1) El documento presenta una serie de ejercicios de derivadas y tangentes. 2) Se resuelven problemas de cálculo de derivadas, rectas tangentes, máximos y mínimos. 3) Los ejercicios cubren temas como funciones polinómicas, gráficas, derivadas de orden superior y puntos de inflexión.

1. SOLUCIONES
EJERCICIOS DERIVADAS
Ejercicio nº 1.-
Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2
+ 5x
Solución:
( ) =
−++++
=
−+++
=
−+
=
→→→ h
hhh
lím
h
hh
lím
h
fhf
límf
hhh
18510)44(218)2(5)2(2)2()2(
2'
2
0
2
00
13)132(
)132(13218510288
00
2
0
2
0
=+=
+
=
+
=
−++++
=
→→→→
hlím
h
hh
lím
h
hh
lím
h
hhh
lím
hhhh
Ejercicio nº 2.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2
- 3x + 1, que es paralela a la recta
2x + 3y - 1 = 0.
Solución:
:pendientemismalatendrá,
3
12
0132rectalaaparalelaesSi
+−
=→=−+•
x
yyx
3
2
'
−
=y
( )
12
7
3
7
4
3
2
34' =→=→
−
=−= xxxxf
• Ordenada en el punto:
72
5
12
7 −
=





f
• Ecuación de la recta tangente:
72
23
3
2
12
7
3
2
72
5
+
−
=→





−−
−
= xyxy

2. Ejercicio nº 3.-
Considera la función:
f (x) = 2x3
+ 9x2
+ 12x + 1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.
Solución:
a) f '(x) = 6x2
+ 18x + 12
f '(x) = 0 → 6 (x2
+ 3x + 2) = 0



−=
−=
→
±−
=
−±−
=
2
1
2
13
2
893
x
x
x
• Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (-∞, -2) ∪ (-1, +∞); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo
en (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4).
b) f ''(x) = 12x +18
( )
2
3
12
18
018120''
−
=
−
=→=+→= xxxf
• Signo de f ''(x):
( ) depuntounTiene.,
2
3
encóncavaes;
2
3
,enconvexaes 





∞+
−





 −
∞−xf
.
2
7
,
2
3
eninflexión 




 −−
Ejercicio nº 4.-
( ) [ ]., h
x
xf +
+−
= 22intervaloelen
3
1
funciónladeT.V.M.laHallaa)
2
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2).

3. Solución:
[ ] =
++++−
=
−
−
++−
=
−+
=+
h
hh
h
h
h
fhf
h
3
31)44(3
)3(
3
1)2(
)2()2(
2,2T.V.M.a)
2
2
3
4
3
)4(
3
444 2
h
h
hh
h
hh −−
=
−−
=
+−−−
=
( ) ( )
3
4
3
)4(2)2(
2b)
00
−
=
−−
=
−+
=
→→
h
lím
h
fhf
límf'
hh
Ejercicio nº 5.-
Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3
- 2x + 1 que son
paralelas a la recta y = 10x + 2.
Solución:
• Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:
f '(x) = 10
( )



=
−=
→=→=→=−=
1
1
1121210212' 222
x
x
xxxxf
• Ordenadas en los puntos:
f (-1) = -1; f (1) = 3
• Ecuaciones de las rectas tangentes:
- En x = -1 → y = -1 + 10 (x + 1) → y = 10x + 9
- En x = 1 → y = 3 + 10 (x - 1) → y = 10x - 7
Ejercicio nº 6.-
Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x -2)2
(x + 1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Solución:

4. • Derivada:
f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2
= (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =
= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2
- 6x
( ) ( )



=
=
→=−→=
2
0
0230'
x
x
xxxf
• Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (-∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en
(0, 4) y un mínimo en (2, 0).
• Segunda derivada:
f ''(x) = 6x - 6
f ''(x) = 0 → 6x - 6 = 0 → x = 1
• Signo de f ''(x):
f (x) es convexa en (-∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en
(1, 2).
Ejercicio nº 7.-
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una
media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados
menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el
beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?
Solución:
Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará
50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.
Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:
I (x) = (50 + x) (200 - 2x)
Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40
Luego, el beneficio será de:

5. B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) =
= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2
+ 180x + 2000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo:
B '(x) = -4x + 180
B '(x) = 0 → -4x + 180 = 0 → x = 45
B ''(x) = -4; B ''(45) < 0 → en x = 45 hay un máximo
Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro.
En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.
Ejercicio nº 8.-
( ) [ ]., h
x
xf +
+
= 11intervaloelen
1
3
funciónladeT.V.M.laHallaa)
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).
Solución:
[ ] =
+
+−
=
−
+=
−
++=
−+
=+
h
h
h
h
h
h
h
h
fhf
h
)2(2
)2(36
2
3
2
3
2
3
11
3
)1()1(
1,1T.V.M.a)
)2(2
3
)2(2
3
)2(2
636
+
−
=
+
−
=
+
−−
=
hhh
h
hh
h
( ) ( )
4
3
)2(2
31)1(
1b)
00
−
=
+
−
=
−+
=
→→ h
lím
h
fhf
límf'
hh
Ejercicio nº 9.-
.2en63curvalaatangenterectaladeecuaciónlaHalla 0
2
−=+−= xxxy
Solución:
• Ordenada en el punto:
( ) 4162 ==−y
• Pendiente de la recta:
( )
632
32
32·
632
1
'
22
+−
−
=−
+−
=
xx
x
x
xx
y

