Limites y funciones

1. 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas
Jefatura de Educación y Ciencias Básicas
Taller 3
Límites, continuidad y
derivada
PREPARADO POR:
Sergio Alberto Alarcón Vasco. DTC
María Cristina González Mazuelo. DTC.
OBJETIVO
Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades básicas,
para dar solución a situaciones en distintos contextos.
Comprender y aplicar el concepto de derivada de funciones reales, para modelar y dar
solución a problemas en distintos contextos.
I. LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO
1. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:
a. lim
𝑥→−3
𝑥+2
𝑥+3
b. lim
𝑥→4
𝑥
𝑥−4
c. lim
𝑥→5
1
(𝑥−5)3
d. lim
𝑥→−3
2𝑥2
9−𝑥2
e. lim
𝑥→4
𝑥−2
𝑥2−6𝑥+8
f. lim
𝑥→0
𝑥2−9
𝑥2−3𝑥
g. lim
𝑢→2
−𝑢+2
(𝑢−2)2
h. lim
𝑦→0
𝑦2−3
𝑦3+𝑦2
i. lim
𝑥→4
𝑥2
𝑥2−16
j. lim
𝑥→1
𝑥2+𝑥+1
𝑥3−1
k. lim
𝑥→0
(1 +
1
𝑥
)
l. lim
𝑠→3
(
1
𝑠−3
+
4
𝑠2−9
)
m. lim
𝑥→0
2−4𝑥2
8𝑥2
n. lim
𝑥→6+
√𝑥2−36
𝑥−6
o. lim
𝑤→−1
2𝑤
1−𝑤2
p. lim
𝑦→3−
√9−𝑦2
𝑦−3
q. lim
𝑥→0
√3+𝑥2
𝑥2
r. lim
𝑥→1
𝑥−1
√2𝑥−𝑥2−1
s. lim
𝑥→3+
𝑙𝑛(𝑥2
− 9)
t. lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑒𝑥−1
u. lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥−1
v. lim
𝑥→
𝜋
4
𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥−√2
2

2. 2
2. Calcule los siguientes límites al infinito:
a. lim
𝑥→∞
6𝑥+3
2𝑥
b. lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 1
c. lim
𝑥→−∞
𝑥3−5𝑥
2𝑥3−𝑥2+4
d. lim
𝑦→−∞
2𝑦2+4
6𝑦4−5𝑦3+𝑦2
e. lim
𝑢→∞
4𝑢2−10𝑢+6
(2𝑢−3)(2𝑢−2)
f. lim
𝑡→∞
2𝑡3−1
5𝑡+3
g. lim
𝑛→∞
𝑛(3𝑛+1)
𝑛2+5𝑛+6
h. lim
𝑥→∞
𝑥+2
√9𝑥2+1
i. lim
𝑦→−∞
√𝑦2+4
𝑦+4
j. lim
ℎ→−∞
√25ℎ2+3
2−10ℎ
k. lim
𝑥→−∞
2𝑥 −
1
𝑥2
l. lim
𝑢→∞
2𝑢2
𝑢−1
−
3𝑢
𝑢+1
m. lim
𝑥→∞
(
2𝑥3+3𝑥2+1
4𝑥3+5𝑥2−2
)
2
n. lim
𝑥→−∞
(𝑥4
+ 𝑥5)
o. lim
𝑦→−∞
𝑦 + √𝑦2 + 3
p. lim
𝑥→∞
√3𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥
q. lim
𝑣→−∞
4𝑣 + √16𝑣2 + 2𝑣
r. lim
ℎ→∞
√ℎ2 − ℎ − √ℎ2 + 9
s. lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑥2 + 𝑏𝑥
t. lim
𝑥→∞
𝑒−𝑥2
u. lim
𝑢→∞
𝑒3𝑢−𝑒−3𝑢
𝑒3𝑢+𝑒−3𝑢
3. Si 𝑓(𝑥) está representado por la siguiente gráfica:
Determine:
a. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
b. lim
𝑥→−6−
𝑓(𝑥)
c. lim
𝑥→−6+
𝑓(𝑥)
d. lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥)
e. lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥)
f. lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥)
g. lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥)
h. lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
i. ¿Existe el lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ?
j. ¿Existe el lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ?
5
6

