1. Desarrollo por cofactores

2. Definicion
• 1. si A=[a] es una matriz 1x1 el determinante de A se denota y define como
• 2 si A=
a b
c d
es una matriz de 2x2 de define y denota el determinante
det(A)=a
de A
como det(A)= ad – bc
• 3 supongamos que es un entero mayor a 2 y que los determinantes para matrices de
orden menor o igual a n – 1 ya han sido definidos. Si A es una matriz x , entonces:
(a) Se define el menor del elemento de A (o simplemente el menor i j) como el
determinante que se obtiene de la matriz que resulta de eliminar la fila y la columna
de A. A este numero lo denotamos por
El cofactor del elemento aij de A (o simplemente el cofactor ), se define y denota como
c =(-1) Mij.

3. Ejemplo
A=
1 0 2
-4 3 1
0 2 1
Entonces
M12 = det
-4 1
0 1
=-4
Y
c12 = (-1)1+2 M12=(-1)3 (- 4)=4

4. • Teorema 2.7 Sea A ∈Mn n.
• 1. Sean f1, f2, . . . , fn los elementos de una fila, Fi, cualquiera de A, con c1, c2, . . . , cn sus respectivos
• cofactores y
• ΔFi = c1 f1+c2 f2+· · ·+cn fn.
• 2. Sean g1,g2, . . . ,gn los elementos de una columna, Gj , cualquiera de A, con d1,d2, . . . ,dn sus
• respectivos cofactores y
• ΔGj = d1g1+d2g2+· · ·+dngn.
• Entonces:
• • ΔFi = ΔFk para todo par de filas Fi y Fk de A.
• • ΔGj = ΔGl para todo par de columnas Gj y Gl de A.
• • ΔFi = ΔGj para toda fila Fi y toda columna Gj de A.

5. Definición 2.5 Al numero real com un que se calcula en los incisos 1 y 2 del teorema anterior se le
llama el determinante de la matriz A y se denota como det(A) o |A|.8 Es decir,
1. |A| = ΔF para cualquier fila F de A y
2. |A| = ΔG para cualquier columna G de A.
En el caso 1 se dice que el determinante se ha desarrollado por cofactores en la fila F y, en el caso
2, que se ha desarrollado por cofactores en la columna G.
• Ejemplo 2.16 Sea
A= a b
c d
• , entonces c11 = (−1)1+1M11 = det [d] = d; c12 = (−1)1+2M12 =
• −det ([c]) = −c; c21 = (−1)2+1M21 = −det ([b]) = −b; y c22 = (−1)2+2M22 = det ([a]) = a. Por tanto,
• ΔF1 = ac11+bc12 = ad+b(−c) = ad−bc = det (A) ,
• ΔF2 = cc21+dc22 = c(−b)+da = ad−bc = det (A) ,
• ΔG1 = ac11+cc21 = ad+c(−b) = ad−bc = det (A) ,
• ΔG2 = bc12+dc22 = b(−c)+d(a) = ad−bc = det (A) .⎦.

6. • Es posible hacer un poco m as eficiente el desarrollo por cofactores. Si A es una matriz cuadrada
• de orden n y vamos a calcular su determinante, por ejemplo, desarrollando por cofactores en la fila Fi,
• entonces
|A| = Σ(−1)i+k aikMik
• donde Mik es el menor del elemento aik de la matriz A; es decir, Mik es el determinante de la matriz
de la matriz A. Dado que (−1)i+k es 1 o
(n−1) (n−1) que resulta de eliminar la fila y la columna
−1 si j+k es par o impar, podemos desarrollar las siguientes matrices de signos para evitar calcular la potencia
(−1)i+j:
+ - +
+ - +
- + + - +
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+

7. ejemplo