Este documento trata sobre el cálculo de integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida es otra función cuya derivada es igual a la función original. Proporciona ejemplos de funciones y sus respectivas integrales indefinidas. También cubre temas como la constante de integración y diferentes métodos para evaluar integrales indefinidas como cambios de variable e identidades trigonométricas.

1. INTEGRAL INDEFINIDAINTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLEMATEMATICA IIANIVAL TORRE1

2. Integral IndefinidaANIVAL TORRE2 Dada una función f, la anti derivada de la función f es otra función F, tal que f΄(x)= f(x) Ejemplo de éste proceso, se tiene la tabla que muestra la función f(x) y su anti derivada F΄(x)

3. ANIVAL TORRE3 Obsérvese que si una función tiene una anti derivada, entonces tiene muchas anti derivadas, por lo contrario una función sólo puede tener una derivada así tenemos F(x)= x³ es una anti derivada de f(x)= 3x². También son las funciones G(x)= x³ + 17, H(x)= x³ - 20 En general F(x)= x³ + C es una anti derivada de f(x)= 3x² para cualquier valor de la constante C, por lo tanto: F(x) + C Si F es una anti derivada de f en un intervalo I entonces la anti derivada más general de f tiene la forma: F(x) + CIntegral Indefinida

4. ANIVAL TORRE4 Dada las funciones F: I  R y G: I  R, Tales que G’(x) = F(x) para todo x I, se da el nombre de anti derivada, primitiva o integral indefinida de F(x) a la función G(x), denotada por:Ant[ F(x) ] =  F(x) dx = G(x). Es decir:  F(x) dx = G(x) G’(x) = F(x)Integral Indefinida

5. ANIVAL TORRE5 Proposición. La siguiente proposición permite evaluar las integrales indefinidas. Dada las funciones f: i  r y g: i  r, tales que g’ (x) = f(x) ,  x  i, Entonces  f(x) dx = g(x) + c donde c es la constante de integración.Integral Indefinida

6. ANIVAL TORRE6Evaluar la integral indefinida de las funciones: 01) f(x) = 2x solución: f(x) dx = g(x) + c [g(x) + c]’ = f(x),  2xdx = x2 + c; pues (x2+c)’= 2x la gráfica de esta integral se representa por una familia de parábolas; existiendo una parábola para cada valor de la constante c.

7. Evaluar la integral indefinida de las funciones:ANIVAL TORRE702)f(x) = cos xsolución cos x dx = sen x + c ; pues, (sen x +c)’ = cos x03) f(x) = 6xsolución 6xdx = 3x2+ c pues, (3x2+ c) ’ = 6x04) f(x)= 5x2solución 5x2 dx = 5/3x3+ c pues, (5/3x3+ c) ’ = 5x2

8. ANIVAL TORRE8Evaluar la integral indefinida de las funciones:05)f(x) = 10xsolución 10xdx = 5x2+ c pues, (5x2+ c) ’ = 10x06) f(x) = 4x3solución4x3 dx = x4+ c pues, (x4+ c) ’ = 4x 307) f(x) = 5x4solución5x4 dx = x5+ c pues, (x5+ c) ’ = 5x 4

9. ANIVAL TORRE9Evaluar la integral indefinida de las funciones:08) f(x) = 2x 309) f(x) = 7x 610) f(x) = 8x 711) f(x) = ½ x 312) f(x) = 9x 813) f(x) = sen x14) f(x) =tg x15) f(x) = ctg x16) f(x) = sec x17) f(x) = csc x

10. ANIVAL TORRE10

11. ANIVAL TORRE1129)  audx =audx 30)  (u+v)dx = udx + vdx

12. PROBLEMAS DE APLICACIONANIVAL TORRE12Determine las siguientes integralesx5 dx = x5+1 /6+ c 3x2 dx = 3 x2 dx =3x2+1 /3+ c =x3 +cdx/ x2 =  x-2 dx = x-2+1 / -1 + c = -1 / x + c (x2 +x)dx = x2 dx +  xdx =(x 3/3 +c1) + x 2/2 +c2) =x 3/3 + x 2/2 +c donde: c= c1 + c25)x1/2 dx = x 1/2+1/ 3/2 + c= 2x 3/2 /3 + c6) dx / x1/2 =  x-1/2 dx= x-1/2 +1 / ½ + c =x1/2 / ½ + c

