una clase hecha en un momento dificil

1. DIDACTICA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS DERIVACIÓN NUMÈRICA

2. Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

3. La aproximación del valor de la derivada de una función en un punto no es, nuestro objetivo, pues el comando diff de Matlab, se encarga de eso. Por el contrario, si es que se conocen los valores de la función en algunos puntos, es ahí donde las fórmulas de derivación aproximada sí serán de granutilidad.

4. Ejemplo Vamos a aproximar la derivada primera de una función f, que suponemos regular, en un punto x utilizando los valores de la función en dos puntos x y x+h. Consideremos el desarrollo de Taylor de segundo orden:

5. quedetermina Portanto, la formula aproxima la derivada primera de f en x

6. con un error denotemos

7. Fórmulas de diferencias centradas Si la función f(x) puede evaluarse en puntos que están a ambos lados de x, entonces usamos… Teorema 1. (Fórmula centrada de orden O(h2)) Supongamos que f ε C[a,b] y que x-h, x, x+h ε [a,b]. Entonces:

8. Es más, existe un número Ɵ= Ɵ (x) ε[a,b] tal que siendo El termino E(f,h) se llama error de truncamiento

9. En efecto, usando la formula de Taylor de orden 2 de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h) y

10. Restando ambas expresiones y dividiendo por 2h como f’’’(x) es continua, por el teorema de valor intermedio existe q= q(x) en (a,b) tal que

11. Así, la formula: aproxima a la derivada de f en el punto x con un error

13. Si los valores de la tercera derivada f’’’(Ɵ) no cambian muy rápidamente, entonces el error de truncamiento tiende a cero a la misma velocidad que h2, lo que expresamos mediante la notación O(h2)

14. Teorema 2 (Fórmula centrada de orden O(h4) Supongamos que f Ɛ 𝐶5[a,b] y que x-2h, x-h, x, x+h, x+2h pertenecen a [a,b]. Entonces: Es mas, existe un numero Ɵ= Ɵ (x)Ɛ[a,b] tal que

15. siendo

16. En efecto, a partir de los desarrollos de cuarto orden de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h) y

18. Ahora usamos como incremento 2h, en vez de h, y escribimos la correspondiente aproximación:

19. A continuación multiplicamos por 8 a la expresión (@) y le restamos la relación (*), con ello se simplifican varios términos y obtenemos

20. Si 𝑓(5) tiene signo constante y no cambia muy rápidamente cerca de x, podemos encontrar un punto ɞ en [x-2h,x+2h] tal que

21. Reemplazando la ecuación (6) en (5) y despejando f’(x), obtenemos

22. Ahora podemos comparar las formulas (1) y (3). Supongamos que f(x) admite cinco derivadas continuas y que |𝑓(3)(c)| y |𝑓(5)(c)|valen más o menos lo mismo, entonces el error de truncamiento de (3) es de orden O(h4) y convergerá a cero más rápidamente que el error de truncamiento de la fórmula (1) que es de orden O(h2); esto quiere decir que podemos usar un incremento mayor para lograr la misma precisión.

23. EJEMPLO: sea f(x)=cos(x) (a) Vamos a usar las fórmulas (1) y (3) con incrementos h=0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 para calcular aproximaciones a f '(0.8). Trabajaremos con nueve cifras decimales significativas. (b) Compararemos los valores obtenidos con el exacto f '(0.8) = -sen(0.8)

24. SOLUCIÓN Usando la fórmula (1) con h=0.01

25. Usando la fórmula (3) con h=0.01

26. (b) El error en las aproximaciones dadas por las fórmulas (1) y (3) son: ⇒ -sen(0.8) - (-0.717344150) = - 0.717356090899523- ( - 0.717344150) = - 0.000011941 ⇒ -sen(0.8) - (-0.717356108) = - 0.717356090899523- ( - 0.717356108) =0.000000017

27. Vemos que, en este ejemplo, la fórmula (3) proporciona una aproximación a f’(0.8) mejor que la que proporciona la fórmula (1) cuando h=0.01 pero no cuando h=0.0001(véase la tabla)

28. Tabla : Derivación numérica mediante las fórmula (1) y (3)

29. FIN