La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función multivariable en una dirección dada por un vector. Está relacionada con las derivadas parciales, que son derivadas direccionales en la dirección de los ejes coordenados. Para calcular la derivada direccional, se utiliza el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección del vector cuando este tiende a cero.

1. Derivada direccional

2. definició
nla derivada direccional (o bien llamada también derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector.
Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son
derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes
coordenados.
: Sea f : R n → R definida al menos en un entorno de ~x0, y sea ~v un vector
de R n tal que k~vk = 1. Se define entonces la derivada direccional de f en la
direcci´on3 de ~v en el punto ~x0 ∈ Domf como el l´ımite: D~vf(~x0) = lim
h→0 f(~x0 + h~v) − f(~x0)
h

3. ¿Que representa?
La derivada direccional representa la pendiente de la funcion de un vector, estan
vinculadas con las derivadas parciales ya que como bien lo dice la frase es una derivada
de direccion y sentido en los vectores paralelos "X" y "Y". En pocas palabras este tipo de
derivacion nos brinda la direccion en que se dirige el vector,es decir, las derivadas
parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el
vector gradiente en negro, y el vector unitario escalado por la
derivada direccional en la dirección de en anaranjado. El vector
gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor
tasa de incremento de una función.

4. Ejemplo de derivada direccional
Encontrar la derivada direccional de la función f(x, y) = x 2 + y + 1 en la dirección de ~v = ( √ 1 2 , √ 1 2 )
en el punto (0, 0). Utilizando la definición de derivada direccional como un limite tendremos:
Alternativamente, usando la definición como una derivada ordinaria:
Y así llegar a este resultado

5. Para realizar las derivadas direccionales
debemos tener en cuenta :
Debemos tener bien en claro la definición de lo son las derivadas parciales ya que
estas salen las dichas derivadas direccionales
Que son las derivadas parciales
una derivada parcial de una función de
diversas variables, es la derivada respecto a
cada una de esas variables manteniendo las
otras como constantes

6. Como vemos, la derivabilidad de una funci´on f(x, y) se va a relacionar de manera
directa con la existencia y “correcto” comportamiento del plano tangente a su
gr´afica. Resulta evidente, en cualquier caso, que para superficies del tipo a las
presentadas en la siguiente figura (con “picos”, o “dobleces”, el plano tangente no
estar´a bien definido).
Ejemplo de derivadas parciales
Ejemplo: Calculemos las derivadas parciales d
f(x, y) = 2x 3y + cos(xy).
∂f = 6x 2 y − y sen xy ,
∂x
∂f = 2x 3 − x sen xy
∂y

7. nos podemos dar cuenta con facilidad que las derivadas parciales no son m´as que las
derivadas direccionales en la direcci´on de los vactores ~uj de la base can´onica de R n
. En particular, para el caso de una funci´on de tres variables f(x, y, z), tendremos:
donde se ha denotado, como es tradicional, por {~i,~j,~k}, a la base can´onica de R 3 .
Una ves teniendo en cuenta los conceptos
de ambas derivadas

8. Existe una forma mucho mas fácil y operativa de
resolver derivadas como lo es :
La matriz jacobiana
La cual nos dice que :
Dada una funci´on vectorial ~f : A ⊂ R n → R m, con ~f(~x) = (f1(~x), f2(~x), ...,
fm(~x)), es posible derivar parcialmente (o direccionalmente) dicha funci´on
en ~x0 si las correspondientes funciones escalares componentes fi (i = 1, 2, ...,
m) tienen derivadas parciales o direccionales en dicho punto ~x0.

9. Si existen las derivadas parciales de las funciones componentes de ~f en el
punto ~x0, entonces se define la matriz de derivadas parciales o matriz
Jacobiana de ~f en el punto ~x0 de la forma siguiente:
Finalmente, se utiliza también el termino matriz Jacobiana de ~f para referirse
a la “función” matricial J( ~f) que asigna de manera directa la matriz J( ~f)(~x)
a cada punto concreto ~x ∈ R n .

10. ejemplo
: Calcular la matriz Jacobiana de la función ~f(x, y, z) = (x 2 + yz2 ,sen(x 2 + y 2 )) en el punto (1,
1, 1). Las funciones componentes de esta funci´on vectorial son: f1(x, y, z) = x 2 + yz2 , f2(x, y,
z) = sen(x 2 + y 2 ), y por tanto la matriz Jacobiana de ~f en un punto cualquiera sera: