La diagonalización de endomorfismos pasa por buscar de todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, aquella que tiene una matriz asociada en forma diagonal.
Archivo realizado en Microsoft Power Point para la enseñanza de las desigualdas e Inecuaciones en el Colegio Inmaculado de María de la Localidad de Bosa. Diseñado por Janneth Galindo
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
-Generalidades del álgebra vectorial.
- Ecuaciones paramétricas.
- Gráfica de ecuaciones paramétricas.
- Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.
- Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
Los espacios vectoriales son el elemento fundamental del álgebra. Gracias a ellos podemos trabajar con polinomios, vectores, funciones desde un punto de visto del álgebra y realizar combinaciones lineales, calcular bases, subespecios etc...
Archivo realizado en Microsoft Power Point para la enseñanza de las desigualdas e Inecuaciones en el Colegio Inmaculado de María de la Localidad de Bosa. Diseñado por Janneth Galindo
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
-Generalidades del álgebra vectorial.
- Ecuaciones paramétricas.
- Gráfica de ecuaciones paramétricas.
- Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.
- Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
Los espacios vectoriales son el elemento fundamental del álgebra. Gracias a ellos podemos trabajar con polinomios, vectores, funciones desde un punto de visto del álgebra y realizar combinaciones lineales, calcular bases, subespecios etc...
Las matrices son los elementos básicos de estudio en el álgebra lineal. Toda la teoría de espacios vectoriales y diagonalización de endomorfismos parte de una buena base en el estudio del cálculo matricula
Las aplicaciones lineales es la forma que tenemos de relacionar espacios vectoriales entre si. Hay muchos espacios vectoriales que se asemejan ente si y por ello es importante obtener una aplicación lineal entre el primero y el segundo.
Los vectores nos ayudan a diagonalizar matrices y a trabajar con bases de un espacio vectorial. Vamos a repasar las operaciones básicas entre vectores como producto escalar, vectorial, distancias, ángulos...
Definición de determinantes, desarrollo por cofactores, propiedades de los determinantes, aplicaciones de los determinantes.
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Los grafos son unas herramientas indispensables y muy útiles en el mundo de las matemáticas. Vamos a ver su origen con los puentes de Koenigsberg, su definición formal de forma geométrica y de forma algebraica y cómo trabajar con algunos de los resultados clásicos más importantes de la teoría de grafos
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales
Vamos a ver una introducción al mundo de los videojuegos en 3D y en particular del software de desarrollo de Unity para crear juegos tanto indie como AAA
Vamos a dar un repaso a cómo se encuentra actualmente el sector de las apps y los videojuegos y cómo emprender un negocio online en él. Hablaremos del marketing, los KPIs, la emprendeduría, el desarrollo, la gestión, la difusión...
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We'll learn a few basic rules to drive a good game design and engage, retain and entertain our costumers. We'll see some of the basic steps a good Game Designer muy think about when creating a good game, learn from the mistakes of the old companies and become a new trend on the video games market places. We'll focus on the gameplay and game mechanics, buy we will for sure give a little overview about the art, the audio, look & feel, storyline and characters
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Let's learn how a Video Games Studio is structured, from the developers to the designers, from the artists to the marketing team. We'll also cover different roles and functions for each of the members of the studio and how work is distributed among them.
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El lenguaje SQL es el lenguaje de operación de las bases de datos. En esta presentación veremos las bases de creación, inserción, borrado y consulta de las bases de datos estándar.
Un buen resumen para alumnos de asignaturas de Bases de datos.
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Un breve repaso por la industria de los videojuegos desde sus inicios para entender mejor los roles de los diferentes departamentos y el paso de juego como producto a juego como servicio.
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Evolución histórica a través de las consolas de las diferentes generaciones. Veremos en esta presentación como la jugabilidad ha perdido peso en pro de los gráficos y las animaciones por ordenador
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Apunts sobre el càlcul de matrius, sistemes d'equacions lineals i determinants. Inclou total la teoria per a un primer grau d'enginyeria aixi com exercicis i exemples resolts per facilitar la comprensió als estudiants d'assignatures relacionades amb el món de l'algebra lineal.
