Determinantes: Propiedades y cálculo

DETERMINANTES
1 2 0 0
0 3 0 5
0 0 5 7
0 0 0 4

Departamento de Matemáticas
Contenidos
• Concepto de determinante.
• Propiedades de los determinantes.
• Menor complementario.
• Adjunto de un elemento.
• Desarrollo de un determinante por los
elementos de una línea.
• Rango de una matriz a partir de sus
menores.

Determinante de una matriz cuadrada de
dimensión 2 x 2 (orden 2)
Es un número asociado a la matriz, que se obtiene
de la forma :
a a
11 12
a a
21 22
=a11 ·a22 - a12 ·a21
1 3 = - - - =
( 1) · 5 ( 3)·4 7
- -
4 5
Ejemplo:

Determinante de una matriz cuadrada
de orden 3 (Regla de Sarrus)
a a a
11 12 13
A a a a
a11 ·a22 ·a33 +a12 ·a23 ·a31 +a13 ·a21 ·a32 -a13 ·a22 ·a31 -a11 ·a23 ·a32 -a12 ·a23 ·a31
21 22 23
a a a
Es un número que se obtiene sumando todos los productos de 3
factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de
la siguiente forma:
Son positivos los productos:
Son negativos los productos:
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
A =
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
A =
= =
31 32 33

de orden n mayor o igual que 4
Es un número que se obtiene sumando todos los productos de
n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna,
afectados de signo + o – siguiendo un criterio relacionado con
los subíndices de dichos elementos.
Por tanto, cuantos más ceros haya en la matriz, más fácil (y
rápido) será el cálculo de su determinante.
1 2 0 0
0 3 0 5
0 0 5 7
0 0 0 4
Es más fácil de calcular que:
1 3 4 5
-
1 3 8 15
9 11 13 17
4 7 10 2

de orden n mayor o igual que 4
Pero, en general, calcular un determinante de
este tipo utilizando la definición sería
complicado. Por tanto, utilizando las
propiedades, buscaremos la forma de
transformarlo en otro que sea más sencillo de
calcular.

DETERMINANTES: PROPIEDADES
1º: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de
su traspuesta.
2º : Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de
ceros, su determinante es 0.
3º : Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas paralelas,
su determinante cambia de signo.
4º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su
determinante es cero.
det(A) =det (At )
F1 F2 0 =0
F1 F2 F3 = - F2 F1 F3
F1 F1 F3 =0

5º: Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos
de una línea por el mismo número, k, su determinante queda
multiplicado por ese número.
k ·F1 F2 F3 = k · F1 F2 F3
6º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas
proporcionales, su determinante es 0.
F1 k ·F1 F3 =0
7º: Si todos los elementos de una línea se descomponen en
suma de dos sumandos, su determinante se descompone en
suma de otros dos de la forma:
a a´ b b´ a ´ b
´
c d
a b
c d
c d
= +
+ +

8º: Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación
lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no varía.
F1 +k ·F2 F2 F3 = F1 F2 F3
9º: Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de
otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y
recíprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una
columna) que es combinación lineal de otras filas (columnas).
F1 F2 a ·F1 +b ·F2 =0
10º: El determinante del producto es igual al producto de los
determinantes.
det (A · B) = det (A) · det (B)

Menor complementario y Adjunto de un
elemento
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
æ
a a a a
11 12 13 14
a a a a
21 22 13 24
Dada una matriz A = se definen:
ø
ç ç ç ç ç
è
a a a a
31 32 33 34
a a a a
41 42 43 44
Menor complementario
de aij
es el determinante de
la matriz que queda al
suprimir la fila i y la columna
j en las que se encuentra
dicho elemento.
aij
Mij Adjunto de es el
menor complementario de
afectado del signo + o -,
según que la suma i + j sea
par o impar.
aij
Aij
M23 =2
1 3 0 -
1
0 0 5 2
3 1 0 4
-
0 -
2 1 0
A=
( 1)2 3 2 2
23 = - = - A +

11º: Desarrollo de un determinante por los elementos de
una línea: El determinante de una matriz A es igual a la
suma de los productos de los elementos de una línea (fila o
columna) por sus respectivos adjuntos.
a a a a
11 12 13 14
a a a a
21 22 13 24
a a a a
31 32 33 34
a a a a
41 42 43 44
=a31 ·A31 + a32 ·A32 +a33 ·A33 +a34 ·A34
12º: La suma de los productos de los elementos de una
línea por los respectivos adjuntos de otra paralela es
igual a cero.
a a a a
11 12 13 14
a a a a
21 22 13 24
a a a a
31 32 33 34
a a a a
41 42 43 44
=a31 ·A11 + a32 ·A12 + a33 ·A13 + a34 ·A14

Desarrollo de un determinante por los
elementos de una línea
1 3 5
1 4 5
3 4 5
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 4
1 3 8
= -1 3+1 ·9· + - 3+2 - + - 3+3 - + - 3+4 -
4 7 10
1 ·17·
1 3 0
4 7 2
1 ·13·
1 8 0
4 10 2
1 ·11·
3 8 0
7 10 2
1 3 4 5
-
1 3 8 0
9 11 13 17
Si utilizamos las propiedad 8ª para “crear ceros”:
F
1
+
F F
2 1
-
9
1 3 4 5
1 3 8 0
9 11 13 17
F F
3 1
F F
1·A11 + 0·A21 +0·A31 +0·A41 =
6 12 5
16 23 28
- - -
5 6 18
- - -
4 7 10 2
=
1 3 4 5
0 6 12 5
- - -
0 16 23 28
- - -
=
-
=
-
0 5 6 18
4
4 7 10 2
4 1

CÁLCULO DE DETERMINANTES

Rango de una matriz por menores
La condición necesaria y
suficiente para que el
determinante de una matriz
A, cuadrada, sea cero es
que sus filas (o columnas)
sean linealmente
dependientes.
Es decir: La condición n.
y s. para que A =0
es
que alguna fila pueda
ponerse como
combinación lineal de las
demás.
A =0 ÛLas filas (o columnas) de A son l. i.
Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores
no nulos.

Rango de una matriz por menores: Ejemplos
b)

a)

cuando

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