4. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Introducci´on
El trabajo con modelos de gran dimensi´on, es decir que manejan
conjuntos con amplia iformaci´on (variables, datos, ecuaciones) se
simplifica cuando se usan matrices, debido a la notaci´on compacta
y simplificada.
Martha C. Moreno MATRICES
5. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Introducci´on
El trabajo con modelos de gran dimensi´on, es decir que manejan
conjuntos con amplia iformaci´on (variables, datos, ecuaciones) se
simplifica cuando se usan matrices, debido a la notaci´on compacta
y simplificada.
Martha C. Moreno MATRICES
28. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las
componentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij )n×m y B = (bij )n×m
son dos matrices diremos que:
Martha C. Moreno MATRICES
29. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las
componentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij )n×m y B = (bij )n×m
son dos matrices diremos que:
A = B
Martha C. Moreno MATRICES
30. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las
componentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij )n×m y B = (bij )n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Martha C. Moreno MATRICES
31. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las
componentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij )n×m y B = (bij )n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
32. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las
componentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij )n×m y B = (bij )n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Ejercicio
A =
2 −1 4
5 4 2
y B =
2 x + 3 4
z y − 5 m
Martha C. Moreno MATRICES
41. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
A = (aij )n×m
Seg´un el tama˜no se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11
a21
. . .
an1
Martha C. Moreno MATRICES
42. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
A = (aij )n×m
Seg´un el tama˜no se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11
a21
. . .
an1
Matriz Cuadrada
Martha C. Moreno MATRICES
43. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
A = (aij )n×m
Seg´un el tama˜no se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11
a21
. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
Martha C. Moreno MATRICES
44. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
A = (aij )n×m
Seg´un el tama˜no se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11
a21
. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Martha C. Moreno MATRICES
45. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
A = (aij )n×m
Seg´un el tama˜no se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11
a21
. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Diagonal Principal
Martha C. Moreno MATRICES
47. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan
fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz
Diagonal
Martha C. Moreno MATRICES
48. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan
fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz
Diagonal
Es decir si aij = 0 para i = j
Martha C. Moreno MATRICES
49. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan
fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz
Diagonal
Es decir si aij = 0 para i = j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
50. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan
fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz
Diagonal
Es decir si aij = 0 para i = j
Ejemplo
C =
3 0 0
0 8 0
0 0 0
Martha C. Moreno MATRICES
51. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan
fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz
Diagonal
Es decir si aij = 0 para i = j
Ejemplo
C =
3 0 0
0 8 0
0 0 0
D =
10 0
0 8
Martha C. Moreno MATRICES
55. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
son iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
Martha C. Moreno MATRICES
56. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
son iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Martha C. Moreno MATRICES
57. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
son iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I3
Martha C. Moreno MATRICES
58. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
son iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I3 Matriz Identidad o Id´entica
Martha C. Moreno MATRICES
60. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Martha C. Moreno MATRICES
61. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Es decir si aij = 0 para i > j
Martha C. Moreno MATRICES
62. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Es decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
63. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Es decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
64. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Es decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
M =
1 6 −2
0 4 15
0 0 6
Martha C. Moreno MATRICES
65. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan
debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz
Triangular Superior
Es decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
M =
1 6 −2
0 4 15
0 0 6
S =
0 0 4 −9
0 3 4 6
0 0 1
3 5
0 0 0 17
Martha C. Moreno MATRICES
68. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Ejercicio
¿C´omo se define una matriz triangular inferior?
¿Una matriz cuadrada puede ser triangular inferior y triangular
superior simult´aneamente?
Martha C. Moreno MATRICES
77. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:
Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m
Entonces:
A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij )
Ejemplo
2 −1 4
5 4 2
+
5 2 −3
−8 1 4
=
Martha C. Moreno MATRICES
78. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:
Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m
Entonces:
A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij )
Ejemplo
2 −1 4
5 4 2
+
5 2 −3
−8 1 4
=
7 1 1
−3 5 6
Martha C. Moreno MATRICES
85. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
Martha C. Moreno MATRICES
86. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A
Martha C. Moreno MATRICES
87. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A Modulativa
Martha C. Moreno MATRICES
88. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij )
Tal que:
Martha C. Moreno MATRICES
89. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij )
Tal que: A + (−A) = −A + A = 0
Martha C. Moreno MATRICES
90. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij )
Tal que: A + (−A) = −A + A = 0 Inverso Aditivo
Martha C. Moreno MATRICES
91. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B, C matrices n × m
A + B = B + A Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
A + 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij )
Tal que: A + (−A) = −A + A = 0 Inverso Aditivo
A − B = A + (−B)
Martha C. Moreno MATRICES
104. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α + β)A = αA + βA
Distributiva respecto a suma de escalares
Martha C. Moreno MATRICES
105. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α + β)A = αA + βA
Distributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αB
Martha C. Moreno MATRICES
106. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α + β)A = αA + βA
Distributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αB
Distributiva respecto a suma de matrices
Martha C. Moreno MATRICES
107. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α + β)A = αA + βA
Distributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αB
Distributiva respecto a suma de matrices
1A = A
Martha C. Moreno MATRICES
111. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular?
Martha C. Moreno MATRICES
112. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular?
Si A y B son triangulares superiores, entonces A + B es
triangular superior?
Martha C. Moreno MATRICES
113. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular?
Si A y B son triangulares superiores, entonces A + B es
triangular superior?
Si A es triangular, entonces αA es triangular?
Martha C. Moreno MATRICES
116. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Martha C. Moreno MATRICES
117. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
118. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
1 0
0 1
y D =
1 0
0 0
Martha C. Moreno MATRICES
119. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
1 0
0 1
y D =
1 0
0 0
Calcular la c.l −2I + 4D
Martha C. Moreno MATRICES
120. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
1 0
0 1
y D =
1 0
0 0
Calcular la c.l −2I + 4D
3 0
0 2
es c.l de I y D?
Martha C. Moreno MATRICES
121. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
1 0
0 1
y D =
1 0
0 0
Calcular la c.l −2I + 4D
3 0
0 2
es c.l de I y D?
4 1
0 −3
es c.l de I y D?
Martha C. Moreno MATRICES
136. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas
Sea A = (aij )n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica.
Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica.
Martha C. Moreno MATRICES
137. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas
Sea A = (aij )n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica.
Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y
sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B?
Martha C. Moreno MATRICES
138. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas
Sea A = (aij )n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica.
Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y
sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B? ¿ αA con
α ∈ R?
Martha C. Moreno MATRICES
139. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas
Sea A = (aij )n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica.
Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y
sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B? ¿ αA con
α ∈ R?
Si C es una matriz cuadrada, las matrices C + Ct y C − Ct
¿son sim´etricas o antisim´etricas?
Martha C. Moreno MATRICES
153. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B
Entonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Martha C. Moreno MATRICES
154. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B
Entonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB, entonces:
Martha C. Moreno MATRICES
155. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B
Entonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB, entonces:
cij = Ai • Bj
Martha C. Moreno MATRICES
156. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B
Entonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB, entonces:
cij = Ai • Bj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj
Martha C. Moreno MATRICES
157. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B
Entonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB, entonces:
cij = Ai • Bj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj = m
k=1 aikbkj
Martha C. Moreno MATRICES
160. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A
coincide con el n´umero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido?
Martha C. Moreno MATRICES
161. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A
coincide con el n´umero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido?
Si A es una matriz 3 × 5 y AB es una matriz 3 × 7. ¿Cu´al es
el tama˜no de B?
Martha C. Moreno MATRICES
162. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A
coincide con el n´umero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido?
Si A es una matriz 3 × 5 y AB es una matriz 3 × 7. ¿Cu´al es
el tama˜no de B?
¿Cu´antas filas tiene la matriz B si BA es de tama˜no 2 × 6?