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Apunts relacionats amb vectors, operacions amb vectors, combinacions lineals, mòduls, distàncies, àngles, producte escalar, producte vectorial i producte mixt de vectors. Inclou tota la teoria per a un primer grau d’enginyeria així com exercicis i exemples resolts per facilitar la comprensió als estudiants d’assignatures relacionades amb el món de l’àlgebra lineal.
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A lot of people is intrigued by the evolution of gaming, but more than tat it is just as intriguing to reflect the evolution of video games monetization.
So, let’s take a look at all the creative ways video game developers monetised their games over the years!
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En la gran mayoría de empresas con negocios online, es muy importante analizar el comportamiento de los usuarios con el objetivo de mejorar el producto a lo largo del tiempo: e-commerce, vídeo juegos, blogs... nadie se libra de ellos. Una de las técnicas más conocidas en este mundo, es la conocida con el nombre de test A/B donde dos versiones (A y B respectivamente) son comparadas. Veremos en esta presentación como ejecutar y analizar correctamente un test AB con conocimientos estadísticos.
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Charla de Mallorca Game 2015 celebrada en la EDIB sobre como enganchar al usuario en los videojuegos (no necesariamente F2P).
En esta charla, se recorre el panorama de los últimos años en el mundo de los videojuegos observando técnicas que tanto indies como juegos triple A han utilizado para mantener al jugador pegado al monitor.
Juegos como Metal Gear Solid, Resident Evil, Candy Crush, Pocket Mine han atrapado a los usuarios. Antes solo una minoría podía acceder a los juegos, ahora casi cualquier persona los ha probado. El cambio de paradigma ha provocado un cambio en las estrategias de Engagement que vamos a recorrer en esta presentación de una hora.
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IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Tema 5 Álgebra Lineal: Diagonalización de endomorfismos
1. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on de endomorfismos
Estudios de Ingenier´ıa
Juan Gabriel Gomila
Frogames
juangabriel@frogames.es
10 de febrero de 2016
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
2. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
´Indice
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
3. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
4. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Introducci´on
Antes de entrar matem´aticamente en el tema de la diagonalizaci´on
de matrices cuadradas, se expondr´an algunas de las aplicaciones
que tienen las matrices diagonales.
Recu´erdese que una matriz diagonal es una matriz cuadrada que
tiene ceros en todos los elementos fuera de su diagonal principal.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
5. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Introducci´on
La factoritzaci´on de una matriz dada A en funci´on de otra matriz
diagonal D permite resolver problemas de an´alisis y estudio de los
sistemas el´ectricos, vibraciones, econom´ıa, etc´etera, que suelen
venir modelizados por ecuaciones diferenciales y en derivadas
parciales.
En esta factorizaci´on juegan un papel muy importante unos
escalares denominados valores propios y unos tipos especiales de
vectores denominados vectores propios
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
6. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Introducci´on
Un tipo de aplicaci´on de la diagonalizaci´on de matrices se
encuentra en el an´alisis de la soluci´on de un sistema din´amico a lo
largo del tiempo.
Un sistema se caracteriza por el estado de un conjunto de n
variables que lo determinan. Este conjunto se puede expresar como
un vector de Rn las componentes del cual expresan los valores de
estas variables
(x1, x2, · · · , xn)
Si el estado evoluciona a lo largo del tiempo modificando su valor a
cada periodo (cada hora, d´ıa, mes,...) es muy com´un que la
relaci´on entre los estados del sistema se presenten de forma
recursiva:
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
7. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Introducci´on
Xp+1 = A · Xp, donde A es una matriz cuadrada de orden n
Xp representa el estado del sistema en el periodo p
Xp+1 representa el estado del sistema en el periodo siguiente
p + 1
Entonces, basta con conocer el estado en el periodo inicial X0
(estado inicial del sistema) para poder calcular el estado del
sistema en cualquier periodo.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
8. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Introducci´on
En efecto, si se conoce el estado inicial X0, se puede conocer:
X1 = A · X0
X2 = A · X1 = A · (A · X0) = A2
· X0
· · ·
Xm = Am
· X0
Por tanto, para conocer el estado del sistema en el periodo m es
necesario el c´alculo de la matriz Am. Este c´alculo, como ya se
habr´a imaginado, es bastante complicado y es dif´ıcil no
equivocarse. En cambio se simplifica bastante en el caso de que A
sea diagonalizable (como se recordar´a del Tema 1 de matrices).
