Este documento presenta varios problemas de cálculo que involucran funciones, derivadas y límites. Los problemas piden calcular funciones compuestas, derivadas, pendientes de tangentes, límites laterales y determinar si funciones son continuas. Algunos problemas también presentan aplicaciones como crecimiento demográfico, ingresos por ventas y costos de administración.

1. PRUEBA DE ENSAYO<br />PROBLEMAS 1.1 PÁGINAS 9, EJERCICIOS 27, 33.<br />27. Halle la función compuesta f(gx).<br />fu=1u2, gx=x-1<br />Solución:<br />fgx=fx-1=1(x-1)2 R.<br />33. Halle el cociente incremental de f, de la forma fx+h-f(x)h.<br />fx=1x<br />Solución:<br />fx+h-f(x)h=1x+h-1xh<br /> =x-x+hxx+hh<br /> =-hxh(x+h)<br /> =-1x(x+h) R.<br />PROBLEMAS 1.2 PÁGINAS 22, EJERCICIOS 11, 15.<br />Dibuje la gráfica de la función dada. Incluya todas las intersecciones con el x y con el eje y.<br />11. fx=-x2-2x+15<br />Solución: <br />Intersección con el eje y, f0=15<br />Intersección con el eje x, fx=0 resolviendo:<br />-x2-2x+15=0<br /> x2+2x-15=0<br /> x+5x-3=0<br /> ∴ x1=-5 ∨ x2=3<br />La localización del vértice: x=-B2A=--22-1=-1, entonces y=16. <br />14916152241550249174090805002444115-61595 <br />23488651714500 <br />133921515494000 -5 -1 3<br /> <br />15. fx=x-1, si &x≤0 x+1, si &x>0<br />si x≤0<br />fx=x-1, entonces la intersección en el eje Y sería cuando:<br /> x=0->y=-1<br />fx=x-1, entonces la intersección en el eje X sería cuando:<br /> f(x)=0->x=1<br />si x>0<br />fx=x+1, entonces la intersección en el eje Y sería cuando:<br /> x=0->y=1<br />fx=x+1, entonces la intersección en el eje X sería cuando:<br /> fx=0->x=-1<br />27108151123950<br />140589014097000<br />PROBLEMAS 1.3 PÁGINAS 36, EJERCICIOS 19, 23.<br />En los siguientes problemas escriba una ecuación para la recta con las propiedades indicadas.<br />19. Pasa por (2,0) y su pendiente es 1.<br />Solución: Sea x0=2, y0=0, m=1 , entonces usando la fórmula punto-pendiente se obtiene:<br />y-y0=m(x-x0)<br />y-0=1(x-2)<br />y=x-2<br />23. Pasa por (2,5) y es paralela al eje x. <br />Solución: Sea x0=2, y0=5, m=0 (es decir, paralela al eje x) , entonces usando la fórmula punto-pendiente se obtiene:<br />y-y0=m(x-x0)<br />y-5=0(x-2)<br />y=5<br />PROBLEMAS 1.4 PÁGINAS 52, EJERCICIOS 5, 15.<br />5. INGRESOS POR VENTAS Cada unidad de ciertos artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se produce x unidades de un artículo. Si a ese pecio se venden las x unidades en su totalidad, exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. <br />Solución: Sea R(x) el ingreso total, x el número de unidades vendidas y p el precio unitario, entonces: <br />Rx=px, donde p=35x+15 (centavos)<br />Rx=35x+15x (centavos)<br />15. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO En ausencia de restricciones ambientales, la población crece a una tasa proporcional a su tamaño. Exprese la tasa de crecimiento demográfico como una función del tamaño de la población.