2

x
1
3
y
3
 2

3. 3
4. Considérese la función 𝑦 = 𝑔(𝑥) cuyo gráfico se presenta a continuación:
De acuerdo con el gráfico responder las siguientes preguntas:
a. ¿𝑥 = – 5 pertenece al dominio de 𝑔(𝑥)? Justifique su respuesta.
b. Determine lim
𝑥→−5−
𝑔(𝑥) y lim
𝑥→−5+
𝑔(𝑥)
c. ¿Existe el lim
𝑥→−5
𝑔(𝑥)?
d. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑥 = – 5 es una asíntota vertical par el gráfico de la
función? (Justifique su respuesta).
5. Considérese la función 𝑦 = ℎ(𝑥) representada gráficamente como sigue:
x
y
-5 x
y
x
y
0
1
2
-3
0

4. 4
De acuerdo con el gráfico, responder:
a. ¿𝑥 = 1 está en el dominio ℎ(𝑥)? Justifique su respuesta.
b. Determine lim
𝑥→1−
ℎ(𝑥) y lim
𝑥→1+
ℎ(𝑥)
c. ¿Existe el lim
𝑥→1
ℎ(𝑥)?
d. ¿Puede afirmarse que en 𝑥 = 1 hay una asíntota vertical para el gráfico de la
función? (Justifique su respuesta).
e. Determine lim
𝑥→−∞
ℎ(𝑥) y lim
𝑥→∞
ℎ(𝑥).
f. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑦 = – 3 es una asíntota horizontal para el gráfico
de la función? (Justifique su respuesta).
6. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y
horizontales (si las tiene), intercepto con los ejes y realice un bosquejo de los gráficos:
a. 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥−4
b. 𝑔(𝑥) =
−𝑥3+2𝑥+1
𝑥−3
c. ℎ(𝑥) =
𝑥2−25
𝑥2−5𝑥
d. 𝑓(𝑥) =
𝑥
(𝑥−1)2
e. 𝑔(𝑥) =
1−3𝑥3
3𝑥3−6𝑥2+32
f. 𝑘(𝑥) =
3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥−2
g. ℎ(𝑥) =
2𝑥2+3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥+2
h. 𝑔(𝑥) =
3𝑥2
𝑥2+2𝑥−15
i. ℎ(𝑥) =
𝑥2−2𝑥+3
2𝑥2+5𝑥+3
j. 𝑘(𝑥) =
1+2𝑥3
𝑥+1
7. Proponga un gráfica para una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), tal que se cumplan las siguientes
condiciones:
lim
𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = ∞
lim
𝑥⟶−2
𝑓(𝑥) = −1
lim
𝑥⟶0−
𝑓(𝑥) = 3
lim
𝑥⟶0+
𝑓(𝑥) = ∞
lim
𝑥⟶∞
𝑓(𝑥) = 0
8. Proponga la expresión analítica de una función 𝑓(𝑥) que cumpla las siguientes
condiciones: lim
𝑥⟶−5−
𝑓(𝑥) = − ∞ y lim
𝑥⟶−5+
𝑓(𝑥) = ∞

5. 5
II. CONTINUIDAD
9. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.
10. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.
a. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2
– 6𝑥 + 1 en 𝑥 = −2
b. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 |3 − 𝑥| en 𝑥 = 3
c. 𝑓(𝑥) = tan
𝑥
2
en 𝑥 = 𝜋 y 𝑥 = 4 𝜋
d. ℎ(𝑥) =
2𝑥+1
3𝑥−6
en 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2
4
en 
x
5
x
y
4
1
en 

x
x
2
1

y
4
x
y
6
5
5
en 
x
2
x
2
0
2
en 
 x
y
x
0
1
3
x
y
1
en
y
3
en 
 x
x
1
2
3

2

x
y
0
en 
x
a. b.
c. d.
f.
e.