13. ANIVAL TORRE137)  (3x2 +2x)dx 8)  (2x2 -5x + 3)dx 9)  (x+2) 2 dx 10)  (2x-2) 2 dx 11)  (3x+1) 3 dx 12) (1-x)√x dx13) (2+x)√x dx14) (1-x 2)√x dx15)  (x2 +5x - 3)/x dx 16)  (x3 +5x 2 - 4)/x 2 dx17)  (x2 +x)(2x+1)dx 18)  (x3 +2x)(3x 2 +2)dx 19)  (4x2 -3x)(8x-3)dx20)  2e2xdx21)  4xe2x²dx22)  12xe3x²dx23)  12x²e4x³dx24)  2* 52xdx25)  2* 46xdx26)  3x* 73x²dx27)  (6x+5)* 73x² +5xdx28)  3x² / x3 dx29)  (6x + 9) / (3x2 + 9x)dx30)  2x3 / x4 dxPROBLEMAS DE APLICACION

14. Integración por cambio de variableANIVAL TORRE14 Para integrar usando la tabla, es necesario observar que la diferencial esté completa. Si no lo esta, es indispensable completarla. Para ello , debe multiplicarse y dividirse por una constante, en ningún caso se completan con variables. En esta sección damos ejemplos sobre el caso.

15. APLICACIONESANIVAL TORRE15 1) I= (x3+3)5 x2 dxsea: u = x3+3 du = 3x2 dxComo en la integral dada tenemos solo x2dx , entonces completamos con 3:I=1/3  (x3+3)5 3x2 dx = 1/3 u5 du = u6 / 6 + cI=

16. ANIVAL TORRE162. I=  (2x3+4)1/2x2dxSOLUCION:u=2x3+4 ; du= 6x2dxI=1/6 (2x3+4)1/2 6x2dxI=1/6  u1/2du =1/6 (u3/2) / 3/2 + cI=2/18 u3/2 +c = 1/9(2x3+4 ) 3/2 + c

17. ANIVAL TORRE173)  (2x+1)2 dx4)  (3x-1)2 dx5)  (4x2 + 2x)3(8x+2)dx6)  (5x3 +2x2)4dx

18. EXPONENCIAL eudu = eu +cANIVAL TORRE18sea: u = 3x2 – 2 du = 6x dx= 1/6  (6x) dx = 1/6  eu du 1/6 eu + c = 1/6 + c

19. DETERMINE LAS INTEGRALES ANIVAL TORRE191) 3e3xdx2) 2e2x+1dxex²*2xdxe5x²*10xdx18e6xdxe2xdx2e4xdx8) (1/3e5x+1)dx9) ex²*5xdx10) (4e3x +3e4x)dx

20. ANIVAL TORRE20aplicaciones52x2dx34x-14dx2x6x²dx9(3x²+x)6x+1)dx72xdx12(x-1)²(x-1)dx11(x+1)³ (x+1)²dx(32x+24x)dx

21. LOGARITMICADu/u =ln I u I +cANIVAL TORRE21APLICACIONESsea: u = 25-16x2 du = -32x dx =- = -

22. ANIVAL TORRE222)2 /(2x+1) dx3) (6x+2) /(3x²+2x) dx4) 2(x+1) /(x+1) ²dx5) 3x² /(2x³+1) dx6) (4x+4) /(x²+2x) dx7) (2x+1) /(2x²+2x) dx8) 3(x+1) /(x+1) ²dx

23. PREGUNTAS DE REPASOANIVAL TORRE23

24. PREGUNTAS DE REPASO N°10ANIVAL TORRE24

25. ANIVAL TORRE2511.  (2x4+3)1/2x3dx12.13.  (x4- 3)3 2x3 dx14.15.  ( 3x+3) / (3x2+6x )1/2

26. Fórmulas de Derivación TrigonométricasANIVAL TORRE26

27. Fórmulas de Integración Inmediata.ANIVAL TORRE271.  sen u du = - cos u + c2.  cos u du = sen u +c3.  tg u du = ln sec u + c4.  ctg u du = ln sen u + c5.  sec u du = ln sec u + tg u + 6.  csc u du = ln csc u – ctg u+ c7.  sec 2 u du = tg u + c8.  csc 2 u du = - ctg u + c9.  sec u tg u du = sec u + c