Martha C. Moreno MATRICES
177. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico,
7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada
tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,
Martha C. Moreno MATRICES
178. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico,
7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada
tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,en
la matriz M se dan el n´umero de unidades de cada materia prima
que se utilizar´a en cada tipo de casa:
Martha C. Moreno MATRICES
179. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico,
7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada
tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,en
la matriz M se dan el n´umero de unidades de cada materia prima
que se utilizar´a en cada tipo de casa:
M =
Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobra
rustico 5 20 16 7 17
moderno 7 18 12 9 21
colonial 6 25 8 5 13
Martha C. Moreno MATRICES
182. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria para
satisfacer los pedidos:
PM = 5 7 12
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
=
Martha C. Moreno MATRICES
183. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria para
satisfacer los pedidos:
PM = 5 7 12
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
=
146 526 260 158 388
Martha C. Moreno MATRICES
184. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias
primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la
pintura y la mano de obra son respectivamente:
2500, 1200, 800, 150y1500
Martha C. Moreno MATRICES
185. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias
primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la
pintura y la mano de obra son respectivamente:
2500, 1200, 800, 150y1500
C =
2500
1200
800
150
1500
Martha C. Moreno MATRICES
186. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias
primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la
pintura y la mano de obra son respectivamente:
2500, 1200, 800, 150y1500
C =
2500
1200
800
150
1500
MC =
Martha C. Moreno MATRICES
187. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias
primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la
pintura y la mano de obra son respectivamente:
2500, 1200, 800, 150y1500
C =
2500
1200
800
150
1500
MC =
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
2500
1200
800
150
1500
=
Martha C. Moreno MATRICES
188. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias
primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la
pintura y la mano de obra son respectivamente:
2500, 1200, 800, 150y1500
C =
2500
1200
800
150
1500
MC =
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
2500
1200
800
150
1500
=
75850
81550
71650
Martha C. Moreno MATRICES
193. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa ser´a:
PMC = P(MC) = 5 7 12
75850
81550
71650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como
el costo de compra y los datos estan en la matriz:
Martha C. Moreno MATRICES
194. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa ser´a:
PMC = P(MC) = 5 7 12
75850
81550
71650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como
el costo de compra y los datos estan en la matriz:
C′ =
Compra Transporte
Acero 2500 45
Madera 1200 20
Vidrio 800 30
Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
Martha C. Moreno MATRICES
195. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa ser´a:
PMC = P(MC) = 5 7 12
75850
81550
71650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como
el costo de compra y los datos estan en la matriz:
C′ =
Compra Transporte
Acero 2500 45
Madera 1200 20
Vidrio 800 30
Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
MC′
Martha C. Moreno MATRICES
196. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa ser´a:
PMC = P(MC) = 5 7 12
75850
81550
71650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como
el costo de compra y los datos estan en la matriz:
C′ =
Compra Transporte
Acero 2500 45
Madera 1200 20
Vidrio 800 30
Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
MC′ Qu´e representa PMC′?
Martha C. Moreno MATRICES
199. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Martha C. Moreno MATRICES
200. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Martha C. Moreno MATRICES
201. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Martha C. Moreno MATRICES
202. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Martha C. Moreno MATRICES
203. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
Martha C. Moreno MATRICES
204. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Martha C. Moreno MATRICES
205. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
Martha C. Moreno MATRICES
206. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Martha C. Moreno MATRICES
207. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Asociativa con el producto por escalar
Martha C. Moreno MATRICES
208. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A
Martha C. Moreno MATRICES
209. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
Martha C. Moreno MATRICES
210. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
ImAm×n = A
Martha C. Moreno MATRICES
211. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC)
Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Distributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Distributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
ImAm×n = A Modulo a izquierda
Martha C. Moreno MATRICES
222. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
−2 3
2 −3
y B =
3 6
2 4
Calcule AB
Si A =
−2 3
2 −3
B =
−1 3
2 0
y C =
−4 −3
0 −4
Calcule AB y AC
Si A =
1 2
0 1
Encontrar B2×2 que conmute con A
Martha C. Moreno MATRICES
223. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
−2 3
2 −3
y B =
3 6
2 4
Calcule AB
Si A =
−2 3
2 −3
B =
−1 3
2 0
y C =
−4 −3
0 −4
Calcule AB y AC
Si A =
1 2
0 1
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
−2 3
2 −3
Martha C. Moreno MATRICES
224. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
−2 3
2 −3
y B =
3 6
2 4
Calcule AB
Si A =
−2 3
2 −3
B =
−1 3
2 0
y C =
−4 −3
0 −4
Calcule AB y AC
Si A =
1 2
0 1
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
−2 3
2 −3
Calcular: A2 + 2A − 3I
Martha C. Moreno MATRICES
225. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
−2 3
2 −3
y B =
3 6
2 4
Calcule AB
Si A =
−2 3
2 −3
B =
−1 3
2 0
y C =
−4 −3
0 −4
Calcule AB y AC
Si A =
1 2
0 1
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
−2 3
2 −3
Calcular: A2 + 2A − 3I
Si A y B son matrices cuadradas de tama˜no n × n
Martha C. Moreno MATRICES
226. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
−2 3
2 −3
y B =
3 6
2 4
Calcule AB
Si A =
−2 3
2 −3
B =
−1 3
2 0
y C =
−4 −3
0 −4
Calcule AB y AC
Si A =
1 2
0 1
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
−2 3
2 −3
Calcular: A2 + 2A − 3I
Si A y B son matrices cuadradas de tama˜no n × n
AB + 3A =
Martha C. Moreno MATRICES
231. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij )n×n
Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal
Ejemplo
I es ortogonal?
A =
√
3
2
−1
2
1
2
√
3
2
es ortogonal?
Martha C. Moreno MATRICES
234. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij )n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o
Nilpotente,
Martha C. Moreno MATRICES
235. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij )n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o
Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina
Indice de nilpotencia
Martha C. Moreno MATRICES
236. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij )n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o
Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina
Indice de nilpotencia
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
237. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij )n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o
Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina
Indice de nilpotencia
Ejemplo
A =
−1 1
−2 2
es idempotente?
Martha C. Moreno MATRICES
238. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij )n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o
Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina
Indice de nilpotencia
Ejemplo
A =
−1 1
−2 2
es idempotente?
A =
0 0
0 1
es idempotente ´o nilpotente?
Martha C. Moreno MATRICES
243. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o
invertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
Martha C. Moreno MATRICES
244. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o
invertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
A =
4 2
3 1
B =
1 −2
3 4
Martha C. Moreno MATRICES
245. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Definici´on
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o
invertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
A =
4 2
3 1
B =
1 −2
3 4
A =
3 5
1 2
B =
2 −5
−1 3
Martha C. Moreno MATRICES
250. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:
Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no
singulares y α ∈ R − {0}
La inversa es ´unica
(A−1
)−1
= A
(At
)−1
= (A−1
)t
Martha C. Moreno MATRICES
251. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:
Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no
singulares y α ∈ R − {0}
La inversa es ´unica
(A−1
)−1
= A
(At
)−1
= (A−1
)t
(AB)−1
= B−1
A−1
Martha C. Moreno MATRICES
252. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:
Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no
singulares y α ∈ R − {0}
La inversa es ´unica
(A−1
)−1
= A
(At
)−1
= (A−1
)t
(AB)−1
= B−1
A−1
(αA)−1
= 1
α A−1
Martha C. Moreno MATRICES
253. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:
Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no
singulares y α ∈ R − {0}
La inversa es ´unica
(A−1
)−1
= A
(At
)−1
= (A−1
)t
(AB)−1
= B−1
A−1
(αA)−1
= 1
α A−1
(An
)−1
= (A−1
)n
= A−n
Martha C. Moreno MATRICES
259. Introducci´on
Matrices
Clases de Matrices
Operaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Ejemplo
I es involutiva?
A =
3 −4
2 −3
es involutiva?
Nota
¿Una matriz ortogonal An×n es no singular?
Martha C. Moreno MATRICES