6. 6
e. 𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
2, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
en 𝑥 = 2
f. 𝑓(𝑡) = {
𝑡2
+ 1, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 3
2𝑡 + 4, 𝑠𝑖 𝑡 > 3
en 𝑡 = 3
g. 𝑔(𝑥) =
√𝑥−2
𝑥−4
en 𝑥 = 4 y 𝑥 = 9
h. 𝑓(𝑡) = {
1 + 𝑒𝑡
, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0
cos 𝑡 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0
en 𝑥 = 0
11. En cada una de las funciones que se presentan a continuación determinar el valor que
debe tomar 𝑎 para que sean continuas en el punto indicado:
a. 𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 < 2
3 − 𝑥 + 2𝑥2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
en 𝑥 = 2
b. 𝑔(𝑥) = {
1 − 3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 4
𝑎𝑥2 + 2𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
en 𝑥 = 4
c. 𝑓(𝑥) = {
𝑥+2
𝑥−4
, 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑎𝑥−3
5+𝑎𝑥2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
en 𝑥 = 1
12. En cada una de las siguientes funciones determinar los valores que deben tomar 𝑎 y
𝑏 para que sean continuas:
a. 𝑓(𝑥) = {
−2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑎𝑥 − 𝑏, − 1 < 𝑥 < 1
3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
b. 𝑔(𝑥) = {
𝑎𝑥 + 2𝑏, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥2
+ 3𝑎 − 𝑏, 0 < 𝑥 ≤ 2
3𝑥 − 5, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
c. ℎ(𝑥) = {
𝑎𝑥 − 𝑏, 𝑠𝑖 𝑥 < 1
5, 𝑥 = 1
2𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
13. Demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua en el intervalo
indicado:
a. 𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥2 en [−4, 4]
b. 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−1
en [2, 3]
c. 𝑓(𝑥) = {
𝑥2
− 3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
4 + 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
en
[0, 2]

7. 7
III. DERIVADA COMO LÍMITE
14. Para cada una de las funciones 𝑓(𝑥) dadas determinar su derivada 𝑓’(𝑥), a partir de la
definición de derivada como un límite 𝑓′
(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
.
a. 𝑓(𝑥) = √3
b. 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥
c. 𝑓(𝑥) = −5𝑥 + 2
d. 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥
e. 𝑓(𝑥) = −3𝑥2
f. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 4
g. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥
h. 𝑓(𝑥) = √1 − 2𝑥
i. 𝑓(𝑥) = 5 − √𝑥
j. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
k. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 𝑥
l. 𝑓(𝑥) =
𝑥
3−𝑥
m. 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
1−𝑥
n. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2
o. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
p. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
15. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥
a. Encontrar una expresión general para la pendiente de todas las rectas tangentes
a 𝑓(𝑥), haciendo uso de la fórmula para la pendiente 𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
b. Determinar la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 2
c. Encontrar la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(2,6)
16. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
a. Encontrar una expresión general para la pendiente de todas las rectas tangentes a
𝑓(𝑥), haciendo uso de la fórmula para la pendiente 𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
b. Determinar la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 1
c. Encontrar la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(1,2)
17. Dada la función 𝑓(𝑥) =
1
2−3𝑥
a. Encontrar una expresión general para la pendiente de todas las rectas tangentes a
𝑓(𝑥), haciendo uso de la fórmula para la pendiente 𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
b. Determinar la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 2
c. Encontrar la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑄 (2, −
1
4
)

