Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.

1. Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático
en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y
situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de
problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de
decisiones. Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas
de manejo de la computadora. Solución de problemas. Habilidad para
trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.

2. Competencia por unidad: Manejar las matrices, sus propiedades y
operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en
los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las
matemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una
solución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para
probar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.
Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático
en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y
situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones.
Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas de manejo de
la computadora. Solución de problemas. Habilidad para trabajar en
forma autónoma. Búsqueda del logro.

3. 2.1 Definición de matriz, notación y orden
1. MATRICES
 DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de
números distribuidos en filas y columnas.
 NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por
una letra mayúscula y sus elementos, una vez
distribuidos en las filas y columnas respectivas, se
encierran con corchetes o con paréntesis, así:

4.  ; o así:
En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.














a2a1a
aaa
aaa
=A
mnmm
n2221
n1211




2
1














a2a1a
aaa
aaa
=A
mnmm
2n2221
1n1211





5. ORDEN DE UNA MATRIZ
 El orden de una matriz es el número de filas y de
columnas que tiene esa matriz.
 Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de
columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose
"matriz A de orden m por n".

6. ELEMENTO GENÉRICO
 El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una
matriz, se usa para indicar que el elemento por él
designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i"
y a la columna "j".
 En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe
interpretarse que se trata del elemento "a", que
ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la
columna 3.

7. OTRA NOTACIÓN DE UNA MATRIZ
 Para el caso de una matriz A con m filas y n
columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta
m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables
en el conjunto de los números naturales).

8.  Así, la matriz
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que
tiene como elemento genérico a aij, es:
Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)
puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)
















aaa
aaa
aaa
aaa
=A
434241
333231
232221
131211

9.  Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces la
transpuesta de A se denota por At o A’, es la matriz de n x
m que se obtiene escribiendo las filas de A, por orden,
como columnas. Ejemplos.
 Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
 
   
  
 1 4 5B  
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
 
   
  
3 8 3
'
4 2 0
t
A A
 
   
 
1
' 4
5
B
 
   
  
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
  
   
  
2.2 Operaciones con matrices

10. 2.2 Operaciones con matrices.
3.3.1 Suma y resta de matrices.
Suma y diferencia. La suma (diferencia) A B de dos
matrices del mismo tamaño se obtiene sumando
(restando) los elementos correspondientes de las
matrices.
Ejemplos.
Dadas las matrices
Hallar la suma de A y B.
A + B =
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
 
   
  
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
 
   
   


























1835
6040
5353
1008)1(205
33221322
23304112

11. 3.3 Operaciones con matrices.
3.3.1 Suma y resta de matrices.
Dadas las matrices.Hallar la diferencia de A yB
A – B =
La suma (diferencia) de A y C, B y C no son
conformables para la suma (diferencia) porque no son
del mismo tamaño.
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
 
   
  
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
 
   
   



























1815
0424
1331
)1(008)1(205
33)2(21322
23)3(04112

12. 3.3.2 Multiplicación de matrices.
 Multiplicación por un escalar. El producto de una
matriz A por un escalar k denotado como kA se
obtiene multiplicando todos los elementos de A por k.
Ejemplos.
Dada la matriz
Hallar 3 A
1 2
3 1
2 0
A
 
   
  
1 2 3( 1) 3(2) 3 6
3 3 3 1 3(3) 3(1) 9 3
2 0 3( 2) 3(0) 6 0
A
       
            
            

13. 3.3.2 Multiplicación de matrices.
 Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar 2 A
1 2
3 1
2 0
A
 
   
  
1 2 2( 1) 2(2) 2 4
2 2 3 1 2(3) 2(1) 6 2
2 0 2( 2) 2(0) 4 0
A
       
            
            

14. 3.3.2 Multiplicación de matrices.
 Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar (-1) A= -A
1 2
3 1
2 0
A
 
   
  
1 2 ( 1)( 1) ( 1)(2) 1 2
( 1) 3 1 ( 1)(3) ( 1)(1) 3 1
2 0 ( 1)( 2) ( 1)(0) 2 0
A
         
                  
             