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
9. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
10. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Matrices semejantes
Matrices semejantes
Dos matrices A y A son semejantes si existe una matriz P
cuadrada invertible (con |P| = 0) tal que A = P−1 · A · P
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
11. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Matrices semejantes
Pi´ensese que todas las matrices semejantes constituyen las diversas
representaciones anal´ıticas de un mismo endomorfismo f de un
espacio vectorial E de dimensi´on n en diferentes bases de E.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
12. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Matrices semejantes
As´ı se plantea el problema de buscar la base de E en la cual f se
presenta de la forma m´as sencilla posible. Debido a las
caracter´ısticas tan buenas que presentan las matrices diagonales, se
intenta encontrar una base de E en la cual f est´e representada por
una matriz diagonal, es decir, dada una matriz A en una base
cualquiera, se va a buscar una matriz diagonal semejante a ella.
Este proceso recibir´a el nombre de diagonalizar la matriz o el
endomorfismo.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
13. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Matrices diagonalizables
Matriz diagonalizable
Una matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz D; es
decir, si existe una matriz P regular tal que D = P−1 · A · P.
No siempre es posible. Habr´a que estudiar en qu´e condiciones
existe una matriz as´ı y respecto de qu´e base representar´a el
endomorfismo.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
14. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
15. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
16. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Matrices diagonalizables
La teor´ıa que se ver´a a continuaci´on est´a pensada para conseguir
llegar a diagonalizar una matriz, pero no se ha de olvidar que esta
matriz realmente representa un cierto endomorfismo en una
determinada base.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
17. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Vectores propios
Vector propio (o autovector)
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n de tama˜no n los vectores
columnas de la cual pertenecen a un espacio vectorial E de
dimensi´on n, un elemento x ∈ E es un vector propio de A si:
1 x = 0 no es el vector nulo
2 Existe un escalar λ ∈ R tal que verifica A · x = λx
Geom´etricamente, un vector propio x es aquel que tiene la mismas
direcci´on que el vector A · x transformado por la matriz A.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
18. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Vectorer propios
Ejercicio 1
Demu´estrese que x = (2, −1) es un vector propio de la matriz
B =
4 4
1 4
.
Resulta que x ser´a un vector propio de la matriz si se cumple que
B · x = λx para alg´un escalar λ.
4 4
1 4
2
−1
=
4
−2
Y como el vector (4, −2) resulta ser 2(2, −1), se dir´a B · x = 2x,
entonces x es un vector propio de B.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
19. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Valores propios
Valor propio (o autovalor)
El escalar λ de la definici´on anterior se denomina valor propio
asociado al vector propio x. El conjunto de todos los vectores que
satisfacen la relaci´on A · x = λx reciben el nombre de conjunto de
vectores propios asociados al valor propio λ.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
20. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
21. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Se parte de la ecuaci´on matricial anterior:
A · x = λx
Que tambi´en se puede expresar como:
A · x − λx = 0
O bien:
(A − λI) · x = 0
Esta ecuaci´on representa un sistema homog´eneo de n ecuaciones
y n inc´ognitas, con matriz de coeficientes A − λI
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
22. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Si este sistema de ecuaciones de Cramer (n ecuaciones, n
inc´ognitas, de rango n con |A − λI| = 0) es compatible y
determinado, su ´unica soluci´on ser´a la soluci´on trivial x = 0.
Si en cambio el sistema ha de tener soluciones diferentes de la
soluci´on trivial, entonces el determinante de A − λI ha de ser cero:
|A − λI| = 0
Es decir, existir´an vectores propios de la matriz, ´unicamente en el
caso en que |A − λI| = 0.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
23. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Ejercicio 2
¿Tiene vectores propios la matriz A?
4 −1 6
2 1 6
2 −1 8
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
24. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Se construye la matriz A − λI:
4 − λ −1 6
2 1 − λ 6
2 −1 8 − λ
Se calcular´a el determinante:
|A − λI| = (9 − λ)(2 − λ)2
Por tanto el determinante es nulo para los valores de λ ∈ {2, 9}.
Estos ser´an los dos valores propios de la matriz.
Los vectores x que verifiquen (A − 2I) · x = 0 ser´an los
vectores propios asociados al propio λ1 = 2.
Los vectores x que verifiquen (A − 9I) · x = 0 ser´an los
vectores propios asociados al valor propio λ2 = 9.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
25. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
En el ejercicio que se acaba de hacer, se ha visto que el resultado
de desarrollar el determinante |A − λI| es un polinomio en la
variable λ.
Polinomio caracter´ıstico de la matriz A
El polinomio caracter´ıstico de una matriz A es el polinomio de
grado n que surge al calcular el determinante |A − λI|.
Ecuaci´on caracter´ıstica de una matriz A
La ecuaci´on caracter´ıstica de una matriz A es la que se obtiene al
igualar su polinomio caracter´ıstico a cero: |A − λI| = 0.
Las n soluciones de esta ecuaci´on son los valores propios de la
matriz.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
26. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Cuando la ecuaci´on caracter´ıstica es de grado n, tiene exactamente
n soluciones, no necesariamente diferentes entre ellas. Por tanto, es
conveniente acompa˜nar cada ra´ız del polinomio del n´umero de
veces que esta es repetida.
Multiplicidad algebraica de los valores propios
Dado un valor propio λi de una matriz caracter´ıstica A − λI, se
denomina multiplicidad algebraica de λi al n´umero de veces que
aparece como soluci´on de la ecuaci´on caracter´ıtica.
En el ejercicio anterior, el polinomio caracter´ıstico era
(9 − λ)(2 − λ)2, por tanto:
El valor propio λ1 = 2 tiene multiplicidad algebraica 2
El valor propio λ2 = 9 tiene multiplicidad algebraica 1
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27. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Ejercicio 3
Calc´ulense los autovalores de la matriz:
A =
1 1 0
1 −1 −1
0 2 1
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28. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
A − λI =
1 − λ 1 0
1 −1 − λ −1
0 2 1 − λ
El polinomio caracter´ıstico es λ2(1 − λ).
La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2(1 − λ) = 0.
Los valores propios son λ1 = 0 con multiplicidad algebraica 2,
y λ2 = 1 con multiplicidad algebraica algebraica 1.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
29. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Una vez se han calculado todos los valores propios tocar´a calcular
el conjunto de vectores propios asociados a cada valor propio. Para
ello se resolver´a para cada valor propio λi el sistema homog´eneo
siguiente:
(A − λi I) · x = 0
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
30. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Ejericio 4
Calc´ulense los vectores propios de la matriz:
A =
2 −2 1
2 −8 −2
1 2 2
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31. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
A − λI =
2 − λ −2 1
2 −8 − λ −2
1 2 2 − λ
Los valores propios son λ1 = 0, λ2 = 3, λ3 = −7 con multiplicidad
algebraica 1 los tres.
Los vectores propios x asociados al valor propio λ1 = 0 son
los que cumplen (A − 0I) · x = 0.
Los vectores propios x asociados al valor propio λ2 = 3 son
los que cumplen (A − 3I) · x = 0.
Los vectores propios x asociados al valor propio λ3 = −7 son
los que cumplen (A + 7I) · x = 0.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
32. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Para λ1 = 0:
(A − 0I) · x = 0
Tiene por soluci´on la familia de vectores:
(−z, −z/2, z)
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33. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Para λ2 = 3:
(A − 2I) · x = 0
Tiene por soluci´on la familia de vectores:
(z, 0, z)
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34. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Para λ3 = −7:
(A + 7I) · x = 0
Tiene por soluci´on la familia de vectores:
(−z, −4z, z)
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35. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
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36. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Se puede demostrar que:
Si x, x son dos vectores propios cualesquiera de la matriz A
asociada al mismo valor propio λ, entonces su suma x + x
tambi´en es un vector propio de A asociado al mismo valor
propio λ.
Si x es un vector propio de la matriz A asociada al valor
propio λ, tambi´en lo es cualquier otro vector de la forma µx
donde µ es un escalar no nulo.
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37. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
T´engase en cuenta el teorema de caracterizaci´on del subespacio (la
suma de dos vectores del subconjunto pertenece al subconjunto, y
el producto de un escalar por un vector del subconjunto es del
subconjunto):
Subespacio propio asociado a un valor propio
Los conjuntos de los vectores propios asociados al mismo valor
propio λ junto con el vector 0, constituyen un subespacio vectorial
de E denominado subespacio propio asociado al valor propio λ.
Multiplicidad geom´etrica de un valor propio
La multiplicidad geom´etrica de un valor propio λi es la dimensi´on
de su subespacio propio asociado.
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38. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Ejercicio 5
Dada la matriz:
A =
4 1 1
1 4 1
1 1 4
Encu´entrense los autovalores, y los subespacios propios asociados a
cada uno de ellos.
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39. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
A − λI =
4 − λ 1 1
1 4 − λ 1
1 1 4 − λ
El polinomio caracter´ıstico es |A − λI| = (3 − λ)2(6 − λ), que tiene
el autovalor λ1 = 3 con multiplicidad algebraica 2 y el autovalor
λ2 = 6 con multiplicidad algebraica 1.
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40. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Los vectores propios x asociados al valor propio λ1 = 3 son los que
cumplen (A − 3I)x = 0
A − 3I =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Entonces, (A − 3I)x = 0 dar´a la misma ecuaci´on tres veces, un SCI
con dos grados de libertad:
x + y + z = 0 ⇒ x = −y − z
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41. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
El subespacio propio asociado a λ1 = 3 ser´a:
H1 = (x, y, z) = (−y − z, y, z) = (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)
Como son dos vectores no proporcionales, son LI y por tanto son
una base de H1, donde dim H1 = 2
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42. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Los vectores propios x asociados al valor propio λ1 = 6 son los que
cumplen (A − 6I)x = 0
A − 6I =
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
Entonces, (A − 6I)x = 0 dar´a dos ecuaciones diferentes, un SCI
con un grado de libertad:
x = y = z
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43. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
El subespacio propio asociado a λ2 = 6 ser´a:
H2 = (x, y, z) = (x, x, x) = (1, 1, 1)
Como solo se tiene un vector no nulo, es LI y por tanto es una
base de H2, donde dim H2 = 1
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44. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
45. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades
La suma de los n valores propios de una matriz es igual a su
traza.
Los valores propios de una matriz y de su transpuesta
coinciden.
El product de los n valores propios de una matriz es igual al
de su determinante.
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46. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades
Dos matrices tienen la misma ecuaci´on caracter´ıstica, y por
tanto los mismos valores propios con el mismo grado de
multiplicidad.
Una matriz triangular tiene como valores propios los
elementos de la diagonal principal.
A valores propios diferentes les corresponden vectores propios
linealmente independientes.
Un mismo vector propio no puede estar asociado a dos valores
propios diferentes.
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47. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades de los valores y vectores propios
Teorema
La dimensi´on del subespacio propio Hi asociado al valor propio λi
es mayor o igual que 1 y menor o igual que el orden multiplicidad
(o multiplicidad algebraica), ni del valor propio.
1 ≤ dim(Hi ) ≤ ni
Corolario
Si la multiplicidad algebraica del valor propio es 1 (ni = 1), la
dimensi´on del correspondiente subespacio propio (multiplicidad
geom´etrica) ser´a tambi´en 1:
1 ≤ dim(Hi ) ≤ ni = 1 ⇒ dim(Hi ) = 1
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48. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Definiciones
C´alculo de los valores y de los vectores propios
Subespacio propio asociado a un valor propio
Propiedades de los valores y vectores propios
Propiedades de los valores y vectores propios
Teorema
Dados λ1, λ2, · · · , λr , valores propios diferentes de la matriz
A ∈ Mn×n(R) y u1, u2, · · · , ur los vectores propios asociados a ella,
entonces u1, u2, · · · , ur son linalmente independentes.
Teorema
Si la matriz A ∈ Mn×n(R) formada por vectores de un espacio
vectorial E tiene n valores propios, tambi´en tendr´a n vectores
propios que ser´an linealmente independientes: u1, u2, · · · , un.
Adem´as, como n vectores LI de un espacio de dimensi´on finita n
son base, u1, u2, · · · , un ser´an una base de E.
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49. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
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50. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Definici´on
Recu´erdese el comentario que se ha hecho sobre que una matriz A
es diagonalizable si existe una matriz D diagonal semejante a ella.
A y D son semejantes si se peude establecer entre ellas una
igualdad D = Q−1 · A · Q, donde Q es una matriz regular.
Teorema
Una matriz A ∈ Mn×n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores
propios linealmente independentes.
Equivalentmente, la condici´on necesaria y suficiente para que una
matriz sea diagonalizable es que exista una base del espacio
vectorial formada por los vectores propios de la matriz dada.
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51. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Matrices diagonalizables
Corolario
Si la matriz A tiene n valores propios diferentes. Habr´a n vectores
propios LI, y como consecuencia A ser´a diagonalizable.
Ejercicio 6
Estudi´ense los valores propios de la matriz B:
B =
2 0 2
0 −1 0
2 0 −1
¿Es B diagonalizable?
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52. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Matrices diagonalizables
B − λI =
2 − λ 0 2
0 −1 − λ 0
2 0 −1 − λ
El polinomio caracter´ıstico es:
−(1 + λ)(λ − 3)(λ + 2)
Por tanto los valores propios son λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2. Como
se est´a en un espacio vectorial de dimensi´on 3, si hay 3 valores
propios reales y diferentes, la matriz ser´a diagonalizable.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
53. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Matrices diagonalizables
Llegados a este punto, se est´a en condiciones de enunciar el
teorema que permite saber que ha de pasar para que una matriz
sea diagonalizable:
Teorema
La condici´on necesaria y suficiente para que una matriz A sea
diagonalizable es que para cada valor propio λi su orden de
multiplicidad ni coincida con su multiplicidad geom´etrica dim(Hi ):
dim(Hi ) = ni ∀ λi
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54. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Matrices diagonalizables
De esta manera, si la matriz tiene valores propios diferentes
λ1, λ2 · · · , λr uniendo las bases de todos los subespacios
vectoriales propios H1, H2, · · · , Hn se obtiene una base en E
{BH1 ∪ BH2 ∪ · · · ∪ BHr } = BE
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55. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
Matrices diagonalizables
En resumen, A es diagonalizable si todos los valores propios
pertenecen a los n´umeros reales y:
Todos ellos son diferentes o bien,
son m´ultiples y las multiplicidades algebraicas y geom´etricas
son iguales.
Adem´as la matriz D tiene como elementos de la diagonal principal
los valores propios de la matriz A y cumplen la igualdad
D = (VP)−1
· A · (VP)
donde la matriz VP es la matriz que tiene por columnas los n
vectores propios LI de la matriz A.
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56. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
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57. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
Procedimiento para diagonalizar una matriz A
1 Encontrar el polinomio caracter´ıstico
2 Obtener las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica, es decir los
valores propios λi y sus ´ordenes de multiplicidad ni .
3 Resolver para cada λi el sistema (A − λi I)x = 0 para
encontrar los vectores propios y los subespacios propios.
4 Si ni = dim(Hi ) ∀λi , entonces la matriz diagonalizable.
5 La matriz D tiene como elementos de la diagonal principal los
valores propios de la matriz A y D = (VP)−1 · A · (VP) donde
la matriz VP es la matriz que tiene por columnas los n
vectores propios LI de la matriz A colocados siguiendo el
mismo orden que los valores propios en la matriz D.
