1. UNIVERSIDAD TÉCNICA “LUIS VARGAS TORRES” DE
ESMERALDAS
ALUMNO:
NARANJO ANDRADE DANIEL EDUARDO
ASIGNATURA:
DIBUJO TECNICO
MAESTRO:
ING. ARCESIO ORTIZ
CARRERA:
INGENERIA MECANICA
CICLO:
SEGUNDO CICLO
AÑO:
2014-2015

2. PITÁGORAS
Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el
469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales y de Fenecidas de Siria, estudió en
la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para
escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta
establecerse en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa
escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus
discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido
Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo,
aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc...,
pero sin haberlo demostrado.

3. La Escuela Pitagórica
La Escuela Pitagórica, al parecer fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y
política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos
alimentos y observar el celibato (permanecer soltero). En los grados más altos, los
pitagóricos vivían en completa comunidad de bienes. Las enseñanzas de los
pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras,
fundador de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y
ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extendía a todo
lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemáticos, por
eso no se tiene certeza sobre qué descubrieron y quién lo descubrió. La doctrina de los
pitagóricos tenía esencialmente carácter religioso, fundamentalmente consistió en que
la sustancia de las cosas era el número. La naturaleza, las estrellas, ... todo estaba
basado en relaciones numéricas enteras o fraccionarias.
La secta acabó teniendo un carácter político lo que provocó enfrentamientos,
persecución y por fin su práctica ruina con el exilio y un cierto grado de dispersión. Las
sedes de su escuela fueron incendiadas, y sólo tiempo después los desterrados
pudieron volver a su patria. Es probable que Pitágoras se viese obligado por estos
movimientos insurreccionales, a dejar Crotona para irse a Metaponto. Parece ser que
fue el exilio lo que provocó que se abrieran en cierta medida y que se conocieran gran
parte de sus conocimientos. En matemáticas fueron importantes: los números, sus
relaciones, la aritmética, la geometría,... aunque también la música, en la que veían la
influencia de los números al obtener diferentes sonidos relacionados entre sí al dar
diferentes tamaños a las cuerdas de una lira. Pitágoras y los pitagóricos tuvieron gran
influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas.
Las Matemáticas de los pitagóricos
Como hemos dicho más arriba se les atribuyen numerosos e importantes
descubrimientos en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos:
El teorema de Pitágoras
Se atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Como
hemos dicho más arriba, ya los babilonios y los egipcios, usaban con una eficacia
asombrosa, la relación establecida en el Teorema de Pitágoras para resolver problemas
prácticos, pero no conocían la demostración.
Los números irracionales
Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores
de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la
escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables", como , que no
eran ni enteros ni fraccionarios.

4. Clasificaciones de los números
La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los
pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas
clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos
hoy, también otras más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos que
las pienses para divertirte un rato:
Números triangulares.
Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los
de la figura siguiente:
¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes?
Números cuadrados.
De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de
cuadrados como en la figura siguiente:
¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes?
Números perfectos.
Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo,
por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. ¿Eres capaz de
encontrar el siguiente? Los demás son más complicados. Prueba con el siguiente al 6.
Los sólidos cósmicos.
Sólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban
sólidos cósmicos aunque fue Euclides el que demostró que no hay más poliedros
regulares. Estas cinco figuras geométricas fueron admiradas, entre otros, por Platón
que pensó que representaban los elementos fundamentales que constituían el mundo:
AIRE, AGUA, FUEGO, TIERRA y COSMOS:

5.  OCTAEDRO, ocho caras que son triángulos equiláteros. Para Platón
EL AIRE.
 ICOSAEDRO, veinte caras que son triángulos equiláteros. EL AGUA para
Platón.
 TETRAEDRO, cuatro caras que son triángulos equiláteros. EL FUEGO para
Platón.
 CUBO, seis caras que son cuadrados. Según Platón LA TIERRA.
 DODECAEDRO, doce caras que son pentágonos regulares. Platón lo
identificó con EL COSMOS.
LA FILOSOFÍA DE PITÁGORAS
Se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.
Doctrinas básicas
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los
enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de

6. consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del
autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del
alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euforbo, y
combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida
terrenal la memoria de todas sus existencias previas.
Teoría de los números
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se
encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de
los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista
aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio
crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios,
establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran
descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema
de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Astronomía
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento
científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo
que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden
armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema
numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los
pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por
intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el
movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las
esferas.1

7. AREA DE UN POLIGONO REGULAR
En este apartado están los polígonos regulares que tienen más de 4 lados iguales. Los
ángulos también son iguales.
El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono, etc.
Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente formula: A = (P · a) / 2
(Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido
entre dos.)
Área

8. Ángulos de un polígono regular
Ángulo central deun polígonoregular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º
Ángulo interiordeunpolígono regular.-Esel formadopor dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Ángulo exteriordeunpolígono regular.-Esel formadopor un lado y la prolongación de
un lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Perímetro de un polígono regular
El perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado.
P = n · l

9. Área de un polígono regular