Aplicaciones estadisticas relacionadas al análisis comparativo de modelos con funciones generales

1. Análisis estático comparativo de modelos con
funciones generales

2. Análisis estático comparativo de
modelos con funciones generales.
La estática comparativa realiza una comparación de distintos estados de equilibrio relacionados
con diferentes conjuntos de parámetros y variables exógenas.
Este tipo de análisis aún no toma en cuenta el proceso de ajuste de las variables: solamente se
compara el equilibrio inicial (pre-cambio) con el estado de equilibrio final (post-cambio).
También se excluye la posibilidad de que el nuevo equilibrio sea inestable.
Naturaleza de análisis: cualitativo o cuantitativo.
Análisis cualitativo: explicita dirección del cambio.
Análisis cuantitativo: analiza magnitud del cambio.

3. Análisis estático comparativo de
modelos con funciones generales.
En los casos en que a partir del estudio de las derivadas parciales, la solución de equilibrio de los
modelos podemos expresarlas en forma reducida, la diferenciación parcial de la solución
producirá de modo directo la información estática comparativa deseada.
Dado que la definición de derivada parcial requiere la ausencia de cualquier relación funcional
entre las variables independientes, los parámetros y/o variables exógenas que surgen de la
solución de la forma reducida deben ser mutuamente independientes.
Por otro lado, a partir de la inclusión de funciones generales en un modelo no es posible obtener
una solución explicita en forma reducida. En estos casos, se deben hallar las derivadas estáticas
comparativas directamente de las ecuaciones generales del modelo.

4. Ejemplo de función general.
Modelo de ingreso nacional con dos variables endógenas (Y,C):
𝑌 = 𝐶 + 𝐼0 + 𝐺0
𝐶 = 𝐶 𝑌, 𝑇0
El cual se puede reducir a una única ecuación (condición de equilibrio):
𝑌 = 𝐶(𝑌 , 𝑇0) + 𝐼0 + 𝐺0
Dada la forma general de la función Y, no es posible obtener ninguna solución explícita. Por lo
tanto, se deben hallar las derivadas estáticas comparativas directamente de esta ecuación.

5. Ejemplo de función general.
Supongamos que existe una solución de equilibrio Y*, entonces bajo condiciones generales, se
puede tomar a Y* como una función diferenciable de las variables exógenas T0, I0, G0.
𝑌∗ = 𝑌∗(𝐼0, 𝐺0, 𝑇0)
En alguna vecindad del equilibrio Y*, se cumplirá la siguiente identidad (identidad de equilibrio):
𝑌∗ = 𝐶(𝑌∗, 𝑇0) + 𝐼0 + 𝐺0
Los dos argumentos de la función de consumo C no son independientes. La diferenciación parcial
no resulta adecuada para realizar ejercicios de estática comparativa. Se debe recurrir al concepto
de diferencial total.

6. Diferenciales: diferenciales y derivadas
Por definición, la derivada dy/dx = f´(x) es lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥
por lo tanto se puede escribir:
Δ𝑦
Δ𝑥
−
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= 𝛿 donde 𝛿 → 0 cuando Δ𝑥 → 0
Despejando Δ𝑦:
∆y =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∆x + δ∆x ó ∆y = f´(x)∆x + δ∆x
Esta última ecuación describe el cambio en y (i.e. ∆y) como resultado de un cambio específico -no
necesariamente pequeño- en x (i.e. ∆x), a partir de algún valor inicial de x en el dominio de la
función y = f(x).

7. Diferenciales: diferenciales y derivadas
La ecuación anterior también indica que, ignorando el término δ∆x, se puede usar el término f´(x)∆x como una
aproximación al verdadero valor ∆y, donde la aproximación es cada vez mejor a medida que ∆y se hace cada vez más
pequeño. Entonces:
dy = f´(x)dx
La derivada f(x) puede interpretarse como el factor de proporcionalidad entre cambios finitos dy y dx:
dado un cambio específico dx, se multiplica por el factor f(x) para obtener dy como una aproximación a ∆y
cuando más pequeño sea ∆x, mejor es la aproximación.
a las cantidades dy y dx se las denomina diferenciales.
Observar que:
dy es función de x y dx.
si dx = 0, entonces dy = 0 .
el diferencial dy sólo se puede expresar en términos de algún otro diferencial (por ejemplo dx).

