Diapositiva semana 5

2. L´IMITES
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES
Si L y M, a y k son n´umeros reales y
l´ım
x→a
f(x) = L(existe) y l´ım
x→a
g(x) = M(existe),
entonces:
1 Regla de suma:
l´ım
x→a
(f(x) + g(x)) = l´ım
x→a
f(x) + l´ım
x→a
g(x) = L + M
2 Regla de resta:
l´ım
x→a
(f(x) − g(x)) = l´ım
x→a
f(x) − l´ım
x→a
g(x) = L − M
3 Regla del m´ultiplo constante:
l´ım
x→a
(kf(x)) = k l´ım
x→a
f(x) = kL
4 Regla del producto:
l´ım
x→a
(f(x)g(x)) = l´ım
x→a
f(x) l´ım
x→a
g(x) = LM

4. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES
5 Regla del cociente:
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
g(x)
=
L
M
, M = 0
6 Regla de la potencia:
l´ım
x→a
[f(x)]n
= l´ım
x→a
f(x)
n
= Ln
, n ∈ Z+
7 Regla de la ra´ız:
l´ım
x→a
n
f(x) = n l´ım
x→a
f(x) =
n
√
L, n ∈ Z+
. (Si n es par, se debe tener
que l´ım
x→a
f(x) > 0).

5. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
EJEMPLO
Calcule:
l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
.
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
= l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
=
l´ım
x→2
(x3
+ 2x + 3)
l´ım
x→2
(x2
+ 5)
=
l´ım
x→2
x3
+ l´ım
x→2
2x + l´ım
x→2
3
l´ım
x→2
x2
+ l´ım
x→2
5

6. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
l´ım
x→2
x
3
+ 2 l´ım
x→2
x + l´ım
x→2
3
l´ım
x→2
x
2
+ l´ım
x→2
5
=
23 + 2 · 2 + 3
22 + 5
=
8 + 4 + 3
9
=
15
9
=
5
3

7. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
EJEMPLO
Calcule:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
.
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
= l´ım
x→7
x − 7
(x − 7)(x + 7)
= l´ım
x→7
1
x + 7
=
1
14

8. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
EJEMPLO: T´ECNICA DE CANCELACI ´ON
Calcular l´ım
x→−3
x2 + x − 6
x + 3
Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada 0
0.
En este caso no podemos utilizar directamente el teorema anterior (pues el
denominador en cero). Como el numerador tambi´en es 0, debemos
factorizarlo, con la pretensi´on de eliminar la forma indeterminada.
l´ım
h→−3
x2 + x − 6
x + 3
= l´ım
x→−3
(x + 3)(x − 2)
x + 3
= l´ım
x→−3
(x − 2)
= −3 − 2
= −5

9. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
EJEMPLO: T´ECNICA DE RACIONALIZACI ´ON
Calcular l´ım
x→0
√
x + 1 − 1
x
Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada 0
0.
En este caso, reescribiremos la fracci´on racionalizando en numerador, con la
pretensi´on de eliminar la forma indeterminada.
l´ım
x→0
√
x + 1 − 1
x
= l´ım
x→0
√
x + 1 − 1
x
·
√
x + 1 + 1
√
x + 1 + 1
= l´ım
x→0
x + 1 − 1
x(
√
x + 1 + 1)
= l´ım
x→0
x
x(
√
x + 1 + 1)
= l´ım
x→0
1
√
x + 1 + 1
=
1
2

10. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
EJEMPLO
Calcule
l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
x
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
3x + 9
= l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
3x + 9
·
4 +
√
x2 + 7
4 +
√
x2 + 7
= l´ım
x→−3
9 − x2
(3x + 9)(4 +
√
x2 + 7)
= l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
3(x + 3)(4 +
√
x2 + 7)
=
1
3
l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
(3 + x)(4 +
√
x2 + 7)

11. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
1
3
l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
(3 + x)(4 +
√
x2 + 7)
=
1
3
l´ım
x→−3
3 − x
4 +
√
x2 + 7
=
1
3
·
3 − (−3)
4 + (−3)2 + 7
=
1
3
·
6
4 +
√
16
=
3
8

12. L´IMITES TEOREMA DE COMPRESI ´ON
TEOREMA DE COMPRESI ´ON
Suponga que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todos los valores de x en alg´un
intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en x = a. Tambi´en
suponga que
l´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
h(x) = L
Entonces l´ım
x→a
g(x) = L.
Figura 1. Teorema de compresi´on
Tomada de Stewart (2012)

13. L´IMITES TEOREMA DE COMPRESI ´ON
EJEMPLO
Si 5 − 3x − x2 ≤ g(x) ≤ x + 9 para todo x cerca a -2 excepto tal vez para
x = −2. ¿Cu´al es el valor de l´ım
x→−2
g(x)?
Como l´ım
x→−2
(5 − 3x − x2
) = 7 y l´ım
x→−2
(x + 9) = 7 en virtud del teorema de
compresi´on se debe tener que l´ım
x→−2
g(x) = 7

14. L´IMITES TEOREMA DE COMPRESI ´ON
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.