En en esta presentación se mostrarán las derivadas a un nivel de 4º de la ESO. Se mostrará la fórmula y ejemplos. MATEMÁTICAS.

1. 1
TABLA DERIVADAS

2. 2
• DERIVADA DE UNA CONSTANTE
• f(x) = k  f’(x) = 0
• Ejemplos
• y = 4  y’=0
• y = -√3  y’=0
• y = (e – 2) / π  y’=0
• DERIVADAS POLINÓMICAS
• n n - 1
• f (x) = x  f ‘ (x) = n· x
• Ejemplos
• y = x4
 y’= 4· x3
• y = -x7
 y’= -7· x6
• y = x42
 y’= 42· x41
DERIVADAS POLINÓMICAS

3. 3
• DERIVADA DE LA INVERSA
• f(x) = 1/x  f’(x) = -1/ x2
• DERIVADA DE LA RAIZ
•
• f (x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2·√x
• También se obtendría como polinómica
• f (x) = √x  f (x) = x1/2
 f’(x) = (1/2)· x(1/2 – 1)
• DERIVADA DE LA EXPONENCIAL
• f(x) = ex
 f’(x) = ex
• DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO
• f(x) = ln x  f’(x) = 1 / x
OTRAS DERIVADAS

4. 4
• DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• y = sen x  y ‘ = cos x
• y = cos x  y ‘ = - sen x
• y = tg x  y ‘ = 1+tg2
x = 1 / cos2
x
• También se obtendría como división de funciones
• y = tg x = sen x / cos x
• y’ = [cos x. cos x – sen x · (-sen x)] / cos2
x
• y’ = [cos2
x + sen2
x] / cos2
x = 1 / cos2
x
• DERIVADA DE F. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
• y = arcsen x  y ‘ = 1 / √(1 – x2
)
• y = arccos x  y ‘ = – 1 / √(1 – x2
)
• y = arctg x  y ‘ = 1 / (1 + x2
)
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

5. 5
DERIVADAS DE LA SUMA
• Sea y = f(x)+g(x)
• y’ = f ’(x) + g ‘(x)
• Ejemplos:
• y = x3
+ x  y’ = 3.x2
+ 1
• y = x5
– x3
 y’ = 5.x4
– 3.x2
• y = ex
+ x4
 y’ = ex
+ 4.x3
• y = x3
+ 1/x  y’ = 3·x2
– 1/x2
• y = x + √x – 3  y’ = 1 + 1/(2.√x)
• y = x2
+ lnx  y’ = 2x + 1/x

6. 6
DERIVADAS DE LA SUMA
• Sea y = f(x)+g(x)
• y’ = f ’(x) + g ‘(x)
• Ejemplos:
• y = x2
+ lnx  y’ = 2x + 1/x
• y = ex
– ln x + √e  y’ = ex
– 1/x
• y = x + sen x  y’ = 1 + cos x
• y = x3
– cos x  y’ = 3x2
+ sen x
• y = arctg x + tg x  y’ = 1 / (1 + x2
) + 1+tg2
x
• y = √x – arc sen x  y’ = 1/(2√x) – 1/√(1 – x2
)

7. 7
DERIVADAS DEL PRODUCTO
• Sea y = f(x). g(x)
• y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x)
• Ejemplos:
• y = ex
· x4
 y’ = ex
x4
+ ex
4x3
• y = x3
· 1/x  y’ = 3.x2
· 1/x + x3
·(-1/x2
) = 3x – x = 2x
• y = x · √x  y’ = √x + x /(2·√x)
• y = x2
·lnx  y’ = 2x·lnx + x2
1/x = 2x·lnx + x
• y = sen x · √x  y’ = cos x· √x + sen x. 1/(2·√x)
• y = cos x·lnx  y’ = - sen x· lnx + cos x· 1/x

8. 8
DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN
• Sea y = k.f(x)
• y ' = k. f ‘(x)
• Ejemplos:
• y = 4x3
 y’ = 12.x2
• y = – 5x7
 y’ = – 35.x6
• y = 5ex
+ 2x4
 y’ = 5.ex
+ 8x3
• y = 7x3
+ 5/x  y’ = 21x2
– 5/x2
• y = 3x + 7√x – e  y’ = 3 + 7/(2·√x)
• y = - 3x2
+ 5lnx  y’ = - 6x + 5/x

9. 9
DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN
• Sea y = k.f(x)
• y ' = k. f ‘(x)
• Ejemplos:
• y = 9x2
+ 4lnx  y’ = 18.x + 4/x
• y = 3ex
– a·ln x + √e  y’ = 3ex
– a/x
• y = 7x – 2sen x  y’ = 7 – 2 cos x
• y = 8x3
– e·cos x  y’ = 24.x2
+ e.sen x
• y = 3·arctg x + 5·tg x  y’ = 3 / (1 + x2
) + 5·(1+tg2
x)
• y = 21·√x – 4·arc sen x  y’ = 21/(2√x) – 4/√(1 – x2
)

10. 10
DERIVADAS DEL COCIENTE
• Sea y = g(x) / f(x)
• g ‘(x). f (x) – g (x). f ‘(x)
• y ‘ = -----------------------------------
• f 2
(x)
• Ejemplos:
• y = 2ex
/ x4
 y’ = (2ex
x4
– 2ex
4x3
) / x8
• y = x3
/ (x – 1)  y’ = (3.x2
(x – 1) – x3
.1) / (x – 1)2
• y = (x + 3) / √x  y’ = (1. √x – (x + 3). 1/(2.√x)) / x
• y = x2
/ (ex
+ x)  y’ = (2.x.(ex
+ x) – x2
. (ex
+ 1)) / (ex
+ x)2
• y = (x + sen x) / cos x  y’ =((1+ cos x).cos x – (x + sen x).(- sen x)) / cos2
x