<br />Solución: Sea x el tamaño de la población, f(x) la rapidez de crecimiento demográfico, si la población crece a una tasa proporcional a su tamaño, entonces: <br />fx=kx<br />PROBLEMAS 1.5 PÁGINAS 69, EJERCICIOS 13, 19, 23, 29, 31, 35.<br />En los siguientes problemas halle el límite indicada, si existe.<br />13. límx->13 x+1x+2=límx->13x + límx->13 1límx->13x+ límx->13 2 <br /> =13+113+2=4373=47 Resp.<br />19. límx->5 x2-3x-10x-5<br />Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces: <br />x2-3x-10x-5=(x-5)(x+2)x-5=x+2 ;x≠5<br />Luego:<br />límx->5 x2-3x-10x-5=límx->5 x+2=7 Resp. <br />23. límx->-2 x2-x-6x2+3x+2<br />Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces: <br />x2-x-6x2+3x+2=(x-3)(x+2)(x+1)(x+2)=x-3x+1 ;x≠-2<br />Luego:<br />límx->-2 x2-x-6x2+3x+2=límx->-2 x-3x+1=límx->-2(x-3)límx->-2(x+1)=-5-1=5 Resp.<br />Para los siguientes problemas halle límx->+∞fx y límx->- ∞fx. Si el valor del límite es infinito, indique si éste es +∞ o -∞.<br />29. fx=1-2xx+5<br />Solución:<br />límx->+∞fx= límx->+∞1-2xx+5<br /> =límx->+∞1-2x∙ límx->+∞x+5<br />=-∞∙+∞ <br /> =-∞<br />límx->-∞fx= límx->-∞1-2xx+5<br /> =límx->-∞1-2x∙ límx->-∞x+5<br />=+∞∙-∞ <br /> =-∞<br />31. fx=x2-2x+32x2+5x+1<br />Solución:<br />límx->+∞fx= límx->+∞x2-2x+32x2+5x+1<br /> =límx->+∞x2x2-2xx2+3x22x2x2+5xx2+1x2<br /> =límx->+∞límx->+∞1-límx->+∞2x+límx->+∞3x2límx->+∞1+límx->+∞5x+límx->+∞1x2<br /> =1-0+01+0+0=1<br />límx->-∞fx= límx->-∞x2-2x+32x2+5x+1<br /> =límx->-∞x2x2-2xx2+3x22x2x2+5xx2+1x2<br /> =límx->-∞límx->-∞1-límx->-∞2x+límx->-∞3x2límx->-∞1+límx->-∞5x+límx->-∞1x2<br /> =1-0+01+0+0=1<br />35. fx=3x2-6x+22x-9<br />Solución:<br /> límx->+∞fx= límx->+∞3x2-6x+22x-9<br /> =límx->+∞3x2x-6xx+2x2xx-9x<br /> =límx->+∞3x-límx->+∞6+límx->+∞2xlímx->+∞2-límx->+∞9x<br /> =∞-6+02-0=+∞2=+∞.<br />límx->+∞fx= límx->-∞3x2-6x+22x-9<br /> =límx->-∞3x2x-6xx+2x2xx-9x<br /> =límx->-∞3x-límx->-∞6+límx->-∞2xlímx->-∞2-límx->-∞9x<br /> =-∞-6-02-0=-∞2=-∞.<br />PROBLEMAS 1.6 PÁGINAS 80, EJERCICIOS 11, 17.<br />Halle los límites laterales. <br />11. límx->3+x+1-2x-3<br />Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces: <br />x+1-2x-3=x+1-2x+1+2x-3x+1+2<br /> =x-3x-3x+1+2<br /> =1x+1+2 ;x≠3<br />Luego:<br />límx->3+x+1-2x-3=límx->3+1x+1+2=14 Resp.<br />Decida si la función dada es continua en los valores dados para x.<br />17. fx=x+2x+1 en x=1.<br />Analizando:<br />f1=1+21+1=32<br />límx->1(x+2)(x+1) existe<br />límx->1fx=límx->1(x+2)(x+1)=límx->1(x+2)límx->1(x+1)=32=f(1)<br />Respuesta. Sí, f(x) es continua en x=1<br />PROBLEMAS 2.1 PÁGINAS 106, EJERCICIOS 7, 23.<br />Calcule la derivada de la función dada y determine la pendiente de la recta tangente a su gráfica para el valor especificado de la variable independiente.<br />7. fx= x ; x=9<br />Solución:<br />ddxx =límh->0fx+h-f(x)h<br /> =límh->0x+h-xh<br /> =límh->0(x+h-x)(x+h+x)h(x+h+x)<br /> =límh->0hh(x+h+x)<br /> =límh->01x+h+x<br /> =límh->01x+x=12x Resp.