8. 8
18. Dada la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2
a. Encontrar una expresión general para la pendiente de todas las rectas tangentes
a 𝑓(𝑥) haciendo uso de la fòrmula para la pendiente 𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
b. Determinar la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 6
c. Encontrar la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(6, 2)
19. Dada la función 𝑓(𝑥) =
2
√3−2𝑥
d. Encontrar una expresión general para la pendiente de todas las rectas tangentes
a 𝑓(𝑥) haciendo uso de la fòrmula para la pendiente 𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
e. Determinar la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 1
f. Encontrar la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(1, 2)
20. La altura 𝑠(𝑡), con respecto al suelo, de un objeto que es lanzado verticalmente hacia
arriba desde el suelo está determinada por la función 𝑠(𝑡) = 112𝑡 − 16𝑡2
. Donde 𝑠(𝑡)
se mide en pies y 𝑡 es el tiempo medido en segundos. Use la fórmula para la
velocidad instantánea
𝑣(𝑡) = lim
ℎ→0
𝑠(𝑡 + ℎ) − 𝑠(𝑡)
ℎ
y determine la velocidad del objeto a los 3 segundos de haber sido lanzado.
21. La posición de un carrito de cuerda que se mueve sobre una pista recta viene
determinada por el modelo matemático 𝑠(𝑡) =
9
𝑡+3
donde 𝑠(𝑡) está dada en
centímetros y 𝑡 en segundos. Utilice la fórmula para la velocidad instantánea
𝑣(𝑡) = lim
ℎ→0
𝑠(𝑡 + ℎ) − 𝑠(𝑡)
ℎ
y determine la velocidad del carrito a los 3 segundos de haberse iniciado el
movimiento

9. 9
IV. REGLAS DE DERIVACIÓN
22. Utilizando las reglas de derivación, encontrar la derivada de cada una de las
funciones que se presentan a continuación:
a. 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2
+ 6𝑥 − 7
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3
⁄
− 4𝑥
5
2
⁄
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3√𝑥 + 2𝑥
d. 𝑔(𝑡) = 7𝑡−2
−
1
𝑡3
e. 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 1) (𝑥 + 5𝑥
3
4
⁄
+
1
𝑥
)
f. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑠𝑒𝑐 𝑥
g. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑙𝑛 𝑥
h. 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3
i. 𝑓(𝜃) = (𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑠𝑒𝑐 𝜃
j. 𝑓(𝑥) = (5𝑥2
− 1)3
k. 𝑓(𝑥) =
2𝑥3+5𝑥2+𝑥−5
3𝑥−2
l. 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−30
𝑥−6
m. ℎ(𝑟) =
𝑟2
1+2 𝑡𝑎𝑛 𝑟
n. 𝑓(𝑥) =
5𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝑥
o. 𝑓(𝑥) =
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
(𝑥2−1)
p. 𝑓(𝑥) =
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥
q. 𝑓(𝑥) =
𝑥 𝑒𝑥
𝑥+𝑒𝑥
r. 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛 𝑥
𝑥
s. 𝑓(𝑡) =
𝜋(𝑥−3)2
(𝑥+1)3
23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el
valor indicado de 𝑥
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 +
6
𝑥
en 𝑥 = 2
b. 𝑓(𝑥) =
5𝑥
𝑥2+1
en 𝑥 = 1
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 en 𝑥 = 𝜋
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑙𝑛 𝑥 en 𝑥 = 1
e. 𝑓(𝑥) =
𝑥2−6𝑥
1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
en 𝑥 =
3𝜋
2
f. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 𝑒𝑥 en 𝑥 = 0
g. 𝑓(𝑥) =
𝑥
1+𝑠𝑒𝑛 𝑥
en 𝑥 =
𝜋
2
h. 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑒𝑥 en 𝑥 = 0
24. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥 2
– 6𝑥 – 8
a. Encuentre la expresión general para la pendiente de todas las rectas que son
tangentes a la curva de 𝑓.
b. Encuentre la pendiente de la recta que es tangente a la curva de 𝑓 en 𝑥 = 1
c. Determine la ecuación de la recta que es tangente a la curva de 𝑓 en 𝑥 = 1
d. Obtenga las coordenadas sobre la curva de 𝑓 para los cuales la recta tangente es
horizontal.

