1. DERIVADA PUNTUAL
Y
FUNCIONAL
Prof. Nicolás Trías
C.E.T.P

2. Introducción
Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
 Dominio
 Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
 Continuidad
 Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero
conocer:
 Intervalos de crecimiento / decrecimiento
 Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS
DERIVADAS

3. La importancia del signo de las
tangentes
 La clave para el
estudio de las dos
cosas que nos
proponemos
(máximos
mínimos, e
intervalos de
crecimiento y
decrecimiento) son
las rectas tangentes:

4. La importancia del signo de las
tangentes
• En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir, la
pendiente es 0)
• En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene
pendiente positiva, en
los de decrecimiento la
tiene negativa.

5.  Llamamos derivada de
la función f en x=a a la
pendiente de la recta
tangente a la gráfica
de f en el punto de
abscisa a
 La derivada de la
función f en a se
denota con el símbolo
f’(a), que se lee “f
prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en
el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f ´(-2)= 0
f ´(2)=1,2
f ´(4)=0
f ´(6)=-1,3

6. INTERPRETACIÓN GEOMETICA
DE LA DERIVADA
Sea f(x) una función
y “ t ” la recta secante
a f(x) en los puntos
P = ( x , f(x) ) y
Q = (x + h , f(x + h)),
respectivamente.

7. Pendiente de la recta tangente a un
gráfico
La razón
representa a la pendiente de
la recta secante que pasa por
P y Q.
A medida que h tiende a cero,
el punto Q se aproxima cada
vez más a P, por lo tanto la
recta secante está más
próximo a ser recta tangente.

8. Pendiente de la recta tangente a un
gráfico
 Entonces cuando h 0 la pendiente de la
recta secante se transforma en pendiente
de la recta tangente en el punto P.
 Luego la pendiente de la recta tangente
viene dada por:
mt =

9. DEFINICIÓN

10. NOTACIONES
 Otras notaciones comunes para la derivada
de la función f(x) son:

11. EJERCICIOS
Encuentre:
1. La derivada de f(x) = x3 + 2x
2. La pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto P = (1, 3)
3. La ecuación de la recta tangente a la curva en P

12. REGLAS DE DERIVACIÓN

13. Reglas de derivación
 Derivada de la suma de funciones:
(f + g)´ (x) = f´(x) + g´(x)
 Derivada de la diferencia de funciones
(f - g)´ (x) = f´(x) - g´(x)
 Derivada del producto de funciones
(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)

14. Reglas de derivación
 Derivada del cociente de funciones
f(x) ´ f ´(x).g(x) – f(x).g´(x)
=
g(x)
( g(x) ) 2

15. EJERCICIO
 Derive la siguiente función:

16. REGLA DE LA CADENA
Se refiere a la derivada de funciones
compuestas.
Dada la función fog = f(g(x)) , la regla
establece que:
(f o g )´= (f(g(x)))´ = f´(g(x)).g´(x).x´

17. EJEMPLO
Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4,
entonces la función
compuesta viene dada por y =
f(g(x)),
La derivada de y con respecto
a u viene dada por:
= 12 u2
La derivada de u con respecto
a x viene dada por:
= 10 x

18. DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
Sea y = f(x) una función, si su derivada
existe, se denota por f ´(x). Si f ´(x) es
una función entonces si la derivada
existe, se denota por f ´´ (x), la cual se
llama segunda derivada o derivada
segunda de la función f(x)
En general la n-ésima derivada de una
función viene dada por f n(x).

19. EJEMPLO
Encuentre la tercera derivada de

20. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE
UNA FUNCIÓN
 En que intervalos la función crece y/o decrece.

21. FUNCIÓN CRECIENTE
 Una función f definida en algún
intervalo se dice que es creciente en
dicho intervalo si solo si:
f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2

22. FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función f definida en algún
intervalo se dice que es decreciente en
dicho intervalo si solo si:
f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2

23. TEOREMA
Sea f una función continua en [a,b] y derivable en un
intervalo (a,b) se tiene que:

24. MAXIMOS Y MINIMOS
RELATIVOS

25. VALOR MAXIMO RELATIVO
 Se dice que f tiene un máximo relativo en un
punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que

26. VALOR MINIMO RELATIVO
 Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto
c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que:

27. PUNTOS CRITICOS
Si la función f está definida en un
punto c, se dirá que c es un número
critico de la función f si
f ´(c) = 0 o si f ´ no está definida en c.

28. OBSERVACIÓN
Si una función tiene un valor
máximo relativo o un valor mínimo
relativo en c, se dice entonces que la
función tiene un extremo relativo
en c

29. TEOREMA
Los extremos relativos solo
ocurren en los puntos críticos.

30. FIN