<br />23. Suponga que fx=x3.<br />Calcule la pendiente de la recta secante que une los puntos de la gráfica de f, cuyas coordenadas x son x=1 y x=1.1. <br />Utilice el cálculo para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica cuando x=1 y compare esta pendiente con la respuesta del inciso a. <br />Solución: <br />msec= fx+h-fxh<br /> =x+h3-x3h<br /> =x3+3x2h+3xh2+h3-x3h<br /> =h(3x2+3xh+h2)h<br /> msec=3x2+3xh+h2<br />Entonces:<br />Cuando x=1 y h=0.1 se obtiene:<br />msec=3(1)2+310.1+0.12=3+0.3+0.01=3.31 Resp.<br />mtag=límh->0 msec=límh->0 (3x2+3xh+h2)<br /> mtag=3x2 <br />Entonces:<br />Cuando x=1 se obtiene:<br /> mtag=3(1)2=3 Resp. <br />PROBLEMAS 2.2 PÁGINAS 118, EJERCICIOS 17, 23, 31, 41, 53, 57, 61.<br />Derive la función dada. Simplifique su respuesta.<br />17. y=1t+1t2-1t<br />Solución:<br />y=1t+1t2-1t<br /> y=t-1+t-2-t- 12<br />dydx=-1t-2+2t-3+12t- 32<br />dydx=y=-1t2-2t3+12t3 Resp.<br />23. y=-2x2+x23+12x+x24+5+x+23<br />Solución:<br />y=-2x2+x23+12x+x24+5+x+23<br />y=-2x-2+x23+12x-12+14x2+5+13x+23<br />dydx=4x-3+23x-13-14x-32+12x+0+13+0<br /> dydx=4x3+23x13-14x32+x2+13 Resp.<br />Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto especificado. <br />31. y=x2-x3+2x ;(-1,2)<br />Solución:<br />Derivando se obtiene:<br />y=x2-x3+2x<br /> y=2x3+x2-3x<br /> dydx=6x2+2x-3 ;x=-1 <br /> mtag= dydx=6(-1)2+2-1-3=1 Resp.<br />Ecuación de la recta tangente en el punto (-1,2)<br />y-y0=m(x-x0)<br /> y-2=1(x-(-1))<br /> y=x+1+2<br /> y=x+3 Resp.<br />Determine la razón de cambio de la función dada f(x) con respecto a x para el valor indicado en x=c.<br />41. fx=x-x+1x2 ;x=1<br />Solución:<br />Derivando se obtiene:<br />fx=x-x+1x2<br />fx=x-x12+x-2<br />f'x=1-12x-12-2x-3<br />f'x=1-22x-2x3<br />Cuando x=1<br />f'x=1-221-213=-32 Resp.<br />53. ADMINISTRACIÓN DE COSTOS. Una compañía usa un camión para entregar sus productos. Para calcular el costo, el gerente modela el consumo de combustible mediante la función: <br />Gx=12501200x+x<br />gal/milla, suponiendo que el camión se maneja una velocidad contante de x millas por hora para x≥5. Al chofer se le pagan $20 por hora por conducir el camión 250 millas, y la gasolina cuesta $1.90 por galón.<br />Determine la expresión para el costo total C(x) del viaje.<br />¿A qué razón estará cambiando el costo C(x) con respecto a x cuando se conduce el camión a 40 mph? ¿A esa velocidad estará disminuyendo o aumentando el costo? <br />Solución:<br />Cx=consumo de combustiblecosto de la gasolinamillas recorridas+millas recorridas∙costo por millas recorridasvelocidad<br /> Cx=G(x)∙1.9∙250+250∙20x dólares<br /> Cx=12501200x+x(1.9)(250)+5000x dólares<br /> Cx=4752501200x+x+5000x dólares<br />Cx=2280x+1.9x+5000x dólares<br /> Cx=7280x+1.9x dólares Resp.<br />La razón de cambio de C(x) con respecto a x es su derivada:<br /> Cx=7280x-1+1.9x dólares <br /> C'x=-7280x-2+1.9 ;x=40 millas por hora<br /> C'x=-728040-2+1.9 <br />C'x=-4.55+1.9= -2.65 dólares por millas por hora Resp. <br />57. INGRESOS ANUALES. Los ingresos anuales brutos de cierta compañía fueron At=0.1t2+10t+20 miles de años t años después de su formación en el año 2000.<br />a. ¿A qué razón crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía con respecto al tiempo en el año 2004?<br />b. ¿A qué razón porcentual crecieron los ingresos anuales brutos con respecto al tiempo en el año 2004?<br />Solución:<br />La razón de cambio es su derivada:<br /> At=0.1t2+10t+20 miles de dólares<br />A't=0.2t+10 ;t=2004-2000=4<br />A't=0.24+10=10800 dólares por año<br />Razón porcentual <br />A'tAt100=1080010000.142+104+20(100)<br />=108001061.6<br />=17.53% <br />61. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha proyectado que dentro de x meses la población de cierto pueblo será de Px=2x+4x32+5000.<br />a. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?<br />b. ¿A qué razón porcentual cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?<br />Solución:<br />La razón de cambio es su derivada:<br />Px=2x+4x32+5000<br />P'x=2+6x12 ;x=9<br />P'x=2+69=20 personas por mes <br />Razón porcentual <br />P'tPt100=2029+493+5000(100)<br /> =205126100=0.39%<br />PROBLEMAS 2.3 PÁGINAS 131, EJERCICIOS 9, 13, 17, 19, 31, 41, 45, 51.<br />Derive la función dada: <br />9. ft=tt2-2<br /> f't=t2-2ddtt-tddtt2-2t2-22<br /> f't=t2-21-t(2t)t2-22<br /> f't=t2-2-2t2t2-22=-(t2+2) t2-22 Resp.<br />13. fx=x2-3x+22x2+5x-1<br /> f'x=2x2+5x-1ddtx2-3x+2-(x2-3x+2)ddt2x2+5x-12x2+5x-12<br /> f'x=2x2+5x-1(2x-3)-(x2-3x+2)(4x+5)2x2+5x-12<br /> f'x=4x3+4x2-17x+3-(4x3-7x2-7x+10)2x2+5x-12<br /> f'x=11x2-10x-72x2+5x-12 Resp.<br />17. fx=2+5x2 <br /> fx=2+5x2+5x<br /> f'x=(2+5x)ddx2+5x<br /> f'x=2+5x5+(2+5x)(5)<br /> f'x=102+5x Resp.<br />19. gt=t2+t2t+5<br /> g't=2t+5ddtt2+t-(t2+t)ddt2t+52t+52<br /> g't=2t+5(2t+12t-12-(t2+t12)(2)2t+52<br /> g't=4t2+10t+t12+52t122t+52<br /> g't=4t5+20t3-2t+52t2t+52 Resp.<br />Calcule la razón de cambio dydx para el valor dado de x0.<br />31. y=x+32-4x; x0=0<br />dydx=ddxx+2-4xddx3-(3)ddx2-4x2-4x2<br /> dydx=1+122-4x2 ;x0=0<br />dydx=1+122-4(0)2=4 Resp. <br />Encuentre la segunda derivada de la función dada.<br />41. y=23x-2x+2x-16x<br /> y=23x-1-2x12+2x-16x-12<br /> dydx=-123x-2-212x-12+2-16-12x-32<br /> dydx=-23x-2-22x-12+2+112x-32<br /> d2ydx2=-23-2x-3-22-12x-32+112-32x-52<br /> d2ydx2=43x3+24x32-18x52 Resp.<br />45. VENTAS. El gerente de la joyería Many Facets modela las ventas totales mediante la función St=2000t4+0.3t donde t es el tiempo (años) desde el año 2000 y S se mide en miles de dólares.<br />a. ¿A qué razón estaban cambiando las ventas en el año 2002?<br />b. ¿Qué pasa con las ventas “a largo plazo” (es decir, cuando t->+∞)?<br />Solución:<br />La razón de cambio es su derivada:<br />St=2000t4+0.3t<br />S't=4+0.3tddt2000t-(2000t)ddx4+0.3t4+0.3t2<br />S't=4+0.3t(2000)-(2000t)(0.3)4+0.3t2<br />S't=80004+0.3t2 ;t=2002-2000=2<br />S't=80004+0.3(2)2=378.07 miles de dólares Resp. <br />Para t=+∞ las ventas se aproximan a:<br />límt->+∞St=límt->+∞2000t4+0.3t<br /> =límt->+∞2000tt4t+0.3tt<br /> =límt->+∞20004t+0.3<br /> =20000.3=6666.67 dólares Resp.