Este documento describe diferentes métodos numéricos para la diferenciación e integración. Explica la diferenciación numérica mediante la definición de derivada y presenta las fórmulas de diferencias progresivas, regresivas y centrales. También describe varias reglas para la integración numérica como la regla del rectángulo, del punto medio, del trapecio y de Simpson, así como su aplicación compuesta en varios intervalos.

1. Diferenciación e Integración
numérica

2. Diferenciación
La diferenciación numérica puede calcularse usando la
definición de derivada
( ) ( ) ( )
h
xfhxf
xf
h
00
0
0 lim'
−+
=
→
Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de
diferencia progresiva, si h < 0 se llama fórmula de diferencia
regresiva.
( )
( ) ( )0 0
0'
f x h f x
f x
h
+ −
≈

3. DIFERENCIA PROGRESIVA, REGRESIVA Y CENTRAL
DIFERENCIA PROGRESIVA.- Que
representa la pendiente de la cuerda BC
DIFERENCIA REGRESIVA.- Que representa
la pendiente de la cuerda BC
DIFERENCIA CENTRAL.- Que representa
la pendiente de la cuerda BC
( )
( ) ( )' i i
i
f x h f x
f x
h
+ −
≈
( )
( ) ( )' i i
i
f x f x h
f x
h
− −
≈
( )
( ) ( )'
2
i i
i
f x h f x h
f x
h
+ − −
≈

4. DIFERENCIA PROGRESIVA, REGRESIVA Y CENTRAL
• Ejemplo 1.- Dada la tabla de valores
Calcule f ´(x) para el valor de x=25°, sabiendo
que x, esta en grados sexagesimales.
Emplear las diferencias progresivas,
regresivas y central, teniendo en cuenta que
h=25° (lo que equivale a 0,08727)
20 25 30
0,34202 0,42262 0,5000
x
senx
° ° °

5. Solución
a)Diferencia progresiva
b) Diferencia regresiva
c) Diferencia central
( )
( ) ( ) ( ) ( )30 25 0.500 0.42262
' 0.88667
0.08727 0.08727
i i
i
f x h f x f f
f x
h
+ − − −
≈ = = =
( )
( ) ( ) ( ) ( )25 20 0.42262 0.34202
' 0.92375
0.08727 0.08727
i i
i
f x f x h f f
f x
h
− − − −
≈ = = =
( )
( ) ( ) ( ) ( )30 20 0.500 0.34202
' 0.89997
2 0.08727 2(0.08727)
i i
i
f x h f x h f f
f x
h
+ − − − −
≈ = = =

6. Fórmulas de diferencias divididas
hacia adelante
( ) ( ) ( )
h
xfxf
xf ii
i
−
= +1
'
Primera derivada
( ) ( ) ( ) ( )
h
xfxfxf
xf iii
i
2
34
' 12 −+−
= ++
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
2
12 2
''
h
xfxfxf
xf iii
i
+−
= ++
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
123 254
''
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
+−+−
= +++
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
123 33
'''
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
−+−
= +++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1234
2
51824143
'''
h
xfxfxfxfxf
xf iiiii
i
−+−+−
= ++++

7. Fórmulas de diferencias divididas
centradas
( ) ( ) ( )
h
xfxf
xf ii
i
11
' −+ −
=
Primera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
12
88
' 2112 −−++ +−+−
=
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
2
11 2
''
h
xfxfxf
xf iii
i
−+ +−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2112
12
163016
''
h
xfxxfxfxf
xf iiiii
i
−−++ −+−+−
=
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2112
2
22
'''
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
++−+ −+−
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
321123
8
813138
'''
h
xfxfxfxfxfxf
xf iiiiii
i
−−−+++ +−+−+−
=

8. Fórmulas de diferencias divididas
hacia atrás
( ) ( ) ( )
h
xfxf
xf ii
i
1
' −−
=
Primera derivada
( ) ( ) ( ) ( )
h
xfxfxf
xf iii
i
2
43
' 21 −− +−
=
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
2
212
''
h
xfxfxf
xf iii
i
−− +−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
321 452
''
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
−−− −+−
=
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
321 33
'''
h
xfxfxfxf
xf iiii
i
−−− −+−
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
4321
2
31424185
'''
h
xfxfxfxfxf
xf iiiii
i
−−−− +−+−
=

9. Integración numérica
•Matemáticamente, la integración se representa por
 integral de la función f(x) con respecto a la variable
independiente x, evaluada entre los límites a y b
•La integral es el valor total, o sumatoria de f(x)dx sobre el rango x=a
hasta b
•Para funciones que están por encima del eje x, la integral
corresponde al área bajo la curva de f(x) en a y b
( )∫=
b
a
dxxfI

10. Regla del rectángulo
La función y=f(x) se reemplaza en el entorno de integración
[Xo,Xo+h], por el segmento horizontal BD, y en
consecuencia el área verdadera ABCE por la del rectángulo
ABDE.
El error cometido adoptando tal simplificación viene medido
por el área del triangulo curvilíneo BCD.

