Definición de determinantes, desarrollo por cofactores, propiedades de los determinantes, aplicaciones de los determinantes.
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
Determinantes - álgebra lineal
1. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno DETERMINANTES
4. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Un determinante es una funci´on que asigna a una matriz cuadrada
A un n´umero real: det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
5. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Un determinante es una funci´on que asigna a una matriz cuadrada
A un n´umero real: det(A) = |A|
det : Mn×n −→ R
Martha C. Moreno DETERMINANTES
6. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Un determinante es una funci´on que asigna a una matriz cuadrada
A un n´umero real: det(A) = |A|
det : Mn×n −→ R
A −→ det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
8. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Nota
El m´etodo que utilizaremos para calcular el determinante de una
matriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular el
determinante de una matriz de tama˜no n × n debemos calcular
previamente el determinante de una matriz n − 1 × n − 1 y asi
sucesivamente hasta obtener una matriz 1 × 1.
Martha C. Moreno DETERMINANTES
9. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Nota
El m´etodo que utilizaremos para calcular el determinante de una
matriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular el
determinante de una matriz de tama˜no n × n debemos calcular
previamente el determinante de una matriz n − 1 × n − 1 y asi
sucesivamente hasta obtener una matriz 1 × 1.
Definici´on
Martha C. Moreno DETERMINANTES
10. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Nota
El m´etodo que utilizaremos para calcular el determinante de una
matriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular el
determinante de una matriz de tama˜no n × n debemos calcular
previamente el determinante de una matriz n − 1 × n − 1 y asi
sucesivamente hasta obtener una matriz 1 × 1.
Definici´on
Si la matriz A = (a11), entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
11. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Nota
El m´etodo que utilizaremos para calcular el determinante de una
matriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular el
determinante de una matriz de tama˜no n × n debemos calcular
previamente el determinante de una matriz n − 1 × n − 1 y asi
sucesivamente hasta obtener una matriz 1 × 1.
Definici´on
Si la matriz A = (a11), entonces det(A) = |A| = a11
Martha C. Moreno DETERMINANTES
14. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
15. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tama˜no n − 1 × n − 1 denominada el menor ij, y denotado por
Martha C. Moreno DETERMINANTES
16. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tama˜no n − 1 × n − 1 denominada el menor ij, y denotado por
Mij .
Martha C. Moreno DETERMINANTES
17. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tama˜no n − 1 × n − 1 denominada el menor ij, y denotado por
Mij .
Mij Se define como la matriz obtenida de A eliminando en A la fila
i y la columna j
Martha C. Moreno DETERMINANTES
29. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
30. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
31. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
32. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
33. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
Martha C. Moreno DETERMINANTES
34. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
35. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
Martha C. Moreno DETERMINANTES
36. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
37. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
38. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
39. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
Martha C. Moreno DETERMINANTES
40. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
41. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
El Cofactor ij, es un n´umero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 = (−1)2+2| − 3| = (−1)4(4) = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
43. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
44. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
45. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i, entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
46. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i, entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Martha C. Moreno DETERMINANTES
47. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i, entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Se dice que el determinante de la matriz A se desarrollo por la fila
i .
Martha C. Moreno DETERMINANTES
51. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
52. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
53. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Martha C. Moreno DETERMINANTES
54. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,
Martha C. Moreno DETERMINANTES
55. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
56. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
57. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
58. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,
Martha C. Moreno DETERMINANTES
59. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,desarrollado por la primera columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
60. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
61. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
62. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
63. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −1
3 4 2
0 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2
det(A) = 1(36 − 6) + (−3)(18 − (−3)) + 0 = 30 − 63 = −33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
65. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tama˜no 3 × 3, tambi´en
podemos encontrar un m´etodo similar al de las matrices 2 × 2
usando diagonales, este m´etodo se conoce como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
66. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tama˜no 3 × 3, tambi´en
podemos encontrar un m´etodo similar al de las matrices 2 × 2
usando diagonales, este m´etodo se conoce como: La Regla de
Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
67. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tama˜no 3 × 3, tambi´en
podemos encontrar un m´etodo similar al de las matrices 2 × 2
usando diagonales, este m´etodo se conoce como: La Regla de
Sarrus
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
68. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tama˜no 3 × 3, tambi´en
podemos encontrar un m´etodo similar al de las matrices 2 × 2
usando diagonales, este m´etodo se conoce como: La Regla de
Sarrus
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
El m´etodo consiste en repetir las dos primeras columnas a
continuaci´on de la ´ultima para formar diagonales de tres elementos:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
75. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
76. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
77. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
78. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
79. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
80. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
81. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
82. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
83. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) = αdet(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
84. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tama˜no n × n y α ∈ R, entonces
det(αA) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
85. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tama˜no n × n y α ∈ R, entonces
det(αA) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
86. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tama˜no n × n y α ∈ R, entonces
det(αA) = αndet(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
87. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
88. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
89. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
90. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
91. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
92. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
93. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son m´ultiplos escalares, entonces
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
94. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son m´ultiplos escalares, entonces
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
95. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son m´ultiplos escalares, entonces
det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
100. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
101. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
102. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72
Martha C. Moreno DETERMINANTES
103. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqu´e?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
104. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqu´e?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
105. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqu´e?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
= −6
Martha C. Moreno DETERMINANTES
106. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqu´e?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqu´e?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
= −6 ¿Porqu´e?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
113. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18 ¿Porqu´e?
