Este documento presenta 20 ejercicios de cálculo de integrales y áreas comprendidas entre curvas. Algunos ejercicios involucran hallar funciones como ingreso total, costo total y demanda a partir de funciones dadas de ingreso o costo marginal. Los resúmenes proporcionados ofrecen las soluciones de manera concisa en 3 oraciones o menos.

1. Aplicación de Integrales<br />1.-Calcula 02fx siendo:<br />f(x)=x2+1 si 0 ≤x <12 si 1 ≤x ≤2<br />Solución: <br /> Entre 0 y 1:<br />G1(x) = (x2+1)= x33+x<br />G11= 43 ; G1 0=0<br />01x2+1= G10= 43<br /> Entre 1 y 2:<br />G2x= 2=2x<br />G22= 4; G2(1)=2<br />012= G22-G212 = 4-2=2<br /> Por tanto:<br />02f(x)= 43+2= 103<br />2.- Si el ingreso marginal es R’(X) = 15 -8X2 +6X2 dólares por unidad; cuando el nivel de producción es de “x” unidades.<br />R’(X) = 15 -8X2 +6X2 (X) Ingreso marginal<br />RX=15-18x2+16x3dx Rx=15X+6X2+4X4+K <br />La constante de integración se calcula con la condición el ingreso es =0<br />Cuando la cantidad de demanda es nula (X=O, R=O) = 0-0+0+C= 0 C = 0<br />Luego Rx=15X+6X2+4X4+K es la función del ingreso total.<br />Como Rx=xx->(x)= R(X)x ->x=15x-6x3+4x4x=15x-6x2+4x3<br />3.- En la bodega de “San Juan” se estima que el costo marginal C’(q) como función de las unidades producidas “q” esta definida por la séte ecuación: C’(q) =400q + 30q2 si el costo fijo es s/2000 u.m. hallar:<br />a) las funciones del costo total y operar para x=20<br />b) la función del costo promedio y operar para x=20<br />Solución:<br />a)<br />Cq=c(q)/.dq=400q-30q2.dq<br />Cq=200q2-10Q3+C<br />Cq=200q2-10Q3+200<br />C20=200(20)2-10(20)3+200<br />C20=2000 u.m.<br />b)C20q=200q-10q2+2000q<br />C20q=s/100u.m.<br />4.- R’(x) =40 – 0.04x – 0.009x2, es la función de ingreso de cierto establecimiento; se pide: <br />Solución: <br />a) hallar la función de ingreso total. <br />Rx=R'xdx+C->(40-0.04x-0.009x2)dx+C<br />Rx=40x-0.04x22-0.009x33+C-> Si R=0;x=0<br />Rx=40x-0.02x2-0-0.003x3 ->C=0<br />b) ¿Cuanto ingreso se obtendrá x la venta de 80 unidades del producto de la empresa? <br /> Si x = 80 unidades.<br />->R80=4080-0.02802-0.003(80)3<br />R80=3200-128-1536<br /> <br />R80=536-> El ingreso<br />c) Hallar la función de demanda. <br />Rx=x->x=R(x)x<br />x=40x-0.02x2-0.003x3x <br />x=40-0.02x-0.003x2 -> Demanda.<br />5.- Si la inversión está dada y la acumulación inicial del capital a t = 0, es de 10, determinar la función que representa al capital , además su valor en el ultimo mes del año.<br />Solución: <br />Kt=Itdt+C=60t1/4+C->Kt=4560t5/4+C<br />Kt=48t5/4+C<br />Como: t=0, K (0)=10 ->10=48(0)5/4+C <br />->Kt=48t5/4+10<br />K(12) =10721 +10 =108210 K(12) El capital en el mes de diciembre <br />6.- Dada la función , calcular:<br /> 06f(x)<br />-10f(x)<br />Solución:<br />Gx=2x2-3x=2x33-3x22<br />G3=92;G0=0;G-1=-136<br />03f=G3-G0= 92-0=92<br />-10G0-G-1=0- -136=136<br />7.- Tenemos la función ingreso marginal hallar el ingreso si se estime vender 6 unidades, además hallar la función de demanda. <br />Solución: <br />Rx=R'xdx+K=47-10X-X2dx+K<br />Rx=47x-102x2-x33+K Como <br />Rx=47x-5x2-x33<br />R6=477-56-633=30 Unidad monetaria<br />Como R6=xfx->y=fx=R(x)x<br />-> fx=47x-5x2-x33x<br />fx=47-5x-x23 La ecuación de demanda <br />8.- Dada la función fx=2x2-3x, calcular:<br />06f(x)<br />-10f(x)<br />Solución:<br />Gx=2x2-3x=2x33-3x22<br />G3=92;G0=0;G-1=-136<br />03f=G3-G0= 92-0=92<br />b) -10G0-G-1=0- -136=136<br />9.- Sea la función de costo marginal de la producción , actualmente se producen 80 unidades por día. <br />Si el costo fijo diario de producción es de 50 unidades monetarias, determinar la función de producción C (q).<br />¿Cuánto más costara producir 90 unidades por día?<br />Solución:<br />a) C”(q) = 1.5q +5 b)si: q = 80<br />C (q) =1.5q=5dq+k<br />Cq=1.52q2+2q+k<br />Cq=0.1q2+2q+k<br />C80=0.1(80)2+280+50<br />C80=850<br />Si q = 90<br />C90=0.1(90)2+290+50<br />C90=1040<br />->1040-850=190 Repta. Costará 190 unidades monetarias<br />10.- Cierta empresa encargada de la producción y venta mantiene fija su producción actual de 20 unidades con el cual cada día es su ganancia llega con 4000 esta empresa desea elevar su producción hasta el nivel que le permita obtener la máxima ganancia posible.