15. Producto de matrices.
 El producto de AB de una matriz A de m x r y B una matriz r x n
resulta una matriz C de m x n, en donde cada elemento Cij se
obtiene multiplicando los elementos correspondientes de la fila i
de la matriz A con los elementos de la columna j de la matriz B y
se suman todos los resultados. Ejemplos.
Efectuar AB
2 1 3
4 1 2
A



2 1 2
4 0 6
2 3 1
B
 
   
  

17. MATRICES IGUALES
 DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si
i) son del mismo orden
ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.
En símbolos: A = B  aij = bij,  i,j
Ejemplo:

18. 3.2 Tipos especiales de matrices.
 Comúnmente las matrices tienen características definidas,
por esta razón se les asigna un nombre específico.
3.2.1 Vector renglón y columna.
 Vector fila. También llamada Vector renglón, es una matriz
que consta de una sola fila y su tamaño es de 1 x n.
 Ejemplos.
 1 0 2 0P   1 2 4 2Q  

19. 3.2 Tipos especiales de matrices.
 Vector columna. Es una matriz que consta de una sola
columna y su tamaño es de m x 1.
 Ejemplos. 3
5
X
 
  
 
2
1
3
Y
 
   
  

20. 3.2.2 Matriz cuadrada.
 Una matriz cuadrada de orden n, será aquella que tiene el
mismo número de filas y de columnas. Ejemplos.
es una matriz cuadrada de orden 3.
es una matriz cuadrada de orden 2.
1 2 1
3 4 3
2 1 0
A
 
   
  
1 2
4 0
B
 
  
 

21.  3.2.3 Matriz identidad.
Una matriz identidad denotada como  de orden n, es una
matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal
principal son igual a 1 y todos los demás son igual a cero.
Ejemplos.
 1I 
1 0
0 1
I
 
  
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
   
  
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
 
 
 

22. 3.2.4 Transpuesta de una matriz.
 Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces la
transpuesta de A se denota por At o A’, es la matriz de
n x m que se obtiene escribiendo las filas de A, por
orden, como columnas. Ejemplos.
 Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
 
   
  
 1 4 5B  
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
 
   
  
3 8 3
'
4 2 0
t
A A
 
   
 
1
' 4
5
B
 
   
  
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
  
   
  

23. 3.3.3 Representación matricial de
ecuaciones.
 El sistema de ecuaciones anterior es equivalente a la
siguiente matriz.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 1 2
...
...
. . . .
. . . .
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
   
   














mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
1
11
22221
11211

24. 3.4 Introducción a los determinantes. Solución de un
determinante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadas
y cofactores.
 Definición. El determinante de una matriz A de
orden n se define como la suma de todos los productos
elementales con signo y se denota como det(A) o  A .
En forma general el determinante se puede representar
así:
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
n
n
n n nn nxn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
  

25. CÁLCULO DE DETERMINANTES n x
n.
 Para obtener el determinante de un matriz de orden 2
y 3, se utilizan generalmente procedimientos
nemotécnicos, en los cuales se suman todos los
productos elementales con signo que señalan las
flechas que se indican a continuación.

26.   A  = = a11 a22 - a21 a12
  A =
O también
  A  = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 – a31a22a13 – a21a12a33 – a11a23a32
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A











-
+

27. Solución de un determinante de 2x2.
Calcula la determinante de A:







65
23
A
281018)2(5)6(3 A

28.  Ejemplo.
 Hallar el determinante de la siguiente matriz.
 =
=-6 – 15/2 – 6 – 60 – 9/2 + 1 = -83
215
263
24/32/1



15
63
4/32/1
215
263
24/32/1





                    
























4
3
32
2
1
2126513252
4
3
26
2
1
Solución de un determinante de 3x3 por método de columnas
aumentadas