8. Diferenciales y elasticidad puntual
Dada una función de demanda Q = f( P ) , por ejemplo, su elasticidad se define como (ΔQ /Q ) /
(ΔP /P).
𝜀ⅆ =
ⅆ 𝑄 𝑄
ⅆ 𝑃 𝑃
=
ⅆ 𝑄 ⅆ 𝑃
𝑄 𝑃
En el extremo derecho de la expresión se han dispuesto las diferenciales dQ y dP en una relación
dQ/dP , que se puede interpretar como la derivada, o la función marginal, de la función de
demanda Q = f(P).
Esta relación recién descrita es válida no sólo para la función de demanda, sino también para
cualquier otra función, porque para cualquier función total y= f(x) podemos escribir la fórmula
para la elasticidad puntual de y respecto a x como;
𝜀ⅆ =
ⅆy/ⅆx
𝑦/𝑥
=
función 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

9. Ejercicios
Determine la diferencial dy, dada;
a. 𝑌 = −𝑋 𝑋2 + 3
b. 𝑌 = (X − 8) 7X + 5
c. 𝑌 =
𝑋
𝑋2+1
Dada Q = 100- 2P- 0,02Y, donde Q es la cantidad demandada, P es el precio y Y el ingreso, y dada
P = 20 y Y= 5 000, determine:
(a) la elasticidad de demanda en los precios.
(b) la elasticidad de demanda en el ingreso.

10. Ejercicios
Determine la diferencial dy, dada;
a. 𝑌 = −𝑋 𝑋2 + 3
b. 𝑌 = (X − 8) 7X + 5
c. 𝑌 =
𝑋
𝑋2+1
a. 𝑌 = −𝑋 𝑋2
+ 3 b. 𝑌 = (X − 8) 7X + 5
−𝑋3 + 3X 7𝑋2 + 5X − 56X + 5
−3𝑋2 + 3 7𝑋2 − 51X + 5
ⅆ𝑌 = −3 𝑋2 + 1 Dx ⅆ𝑌 = 14X − 51 ⅆX

11. Ejercicios
Dada Q = 100- 2P- 0,02Y, donde Q es la cantidad demandada, P es el precio y Y el ingreso, y dada
P = 20 y Y= 5 000, determine:
(a) la elasticidad de demanda en los precios.
(b) la elasticidad de demanda en el ingreso.
Q = 100- 2P- 0,02Y P= 20 Y= 5.000
𝜀ⅆ =
ⅆq/ⅆ𝑝
𝑞/𝑝
𝜕𝑄
𝜕𝑃
= −2 𝜀𝑑 =
−2
160
20
= −
40
160

12. Diferenciales totales
Consideremos el caso más general de una función de n variables independientes, mediante una
función de utilidad en la forma general:
𝑈 = 𝑈(𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛)
El diferencial total se define como:
ⅆ𝑈 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥1
ⅆ𝑥1 +
𝜕𝑈
𝜕𝑥2
ⅆ𝑥2 + ⋯ +
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑛
ⅆ𝑥𝑛 =
𝑈1 ⅆ𝑥1 + 𝑈2 ⅆ𝑥2 + 𝑈𝑛 ⅆ𝑥𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑈𝑖𝑑𝑥𝑖
Cada término de la derecha indica el cambio aproximado en U, que resulta de un cambio en una
de las variables independientes.

13. Diferenciales totales: Ejemplo
Desde el punto de vista económico, cada término 𝑈𝑖𝑑𝑥𝑖 es la utilidad marginal del bien i
multiplicada por el incremento en el consumo del mismo. La suma de todos los términos, dU,
representa el cambio aproximado total de la utilidad proveniente de todas las fuentes posibles de
cambio.
Medidas de elasticidad parcial para una función de utilidad:
𝑈 = 𝑈(𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛)
En este caso cada medida de elasticidad se debe definir sólo en términos del cambio en una de
las variables independientes, por lo tanto existirán n medidas de elasticidad para la función de
utilidad.
Estas se denominan elasticidades parciales:
𝜖𝑈𝑥𝑖
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑈
i= 1, 2, 3… n

14. Ejercicios
Determine la diferencial total dU, dada;
a. z = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦3
ⅆ𝑧 = 6𝑥 + 𝑦 ⅆ𝑥 + 𝑥 − 6𝑦2 ⅆ𝑦
b. U= 2𝑥1 + 9𝑥1𝑥2 + 𝑥2
2
ⅆ𝑢 = 2 + 9𝑥2 ⅆ𝑥1 + 9𝑥1 + 2𝑥2 ⅆ𝑥2
ⅆ𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
ⅆ𝑥 +
𝜕2
𝜕𝑦
ⅆ𝑦