28. IDENTIDADES TRIGONOMETRICASANIVAL TORRE281. sen²x + cos²x= 1 2. 1+ tg²x=sec²x3. 1+ ctg²x=csc²x 4. sen²x=(1- cos2x)/25. cos²=(1+cos2x)/2 6. senx. cosx= (sen2x)/27. senx.cscx=1 8. cosx.secx=19. tgx.ctgx=1 10. sen2x =2senx.cosx11. cos2x= cos²x - sen²x 12. (1-cosx)=2sen²(x/2) 13. (1+cosx) = 2 cos²(x/2)

29. APLICACIONES:Sen u du = - cos u + cANIVAL TORRE29Integrar las siguientes funciones1)2)

30. ANIVAL TORRE303) sen 2x dxSolución:completando diferencialessen 2x dx = -(1/2)  -sen 2x.2 dx -1/2 cos 2x + c

31. ANIVAL TORRE31(sen x )2dxIdentidad trigonométrica:( sen x )2 = sen2x =1/2 (1-cos 2x)( cos x )2 = cos2x =1/2 (1+cos 2x) ½ (1 – cos2x)dx  ½dx - 1/2  cos2xdx 1/2 x +c1 - ½*1/2 cos2x 2dx 1/2 x + c1 - ¼ sen 2x + c2=1/2 x - ¼ sen 2x + c donde c= c1 + c2

32. IDENTIDAD TRIGONOMETRICA:ANIVAL TORRE325) I= Sen2 2x dx

33. sen2x = (1-cos 2x) sen22x =1/2 (1-cos 4x)

34. I=sen2 2x dx = 1/2 (1-cos 4x)dx I= ½dx - 1/2  cos4xdx I=1/2 x +c1 - ½*1/4 cos4x 4dx I= 1/2 x + c1 - 1/8 sen 4x + c2I=1/2 x - 1/8sen 4x + c donde c= c1 + c2

35. cos u du =senu +cANIVAL TORRE331) cos 4x dxCompletando diferenciales1/4cos 4x 4dx= ¼ sen4x + c2) cos 1/5 x dxCompletando diferenciales:5cos 1/5 x 1/5dx = 5 sen 1/5 x + c

36. ANIVAL TORRE34

37. ANIVAL TORRE355) cos2 x dx Remplazando la función por su identidad trigonométrica  ½ (1 +cos2x)dx =  ½dx + 1/2  cos2xdx = 1/2 x +c1 +1/2*1/2 cos2x 2dx = 1/2 x + c1 +1/4sen 2x + c2=1/2 x + 1/4sen 2x + c donde c= c1 + c2

38. ANIVAL TORRE366) cos2 3 x dx cos2 x = ½ (1 +cos2x) ; cos2 3 x= ½(1+cos6x) Remplazando la función por su identidad trigonométrica: =  ½ (1 +cos6x)dx =  ½dx +  cos6xdx = ½. x +c1 +1/2*1/6 cos6x 6dx = ½. x + c1 +1/12sen 6x + c2= ½. x + 1/12.sen 6x + c ; donde c= c1 + c2

39. tg udu = (tg u secu)/sec udu =ln sec u + cANIVAL TORRE371) tang xdx = - (-senx/ cosx )dx = -ln cosx + c = ln sec x +c2) tang 2xdx = -1/2 (-sen2x/ cos2x )*2dx = -1/2 ln cosx + c = 1/2ln sec x +c

40. ANIVAL TORRE383) (1- Cog 6x)dx Remplazando por su identidad trigonométrica(1-cog6x)dx = tang 6x dxCompletando diferenciales:= 1/6 tang 6x 6dx= 1/6 lnSec 6x +c

41. ANIVAL TORRE39

42. ANIVAL TORRE401) ctgxdx =(csc x ctg x)/cscxdx =- ln cosec x + c 2) cotg 2xdx =1/2 (cosec 2x cotg2x)2/cosc2xdx =- ½ ln cosec x + c

43. sec udu ANIVAL TORRE41= sec u( secu + tang u) / (secu + tang u) *du =  (sec2 u + sec u tang u)/ (secu + tang u)* du= ln secu + tang u  + c

44. INTEGRA LA SIGUIENTES FUNCIONESANIVAL TORRE421) sec xdx2) sec 2xdx3) sec 3/2 xdx

45. csc udu ANIVAL TORRE43=csc u( csc u -ctg u) / (csc u - ctg u) *du =  (csc2 u -csc u ctg u)/ (csc u -ctg u)*du= ln csc u - ctg u  + c

46. Integran las siguientes funcionesANIVAL TORRE441) cscxdx

47. 2) csc2xdx

48. 3)  (1 / senx) dx

49. 4)  (1 / sen2x) dx