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58. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
Ejercicio 7
Diagonalizar la matriz
B =
2 0 2
0 −1 0
2 0 −1
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59. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
De un ejemplo anterior se sabe que los valores propios son
λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2 y los subespacios propios:
H1 = (0, 1, 0) , H2 = (2, 0, 1) , H3 = (1, 0, −2)
Por tanto:
D =
−1 0 0
0 3 0
0 0 −2
, VP =
0 2 1
1 0 0
0 1 −2
Ejercicio 8
Calc´ulese (VP)−1 y demu´estrese que D = (VP)−1 · A · (VP)
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60. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
La soluci´on es:
VP−1
=
1
5
0 5 0
2 0 1
1 0 −2
Y si se hace el producto (VP)−1 · A · (VP) se comprueba
f´acilmente que la soluci´on es D.
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61. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
Ejercicio 9
Diagonal´ıcese la matriz
C =
−1 3 0
3 −1 0
0 0 2
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62. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
El polinomio caracter´ıstico es:
(2 − λ)(λ − 2)(λ + 4)
Y por tanto los valores popios son λ1 = −4 con multiplicidad
n1 = 1 y λ2 = 2 con n2 = 2. Los espacios propios son:
H1 = (1, −1, 0) , H2 = (1, 1, 0), (0, 0, 1)
Por tanto, dim(Hi ) = ni para ambos y:
D =
−4 0 0
0 2 0
0 0 2
, VP =
1 1 0
−1 1 0
0 0 −1
Ejercicio 10
Calc´ulese (VP)−1 y demu´estrese que D = (VP)−1 · A · (VP)
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63. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
La soluci´on es:
VP−1
=
1
2
1 −1 0
1 1 0
0 0 2
Y si se hace el producto (VP)−1 · A · (VP) se comprueba
f´acilmente que la soluci´on es D.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
64. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
Ejercicio 11
Diagonal´ıcese la matriz
A =
6 0 0
2 6 0
2 2 8
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65. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
C´alculo de la matriz diagonal
C´alculo de la matriz diagonal
El polinomio caracter´ıstico es:
(8 − λ)(6 − λ)2
Y por tanto los valores propios son λ1 = 6 con multiplicidad
n1 = 2 y λ2 = 8 con n2 = 1.
Si se calcula, el subespacio propio H1 viene generado por el vector
(0, −1, 1) y por tanto:
1 = dim(H1) < 2 = n1
Por ello, los valores son diferentes y se puede concluir que la matriz
A no es diagonalizable.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
66. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
1 Introducci´on
2 Diagonalizaci´on
3 Vectores y valores propios de
una matriz
Definiciones
C´alculo de los valores y de
los vectores propios
Subespacio propio
asociado a un valor propio
Propiedades de los valores
y vectores propios
4 Matrices diagonalizables
C´alculo de la matriz
diagonal
5 Diagonalizaci´on ortogonal
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
67. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Las matrices reales sim´etricas son siempre diagonalizables es decir,
tienen una base de vectores propios. Y no solo eso, sino que
siempre tienen una base de vectores propios ortonormales (es decir,
sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios).
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
68. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Matriz ortogonal
Una matriz cuadrada Q d´ıcese ortogonal si se cumple que su
inversa y su transpuesta son iguales:
Qt
= Q−1
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
69. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Matriz ortogonalmente diagonalizable
D´ıcese que una matriz cuadrada A es ortogonalmente
diagonalizable si existe una base de vectores propios ortonormales.
Esto equivale a decir que existe una matriz Q ortogonal tal que
Qt
· A · Q
es una matriz diagonal formada por los valores propios de A
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
70. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Teorema
Si A es una matriz cuadrada real sim´etrica de tama˜no n, entonces
se verifica:
1 Todos los valores propios de la matriz son reales.
2 Los vectores propios asociados a los valores propios diferentes
son ortogonales.