15. Reglas de diferenciales
Regla I: ⅆ𝑘 = 0 con 𝑘 ∈ ℝ
Regla II: ⅆ 𝐶𝑢𝑛 = 𝐶𝑛𝑢𝑛−1 ⅆ𝑢
Regla III: ⅆ 𝑢 ± 𝑣 = ⅆ𝑢 ± ⅆ𝑣
Regla IV: ⅆ 𝑢𝑣 = 𝑣 ⅆ𝑢 + 𝑢 ⅆ𝑣
Regla V: ⅆ
𝑢
𝑣
=
1
𝑣2 𝑣 ⅆ𝑢 − 𝑢 ⅆ𝑣
Regla VI: ⅆ 𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 = ⅆ𝑢 ± ⅆ𝑣 ± ⅆ𝑤
Regla VII: ⅆ 𝑢𝑣𝑤 = 𝑣𝑤 ⅆ𝑢 + 𝑢𝑤 ⅆ𝑣 + 𝑢𝑣 ⅆ𝑤

16. Ejercicios
Determine la diferencial total dU, dada;
a. y = 5𝑋1
2
+ 3𝑋2
𝑓1 = 10𝑥1
𝑓2 = 3
ⅆ𝑦 = 𝑓1 ⅆ𝑥1 + 𝑓2 ⅆ𝑥2 = 10𝑥1 ⅆ𝑥1 + 3 ⅆ𝑥2
ⅆ𝑦 = ⅆ 5𝑥1
2
+ ⅆ 3𝑥2 REGLA III
10𝑥1 ⅆ𝑥1 + 3 ⅆ𝑥2 REGLA II

17. Derivadas totales.
Retomando el ejemplo para una función general en el caso del modelo de ingreso nacional,
donde teníamos que:
𝑌∗ = 𝑌∗(𝐼0, 𝐺0, 𝑇0)
Nos preguntamos: cómo podemos hallar la tasa de cambio de la función C(Y*;T0) respecto a T0
cuando Y* y T0 están relacionadas?
- la respuesta se basa en el concepto de derivada total
- a diferencia de una derivada parcial, una derivada total no requiere que el argumento Y*
permanezca constante cuando T0 varía.

18. Derivadas totales: efectos directos e
indirectos.
Consideremos la siguiente situación:
𝑦 = 𝑓 (𝑥; 𝑤) 𝑥 = 𝑔(𝑤)
Entonces:
𝑦 = 𝑓 (𝑔(𝑤); 𝑤)
Las tres variables y, x, w se relacionan:
- indirectamente: vía las funciones g y f
-directamente: vía f
El efecto directo se puede representar simplemente por la derivada parcial fw.
El efecto indirecto es:
𝑓𝑥 =
ⅆ𝑥
ⅆ𝑤
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
ⅆ𝑥
ⅆ𝑤

19. Derivadas totales: efectos directos e
indirectos.
La derivada total es la suma de ambos efectos:
ⅆ𝑦
ⅆ𝑤
= 𝑓𝑥
ⅆ𝑥
ⅆ𝑤
+ 𝑓𝑤 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥
ⅆ𝑥
ⅆ𝑤
+
𝜕𝑦
𝜕𝑤
Alternativamente, la derivada total se puede obtener diferenciando totalmente la función y = f
(x;w) y luego dividir por dw:
𝑑𝑦 = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑤𝑑𝑤
𝑑𝑦
𝑑𝑤
= 𝑓𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑤
+ 𝑓𝑤
Consideremos ahora la siguiente función:
y = f (x1; x2;w)
Donde: x1= g(w) x2= h(w)

20. Derivadas totales: efectos directos e
indirectos.
La variable w puede afectar a y por tres canales:
1. Indirectamente vía la función g y luego f .
2. Indirectamente vía la función h y luego f .
3. Directamente vía la función f.
ⅆ𝑦
ⅆ𝑤
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
ⅆ𝑥1
ⅆ𝑤
+
𝜕𝑦
𝜕𝑥
ⅆ𝑥2
2 ⅆ𝑤
+
𝜕𝑦
𝜕𝑤
= 𝑓1
ⅆ𝑥1
ⅆ𝑤
+ 𝑓2
ⅆ𝑥2
ⅆ𝑤
+ 𝑓𝑤

21. Funciones implícitas.
Una función dada de la forma y = f (x) se denomina función explícita, porque la variable y se
expresa explícitamente como una función de x.
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 3𝑥4
Sin embargo, cuando tenemos una función F(y; x) = 0, esta función está definida en forma
implícita:
- Cuando sólo tenemos una ecuación en la cual la función y = f (x) está implicada, y cuya forma
específica no siempre es posible conocer, se denomina función implícita.
- Mientras que una función explícita siempre se puede transformar en una función implícita, la
transformación inversa no siempre es posible.