29. Definición. Dada una matriz A, el menor del elemento aij denotado
como Mij es el determinante que la submatriz que resulta de imprimir la
fila i y la columna j de A.
Así, el numero (-1)i+j Mij denotado como Cij es el cofactor del elemento
aij. En otras palabras los signos quedan como sigue (en dominó).
 Ahora, el determinante de una matriz de orden n se
puede calcular sumando los productos de los elementos
de una fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos de
la primera fila se puede expresar de la siguiente forma:
det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n
aij Cij = (-1)i+j aijMij




  ji
)1(

30. Ejemplo de cálculo de un
determinante de 3X3 por cofactores.




31. Otra forma de resolverse




32. En excel el determinante de A se
calcula:

33.  Ahora, el determinante de una matriz de orden n se
puede calcular sumando los productos de los elementos de
una fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos de la
primera fila se puede expresar de la siguiente forma:
det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n
 Ejemplo.
Calcular el determinante de la matriz A.
A=
4321
1234
1531
2/1212/1





34.  aij Cij = (-1)i+j aijMij
 det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
det (A) = (-1)1+1 (1/2) + (-1)1+2 (-1) + (-1)1+3 (2)
+(-1)1+4(1/2)
 Realizando operaciones tenemos:
det (A) = ½ (-24-10+9-4+60+9) - (-1)(8+5-12+2-80-3) + 2(-12-3+8-3+48+2) –
(- ½)(-9-6-40+15+36+4)
det (A) = ½(40) + 1(-80) + 2(40) + ½(0) = 20 – 80 +80 + 0 = 20
432
123
153



421
134
131



431
124
151 
321
234
531




















4321
1234
1531
2/1212/1
A

















35.  aij Cij = (-1)i+j aijMij
 det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
det (A) = (-1)2+1 (-1) + (-1)2+2 (-3) + (-1)2+3 (-3)
+(-1)2+4(-2)
 Realizando operaciones tenemos:
det (A) = -(-1)(8+5-12+2-3-80) + (-3)(4+2-6+1-3/2-32)
– (-3)(10-2-3/2+5/2+3/2-8) + (-2)(5/2-8-1+10+1-2)
det (A) = (-80) -3(-32.5) +3(2.5) - 2(2.5) = -80 + 97.5 +7.5 -5 = 20
431
124
151 
431
151
2
1
2
2
1


431
124
2
1
2
2
1

124
151
2
1
2
2
1



















4321
1234
1531
2/1212/1
A

















36. En excel: 4321
1234
1531
2/1212/1




A

37. 16.3.5.Propiedades de los determinantes
 A continuación se enuncian las principales
propiedades de los determinantes.
1. El determinante de la matriz y su transpuesta son
iguales  A  =  At .
Ejemplo.
Si A = entonces  A  =  At 
Si A = = -8 + 3 = -5; ;  At  = = -8 + 3 = -5
41
32


41
32


43
12 

38.  2. Si todos los elementos de una fila (columna de una matriz
son ceros, entonces  A  = 0.
Ejemplo.
Si A = entonces  A  = 0
 3. Si dos filas (columnas) de una matriz A son idénticas,
entonces  A  = 0
 Ejemplo.
 A= entonces  A  = 0
03
02

321
132
132




39.  4. Si B se obtiene de A intercambiando dos filas
(columnas) de A, entonces  B  = -  A 
Ejemplo.
Sean A = y se obtiene B=
entonces  B  = -  A 
 B = = -1 – 4 + 8 – 4 + 4 + 2 = 5
122
121
212



122
112
221



122
112
221




40.  A  = = -4 – 2 + 4 – 8 + 1 + 4 = -5
5. Si una fila (columna) de una matriz A se multiplica por un
escalar k, entonces  B  = kA
Ejemplo.
Si A = y K = 2
B  = = = -6 + 4 = -2
k A  = 2 = 2 ( -3 + 2) = 2(-1) = -2
122
121
212



11
23


1)2)(1(
2)2)(3(


12
26



41.  6. Si B se obtiene de A sumando el múltiplo de una fila a
otra, entonces  B  =  A .
 Ejemplo.
Sea A = y se obtiene B = multiplicando la
 1ª fila por (-2) y sumando con la 2ª fila, entonces
 B  =  A .
B = = 3 – 4 + 2 + 12 = 13
221
123
212



