Determinantes - álgebra lineal

Definición
Desarrollo por Cofactores
Propiedades de los Determinantes
Aplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno DETERMINANTES

Deﬁnici´on
Aplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno

Definición
Aplicaciones
Definición

Definición
Aplicaciones
Definición
Un determinante es una función que asigna a una matriz cuadrada
A un número real: det(A) = |A|

Definición
Aplicaciones
Definición
det : Mn×n −→ R

Definición
Aplicaciones
Definición
det : Mn×n −→ R
A −→ det(A) = |A|

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Nota

Definición
Aplicaciones
Nota
El método que utilizaremos para calcular el determinante de una
matriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular el
determinante de una matriz de tamaño n × n debemos calcular
previamente el determinante de una matriz n − 1 × n − 1 y asi
sucesivamente hasta obtener una matriz 1 × 1.

Definición
Aplicaciones
Nota
Definición

Definición
Aplicaciones
Nota
Definición
Si la matriz A = (a11), entonces

Definición
Aplicaciones
Nota
Definición
Si la matriz A = (a11), entonces det(A) = |A| = a11

Definición
Aplicaciones
Definición
Sea A una matriz cuadrada de tamaño n × n

Definición
Aplicaciones
Definición
A =








a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann









Definición
Aplicaciones
Definición
A =








a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann








a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamaño n − 1 × n − 1 denominada el menor ij, y denotado por

Definición
Aplicaciones
Definición
A =








a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann








Mij .

Definición
Aplicaciones
Definición
A =








a11 a12 . . . a1j . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann








Mij .
Mij Se define como la matriz obtenida de A eliminando en A la fila
i y la columna j

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Mij =










a11 . . . a1j−1 a1j+1 . . . a1n
...
...
...
...
...
...
ai−11 . . . ai−1j−1 ai−1j+1 . . . ai−1n
ai+11 . . . ai+1j−1 ai+1j+1 . . . ai+1n
...
...
...
...
...
...
an1 . . . anj−1 anj+1 . . . ann










n−1×n−1

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2



Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =
5 10
4 2

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =
5 10
4 2
M32 =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =
5 10
4 2
M32 =
2 3
4 10

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =
5 10
4 2
M32 =
2 3
4 10
M21 =?

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A =


2 −1 3
4 5 10
0 4 2


Entonces:
M11 =
5 10
4 2
M32 =
2 3
4 10
M21 =? M33 =?

Definición
Aplicaciones
Definición
El Cofactor ij, es un número que se asocia a cada componente de
la matriz A:

Definición
Aplicaciones
Definición
la matriz A: Cij , y se define como:

Definición
Aplicaciones
Definición
Cij = (−1)i+j det(Mij ) = (−1)i+j |Mij|

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 =

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 =

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 =

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 =

Definición
Aplicaciones
Definición
Ejemplo
Sea A =
4 8
−2 −3
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 = (−1)2+2| − 3| = (−1)4(4) = 4

Deﬁnici´on
Aplicaciones

Definición
Aplicaciones
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una fila
o columna:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
o columna:
A =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann









Definición
Aplicaciones
o columna:
A =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .








Supongamos que seleccionamos la fila i, entonces:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
o columna:
A =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .








detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin

Definición
Aplicaciones
o columna:
A =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .








detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Se dice que el determinante de la matriz A se desarrollo por la fila
i .

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
,si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A|

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

,

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

,desarrollado por la primera columna:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

det(A) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2
det(A) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Sea A =
a b
c d
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d| + b(−1)1+2|c| = ad − bc
Si A =
4 8
−2 −3
,entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =


1 2 −1
3 4 2
0 3 9

det(A) =
1(−1)1+1 4 2
3 9
+ 3(−1)2+1 2 −1
3 9
+ 0(−1)3+1 2 −1
4 2
det(A) = 1(36 − 6) + (−3)(18 − (−3)) + 0 = 30 − 63 = −33

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Regla de Sarrus

Definición
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamaño 3 × 3, también
podemos encontrar un método similar al de las matrices 2 × 2
usando diagonales, este método se conoce como:

Definición
Aplicaciones
Regla de Sarrus
usando diagonales, este método se conoce como: La Regla de
Sarrus

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Sarrus
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



Definición
Aplicaciones
Regla de Sarrus
Sarrus
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


El método consiste en repetir las dos primeras columnas a
continuación de la última para formar diagonales de tres elementos:

Deﬁnici´on
Aplicaciones

Deﬁnici´on
Aplicaciones
det(A) = det(At)

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o dos
columnas, entonces det(B) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
det(A) = det(At)
columnas, entonces det(B) = − det(A)

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila o
columna por α = 0, entonces det(B) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
det(A) = det(At)
columna por α = 0, entonces det(B) = αdet(A)

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si A es de tamaño n × n y α ∈ R, entonces
det(αA) =

Definición
Aplicaciones
det(A) = det(At)
Si A es de tamaño n × n y α ∈ R, entonces
det(αA) = αndet(A)

Definición
Aplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila o
columna por la suma de ella con otra, entonces
det(B) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
det(B) = det(A)

Definición
Aplicaciones
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =

Definición
Aplicaciones
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0

Definición
Aplicaciones
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son múltiplos escalares, entonces
det(A) =

Definición
Aplicaciones
det(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son múltiplos escalares, entonces
det(A) = 0

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqué?

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqué?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqué?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
= −6

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= −6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=−6 ¿Porqué?
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
=72 ¿Porqué?
a + g b + h c + i
d e f
g h i
= −6 ¿Porqué?

Deﬁnici´on
Aplicaciones

Deﬁnici´on
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
=

Deﬁnici´on
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18

Definición
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18 ¿Porqué?

Definición
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18 ¿Porqué?
a d g
c f i
b e h
=

Definición
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18 ¿Porqué?
a d g
c f i
b e h
=6

Definición
Aplicaciones
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h − 4e i − 4f
= 18 ¿Porqué?
a d g
c f i
b e h
=6 ¿Porqué?

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=
0 −1 1 −6
0 3 −2 −1
1 3 −2 2
0 −3 2 5
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=
0 −1 1 −6
0 3 −2 −1
1 3 −2 2
0 −3 2 5
=
1(−1)4
−1 1 6
3 −2 −1
−3 2 5
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=
0 −1 1 −6
0 3 −2 −1
1 3 −2 2
0 −3 2 5
=
1(−1)4
−1 1 6
3 −2 −1
−3 2 5
=
−1 0 0
3 1 −19
−3 −1 23
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=
0 −1 1 −6
0 3 −2 −1
1 3 −2 2
0 −3 2 5
=
1(−1)4
−1 1 6
3 −2 −1
−3 2 5
=
−1 0 0
3 1 −19
−3 −1 23
=
(−1)(−1)2 1 −19
−1 23
=

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
2 −1 4 8
5 6 10 3
2 1 4 −3
10 3 20 8
=0 ¿Porqué?
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
=
0 −1 1 −6
0 3 −2 −1
1 3 −2 2
0 −3 2 5
=
1(−1)4
−1 1 6
3 −2 −1
−3 2 5
=
−1 0 0
3 1 −19
−3 −1 23
=
(−1)(−1)2 1 −19
−1 23
=−(23 − 19) = −4

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades

Definición
Aplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior ó inferior ó diagonal, entonces

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann

Definición
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces:
det(AB) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
det(AB) = det(A)det(B)

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
det(An) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
det(An) = (det(A))n

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Propiedades
det(A) = a11a22.....ann
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces det(A−1) = 1
det(A)

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o también:
det((2A)−1) =

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o también:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o también:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o también:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =det(2A) = 23(−7) =

Definición
Aplicaciones
Ejemplo
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1
−7 = −1
7
det(2A−1) = 23 −1
7 = −8
7
det((2A)−1) =det(1
2A−1) =(1
2 )3 −1
7 = −1
56
o también:
det((2A)−1) = 1
det(2A) = 1
23det(A)
= −1
56
det(A + A) =det(2A) = 23(−7) = − 56

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejercicio

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?

Definición
Aplicaciones
Ejercicio
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimétrica, enonces:det(A) =?

Definición
Aplicaciones
Ejercicio
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimétrica, enonces:det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada n × n, enonces:det(αA) =?

Deﬁnici´on
Aplicaciones
INVERSA DE UNA MATRIZ

Definición
Aplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y sólo si det(A) = 0

Definición
Aplicaciones
Teorema
Definición

Definición
Aplicaciones
Teorema
Definición
Sea A = (aij ), una matriz cuadrada
C =




c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
. . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 · · · cnn




se denomina la matriz de cofactores de A

Definición
Aplicaciones
Definición
Sea A = (aij ) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:

Definición
Aplicaciones
Definición
Es decir:
adj(A) = Ct

Definición
Aplicaciones
Definición
Es decir:
adj(A) = Ct
Proposición
Sean A = (aij ) matriz cuadrada y A la matriz obtenida de A
cambiando la fila i por la fila j, entonces:
aj1ci1 + aj2ci2 + . . . + ajncin = 0, si i = j

Definición
Aplicaciones
Demostración
A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn
. . . . . . . . . . . .










A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .











Definición
Aplicaciones
Demostración
A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










det(A) =

Definición
Aplicaciones
Demostración
A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










det(A) = 0

Definición
Aplicaciones
Demostración
A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ... + ajncin,

Definición
Aplicaciones
Demostración
A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










A =










a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .










det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ... + ajncin, para i = j

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Teorema

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Teorema
A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In

Definición
Aplicaciones
Teorema
Demostración
Sea B = (bij ) = A · adj(A)

Definición
Aplicaciones
Teorema
Demostración
Sea B = (bij ) = A · adj(A)
B =






a11 a12 · · · a1n
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .












c11 c21 · · · cj1 · · · cn1
. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni
. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn







Definición
Aplicaciones
Demostración-Continuación

Deﬁnici´on
Aplicaciones
bij = (ai1 ai2 · · · ain)





cj1
cj2
...
cjn






Deﬁnici´on
Aplicaciones





cj1
cj2
...
cjn





bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . . + aincjn

Deﬁnici´on
Aplicaciones





cj1
cj2
...
cjn





bij =
det(A), si i = j

Deﬁnici´on
Aplicaciones





cj1
cj2
...
cjn





bij =
det(A), si i = j
0, si i = j

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Matriz inversa

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Matriz inversa
Del teorema anterior se tiene que si A es no singular, entonces:
A−1 = 1
det(A) adj(A)

Deﬁnici´on
Aplicaciones
REGLA DE CRAMER

Deﬁnici´on
Aplicaciones
Consideremos el sistema:
a11x1 + a12x2 + ....... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ....... + a2nxn = b2
.....
....
an1x1 + an2x2 + ....... + annxn = bn

Definición
Aplicaciones
En forma simplificada:
AX = B

Definición
Aplicaciones
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene única solución

Deﬁnici´on
Aplicaciones
AX = B
X = A−1B

Deﬁnici´on
Aplicaciones
AX = B
X = A−1B
X = 1
det(A) adj(A)B

Deﬁnici´on
Aplicaciones
AX = B
X = A−1B
X = 1
det(A) adj(A)B
X = 1
det(A)






c11 c21 · · · cj1 · · · cn1
. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni
. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn






B

Deﬁnici´on
Aplicaciones





x1
x2
...
xn





= 1
det(A)






c11 c21 · · · cj1 · · · cn1
. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni
. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn











b1
b2
...
bn






Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
det(A) [c1i b1 + c2i b2 + . . . + cni bn]

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
xi = 1
det(A)

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi =

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi = det(Ai )
det(A)

Deﬁnici´on
Aplicaciones
xi = 1
xi = 1
det(A)
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
a21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
xi = det(Ai )
det(A)
Donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando la
columna i por B

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