12. REGLA DEL PUNTO MEDIO
La función f(x) se aproxima mediante la recta paralela al
eje OX trazada por el punto medio del intervalo,
[Xo,Xo+h], es decir, por : Xo + 1 / 2h

14. REGLA DEL TRAPECIO
• La función f(x) se aproxima por la cuerda
de la curva dentro del intervalo, [Xo,Xo+h].
Se trata de una aproximación lineal. El arco
BC se sustituye por la cuerda BC.

16. Regla del trapecio
Utilizando un polinomio interpolante lineal de Lagrange.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )1
01
0
0
10
1
xf
xx
xx
xf
xx
xx
xP
−
−
+
−
−
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1010
01
1
01
0
0
10
1
22
xfxf
h
xfxf
xx
dxxf
xx
xx
xf
xx
xx
dxxf
b
a
b
a
+=+
−
=






−
−
+
−
−
= ∫∫
Donde h = x1 – x0 =
Esta fórmula vale cuando
f(x) tiene valores positivos.
Da valores exactos para
polinomios de grado 1.
x0 = a x1 = b
P1 f

17. regla del trapecio
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1010
01
1
01
0
0
10
1
22
xfxf
h
xfxf
xx
dxxf
xx
xx
xf
xx
xx
dxxf
b
a
b
a
+=+
−
=






−
−
+
−
−
= ∫∫

18. REGLA DE SIMPSON
La regla del trapecio es tanto mas aproximada cuando
mayor es el numero de divisiones o intervalos n. se puede
obtener una mejor aproximación, con menos intervalos n,
si la curva y = f(x) se reemplaza por parábolas de segundo
grado que pasen por cada tres puntos consecutivos,
(Xi,Yi) de la función dada.

20. Regla se Simpson
La regla se Simpson se obtiene suponiendo el segundo polinomios
de Lagrange con los nodos x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h = (b – a)/2.
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]210
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
4
3
xfxfxf
h
dxxf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
dxxf
b
a
b
a
++=






−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
= ∫∫
Donde se han
despreciado los términos
de error.
La fórmula es exacta para
polinomios de hasta
tercer grado. x0 = a x2 = b
P3f
x1

21. Regla se Simpson
La regla se Simpson se obtiene suponiendo el segundo polinomios
de Lagrange con los nodos x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h = (b – a)/2.
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]210
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
4
3
xfxfxf
h
dxxf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
dxxf
b
a
b
a
++=






−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
= ∫∫
Donde se han
despreciado los términos
de error.
La fórmula es exacta para
polinomios de hasta
tercer grado. x0 = a x2 = b
P3f
x1

22. Comparación
f(x) x^2 x^4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen x exp(x)
Valuación exacta 2.667 6.400 1.099 2.958 1.416 6.389
Trapecio 4.000 16.000 1.333 3.236 0.909 8.389
De Simpson 2.667 6.667 1.111 2.964 1.425 6.421
Comparación entre el valor exacto, la regla del trapecio y
la regla de Simpson para diferentes funciones en el
intervalo [0 , 2].

23. Regla de Simpson 3/8
Ajustando polinomios de Lagrange de orden 3 usando cuatro
puntos se llega a la regla de Simpson de 3/8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3210 33
8
3
xfxfxfxf
h
xfI
b
a
+++== ∫
También puede expresarse por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
8
33 3210 xfxfxfxf
abxfI
b
a
+++
−== ∫
Esta regla es útil cuando el número de puntos es impar.

24. Integración numérica compuesta
[ ] 76958.56´4
3
2 420
4
0
=++≈∫ eeedxex
Integrando ex
por Simpson en [0,4]
El error es: 53.59815 – 56.76958 = –3.17143
Separando en dos integrales:
[ ] [ ]
[ ]
86385.53
424
3
1
4
3
1
4
3
1
4320
43220
4
2
2
0
4
0
=
++++=
+++++≈
+= ∫∫∫
eeeee
eeeeee
dxedxedxe xxx

25. Dividiendo en 4 intervalos
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
61622.53
4242424
3
1
4
6
1
4
6
1
4
6
1
4
6
1
4320
4332
20
4
3
3
2
2
1
1
0
4
0
2
7
2
5
2
3
2
1
2
7
2
5
2
3
2
1
=
++++++++=
++++++
+++++≈
+++= ∫∫∫∫∫
eeeeeeeee
eeeeee
eeeeee
dxedxedxedxedxe xxxxx
El error es: 53.59815 – 53.61622 = –0.01807

26. Regla compuesta de Simpson
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )





+++= ∑∑∫ =
−
−
=
bfxfxfaf
h
dxxf
n
j
j
n
j
j
b
a
2/
0
12
12/
0
2 42
3
Teorema. Sea f ∈C4
[a, b], n par, h = (b – a)/n, y xj = a + jh para
cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla de Simpson para n subintervalos
puede escribirse como:
x0 = a xn = b
y= f(x)
x2 x2j-1 x2j x2j+1

27. Regla compuesta del trapecio
( ) ( ) ( ) ( )





++= ∑∫
−
=
bfxfaf
h
dxxf
n
j
j
b
a
1
1
2
2
x0 = a xn = b
y= f(x)
x1 xj-1 xj xn–1
Teorema. Sea f ∈C4
[a, b], n par, h = (b – a)/n, y xj = a + jh para
cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla del trapecio para n subintervalos
puede escribirse como:

28. Regla compuesta del punto
medio
( ) ( )∑∫ =
=
2/
0
22
n
j
j
b
a
xfhdxxf
x0 = a xn+1 = b
y= f(x)
x0 xj-1 xj xnx1 xj+1
Teorema. Sea f ∈C4
[a, b], n par, h = (b – a)/(n+2), y xj = a +
(j+1)h para cada j = –1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta
del punto medio para n subintervalos puede escribirse como:

29. Datos con espaciamiento
irregular
Si los datos están espaciados de forma irregular, como en el caso de datos
experimentales, la integración puede llevarse a cabo mediante la aplicación de la
regla del trapecio a cada subintervalo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
...
22
121
2
10
1
nn
n
xfxf
h
xfxf
h
xfxf
hI
+
++
+
+
+
= −
Donde hi = ancho del segmento i.

30. Algoritmos Regla del trapecio
Algoritmos para la regla del trapecio de uno solo segmento
function trap(h, f0, f1)
trap = h*(f0+f1)/2
end
Algoritmos para la regla del trapecio de múltiples segmentos
function trap(h, n, f)
sum = f0;
for i = 1, n–1
sum = sum + 2*fi
end
sum = sum + fn
trap = h*sum/2
end

31. Algoritmos Regla simple de
Simpson
Regla de Simpson de 1/3
function simp13(h, f0, f1, f2)
simp13 = 2*h*(f0+4*f1+f2)/6
end
Regla de Simpson de 3/8
function simp38(h, f0, f1, f2, f3)
simp38 = 3*h*(f0+3*f1+3*f2+f3)/8
end

32. Regla de Simpson 1/3 múltiple
Function simp13m(h, n, f)
sum = f0
for i = 1, n–2, 2
sum = sum+4*fi+2*fi+1
end
sum = sum+4fn-1+fn
simp13m = h*sum/3
end

33. Algoritmos Regla compuesta de Simpson
Regla de Simpson de número de segmentos pares o impares
function simpint(a, b, n, f)
h = (b-a)/n
if n=1 then
sum=trap()
else
m = n
odd = n/2-int(n/2)
if odd>0 and n>1 then
sum = sum + simp38(h,fn-3,fn-2,fn-1,fn)
m = n-3
end
if m>1 then
sum = sum + simp13m(h, m, f)
end
end
simpint = sum
end

34. Ejemplo Trapecio
Sea la siguiente función:
f (x) = 0.2 + 25x – 200x2
+ 675x3
– 900x4
+ 400x5
Integrada en el intervalo de a = 0 a b = 0.8 con trapecio:
Valor real I = 1.64053333
f (a) = 0.2000 f (b) = 0.2320
I = h (f (b) – f (a) )/2 0.17280000 error = 89.47%

35. Ejemplo Simpson 1/3
Sea la siguiente función:
f (x) = 0.2 + 25x – 200x2
+ 675x3
– 900x4
+ 400x5
Integrada en el intervalo de a = 0 a b = 0.8 con trapecio:
Valor real I = 1.64053333
f (a) = 0.2 f ((a+b)/2) = 2.456 f (b) = 0.232
I = 0.8 (0.2+4(2.456)+0.232)/6 = 1.36746667 error = 16.6%

36. Ejemplo Simpson 3/8
Sea la siguiente función:
f (x) = 0.2 + 25x – 200x2
+ 675x3
– 900x4
+ 400x5
Integrada en el intervalo de a = 0 a b = 0.8 con trapecio:
Valor real I = 1.64053333
f (0) = 0.2 f (0.26667) = 1.432724
f (0.5333) = 3.487177 f (0.8) = 2.232
I = 0.8 (0.2+3(1.432724+3.487177)+ 2.232 )/8 = 1.519170
error = 7.4%

37. Ejemplo Simpson 1/3 y Simpson 3/8
Sea la siguiente función:
f (x) = 0.2 + 25x – 200x2
+ 675x3
– 900x4
+ 400x5
Integrada en el intervalo de a = 0 a b = 0.8 con 5 segmentos,
con trapecio 2 primeros y Simpson los 3 últimos:
Valor real I = 1.64053333
f (0) = 0.2 f (0.16) = 1.29692 f (0.32) = 1.74339
f (0.48) = 3.18601 f (0.64) = 3.18193 f (0.8) = 0.23200
Simpson 1/3:
I1/3 = 0.32*(0.2 +4(1.29692)+ 1.74339 )/6 = 0.3803237
Simpson 3/8
I3/8 = 0.48 (1.74339 +3(3.18601 + 3.18193 )+ 2.232 )/8
= 1.264754
I = 1.645077
error = 0.28%

38. x f(x)
0.00 0.200000
0.12 1.309729
0.22 1.305241
0.32 1.743393
0.36 2.074903
0.40 2.456000
0.44 2.842985
0.54 3.507297
0.64 3.181929
0.70 2.363000
0.80 0.232000