<br />PROBLEMAS 2.4 PÁGINAS 143, EJERCICIOS 31, 35, 45, 57,59.<br />Derive la función dada y simplifique su respuesta.<br />31. Gx=3x+12x-1<br />Solución:<br />Gx=3x+12x-112<br />G'x=123x+12x-1-12ddx3x+12x-1<br />G'x=123x+12x-1-123x+12x-1<br />G'x=123x+12x-1-122x-13-(3x+1)(2)2x-12<br />G'x=123x+12x-1-12-52x-12<br />G'x=-523x+1-122x-1-32 Resp.<br />35. fy=3y+11-4y<br />Solución:<br />f'y=1-4y12ddt3y+1-(3y+1)ddx1-4y121-4y122<br />f'y=1-4y12(3)-(3y+1)121-4y-12(-4)1-4y122<br />f'y=31-4y12--6y-21-4y121-4y<br />f'y=31-4y+6y+21-4y121-4y<br />f'y=3-12y-6y-81-4y121-4y<br />f'y=-6y+51-4y32 Resp.<br />Encuentre todos los valores de x donde la recta tangente a y=f(x) es horizontal.<br />45. fx=x2-4x+5<br /> f'x=ddxx2-4x+512<br /> f'x=12x2-4x+5-12(2x-4)<br /> f'x=2x-42x2-4x+512<br />la recta es horizontal cuando m=f'x=0<br />0=2x-42x2-4x+512<br />2x-4=0<br />x=2 <br />Cuando x=2 entonces f2=22-42+5=1<br />Resp. La recta es horizontal en el punto (2,1).<br />57. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente Dp=4374p2 libras de café por semana cuando el precio sea p dólares por libra. También se ha estimado que dentro de t semanas, el precio del café brasileño será pt=0.02t2+0.1t+6 dólares por libra. <br />a. ¿A qué razón está cambiando la razón de la demanda de café con respecto al precio cuando el precio sea $9?<br />b. ¿A qué razón está cambiando la demanda de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? ¿En ese momento la demanda estará creciendo o decreciendo? <br />Solución: <br />La razón de cambio es su derivada:<br />Dp=4374p-2<br /> dDdp=-24374p-3<br /> dDdp=-8748p3 ;p=$9<br /> dDdp=-874893=-12 dólares por libra <br />Se desea hallar dpdt entonces:<br />dDdt=dDdp∙dpdt=ddp4374p2∙ddt0.02t2+0.1t+6<br /> =-8748p30.04t+0.1<br />Cuando t=10 semanas<br /> p10=0.02(10)2+0.1(10)+6<br /> =$9<br />Entonces: <br />dDdt=-8748(0.0410+0.1)93=-6 libras por semana<br />Resp. La demanda estará decreciendo -6 libras por semana.<br />59. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Cuando cierto artículo se vende a p dólares por unidad, los consumidores compran Dp=40000p unidades por mes. Se estima que dentro de t meses, el precio del artículo será pt=0.4t32+6.8 dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 meses a partir de este momento?<br />Solución:<br /> dDdt=dDdp∙dpdt=ddp4000p∙ddt0.4t32+6.8<br /> dDdt=-4000p20.6t12<br /> dDdt=-24000t12p2<br />El precio del artículo dentro de 4 meses sería:<br />p4=0.4(4)32+6.8=10 dólares <br />La demanda en función del tiempo sería:<br />Dt=D(0.4t32+6.8)=400000.4t32+6.8<br />Entonces: <br />La razón porcentual (cuando t=4, p=10) está dada por:<br />dDdtDt100=-24000412102400000.4432+6.8(100)<br /> =-4804000100=-12%<br />Resp. La demanda decrecerá en un 12%<br />