<br />Se desea:<br />Determinar la producción.<br />Valor de la máxima ganancia.<br />Solución:<br />Sabiendo Im(x) = 700-15x<br />Y es Cm(x) = 5x + 100 y “x” representa la producción diaria <br /> Im(x) = Cm(x)<br />7000-15x=5x+100<br />-15x-5x=-700+100<br />-20x=-600<br />x=30 -> Es la producción.<br />Gm(x) = I(x) – Cm(x)<br />Gmx=700-15x-(5x+100<br />Gmx=700-15x-5x-100<br />Gmx=600-20x-> La derivada del Gm<br />GmxdGt= 600-2xdx<br />Gt=600dx-20xdx<br />Gt=600x-20x22+C<br />Gt=600x-10x2+C<br />4000=60020-10202+C<br />4000=12000-4000+C<br />4000=800+C C = -4000<br />Ecuación ganancia, reemplazando el nivel de producción x = 30<br />Gtx=600x-10x2-400<br />Gtx=600(30)-10x(30)2-400<br />Gtx=18000-9000-400<br />Gt(x) = 5000…….. El valor máximo de ganancia es 5000.<br />11.- Tenemos la función ingreso marginal hallar el ingreso si se estime vender 6 unidades, además hallar la función de demanda. <br />Solución: <br />Rx=R'xdx+K=47-10x-x2dx+K<br />Rx=47x-102x2-x33+K Como <br />Rx=47x-5x2-x33<br />R6=476-56-633=30 Unidad monetaria<br />Como R6=xfx->y=fx=R(X)X<br /> Fx=47x-5x2-x33x<br /> fx=47-5x-x23 La ecuación de demanda <br />12.- La función de corto marginal para la producción de “x” unidades está establecido por y'=8+16x-5x2. Si el costo fijo es 100. Hallar la f(x) del costo total.<br />y'f'(x)=8+16x-5x2. f’(x) costo marginal<br />Como u costo fijo dice que es <br />Luego y=8+16x-5x2dx=8x-8x2-53x3+K<br />y=8x-8x2-53x3+K<br />Para x=0; y=100 se obtiene la función del costo total.<br />13.- Si el ingreso marginal es R'x=15-8x2+6x3 dólares por unidad; cuando el nivel de producción es de “x” unidades.<br />Solución: <br />R'x=15-8x2+6x3f(x) Ingreso marginal<br />R'x=(15-18x2+16x3)dx->Rx=15x-6x3=4x4+K<br />La constante de integración se calcula con la condición el ingreso es =0<br />Cuando la cantidad de demanda es nula x=0, r=0=0-0+0+C=0->C=0 <br />Luego Rx=15x-6x3=4x4+K es la función del ingreso total.<br />Como:<br />Rx=xfx->fx=R(x)x->fx=15x-6x3=4x4x=15x-6x2=4x3<br />14.- Un medio ambientalista tiene un ingreso marginal establecido por la siguiente ecuación R=80-9x2+20x3 en lo que corresponde al total de sus ventas en sus negocios. Obtener la demanda total aparte de su ingreso cuando x = 50<br />Solución:<br />R=y=xy->xf(x) Demanda f(x)=y<br />R=80-9x2+20x3<br />R'=80-9x2+20x3=R=80x-3x3+5x4+K Ingreso total<br />R=80-9x2+20x3 Demanda total <br />F50=80-9502+20503->f50=2477580<br />15.- Si la función de ingreso marginal es R'x=12=6x-12x2 determinar entonces las funciones de ingreso y demanda. <br />Solución:<br />Rx=12=6x-12x2dx+C=12x+6x2-12x3+C<br />Pero para calcular la constante de integración se tiene x = 0 y R = 0<br />De donde C = 0<br />R(x)=12x+3x2-4x3 Es la función del ingreso total<br />Con Rx=xfx->fx=R(x)x=fx=12x+3x2-4x3x=12+3x-4x2<br />f(x)=12+3x-4x2 Es la función de le demanda.<br />16.- Sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:<br />Calcula:<br />-06fx222<br />Solución:<br /> Vamos a distinguir dos recintos:<br />I 0,4, II 4,6<br /> El área del recinto I es:<br /> El área del recinto II es:<br /> Por tanto:<br />06Fx= área recinto I- área recinto II = 6-3 = 3u2<br />17.-Calcula el área comprendida entre las curvas y =2x2 , y = x2 – 2x y x = -1<br />Solución:<br />2x2-5x-x2-2x=x2-3x<br />x2-3x=0->x1=0, x2=3<br /> Hay dos recintos: I [-1, 0]; II [0, 3]<br />Gx=x2-3x=x33-3x22<br />G-1=-116;G0=0; G3=-92<br />Area recinto I=G0-G(-1)=116<br />Area recinto II=G3-G(0)=92<br />Area total =116+92=193u2<br /> Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:<br /> 18.-Calcula el área comprendida entre la función y = x2 + 2x + 3, el eje y las rectas x = -1 y x=1<br />Solución:<br /> Puntos de corte con el eje X:<br />x2+2x+3=0->x=-2=±2-122<br />No corta al eje X.<br />Gx=x2+2x+3=x33+x2+3x<br />G-1=-73; G1=133<br />Área =G1-G(-1)=203u2<br /> La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:<br /> 19.-Resuelve la siguiente integral:<br />13(2x2+3)<br /> Solución:<br />Gx=(2x2+3)=2x33+3x<br />G3=27; G1=113<br />132x2+3=G3-G1=27-113=703<br /> 20.-Calcula:<br />01-x43+2x2<br /> Solución:<br />Gx=01-x43+2x2=-x515+2x33<br />G1=35; G0=0<br />01-x43+2x2=G1-G0=35<br />