6. ( )
8
7
2'
−
=−y
• Ecuación de la recta:
( )
4
9
8
7
2
8
7
4 +
−
=→+−= xyxy
Ejercicio nº 10.-
Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
( )
1
222
−
+−
=
x
xx
xf
Solución:
• Dominio = R − {1}
• Derivada:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
2
2
22
2
2
1
2
1
222222
1
22122
'
−
−
=
−
−+−+−−
=
−
+−−−−
=
x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
xf
( ) ( )



=
=
=−→=−→=
2
0
02020' 2
x
x
xxxxxf
• Signo de f' (x).
f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un
máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).
Ejercicio nº 11.-
La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura
(x en °C) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2
(32 - x)
a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
Solución:
a) Buscamos el máximo de la función Q(x):

7. Q '(x) = 2 (x + 1) (32 - x) + (x + 1)2
· (-1) = (x + 1) [2 (32 - x) - (x + 1)] =
= (x + 1) [64 - 2x - x - 1] = (x + 1) (63 - 3x)
( )




=→=−
−=→=+
→=
210363
101
0'
xx
xx
xQ
Q ''(x) = (63 - 3x) + (x + 1) · (-3) = 63 - 3x - 3x - 3 = -6x + 60
Q ''(-1) = 66 > 0 → en x = -1 hay un mínimo.
Q ''(21) = -66 < 0 → en x = 21 hay un mínimo.
Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 °C.
b) La producción en este caso sería de:
Q(21) = 5324 kg
Ejercicio nº 12.-
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y
puntos de inflexión:
( ) 1
912
2
34
+−−= x
xx
xf
Solución:
• Derivada:
( ) x
xx
xf 2
33
'
23
−−=
( ) ( )






+±
=→=−−
=
=
−−
=
−−
→=
2
2411
06
0
0
3
6
3
6
0'
2
223
xxx
x
xxxxxx
xf



=
=
3
0
x
x
• Signo de f' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene
( ).1,0enmáximounTiene.
4
17
,3enotroy
9
7
,2enmínimoun 




 −





 −
−

8. • Segunda derivada:
( ) 2
3
2
'' 2
−−=
x
xxf
( )



≈
−≈±
=
+±
=→=−−→=
79,1
12,1
6
762
6
7242
06230'' 2
x
x
xxxxf
• Signo de f'' (x):
f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene
dos puntos de inflexión:
(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)
Ejercicio nº 13.-
Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que,
por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción
sea máxima? ¿Cuál será esa producción?
Solución:
Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:
f (x) = (24 + x) (600 − 15x) = −15x2
+ 240x +14 400
Buscamos x para que f (x) sea máxima:
f' (x) = −30x + 240
( ) 88
30
240
0240300' =→==→=+−→= xxxxf
Veamos que es un máximo:
f'' (x) = −30 ; f'' (8) = −30 < 0 → en x = 8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a
una parabola invertida, en x = 8 está el máximo absoluto).
Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 + 8 = 32 árboles, que
producirán 15 360 frutos.
Ejercicio nº 14.-
Halla la derivada de la función f (x), en x0
= -1, utilizando la definición de derivada:

9. ( )
2
14 2
+
=
x
xf
Solución:
( ) ( ) =
−
++−
=
−
++−
=
−−+−
=−
→→→ h
hh
lím
h
h
lím
h
fhf
límf'
hhh
2
5
2
1)21(4
2
5
2
1)1(4
1)1(
1
2
0
2
00
4)42(
2
)42(2
2
84
2
51484
00
2
0
2
0
−=−=
−
=
−
=
−++−
=
→→→→
hlím
h
hh
lím
h
hh
lím
h
hh
lím
hhhh
Ejercicio nº 15.-
elconcortedepuntoelen
1
2
curvalaatangenterectaladeecuaciónlaObtén
+
−
=
x
x
y
eje de abscisas.
Solución:
• Punto de corte con el eje X:
( )0,2Punto202
1
2
0 →=→=−→
+
−
→= xx
x
x
y
• Pendiente de la recta:
222
)1(
3
)1(
21
)1(
)2(1
'
+
=
+
+−+
=
+
−−+
=
xx
xx
x
xx
y
( )
3
1
9
3
2' ==y
• Ecuación de la recta tangente:
( )
3
2
3
1
2
3
1
−=→−= xyxy
Ejercicio nº 16.-
Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
( ) 2
2
124
)( −
−
=
x
x
xf
Solución:

10. • Dominio = R - { 2 }
• Derivada:
( ) =
−
−−−−
=
−
−−−−
= 44
2
2)(x
])124(2)2(4[)2(
)2(
)2(2·)124()2(4
'
xxx
x
xxx
xf
33
)2(
164
)2(
24884
−
+−
=
−
+−−
=
x
x
x
xx
f '(x) = 0 → -4x + 16 = 0 → x = 4
• Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (-∞, 2) ∪ (4, +∞); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4,
1).
Ejercicio nº 17.-
Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué
dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?
Solución:
Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:
2
32 0004
dm0004
x
yyxV =→==
La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:
0;
000160004
·44 22
2
2
>+=+=+= xx
x
x
x
xxxyA

11. Buscamos x para que A sea mínima:
2
3
2
200016
2
00016
'
x
x
x
x
A
+−
=+
−
=
A' = 0 → −16 000 + 2x3
= 0 → 2x3
= 16 000 →
dm2000080008
2
00016 33
==→==→ xx
Veamos que es un mínimo:
( ) mínimohay20en020'',2
00032
'' 3
=→>+= xA
x
A
Por tanto, el lado de la base debe medir x = 20 dm y la altura, y = 10 dm.