Calculo

1. UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA.
FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACION
PLAN FIN DE SEMANA
CURSO: CALCULO II SECCION: D
CATEDRATICO: INGA. MAYRA CRUZ DE GÓMEZ
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (xo,yo)
excepto quizá en el punto (xo,yo) y sea L un número real. Entonces
Si para cada c > 0 existe un entorno (∂) > 0, talque:
Siempre que
Ejemplo:
Calcule el límite:
1)
Continuidad:
Una función f de dos variables es continua es un punto (xo,yo) de una región abierta R si f(xo,yo)
es igual al límite de f(x,y) cuando f(x,y) tiende a (xo,yo). Esto es si:
Se dice que f es continua en la región abierta R si es continua en todo punto de R.
Si k es un número real y f, g son funciones continuas en (xo,yo) las siguientes operaciones son
continuas en (xo,yo):
1. Múltiplo escalar kf 2. Suma y diferencia f ± g
3. Producto fg 4. Cociente f / g si g(xo,yo) ≠ 0
El siguiente Teorema establece las condiciones para asegurar la continuidad de una función:
Si h es continua en (xo,yo) y g es continua en h(xo,yo), la función compuesta (g o h)(x,y)=
g(h(x,y)) es continua en (xo,yo), entonces:
   
Lyxf
yxyx


),(lim
00 ,,
 Lyxf ),(
    
2
0
2
00 yyxx
    22
2
2,1,
5
lim
yx
yx
yx 
   
),(),(lim 00
,, 00
yxfyxf
yxyx


   
     00
,,
,,lim
00
yxhgyxhg
yxyx



2. Ejemplo:
Discutir la continuidad de:
1. 2.
PRACTICA.
1. 3.
2. 4.
DERIVADAS PARCIALES
Es cambiar una función f con respecto a una de sus variables independientes. Estas derivadas se
pueden interpretar como ritmos de cambio.
Los valores dan las
pendientes de la superficie en las direcciones x e y.
EJEMPLO:
Hallar las pendientes de la superficie de la ecuación dada en las direcciones x e y.
1.-
22
2
),(
yx
yx
yxf


 2
2
),(
xy
yxf


   
 2
1,2,
3lim yx
yx


    yx
yx
yx 

 4,2,
lim
   
xy
yx
e
0,0,
lim

   
zyx
zyx

 5,2,1,,
lim
 2,1,
8
25
2
),( 2
12
2
puntoeleny
x
yxf 

3. 2.-
3.- El área de un paralelogramo de lados adyacentes a y b con ángulo θ entre ellos, está dada por
Calcule el ritmo de cambio de A para los valores a=10, b=20 y θ= π/6 respecto de:
a) a
b) Θ
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE 3 O MÁS VARIABLES
Se calculan manteniendo constantes a las otras variables.
EJEMPLO
Hallar las derivadas parciales de:
1.
2.-
3.-
     1,2,1211),(
22
puntoelenyxyxf 
senabA 
zderespectoxzyzxyzyxf  2
),,(
zderespectozxysenzzyxf )2(),,( 2

wderespecto
w
zyx
wzyxf

),,,(

4. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO:
 2,1523),( 222
 xyfevaluaryyxyxyyxf

5. PRÁCTICA
PARTE 1: Hallar las dos derivadas parciales primeras
1.- 2.-
3.- 4.-
5.-
PARTE 2: Calcular las pendientes de la superficie en las direcciones x e y en
el punto indicado.
1.-
2.-
3.-
4.-
PARTE 3: Hallar las derivadas parciales de orden superior y observar que
las derivadas cruzadas son iguales.
1.-
2.-
3.-
4.-
532),(  yxyxf y
exz 22

 22
ln yxz 
  
y
x
dttyxf 1),( 2
 yxtgz  2
   2,1,1,4, 22
yxyxg 
   3,1,2,, 22
 yxyxf
 1,0,0,cos yez x

   2
1
34
,,,2
2
1 
yxsenz 
22
32 yxyxz 
22
yxz 
2224
3 yyxxz 
ytgez x
