calculo

1. EJERCICIOS RESUELTOS DERIVACION
1. Use la definición de la derivada de una función, para calcular y’ o f ’(x) si y
evaluarla en .
Solución
De acuerdo a la definición , se tiene:
(indeterminado de la forma )
En particular,
Obsérvese que y’ no existe en y por lo tanto, aunque el dominio de es , el
dominio de su derivada es .
2. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal
que: > para todo x e y. Además, f(0)=1 y existe. Probar que f ’(x) existe
para todo x y .
Solución
De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f:
(Hipótesis)

2. (factor común)
(1)
Ahora, y como por hipótesis,
, se tiene que:
(2).
De la igualdad (2) se deduce también que existe.
Sustituyendo (2) en (1) se concluye que:
y además f ’(x) existe.
3. Considere la función f definida por:
Determine el valor de las constantes a y b para que f ’(1) exista.
Solución
En primer lugar si f ’(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 , f es
continua en x = 1. O equivalentemente,
.
Esto es, (1)
Ahora, decir que f ’(1) existe, equivale a afirmar que f ’+(1) y f ’- (1) (las derivadas laterales)
existen y son iguales.
Pero, (Porqué?)
Asi que: (2)
Igualmente,

3. (3) (Porqué?)
Sustituyendo (1) en (3), se tiene:
Es decir, (4)
De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en
consecuencia, b = -1.
Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi:
4. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
Solución
a) Por la regla de la cadena:
Pero, (R.D.7 )

4. Luego,
b) Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g (t) con exponentes
racionales. Asi:
Entonces:
(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.).
c.
Pero,
Luego,
d. En primer lugar note que:
Asi que:
Pero,

5. Luego,
5. De dos funciones f y g se sabe que:
; ; y
¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual?
¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual?
Solución
La regla de la cadena (R.D.8.) establece que :
Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y
x = 5.
Si x = 3, pero no tenemos información acerca de los valores g(3)
ni g ’(3). Asi que no es posible calcular en x = 3.
Si x = 5, .
Pero, y
Luego,
Se puede verificar y se deja como ejercicio que la información dada es insuficiente para
calcular y . (¡Verifique!).
6. Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula:
, hallar ó y’.
Solución

6. La ecuación: puede escribirse en las formas equivalentes:
(1)
Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:
, de donde,
7. Suponga que y (x) es una función diferenciable de la variable x; y además las variables x e y
están ligadas por la fórmula:
(1)
Suponga que y(1)=1. Hallar siguiendo estos pasos:
a) Demuestre que:
b) Use la parte a. para calcular y’(1).
c) Derive la ecuación obtenida en a. para demostrar que:
d) Use la ecuación obtenida en c. para calcular (Nota: Se conocen y ).
Solución
a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:
(2)
b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así:
Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:
Esto es,

7. De donde,
c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:
(3)
d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así:
Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:
Pero, y . Luego,
Esto es,
De donde,
8. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la
tangente) LN a la curva de ecuación: , en el punto P (3, 1).
Solución
Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.)

8. fig. 1.
La pendiente de , viene dada por:
Pero,
Asi que,
Usando ahora la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para
: , es la ecuación de la recta tangente.
Ahora, como , se deduce que .
Usando nuevamente la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene para
: es la ecuación de la recta normal.
9. Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación , que es
paralela a la recta de ecuación: x+12y-6=0
Solución
En la fig. 2. aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.

9. fig. 2.
Si se denota por LN la recta normal, como es paralela a , se tiene que
(sección 4.5.).
Para determinar la ecuación de , hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia.
Para ello, se usa el hecho de que ( : pendiente de la tangente).
De otro lado,
Asi que
Este último resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7).
En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema.
Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente .
Su ecuación viene dada por:
La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente .
Su ecuación viene dada por:
10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: en el punto
(3, 1).
Solución
En primer lugar note que: , indicando con esto que el punto (3, 1)
pertenece a la curva.
Ahora,
Para determinar se usa derivación implícita en la ecuación:
Esto es,

10. De donde,
Luego,
Es decir,
Asi que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:
11. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar:
a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg.
b. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
c. La altura máxima alcanzada.
d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo.
Solución
Partiendo de la ecuación del movimiento conocida en física: , en donde:
m/seg (velocidad inicial); g es la aceleración (gravedad), que se toma aproximadamente en 10
m/seg2 y cuya dirección positiva es hacia abajo, se puede escribir:
S = f(t) = 20t– 5t2 (1)
a. La velocidad en cualquier instante t, viene dada por:
Esto es, (2)
(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.)
(Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.)
b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que:

11. Cuando t = 0, V = 20 m/seg.
Cuando t = 1, V = 10 m/seg.
Cuando t = 3, V = -10 m/seg.
Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instante
cuando la pelota alcanza su altura máxima.
pero seg. (tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima).
Ahora, como en la ecuación (1), S indica la posición (distancia) en cada instante t, se tiene en
particular para t = 2,
S = 20(2) – 5(2)2 = 20 m. (altura máxima).
d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo que
tarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2).
Para ello se hace S = 0 en (1):
2
0 = 20 t – 5 t
t = 0 (momento del lanzamiento) t = 4 (momento en que regresa al suelo)
Ahora
la rapidez es
12. Determine, si existen los extremos absolutos (máx. y mín.) de la función:
en el intervalo [-3,2]
Solución
Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto esta
garantizada por el teorema 2 de la sección 9.9.3. Para determinarlos, se aplica la regla práctica
dada en la observación del mismo teorema.
Considere los puntos críticos por medio de la derivada.
son los únicos puntos críticos.
Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
.

12. Máximo absoluto de f en es
Mínimo absoluto de f en es
13. Determine, si existen los extremos absolutos de la función: en el intervalo
[-5,4]
Solución
La continuidad de f en el intervalo , garantiza la existencia de extremos absolutos de f en
dicho intervalo.
Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.
El único punto crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que no tiene
solución).
Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
Máximo absoluto de f en es
Mínimo absoluto de f en es
14. Considere la función f definida por:
Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3] .

13. Solución
La función es continua en todos los puntos del intervalo (verifique). Por el teorema 2
(sección 9.9.3.), f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para
determinarlos, se consideran primero los puntos críticos de f:
Puesto que y , la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto corresponde a un
punto crítico de f.
De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único punto
crítico es x = 1.
Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:
Máximo absoluto de f en es
Mínimo absoluto de f en es
15. Analizar si satisface las hipótesis del T.V.M. para derivadas en el
intervalo y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen la conclusión.
Solución
i. es continua en ¿Porqué?
ii. es derivable en ¿Porqué?
Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C, tal que:
Pero,

14. Asi que:
Por lo tanto,
De donde,
De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es que es la única solución
buscada.
16. Para la función , estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el intervalo
[-2, 2].
Solución
i. Claramente la función es continua en [-2, 2].
ii. , no existe en el punto x = 0.
Luego, no se cumple la condición ii. del teorema, y en consecuencia, no puede garantizarse la
existencia del punto C.
Ahora, y como no se anula para ningún valor real de x,
entonces la igualdad: no se cumplirá en ningún C en (-2, 2).
17. a. Demostrar que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la función es
constante en dicho intervalo.
b. Use la parte a. para demostrar que: es constante. Hállese el valor de dicha
constante.
Solución
a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del T.V.M. (Porqué?).
Ahora, sean dos puntos cualquiera del intervalo [a, b] y sea f la función.
Para probar la parte a. es suficiente probar que , lo cual obliga a que la función sea
constante.
Según el T.V.M., existe un número C entre y tal que:

15. y como , se concluye entonces que .
b. (TEOREMA SECCIÓN 9.6.)
.
Como , se sigue de la parte a. que es una función constante.
Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la función en algún número específico, el cual se
puede elegir arbitrariamente, por ejemplo, .
Se tiene entonces, .
Luego, para todo x. (x en el dominio común de la secante y la tangente).
Este resultado no debe sorprender puesto que , es una identidad trigonométrica
conocida.
18. Evaluar los siguientes límites:
a.
b.
Solución
a. El límite es indeterminado de la forma .
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así:
Como , x < 0 y se puede escribir en el numerador.
Luego,

16. b. Este límite también es indeterminado de la forma .
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador nuevamente por x y
como , se puede escribir en el numerador, asi:
19. Evaluar el siguiente límite:
Solución
El límite es indeterminado de la forma: .
Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión inicial
por y luego, se divide numerador y denominador por x.
Esto es,

17. Ahora, como x > 0 se puede escribir en el denominador de la última fracción.
De esta forma:
20. Evaluar los siguientes límites:
a.
b.
Solución
a. Al dividir numerador y denominador por (mayor potencia de x), se obtiene:
b. Nótese que como la función es una función par, esto es ,
significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para
valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que,
21. Trazar la curva correspondiente a la función:

18. Solución
Determinemos los elementos fundamentales de la curva como son:
1. Dominio natural de f (x).
Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son y (valores de x que
anulan el denominador). De esta forma: .
2. Interceptos:
i. Con el eje x (se hace y = o en (1)):
Esta última ecuación no tiene Solución real, indicando con esto que la curva no corta al eje x.
ii. Con el eje y (se hace x = o en (1)): Asi que, la curva corta al eje y en el
punto .
3. Asíntotas:
i. Verticales: son aquellos valores de x que anulen el denominador de (1). En este caso, las rectas
verticales x = 2 y x = – 2 son asíntotas verticales de la curva.
Además,
ii. Horizontales:
Como: , se deduce que y = 1 es una asíntota horizontal de la curva.
De otro lado, como, , se deduce entonces que los valores de la función

19. para valores grandes de x en valor absoluto, son mayores que 1, indicando con esto que la curva
siempre está por encima de la curva.
En la fig. 3. se indica el intercepto de la curva con el eje y, el comportamiento de la curva cerca de
las asíntotas.
fig. 3
iii. Oblicuas: No tiene. ¿Porqué?.
4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.
Para ello, se hace el análisis de la primera derivada.
Como (positivo), el signo de la derivada, solo depende del signo del factor (–14 x).
Asi:
Signo de (–14 x) ó Signo de f ’(x) +++++++++++++++| - - - - - - - - - - - - - - -
0
El diagrama indica que: f (x) es creciente en
f (x) es decreciente en
En consecuencia,
x = 0, corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo. .
5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión.
Para ello, se hace uso de la segunda derivada.
Si
Como (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores

20. del denominador.
Signo de (x – 2)3- - - - - - - - - - - - - - - | +++++++++++++++
2
Signo de (x + 2)3- - - - - - -| ++++++++ +++++++++++++++
-2
Signo de f ’’(x) +++++++++| - - - - - - - |+++++++++++++++
-2 2
El signo de la segunda derivada indica que:
f (x) es cóncava hacia arriba (+) en
f (x) es cóncava hacia abajo (-) en
En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, indicando con esto que hay "inflexión"
pero, no existe punto de inflexión (¿Porqué?).
La fig. 4. recoge toda la información obtenida y proporciona una muy buena aproximación a la
gráfica de la función dada.
fig. 4
22. Trazar la curva correspondiente a la función:
(1)
Solución
1. Dominio natural de f(x):
El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). Asi
que
la función es continua para todo , por ser el cociente de dos polinomios.
2. Interceptos:

21. i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): . Luego el punto es el
intercepto de la curva con el eje x.
ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): . Luego el punto es el intercepto de la curva
con el eje y.
3. Asíntotas:
i. Verticales: El único valor de x que anula el denominador es x = 1 y esta es la única asíntota
vertical de la curva.
De otro lado:
ii. Horizontales: No tiene (¿Porqué?).
iii. Oblicuas: Como el grado del numerador es 3, una unidad mas que el grado del denominador
que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b.
Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene:
Asi que es la asíntota oblicua de la curva.
Para estudiar el comportamiento de la curva "cerca" de la asíntota se estudia la diferencia:
, para un mismo valor de x.
Donde : la ordenada de la curva y : ordenada de la asíntota.
Esto es, Si x >0, entonces, ,
indicando con esto, que para valores grandes de x (positivos), la curva esta por encima de la
asíntota.
Si x <0, entonces, , lo cual indica que para valores grandes de x (negativos), la curva
esta por debajo de la asíntota.
En la figura 5 se ilustra los interceptos de la curva con los ejes coordenados, asi como también el
comportamiento de la curva "cerca" de las asíntotas.

22. fig. 5.
4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.
Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada.
El signo de f ’(x) depende de los signos que poseen los factores (x – 5) y (x – 1)3, puesto que
(x + 1)2 es siempre positivo.
Signo de (x –
5)
Signo de (x - 1)3
Signo de f ’(x)
El signo de f ’(x) indica:
f crece en los intervalos y
f decrece en el intervalo
x = 1 corresponde a un máximo relativo.
x = 5 corresponde a un mínimo relativo.
5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión
Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f’’(x).

23. El signo de f’’(x) solo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y son siempre
positivos.
Signo de (x +
1)
El signo de f ‘’(x) indica:
f(x) es cóncava hacia abajo en
f(x) es cóncava hacia arriba en .
El punto corresponde a un punto de inflexión, es decir en la curva cambia de
concavidad.
En la fig. 6. se traza la curva con todos los elementos asi obtenidos
fig. 6.
23. Trazar la gráfica de la función: (1), para x en
Solución
Como solo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo , solo se tiene en cuenta para
su análisis los siguientes elementos:
1. Continuidad:

24. La función es continua en el intervalo por ser suma de funciones continuas
2. Interceptos:
i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)) y se resuelve para x.
Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene por la fórmula general:
La ecuación , carece de solución (¿Porqué?).
Si , entonces y
Luego, los interceptos de la curva con el eje x, son los puntos:
y
ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así .
3. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos
Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f’(x).
El signo de la derivada depende del signo de los factores y en el intervalo .
es positivo, si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,
si , es negativo, si x pertenece al segundo o al tercer cuadrante, es
decir, si .
Ahora, como siempre que , se deduce que
si si .
También, siempre que ó , así que

25. si .
Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:
Signo de ( 2 cos x)
en el intervalo
Signo de
en el intervalo
Signo de
en el intervalo
El signo de indica que es creciente en los intervalos: y,
es decreciente en los intervalos: y, .
Del diagrama anterior, se puede concluir también que:
corresponde a un máximo relativo, es decir, es un punto máximo de la curva
corresponde a un máximo relativo, es decir, es un punto máximo de la curva
corresponde a un mínimo relativo, es decir, es un punto mínimo de la curva
Finalmente, corresponde a un mínimo relativo, es decir, es un punto mínimo de la
curva
4. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexión
Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: .

26. (2)
Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación: .Es decir,
Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene:
(3)
Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pueden obtener los siguientes
valores aproximados de x:
y
Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexión, se hace necesario
analizar el signo de la segunda derivada
Los valores dados en (1), permiten escribir así:
Mediante consideraciones similares a la hechas para , se puede obtener la información que aparece
en el diagrama siguiente:
Signo de
Signo de
Signo de
El signo de indica que:

27. es cóncava negativa en:
es cóncava positiva en:
Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión:
; ; y
Con la información dada en los cuatro puntos anteriores, se puede trazar una buena aproximación a la
curva correspondiente, como aparece en la fig. 7.
Fig. 7.
Ejercicios Propuestos Sobre Derivación
1. Use la definición de la derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c. y evaluarla en
d. t(x)=
2. Sea Hallar las derivadas laterales de f(x) en x = 2 y determinar
si existe.
3. Sea Determine los valores de las constantes a y b para que
exista.

28. 4. Si , probar que y . Calcular: y
5. Sea f la función definida por: Probar que si existe,
entonces, f es continua en a.
6. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal
que: , para todo a y b. Además, y existe. Probar que
existe para todo x y además se cumple que: .
7. Usando las reglas de derivación, calcular la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. h.
i. j.
k. l.
m.
ll.
o.
n.
q.
p.
r. rr.
8. Suponiendo que cada una de las siguientes ecuaciones define una función de x derivable,

29. encuentre y’ o usando derivación implícita.
a. b.
c. x3 - 3x2y + 19xy = 0 d.
e.
f.
g. h.
j.
i.
9. Sea una función derivable de x tal que: . Supóngase que . hallar
siguiendo estos pasos:
a. Probar que .
b. Usando la parte a. hallar .
c. Derivar la ecuación en a. para demostrar que: .
d. Usando la ecuación en c. hallar [Ayuda: Se conocen y ].
10. Hallar y si , y, .
11. Hallar , si y además,
9.11.2 Ejercicios Propuestos Sobre La Interpretación Geométrica y Física De La
Derivada
1. En los ejercicios siguientes, encontrar la ecuación de la recta tangente y de la recta
normal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.
a. ;x=1 b. ;x=0

30. c. ;x=3 d. ;x=4
e. ;x=1
2. Encuentre la ecuación de la normal a la curva: en el punto
(3, 1)
3. Demuestre que las hipérbolas , y, se intersectan en ángulo recto.
4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva que es paralela a la
recta .
5. Encontrar una recta que pase por (2, – 3) y sea tangente a la curva .
6. En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal, según la
ecuación de movimiento dada. Hallar la velocidad instantánea para los valores particulares
de t indicados. Determine además, los instantes en los cuales la partícula se encuentra en
reposo.
a. ;t=2
b. ; t = 1/5
c. ;t=3 d. ;t=4
7. Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/seg. en dirección vertical hacia
arriba. Encuentre:
a. La velocidad instantánea cuando t = 5 seg.
b. La altura máxima a la que llega el objeto
c. La rapidez en el instante t = 2 seg.
d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida.
(Nota: Use la fórmula )
8. Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una altura
pies después de t segundos.
a. ¿Cuál es su velocidad inicial?
b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?
c. ¿Cuál es su altura máxima?
d. ¿Cuándo alcanza el piso?
e. ¿Con qué velocidad llega al piso?
9.11.3 Ejercicios Propuestos Sobre Trazado De Curvas

31. 1. Para las funciones dadas a continuación, encontrar los máximos y mínimos relativos, los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva.
a. b.
c.
d.
e. f.
h.
g.
2. Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida por ,
tenga un extremo relativo en (2, 3).
3. Para cada una de las funciones dadas a continuación, determine los extremos absolutos de f en
el intervalo dado.
a. en
b. en
c. en
d. en
e. en
f. en
4. Para las funciones dadas a continuación verifique las condiciones del Teorema de Rolle y
encuentre el punto C que satisface la conclusión del teorema.
a. en
b. en

32. c. en
d. en
5. Para las funciones dadas a continuación verifique las condiciones del Teorema del Valor Medio
(T.V.M.) y encuentre el punto C que satisface la conclusión.
a. en
b. en
c. en
d. en
e. en
f. en
6. Sea . Demostrar que no existe ningún punto C en (1; 2) que satisfaga la conclusión
del T.V.M. Dibuje la gráfica de la función y señale la parte de la hipótesis que falla en este caso.
7. Sea . Demuestre usando el Teorema de Rolle, que la
ecuación: tiene al menos una raíz real en el intervalo (0; 1).
8. Sea una función continua en [ a, b ] y tal que para todo x en .
Probar que: para todo x en [ a, b ].
9. Juan viajó 125 Km. en 2 horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 60 Km.
por hora. Use el Teorema del Valor Medio para demostrar que mintió (ayuda: Sea la
distancia recorrida en el tiempo t.)
10. Sean y dos funciones que satisfacen la siguiente condición: para todo
x de . Demostrar que existe una constante C tal que: para todo x de
11. Demostrar que si para todo x de , entonces, existe una constante C tal

33. que para todo x de . (Ayuda: Sea y aplique el ejercicio 10).
12. Supóngase que lo único que se sabe a cerca de las funciones y es lo
siguiente: , , y Demostrar
que:
(Ayuda: Sea y use el problema 11).
13. En cada uno de los literales siguientes, determine el valor de que satisface la definición
de límites al infinito, conociendo , Ly .
a. ; L = 3; = 0.005
b. ; L = 0; = 0.02
c. ; L= -2; = 0.001
d. ; L= 1; = 0.01
14. Evaluar cada uno de los siguientes límites al infinito. Describa geométricamente el
comportamiento de la curva "cerca" de la asíntota.
a. b.
c. d.
e. f.
h.
g.
15. Evaluar cada uno de los siguientes límites infinitos y describa geométricamente el
comportamiento de la curva "cerca" de la asíntota.

34. a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
16.Trazar las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: Dominio, interceptos,
asíntotas, crecimiento, decrecimiento, máx.-mín., intervalos de concavidad, posibles puntos de
inflexión.
a. b.
c. d.
e.
f.
17. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condiciones:
a. f es continua en todo el eje real.
b. ,
c. para
d. para
18. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades:
a. g es continua en todo el eje real.
b. ,

35. c. para
d. para ; para para x > 3
19. Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo . La figura adjunta es el
gráfico de la función derivada (no de ).
Gráfica en Construcción
Responda las siguientes preguntas acerca de (no de ):
a. ¿Dónde es creciente? ¿y decreciente?.
¿Dónde es cóncava hacia arriba? ¿y hacia abajo?
¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos?
b. En el supuesto que , dibujar una función que verifique las condiciones expuestas.
9.11.4 Ejercicios Propuestos Sobre Aplicaciones de Máximos y Mínimos. Variables
Relacionadas.
1. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del
lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?.
2. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm. de lado, tienen recortados de sus
esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del
mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se soldan para formar cajas
sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado
deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las 5 cajas?.
3. Un alambre de 100 cm. de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un
círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma
de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de
las áreas?.
4. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 Km. del punto B mas cercano de
la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 Km. de B se halla una tienda. Si el guardafaros
puede remar a 4 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en
el menor tiempo posible?.
5. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la
menor cantidad posible de material.
6. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede
inscribir en una esfera de radio a.
7. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir
en una esfera de radio a.
8. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de
ecuación:

36. 9. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 Km. de una larga carretera recta. Desea caminar
a su cabaña que se encuentra a 10 Km. de distancia por el bosque y también a 2 Km. de la
carretera. (Ver figura). Puede caminar a 8 Km/h por la carretera y a 3 Km/h por el bosque. Así,
decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por
bosque hacia la cabaña.
Gráfica en Construcción
a. ¿Qué ángulo minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su
cabaña?.
b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?
10. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere
utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde.
¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su
respuesta es el mínimo absoluto.
11. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea
utilizar algo de cerca para construir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas
secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este
proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.
12. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar
una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas
paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca
que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.
13. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte
cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas
caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente?.
14. Una escalera de 2 m. de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera esta
resbalando a razón de 0.3 m/seg. ¿A qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la
pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m.?
15. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/seg., mientras que su altura decrece a
razón de 3 cm/seg.
a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿y la altura 12 cm.?
b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante?
16. Un abrevadero que esta lleno de agua tiene 2 m. de largo y sus extremos tienen la forma de
triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado (ejercicio 4, sección 7.6). Si el agua se escapa
por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/seg., ¿con qué velocidad esta bajando el
nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm.?
17. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de
altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 (seg.) se abre un pequeño orificio en
el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies,
el agua fluye a 2 pies3/seg.
a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?.
b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?.
18. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1000 m/min. se acerca a un cruce con
otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m. del cruce, pasa por este un camión que va a 600
m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el
auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce?
19. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/seg. desde un punto P. 5 minutos mas
tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/seg. desde un punto a 500 pies al este
de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer

37. comienza a caminar?.
20. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden
100 cm., aumenta a razón de 0.1 Rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando
el ángulo del vértice mide π /6 rad. ? (Ayuda: ).
21. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de
tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre
el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/seg.
a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600
con el piso.
b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.
9.11.5 Ejercicios Propuestos Sobre El Método De Newton Para Localizar Raíces.
1. Utilizar el método de Newton para calcular las raíces de las ecuaciones dadas con dos cifras
decimales exactas.
a.
b.
c.
d.
2. En los siguientes ejercicios utilice el método de Newton para hallar la raíz indicada, con una
exactitud de tres cifras decimales.
a. La raíz positiva de
b. La mayor de las raíces de x3-3x + 1 = 0
c. La raíz de
d. La raíz de
3. Usar el método de Newton para hallar las raíces indicadas, con una exactitud de cuatro cifras
decimales.
a. ; b. ; c. ; d.
4. a. Muestre que el método de Newton aplicado a la ecuación: produce la iteración:
para aproximar la raíz cúbica de a.

38. b. Use esta iteración para determinar con una precisión de cinco cifras decimales.
5. a. Muestre que el método de Newton produce la iteración:
para aproximar la raíz k-ésima del número positivo a.
b. Use esta iteración para determinar con una precisión de cinco cifras decimales.
6. Muestre que el método de Newton aplicado a la ecuación: produce la fórmula iterativa:
xn+1 = 2xn - a( xn)2 , lo que proporciona un método para aproximar el recíproco de a sin realizar
divisiones. Este método es útil ya que, en la mayoría de las computadoras de alta velocidad, las
operaciones de división consumen mas tiempo que varias sumas y multiplicaciones.
9.11.6 Ejercicios propuestos Sobre Diferenciales
1. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se
encontró que la altura es de 1 m. con un error de 0.005 m. Encontrar el error aproximado
en el volumen del cono.
2. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm. Encontrar el
error aproximado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 5
m.
3. Encontrar el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50
cm. y cuyo espesor sea 1/10 cm.
4. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades:
a. ;
b. ;
c. ;
d.
5. Si , y Hallar en y
6. Hallar si

39. 7. En los ejercicios siguientes hallar: y
a. ;
b. ;
c. ;
8. Dibujar una figura semejante a la de la fig. 9.40 (b) tal que la gráfica sea cóncava hacia
abajo. Indicar los segmentos de recta cuyas longitudes sean: