𝑦 − 2𝑦 𝑖 + 0 − 0 𝑗 + (2𝑥 − 2𝑥)𝑘
= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘

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En donde queda demostrado que F (x, y,
z) = (2xy, x2
+ 2yz, y2
) es un campo
conservativo
FÓRMULAS EN LAS QUE INTERVIENE
EL OPERADOR𝛁
1.𝛁 φ + ρ = 𝛁φ + 𝛁ρ
2. 𝛁. 𝐀 + 𝐁 = 𝛁. 𝐀 + 𝛁. 𝐁
3. 𝛁 × 𝐀 + 𝐁 = 𝛁 × 𝐀 + 𝛁 × 𝐁
4. 𝛁. φ𝐀 = 𝛁φ . 𝐀 + φ 𝛁. 𝐀
5. 𝛁 × φ𝐀 = 𝛁φ × 𝐀 + φ(𝛁 × 𝐀)
6. 𝛁. 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 × 𝐀 − 𝐀. (𝛁 × 𝐁)
7. 𝛁 × 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 𝐀 − 𝐁 𝛁. 𝐀 −
𝐀. 𝛁 𝐁 + 𝐀(𝛁. 𝐁)
8.𝛁. 𝛁φ = 𝛁 𝟐
φ =
∂2φ
∂x2 +
∂2φ
∂y2 +
∂2φ
∂z2
Donde: 𝛁 𝟐
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
se denomina
operador laplaciano.
1. Siendo 𝜑 = 2𝑥3
𝑦2
𝑧4
, hallar 𝛁. 𝛁φ
Solución:
Como 𝛁. 𝛁φ es 𝛁 𝟐
entonces tenemos:𝛁 𝟐
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
𝛁 𝟐
𝜑 =
∂2
(2𝑥3
𝑦2
𝑧4
)
∂x2
+
∂2
(2𝑥3
𝑦2
𝑧4
)
∂y2
+
∂2
(2𝑥3
𝑦2
𝑧4
)
∂z2
= 12𝑥𝑦2
𝑧4
+ 4𝑥3
𝑧4
+ 24𝑥3
𝑦2
𝑧2
2.Hallar∇. A × r sabiendo que ∇ × A = 0
Solución:
Sabiendo que ∇. A × B = B. ∇ × A −
A. (∇ × B)
Entonces ∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)
∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)
∇. A × r = −A. (∇ × r)y por simple
inspección ∇ × r = 0
Por lo tanto ∇. A × r = 0