221
301
212



221
301
212




42.  A = = 8 – 1 + 12 + 4 – 6 – 4 = 13
 17. 3.6 Solución de la inversa de una matriz de
2x2, 3x3.
 18. 3.6.1 Método de eliminación-Gaussiana.
 Procedimiento para encontrar la inversa de una
matriz cuadrada A.
221
123
212




43.  Paso 1. Se escribe la matriz aumentada  A   .
 Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner
la matriz A a su forma escalonada reducid por
renglones.
 Paso 3. Se decide si A es invertible.
Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la
matriz identidad , entonces A-1 es la matriz que se
tiene a la derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical, entonces A no es
invertible.

44.   A        A-1
Ejemplo.
Hallar la inversa de la matriz A.
A=
Nota: F1 es fila 1, F2 es fila 2, F3 es fila 3, de la matriz A
123
2/13/12/1
313



   






 21
2
1
1
3
1
100123
0102/13/12/1
003/113/11
100123
0102/13/12/1
001313
=A
FF
F
I
Convertir
en 1
Convertir
en 0

45. 101210
061010
003/113/11
101210
016/106/10
003/113/11
100123
016/106/10
003/113/11
26
313





 


F
FF
 


 

 


13
2/332
2/130100
061010
003/113/11
160200
061010
003/113/11 FF
FFF
2/130100
061010
2/153/2001
2/130100
061010
2/133/103/11
12
3
1

 


FF
Convertir en 0 Convertir en 1

46.  A-1 =
 20.3.6.2 Método de cofactores.
Definición. Dada una matriz A de orden n y Cij el
cofactor del elemento aij, la matriz
2/130
061
2/153/2

nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
...
......
......
...
...
21
22221
11211

47. Otra forma de obtener la inversa
de una matriz de 2X2
































11
3
11
1
11
4
11
5
31
45
)4(1)5(3
1
51
43
1
1
A
A
A Se intercambian
Cambian de signo
Cambian de signo

48.  Ejemplo.
Hallar la inversa de la matriz A.
A= ; det (A) = 8/3 – 8 + 8 – 16/3 – 4 + 8 = 4 – 8/3 = 4/3
+ - +
C11 = 8/3 C12 = -6 C13 = 2/3
- + -
C21 = 4 C22 = -8 C23 = 0
+ - +
C31 = -10/3 C32 = 8 C33 = -2/3
224
13/11
424

AdjA
DetA
A
11


49.  Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa
A-1 = ¾
A-1 =
3/283/10
084
3/263/8



3/203/2
886
3/1043/8



3/203/2
886
3/1043/8



2/102/1
662/9
2/532




50.  Sea A una matriz cuadrada, A es invertible si el Det
A es diferente de cero. Obtener la matriz M, que es
la de cofactores de A, donde A es de orden n x n y
el ij-ésimo cofactor de A denotado como Aij, esta
determinado por Aij=(-1)i+j|Mij| es decir el cofactor Aij
se obtiene del determinante
 ij-ésimo menor Mij y multiplicando por (1)i+j donde
se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.
 Considere esta matriz A, donde m=n, es
decir una matriz cuadrada.

51.  Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =
 Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.
 Es necesario definir la matriz Adjunta de A (Adj A) como
Mt, donde esta última se le conoce como matriz de
cofactores. En otras palabras
en tanto que















nnnn
n
n
t
AAA
AAA
AAA
MAdjA
...
............
...
...
21
22212
12111
AdjA
DetA
A
11


52.  Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la
matriz F.
Se Obtiene primero la matriz de cofactores M.
:=F












2 1 2
1 0 -1
1 5 2

53. , por lo tanto















141
928
535
M y Mt (Traspuesta de M) , la cual es












5 8 -1
-3 2 4
5 -9 -1
Igual a Adj F. y el Det F= 2(5)+2(8)+1(-1)=17
AdjA
DetA
A
11





