10. 10
e. Establezca los valores de 𝑥 (intervalos) para los cuales la recta tangente es
creciente, es decir, 𝑓′(𝑥) > 0
f. Establezca los valores de 𝑥 (intervalos) para los cuales la recta tangente es
decreciente, es decir, 𝑓′(𝑥) < 0
g. Obtenga las coordenadas sobre la curva de 𝑓 para los cuales la recta tangente es
paralela a la recta 𝑦 = 4 − 6𝑥
25. La altura ℎ(𝑡) con respecto al tiempo de una pelota que se deja caer libremente desde
la terraza de un edificio, está dada por:
ℎ(𝑡) = 50 − 4,9𝑡2
donde ℎ(𝑡) está expresada en metros y 𝑡 en segundos.
a. ¿Cuál es la altura del edificio?
b. Encontrar una expresión general para la velocidad de la pelota en cualquier
instante
c. Determinar la velocidad de la pelota a los 2 segundos después de haberse dejado
caer.
d. ¿Cuándo llega la pelota al suelo?
e. ¿Con que velocidad choca la pelota contra el suelo?
f. Encontrar una expresión para la aceleración de la pelota en cualquier instante.
g. Realizar los gráficos de la altura, la velocidad y la aceleración de la pelota con
respecto al tiempo.
26. Se lanza una roca verticalmente hacia arriba, desde la superficie lunar, a una
velocidad de 24
𝑚
𝑠𝑒𝑔
. La altura 𝑠(𝑡) de la roca, en metros, respecto a la superficie
para cualquier instante 𝑡, en segundos, es:
𝑠(𝑡) = 24𝑡 − 0,8𝑡2
a. Encontrar la velocidad y la aceleración de la roca en el instante 𝑡.
b. ¿Cuánto tarda la roca en llegar al punto más alto respecto a la superficie?
c. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la roca?
d. Determinar el tiempo que tarda la roca en alcanzar la mitad de su altura máxima.

11. 11
e. ¿Cuánto tiempo permanece la roca en el aire?
27. La variación de la carga 𝑞 en un circuito en función del tiempo 𝑡, para 0 ≤ 𝑡 ≤ 4, esta
dada por 𝑞(𝑡) = 𝑡2
− 4𝑡 + 3, donde 𝑞(𝑡) está expresada en microcoulombs (𝑚𝑐) y
𝑡 en milisegundos (𝑚𝑠).
Si se sabe que la corriente 𝑖 en cualquier instante es la razón de cambio de la carga
𝑞 con respecto al tiempo, es decir, 𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, donde 𝑖(𝑡) está dada en miliamperios
(𝑚𝐴)
a. Encontrar la expresión para la corriente 𝑖 en dicho circuito.
b. Determinar la corriente en el circuito en 𝑡 = 0,5 𝑚𝑠 y 𝑡 = 4 𝑚𝑠
V. DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS (REGLA DE LA CADENA)
28. Encontrar la derivada de las funciones que se presentan a continuación:
a. 𝑦 = (𝑥 −
1
𝑥2)
3
b. 𝑦 = √3𝑥2 − 4𝑥 + 6
c. ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥)
d. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2
(
𝑥
3
)
e. 𝑦 = 𝑥 − 𝑙𝑛|5𝑥 + 1|
f. 𝑔(𝑡) = √2𝑡3 − 5 ⋅ (𝑡2
+ 2𝑡)3
g. 𝑓(𝑥) =
1
4
(3𝑥 − 2)2
+ (4 −
1
2𝑥2)
−1
h. 𝑦 =
1
(𝑥3−2𝑥2+7)4
i. 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛2(𝜋−𝑥)
𝑥4−3𝑥
j. 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 𝑥)2
sen(2𝑥3
+ 1)
k. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠(3𝑥2)
l. 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 √𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥
m. 𝑦 = 𝑥(𝑙𝑛 𝑥)2
n. 𝑦 = 𝑥3
𝑒4𝑥
o. 𝑦 =
3𝑥−4
(5𝑥+2)3
p. ℎ(𝑥) =
𝑡𝑎𝑛(
3𝜋
2
𝑥)
𝑠𝑒𝑐(
3𝜋
2
𝑥)
q. 𝑦 = √
𝑥2−1
𝑥2+1
r. 𝑦 = 𝑙𝑛 (
𝑥
𝑥+1
)
s. 𝑦 = 𝑒𝑥√𝑥2+1
t. 𝑦 = (
1+𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3−2𝑡
)
−1
u. y = 3𝑠𝑒𝑐(4𝑥2).ln(5𝑥)