22. Teorema de Funciones implícitas.
Dada F(y; x1; x2; …; xm) = 0, si:
a) la función F tiene derivadas parciales Fy ; Fx1 ; … ; Fxm continuas
b) en un punto (y0; x10; x20; … ; xm0) que satisface F(y0; x10; x20; … ; xm0) = 0, la derivada Fy ≠0
Entonces, existe una vecindad N, m-dimensional alrededor de (x10; x20; …; xm0), en la cual y es una
función definida implícitamente de las variables x1; x2; …; xm en la forma y = f (x1; x2; …; xm)
Además, la función implícita f es continua y tiene derivadas parciales continuas.

23. Derivadas de Funciones implícitas.
Si de la ecuación F(y; x1; x2; …; xm) = 0 es posible despejar y, podemos escribir la función y = f
(x1; x2; …; xm) en forma explícita y hallar sus derivadas.
Pero ¿qué pasa si la ecuación F(y; x1; x2; …; xm) = 0 no se puede resolver para y en forma
explícita?
- Si sabemos que existe una función en los términos de la función implícita, aún es posible
obtener las derivadas deseadas sin tener que resolver primero para y.
- Para lograrlo se utiliza la regla de la función implícita, que permite obtener las derivadas de
toda función implícita definida por la ecuación dada para F.

24. Regla de la Función implícita.
Para el desarrollo de esta regla se requiere de las siguientes condiciones:
Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus diferenciales totales deben ser iguales.
La diferenciación de una expresión que tiene que ver con las variables y; x1; x2; …; xm, producirá
una expresión en la que intervienen los diferenciales dy; dx1; dx2; …; dxm
El diferencial dy se puede sustituir por cierta expresión conocida, por lo cual no importa el hecho
de que no se pueda expresar la variable y de forma explícita.

25. Regla de la Función implícita.
Al aplicar los anteriores hechos a la ecuación F(y; x1; x2; …; xm) = 0, podemos escribir:
𝑑𝐹 = 𝑑0 = 0 ⇒ 𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹1𝑑𝑥1 + 𝐹2𝑑𝑥2 + … + 𝐹𝑚𝑑𝑥𝑚 = 0
Puesto que la función implícita tiene diferencial total dy = 𝐹1𝑑𝑥1 + 𝐹2𝑑𝑥2 + … + 𝐹𝑚𝑑𝑥𝑚,
sustituyendo en la ecuación anterior:
𝐹𝑦 𝐹1𝑑𝑥1 + 𝐹2𝑑𝑥2 + … + 𝐹𝑚𝑑𝑥𝑚 + 𝐹1𝑑𝑥1 + 𝐹2𝑑𝑥2 + … + 𝐹𝑚𝑑𝑥𝑚 = 0
Factorizando para cada diferencial se tiene que:
𝐹𝑦𝑓1 + 𝐹1 𝑑𝑥1 + 𝐹𝑦𝑓2 + 𝐹2 𝑑𝑥2 + ⋯ + 𝐹𝑦𝑓𝑚 + 𝐹𝑚 𝑑𝑥𝑚

26. Regla de la Función implícita.
Para que se cumpla la anterior expresión, cada expresión entre paréntesis se debe anular:
𝐹𝑦𝑓𝑖 + 𝐹𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, … , 𝑚
Despejando para 𝑓𝑖 obtenemos la regla de la función implícita para hallar la derivada parcial 𝑓𝑖
de la función implícita
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚)
𝑓𝑖 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
= −
𝐹𝑖
𝐹𝑦
∀𝑖 = 1, … , 𝑚

27. Funciones Implícitas: extensión al caso
de ecuaciones simultáneas.
Tratamos una versión más general del teorema de la función implícita, en donde un conjunto de
ecuaciones simultáneas:
𝐹1 𝑦1, … , 𝑦𝑛; 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 0
𝐹2
𝑦1, … , 𝑦𝑛; 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 0
𝐹𝑛 𝑦1, … , 𝑦𝑛; 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 0
Define el conjunto de funciones implícitas:
𝑦1 = 𝑓1 𝑥1, … , 𝑥𝑚
𝑦2 = 𝑓2 𝑥1, … , 𝑥𝑚
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛 𝑥1, … , 𝑥𝑚

28. Teorema de la Función Implícita: el caso
de ecuaciones simultáneas.
Dado el sistema de ecuaciones definido en el punto anterior, si:
Todas las funciones F1; F2; …; Fn tienen derivadas parciales continuas respecto a todas las
variables.
En un punto (y10; …; yn0; x10; …; xm0) que satisface el sistema de ecuaciones, se cumple:
𝐽 =
𝜕 𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑛
𝜕 𝑦1,𝑦21…,𝑦𝑛
=
𝜕𝐹1
𝜕𝑦1
𝜕𝐹1
𝜕𝑦𝑛
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑦1
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑦𝑛
≠ 0