a d g
c f i
b e h
=6 ¿Porqu´e?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
127. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
128. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
129. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
130. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
131. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
132. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
133. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Martha C. Moreno DETERMINANTES
134. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
135. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
136. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ´o inferior ´o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces det(A−1) = 1
det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
142. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
Martha C. Moreno DETERMINANTES
143. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
144. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
Martha C. Moreno DETERMINANTES
145. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
146. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
147. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
Martha C. Moreno DETERMINANTES
148. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o tambi´en:
det((2A)−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
149. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o tambi´en:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
Martha C. Moreno DETERMINANTES
150. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o tambi´en:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
151. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o tambi´en:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =det(2A) = 23(−7) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
152. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o tambi´en:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =det(2A) = 23(−7) = − 56
Martha C. Moreno DETERMINANTES
155. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
156. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
157. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisim´etrica, enonces:det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
158. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisim´etrica, enonces:det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada n × n, enonces:det(αA) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
161. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y s´olo si det(A) = 0
Definici´on
Martha C. Moreno DETERMINANTES
162. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y s´olo si det(A) = 0
Definici´on
Sea A = (aij ), una matriz cuadrada
C =
c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
. . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 · · · cnn
se denomina la matriz de cofactores de A
Martha C. Moreno DETERMINANTES
163. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A = (aij ) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
164. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A = (aij ) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = Ct
Martha C. Moreno DETERMINANTES
165. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Definici´on
Sea A = (aij ) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = Ct
Proposici´on
Sean A = (aij ) matriz cuadrada y A la matriz obtenida de A
cambiando la fila i por la fila j, entonces:
aj1ci1 + aj2ci2 + . . . + ajncin = 0, si i = j
Martha C. Moreno DETERMINANTES
173. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Teorema
A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In
Demostraci´on
Sea B = (bij ) = A · adj(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
176. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Demostraci´on-Continuaci´on
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1
cj2
...
cjn
Martha C. Moreno DETERMINANTES
177. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Demostraci´on-Continuaci´on
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1
cj2
...
cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . . + aincjn
Martha C. Moreno DETERMINANTES
178. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Demostraci´on-Continuaci´on
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1
cj2
...
cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . . + aincjn
bij =
det(A), si i = j
Martha C. Moreno DETERMINANTES
179. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Demostraci´on-Continuaci´on
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1
cj2
...
cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . . + aincjn
bij =
det(A), si i = j
0, si i = j
Martha C. Moreno DETERMINANTES
181. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
Matriz inversa
Del teorema anterior se tiene que si A es no singular, entonces:
A−1 = 1
det(A) adj(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
185. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene ´unica soluci´on
Martha C. Moreno DETERMINANTES
186. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene ´unica soluci´on
X = A−1B
Martha C. Moreno DETERMINANTES
187. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene ´unica soluci´on
X = A−1B
X = 1
det(A) adj(A)B
Martha C. Moreno DETERMINANTES
188. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene ´unica soluci´on
X = A−1B
X = 1
det(A) adj(A)B
X = 1
det(A)
c11 c21 · · · cj1 · · · cn1
. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni
. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn
B
Martha C. Moreno DETERMINANTES
193. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
xi = 1
det(A) [c1i b1 + c2i b2 + . . . + cni bn]
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
194. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
xi = 1
det(A) [c1i b1 + c2i b2 + . . . + cni bn]
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
195. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
xi = 1
det(A) [c1i b1 + c2i b2 + . . . + cni bn]
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi = det(Ai )
det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
196. Definici´on
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
xi = 1
det(A) [c1i b1 + c2i b2 + . . . + cni bn]
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi = det(Ai )
det(A)
Donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando la
columna i por B
Martha C. Moreno DETERMINANTES