17/117/917/5
17/417/217/3
17/117/817/5
195
423
185
17
11
A
:=F












2 1 2
1 0 -1
1 5 2

54. 21. 3.6.3 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el
método de la inversa y Cramer.
 Un método para encontrar las soluciones (si existen) de
un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,
consiste en simplificar las ecuaciones al multiplicar (o
dividir) los dos lados de una ecuación por un numero
diferente de cero, sumar un múltiplo de una ecuación a
otra e intercambiar dos ecuaciones de un sistema, de
manera que las soluciones se puedan identificar de
inmediato. Estas tres operaciones, cuando se aplican a
los renglones de la matriz aumentada que representa
un sistema de ecuaciones, se llaman operaciones
elementales con renglones.

55.  Las operaciones elementales con renglones son:
 Multiplicar (o dividir) un renglón por un numero
diferente de cero.
 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
 Intercambiar dos renglones.
 Al proceso de aplicar las operaciones elementales con
renglones para simplificar una matriz aumentada se llama
reducción por renglones.

56.  Notación
1. Ri  cRi :
 Quiere decir “reemplaza el i-esimo renglón por ese
renglón multiplicado por c”
2. Rj Rj + cRi :
 Significa “sustituye el j-esimo renglón por la suma del
renglón j mas el renglón i multiplicado por c”.
3. Ri  Rj :
 Quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.
4. A  B :
 Indica que las matrices aumentadas A y B son
equivalente; es decir, que los sistemas que representan
tienen la misma solución.

57. ELIMINACIÓN GAUSSIANA.
 Método.
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la
forma escalonada por renglones, se despeja el valor de
la última incógnita y después se usa la sustitución
hacia atrás para las demás incógnitas.
Ejemplo.
Resuelva el sistema
2x1 + x2 - 2x3 = 1
3x1 + 2x2 - 4 x3 = 1
5x1 + 4 x2 - x3 = 8

58. R1 R3
R2 R2 – 3R1
R3 R3 – 2R1
R2 -1/6 R2
11251
02193
21042



21042
02193
11251



41460
31560
11251



R1 R1 – 5R2
R3  R3 + 6R2
R3 - R3
41460
2/116/1510
11251



1100
2/116/1510
2/32/101



1100
2/116/1510
2/32/101


R1 R1 – 5R2
R3  R3 + 6R2
La solución es x1 = -2, x2 = 3, x3 = 1
1100
3010
2001 

59. 3x1 - 4x2 - x3 = 1
2x1 - 3x2 + x3 = 1
x1 - 2 x2 + 3x3 = 2
R2R2 – 4R1
R3R3 -6R1
R2-1/5 R2 R1R1-R2
R3R3+5R2
0316
0514
0111


0950
0950
0111



5950
35/910
2111



0000
05/910
05/401


60.  Se tienen dos ecuaciones con las incógnitas x1, x2 x3 y
existe un numero infinito de soluciones, se supone que
x3 tiene un valor especifico, entonces x2 = 9/5 x3 y x1 = -
4/5 x3 estas soluciones se escriben en la forma (-4/5 x3,
9/5 x3, x3).
 REGLA DE CRAMER.
 El sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

61.  Se puede representar de la siguiente manera:
=
nnnnnn
n
n
b
b
b
b
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa





.
...
......
......
...
...
3
2
1
2211
22222121
21212111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
......
......
......
...
...
21
22221
11211
nx
x
x
.
.
.
2
1
nb
b
b
.
.
.
2
1

62.  Si se designan estas matrices por A, X y B,
respectivamente, entonces, se puede escribir en la forma
AX = B
 En donde A se denomina matriz de coeficientes, X se
llama matriz de incógnitas y B matriz de términos
independientes o vector solución.
Regla de Cramer. Si A X = B es un sistema de n
ecuaciones lineales en n incógnitas tal que det (A)  0,
entonces el sistema tiene solución única. Esta solución es