3 Tiene n vectores propios, es decir es diagonalizable.
4 Tiene n vectores propios ortonormales; es decir, es
ortogonalmente diagonalizable.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
71. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Ejercicio 12
Diagonal´ıcese ortogonalmente la matriz
B =
2 0 2
0 −1 0
2 0 −1
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72. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
En un ejercicio anterior se ha visto que los valores propios de esta
matriz eran λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = −2 y que los subespacios
propios vienen generados por:
BH1 = {u1} = {(0, 1, 0)}
BH2 = {u2} = {(2, 0, 1)}
BH3 = {u3} = {(1, 0, −2)}
Uniendo las tres bases se tiene una base del espacio vectorial total:
B = {u1, u2, u3}
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73. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Si se hacen los productos escalares pertinentes resulta que:
u1 · u2 = (0, 1, 0) · (2, 0, 1) = 0
u1 · u3 = (0, 1, 0) · (1, 0, −2) = 0
u2 · u3 = (2, 0, 1) · (1, 0, −2) = 0
B es una base ortogonal. Para que sea ortogonalmente
diagonalizable, solo resta comprobar que sean unitarios.
||u1|| = 1, ||u2|| =
√
5, ||u3|| =
√
5
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74. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Por tanto, una base ortonormal es:
B = (0, 1, 0),
2
√
5
, 0
1
√
5
,
1
√
5
, 0,
−2
√
5
Y por ello la matriz ortogonal de vectores propios es:
(VP)ort =
0 2√
5
1√
5
1 0 0
0 1√
5
−2√
5
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75. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Finalmente, se puede comprobar que (VP)t
ort · B · (VP)ort = D
0 1 0
2√
5
0 1√
5
1√
5
0 −2√
5
2 0 2
0 −1 0
2 0 −1
0 2√
5
1√
5
1 0 0
0 1√
5
−2√
5
=
−1 0 0
0 3 0
0 0 −2
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76. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Ejercicio 13
Diagonalizar ortogonalmente la matriz
A =
4 1 1
1 4 1
1 1 4
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77. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
En un ejercicio anterior se ha visto que los valores propios de esta
matriz eran λ1 = 3 con multiplicidad algebraica n1 = 2 y λ2 = 6
con n2 = 1
BH1 = {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}
BH2 = {(1, 1, 1)}
Si se unen las dos bases se tiene una base del espacio vectorial
total:
B = {u1, u2, u3} = {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}
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78. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Si se hacen los productos escalares pertinentes, resulta que:
u1 · u2 = (−1, 1, 0) · (−1, 0, 1) = 1 = 0
u1 · u3 = (−1, 1, 0) · (1, 1, 1) = 0
u2 · u3 = (−1, 0, 1) · (1, 1, 1) = 0
B no es una base ortogonal. Habr´a que comenzar por
ortogonalizarla con el teorema de Gram-Smith.
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
79. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
c1 = u1 = (−1, 1, 0)
c2 = u2 −
c1 · u2
c1 · c1
c1 =
= (−1, 0, 1) −
(−1, 1, 0) · (−1, 0, 1)
(−1, 1, 0) · (−1, 1, 0)
(−1, 1, 0) = −
1
2
, −
1
2
, 1
Como u3 ya era ortogonal a u1 y u2, por definici´on tambi´en los es,
ya quec1, c2:
Bort = (−1, 1, 0),
−1
2
,
−1
2
, 1 , (1, 1, 1)
Juan Gabriel Gomila Tema 5 - Diagonalizaci´on de endomorfismos
80. Introducci´on
Diagonalizaci´on
Vectores y valores propios de una matriz
Matrices diagonalizables
Diagonalizaci´on ortogonal
Diagonalizaci´on ortogonal
Se halla la norma de cada uno de los vectores y se dividen por este
valor para obtener los vectores unitarios.
Bort−uni = (
−1
√
2
,
1
√
2
, 0),
−1
√
6
,
−1
√
6
,
2
√
6
, (
1
√
3
,
1
√
3
,
1
√
3
)
La matriz ortogonal de vectores propios resulta:
A =
−1√
2
−1√
6
1√
3
1√
2
−1√
6
1√
3
0 2√
6
1√
3
Finalmente, se recuerda que se puede comprobar
(VP)t
ort · A · (VP)ort para ver si se ha incurrido en alg´un error.
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