12. 12
v. 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛√1 + √𝑥
w. 𝑔(𝑥) = √𝑙𝑛√𝑥
x. 𝑦 = (𝑒𝑥
+ 𝑒𝑥+𝑒−𝑥
)
2
y. 𝑓(𝑥) =
𝑡𝑎𝑛 𝑥4
𝑠𝑒𝑐3𝑥
29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las funciones dadas en el
valor de 𝑥 indicado para cada una de ellas.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)3
en 𝑥 = 2
b. 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑒3𝑥
+ 𝑥) en 𝑥 = 0
c. 𝑔(𝑥) = (
𝑥−1
𝑥+1
)
2
en 𝑥 = 0
d. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3
(
𝑥
3
) en 𝑥 = 𝜋
e. 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 𝑒−𝑥) en 𝑥 = 1
f. 𝑦 = (−1 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑥)3
en 𝑥 =
𝜋
8
30. El desplazamiento de una cuerda que vibra está representado por:
𝑠(𝑡) = 10 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(10𝜋𝑡)
donde 𝑠(𝑡) se mide en centímetros y 𝑡 en segundos.
a. Encontrar una expresión para la velocidad de la cuerda después de 𝑡 segundos.
b. ¿Cuál será la velocidad de la cuerda a los 3 segundos de iniciada su vibración?
31. En ciertas circunstancias, una información enviada por correo electrónico se esparce
según la siguiente expresión:
𝑃(𝑡) =
1
1 + 10𝑒−0.5𝑡
donde 𝑃(𝑡) representa la población (medida en porcentaje) que conoce la información
después de un tiempo 𝑡 expresado en minutos.
a. Encontrar una expresión para la velocidad de esparcimiento de la información
después de un tiempo 𝑡.
b. ¿Cuál es la velocidad de esparcimiento de la información a las 2 horas de haber
sido enviada?

13. 13
32. Un tanque contiene 2500 galones de agua, los cuales se drenan completamente por
un orificio ubicado en el fondo del mismo en 20 minutos. De acuerdo con la Ley de
Torricelli, el volumen contenido en el tanque en cualquier instante está representado
por:
𝑉(𝑡) = 2500 (1 −
𝑡
20
)
2
donde 𝑡 está expresado en minutos.
a. Encontrar una expresión que represente la rapidez 𝑅(𝑡) con la que drena dicho
tanque en cualquier instante 𝑡, es decir,
𝑑𝑉
𝑑𝑡
.
b. ¿Con que rapidez sale el agua por el orificio en el instante en que se quita el tapón?
c. Determine la rapidez de drenaje del tanque para 𝑡 = 10 y 𝑡 = 20
d. ¿En qué momento el agua del tanque sale por el orificio con una rapidez de
190
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛
?
33. El movimiento de un amortiguador en un automóvil está dado por:
𝑠(𝑡) = 2𝑒−1,5𝑡
𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)
donde 𝑠(𝑡) se mide en centímetros y t en segundos.
a. Encontrar la función velocidad de movimiento del amortiguador.
b. Determinar la velocidad del amortiguador a los 2 segundos de haber iniciado el
movimiento.
Nota: La mayor parte de los ejercicios propuestos en este taller fueron tomados de los
textos referenciados en la bibliografía.

14. 14
Bibliografía de referencia
ALARCÓN Sergio, GONZÁLEZ Cristina, QUINTANA Hernando, Cálculo Diferencial. Límites
y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.
LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a
edición. México: Oxford University,
2003.
PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición.
México: Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.
STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición.
Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994.
STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México
D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.
STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson
editores, 2007.
SWOKOWSKI, E. Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Grupo Editorial
Iberoamérica. México, 1982.
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Wesley, 2010.
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edición. México:
Thomsom Learning, 2002.
ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica,
1987.