63. en donde Aj se obtiene sustituyendo en la columna j de la
matriz A por la columna B.
Otro método para resolver el sistema A X = B tal que A sea una
matriz invertible de n x n, entonces tiene exactamente una
solución, que es:
X = A-1B
Para obtener la expresión anterior se procede de la siguiente
forma:
Se multiplica A X = B por A-1
A-1A X = A-1B ; X = A-1B, entonces X = A-1B
x1 =
det (A1)
, x2 =
det (A2)
, . . . ,
xn =
det (An)
det (A) det (A) det (A)

64. Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
=2(-2)(5)+(1)(-3)(8)+1(3)(2)-(8)(-2)(1)-(2)(-3)(2)-(5)(3)(1)
= -20 – 24 + 6 + 16 + 12 – 15
Det(A)= -25
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 11
28
23
12
528
323
112
A

65. Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A1) =
=6(-2)(5)+1(-3)(11)+1(5)(2)-11(-2)(1)-2(-3)(6)-5(5)(1)
= -60 – 33 + 10 + 22 + 36– 25
det (A1) = -50
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 11
211
25
16
5211
325
116


66. Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A2) =
=2(5)(5)+6(-3)(8)+1(3)(11)-8(5)(1)-11(-3)(2)-5(3)(6)
= 50 – 144 + 33 – 40 – 90 + 66
det (A2)= -125
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 1
118
53
62
5118
353
162


67. Ejemplo.
Resolver mediante la regla de Cramer.
det (A3) =
=2(-2)(11)+1(5)(8)+6(3)(2)-8(-2)(6)-2(5)(2)-11(3)(1)
= -44 + 40 + 36 + 96– 20 – 33
det (A3)= 75
2x1 + x2 + x3 = 6
3x1 - 2x2 - 3x3 = 5
8x1 + 2x2 + 5x3 = 1
28
23
12
1128
523
612


68. 2
25
50
)det(
)det( 1
1 



A
A
x
5
25
125
)det(
)det( 2
2 



A
A
x
3
25
75
)det(
)det( 3
3 


A
A
x
)det(
)det(
A
A
x n
n 

69. 22. 3.6.4 Aplicaciones de matrices.
 1. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro
alumnos de 2º de Bachillerato, en las tres
evaluaciones del curso fueron las siguientes:
CALIFICACIONES
Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev
Antonio 8 7 5
Jaime 4 6 5
Roberto 6 5 4
Santiago 7 6 8

70.  Para calcular la calificación final, el departamento
de matemáticas ha establecido los siguientes
"pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25
%, 2ª Ev: 35 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide:
 a) La nota final de cada uno de los alumnos.
 b) La media aritmética de las calificaciones de cada
evaluación.
Solución:

72.  2. Tres familias numerosas van a una heladería.
La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un
helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia
consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito
y una granizada y la tercera familia, 3 helados de
barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.
a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número
de helados de barquillo, helados de vasito y
granizadas que consume cada familia.
b) Si cada una de las tres familias ha gastado
respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio
de un helado de barquillo, un helado de vasito y
una granizada.

73.  Solución:

74.  3. La maestra de matemáticas está poniendo
ejemplos a sus alumnos acerca de las matrices,
tomando a Juan y David, y Jorge, Alex y Mónica
como su ejemplo principal. Juan posee 3 lapiceros
rojos, 2 azules y perdió 5 negros, David tiene 1 rojo,
4 azules y perdió 2 negros, mientras que Jorge sólo
tiene 2 rojos y 4 azules, Alex posee 5 rojos y 1 azul, y
Mónica cuenta con 3 rojos. La maestra toma estos
datos de ejemplo, y dadas las matrices obtenidas
por ambos grupos, les pidió:
a) Calcula, si es posible, los productos A.B y B.A.
b) Calcula, si es posible, (A.B) -1.

75. Solución:

76.  4. Calcula An siendo A:
Solución:

77.  5. Resuelve la ecuación matricial: A.X - 4.B =
X, siendo:
Solución: