Notas para curso de cálculo diferencial de área de físicos y matemáticos de nivel preparatoria, con énfasis en las aplicaciones.

1. TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE C´ALCULO DIFERENCIAL
JULIHO CASTILLO
´Indice
1. Linealizaci´on 1
Resumen 1
Ejercicios 2
2. Optimizaci´on 2
Resumen 2
Ejercicios 4
3. Teorema del Valor Medio 4
Introducci´on 4
Crecimiento y primera derivada 4
Concavidad y segunda derivada 5
4. Graficaci´on 7
M´etodo para graficar 7
Ejercicios 9
Referencias 9
1. Linealizaci´on
Resumen. Supongamos que f : R → R es diferenciable en a ∈ R, es decir, existe la derivada
f (a). Como ya hemos visto, esta derivada en la pendiente de la recta tangente, que es la mejor
aproximaci´on lineal de f en a. La ecuaci´on de la recta tangente se puede obtener a partir de la
siguiente ecuaci´on:
y − f(a)
x − a
= f (a),
que es la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente f (a).
Definici´on 1.1. Sea f : R → R una funci´on diferenciable. Definimos la linealizaci´on de f alrededor
de (o con pivote en) a ∈ R como
Lf,a(x) = f(a) + f (a)(x − a).
La linealizaci´on Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manera bastante precisa de valor
de f(x) para x ≈ a.
Ejemplo 1.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de un n´umero real. Sin embargo,
podemos calcular raices de n´umeros reales de manera muy precisa, usando la linealizaci´on.
Por ejemplo, calculemos
√
4.1. Primero determinamos la funci´on a linealizar, en este caso, f(x) =√
x. La derivada de f es
f (x) =
1
2
√
x
.
Date: 27 de noviembre de 2013.
1

2. 2 JULIHO CASTILLO
Figura 1. Linealizaci´on de (x) alrededor a = 4.
Despu´es, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) = 2 y f (4) = 1
4
. De donde
obtenemos
L(x) = f(4) + f (4)(x − 4) = 2 +
1
4
(x − 4).
Entonces √
4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1 − 4) = 2.025.
Si usaramos una calculador, obtendriamos
√
4.1 = 2.02484567313. El error absoluto entre este
valor y el que obtuvimos de la aproximaci´on es
Err = |2.025 − 02484567313| ≈ 1.54 × 10−4
.
Ejercicios.
§ 1.1. Use una aproximaci´on lineal para calcular los siguientes valores. Posteriormente, use una
calculadora para encontrar su valor y determine el error absoluto.
1. (2.001)5
2. e−0.015
3. (8.06)2/3
4. 1
1002
5. tan(44o
)
6.
√
99.8
2. Optimizaci´on
Resumen.
Definici´on 2.1. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f alcanza su valor m´aximo o m´aximo global en c ∈ D si f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ D;
2. f alcanza su valor m´ınimo o m´ınimo global en c ∈ D si f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ D.
Teorema 2.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b] → R es continua, entonces f alcanza su
m´aximo y su m´ınimo.
Aunque el cr´ıterio anterior nos es ´util al optimizar en intervalos compactos, es decir, de la forma
[a, b], en un caso general no siempre esto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente noci´on de
m´aximo (m´ınimo) en intervalos abiertos.
Definici´on 2.2. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f tiene un m´aximo local en c ∈ D si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, de
manera que f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ (c − , c + ) ⊂ D;
2. f tiene un m´ınimo local en c ∈ D si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, de
manera que f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ (c − , c + ) ⊂ D.

3. TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE C´ALCULO DIFERENCIAL 3
Figura 2. f(x) = x3
− 3x2
+ 1
Observaci´on. La condici´on de que exista si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, y que
x ∈ (c − , c + ) ⊂ D se puede entender como que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D.
De manera informal, podemos decir que f alcanza un m´aximo local en c si f(c) ≥ f(x) para
x suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decir para un m´ınimo local. Note que todo
m´aximo (m´ınimo) global es, en particular, un m´aximo (m´ınimo resp.) local.
Teorema 2.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza un m´aximo o m´ınimo local en
c ∈ D y f (c) existe, entonces necesariamente f (c) = 0.
Observaci´on. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat. Por ejemplo f = |x| alcanza
su m´ınimo en cero, pero en este punto la derivada no existe. En cambio, f(x) = x3
tiene derivada
igual a cero en x = 0, pero este punto no es m´aximo ni m´ınimo de la funci´on.
Como podemos apreciar, los puntos m´as interesantes para nuestro estudio son aquellos donde la
derivada no existe o si existe, es igual a cero.
Definici´on 2.3. Sea f : D ⊂ R → R y c ∈ D. Decimos que c es un punto cr´ıtico si f (c) no existe
o si existe, f (c) = 0.
Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio para optimizar funciones continuas
en compactos.
Proposici´on 2.3. Supongamos que
1. f : [a, b] → R es continua,
2. f : (a, b) → R es diferenciable.
Si f alcanza su m´aximo (o m´ınimo) global en c, entonces
1. c = a o c = b, o
2. f (c) = 0 un punto cr´ıtico.
En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos, basta probar en los extremos
del intervalo o en los puntos cr´ıticos, que se encuentran en su interior.
Ejercicio muestra 2.1. Encuntre el m´aximo y el m´ınimo global de la funci´on f(x) = x3
−3x2
+1
si −1
2
≤ x ≤ 4.
Soluci´on. Como f es continua en [−1
2
, 4] y diferenciable en su interior (−1
2
, 4) (¿porqu´e?), podemos
aplicar el criterio de la proposici´on 2.3.
Primero evaluamos en los extremos.
f(−1
2
) = 1
8
f(4) = 17
Derivamos f y obtenemos los puntos cr´ıticos, resolviendo la ecuaci´on
f (x) = 3x2
− 6x = 3x(x − 2) = 0.

4. 4 JULIHO CASTILLO
Los puntos cr´ıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores son f(0) = 1 y f(2) = −3.
Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos para concluir que el m´aximo global
es 17 y se alcanza en x = 4, mientras que el m´ınimo global es −3 y se alcanza en x = 2.
Ejercicios.
§ 2.1. Encuentre los m´aximos y m´ınimos absolutos en el intervalo indicado. Grafique.
1. f(x) = 2x3
− 3x2
− 12x + 1, [−2, 3]
2. f(x) = x
x2−x+1
, [0, 3]
3. f(x) = t
√
4 − t2, [−1, 2]
4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π
2
]
5. f(x) = xe−x2/8
, [−1, 4]
6. f(x) = ln(x2
+ x + 1), [−1, 1]
7. f(x) = x − 2 arctan(x), [0, 4]
3. Teorema del Valor Medio
Introducci´on. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Supongamos que en un intervalo
de tiempo I := [t0, tf ], el desplazamiento de ´este esta dado por s : I → R, es decir, solamente se
mueve a lo largo de una l´ınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I, usamos la
siguiente f´ormula:
¯v =
s(tf ) − s(t0)
tf − t0
.
Sin embargo, puede ser que la velocidad var´ıe instantaneamente y en tal caso, necesitariamos
considerar la velocidad instantanea en un tiempo t ∈ I dada por:
v (t) =
ds
dt
.
El siguiente teorema, uno de los m´as importantes del c´alculo, nos dice que en alg´un instante
t∗
∈ I, la velocidad intantanea ser´a igual a la velocidad promedio en dicho intervalo I.
Teorema 3.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una funci´on continua, que adem´as
es diferenciable en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que
f(b) − f(a)
b − a
= f (c).
Este teorema nos permitir´a estudiar el comportamiento de las funciones en ciertos intervalos,
a partir del comportamiento de sus derivadas en el mismo. A continuaci´on, presentamos algunos
resultados importantes que se pueden obtener a patir de este teorema.
Crecimiento y primera derivada.
Proposici´on 3.2. Sea f : (a, b) → R una funci´on diferenciable. Entonces f es constante en (a, b)
si y solo si f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Sabemos que si una funci´on es constante, entonces su derivada es cero. Ahora
supongamos que f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dos
puntos diferentes x, y ∈ I tales que x ≤ y.
Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y como f (c) para todo c ∈ (a, b), en
particular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b), tenemos que para alg´un c ∈ (x, y) ⊂ (a, b):
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) = 0.

5. TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE C´ALCULO DIFERENCIAL 5
Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que
f(y) − f(x) = 0,
y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b),
f(x) = f(y),
es decir, la funci´on f es contante en este intervalo.
Definici´on 3.1. Decimos que una funci´on f.D ∈ R → R es creciente (resp. decreciente) en su
dominio D si
x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Proposici´on 3.3. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, entonces f es creciente en (a, b) si
y solo si f (c) > 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈ (a, b). Si h > 0, entonces f(x +
h) > f(x), porque x + h > x y por lo tanto
f(x + h) − f(x)
h
> 0.
Si tomamos el l´ımite cuando h → 0, entonces
f (x) = l´ım
h→0+
f(x + h) − f(x)
h
> 0,
y por lo tanto f (x) > 0 para toda x ∈ (a, b).
Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f (x) > 0. Escojamos dos puntos, x, y ∈ (a, b),
tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] tenemos que para alg´un
c ∈ (x, y)
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) > 0,
y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos
f(y) − f(x) > 0,
es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).
De manera similar, se puede demostrar que
Proposici´on 3.4. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, entonces f es decreciente en (a, b)
si y solo si f (c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funci´on f : D → R en la figura 3 y su-
pongamos que es diferenciable en cada punto; su gr´afica es concava hacia arriba. ¿C´omo podemos
definir esto de manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la l´ınea tangente esta
siempre por debajo de la gr´afica. La funci´on que describe esta recta es
La(x) = f(a) + f (a)(x − a),
y entonces esta condici´on de concavidad se expresar´ıa como que para cada punto x0 ∈ D
f(a) + f (a)(x − a) ≤ f(x), x ∈ D.
Entonces, tenemos la siguiente definici´on.

6. 6 JULIHO CASTILLO
Figura 3. Funci´on concava hacia arriba
Definici´on 3.2. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia arriba si para todo
x, x0 ∈ D, tenemos que
(1) f(x) − f(x0) ≤ f (x0)(x − x0).
En particular, si a < b, es decir, 0 < b−a, entonces usando la ecuaci´on 2 para x0 = a, obtenemos
que
f(b) − f(a)
b − a
≥ f (a).
De manera similar, entonces usando la ecuaci´on 2 para x0 = b,
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b).
Por tanto,
f (a) ≤
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b),
es decir, la derivada es creciente si la funci´on es concava hacia arriba. Lo cu´al se puede observar
en la figura 3.
Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funci´on necesariamente es concava hacia arriba? S´ı,
y veamos porque.
Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f (c) ≤ f (a). Supongamos que x > a, y que la
derivada es creciente. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, tal
que
f(x) − f(a) = f (c)(x − a) ≥ f (a)(x − a),
que no es m´as que la condici´on 2 para el caso x > a. El caso x < a se obtiene de manera similar.
Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente
Proposici´on 3.5. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia arriba si y solo
si f es una funci´on creciente.
Por el teorema 3.3, obtenemos el siguiente
Corolario 3.6. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia arriba si y solo si
f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo.
Definici´on 3.3. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia abajo si para todo x, x0 ∈
D, tenemos que
(2) f(x) − f(x0) ≥ f (x0)(x − x0).

7. TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE C´ALCULO DIFERENCIAL 7
Figura 4. Puntos de inflexi´on
Figura 5. Puntos de silla
y obtenemos resultados similares,
Proposici´on 3.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia abajo si y solo
si f es una funci´on decreciente.
Corolario 3.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia abajo si y solo si
f (x) < 0 para todo x ∈ (a, b).
En particular, obtenemos una manera de caraterizar los m´aximos y m´ınimos locales de manera
pr´atica.
Teorema 3.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → R con segunda derivada.
Entonces:
1. c ∈ (a, b) es m´aximo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) < 0.
2. c ∈ (a, b) es m´ınimo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) > 0.
Para finalizar, tenemos la siguiente definici´on
Definici´on 3.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces decimos que c ∈ (a, b) es
punto de inflexi´on si
f (c) = 0,
es decir la funci´on f cambia de concavidad en c.
4. Graficaci´on
M´etodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funci´on con segunda derivada. Podemos
proceder de la siguiente manera para encontrar su gr´afica.
1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0;
2. Encontrar los puntos cr´ıticos, es decir, los puntos c tales que f (c) = 0;
a) Si f (c) > 0, entonces c es m´ınimo local,
b) Si f (c) < 0, entonces c es m´aximo local,
3. Encontrar los puntos de inflexi´on, es decir, los puntos c tales que f (c) = 0.

8. 8 JULIHO CASTILLO
Figura 6. Gr´afica del ejericicio 4.1
Los puntos de inflexi´on pueden ser como en la figura 4. Si f cambia de negativa a positiva,
la gr´afica localmente como la de la izquierda, mientras que en el otro caso, luce como en la de la
derecha.
Falta por caracterizar los puntos cr´ıticos c donde f (c) = 0, es decir, que tambi´en son puntos
de inflexi´on. Estos puntos se les conoce como puntos de silla y alrededor de estos, la gr´afica se ve
como alguna de las de la figura 5.
Ejercicio muestra 4.1. Grafique la funci´on f : [−1, 1] → R, f(x) = x3
− x.
Soluci´on. Primero, resolvemos la ecuaci´on
x3
− x = 0,
y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1.
Despu´es derivamos f:
f (x) = 3x2
− 1,
y resolvermos la ecuaci´on f (c) = 0.
Entonces, los puntos cr´ıticos de la funci´on son x = ± 1√
3
. Utilizamos el criterio 3.9 para decidir
si son m´aximo o m´ınimos locales, o incluso, puntos de silla.
La segunda derivada de f es
f (x) = 6x.
Como f ( 1√
3
) = 6 1√
3
> 0, entonces
c =
1
√
3
es un m´ınimo local.
De manera similar, concluimos que
c = −
1
√
3
es un m´aximo local.
Finalmente, resolvemos f (c) = 0, pero la ´unica soluci´on es c = 0 y por tanto, este es el ´unico
punto de inflexi´on. Como antes de c = 0, f < 0, mientras que despu´es f >, concluimos que en
este punto, la gr´afica se ve localmente como la gr´afica de la derecha en la figura 4.
Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestros resultados. La gr´afica esta
dada en la figura 6.

9. TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE C´ALCULO DIFERENCIAL 9
Ejercicios.
§ 4.1. Esboce la gr´afica de cada una de las siguientes funciones, utilizando el m´etodo anterior.
Grafique usando GeoGebra y compare sus resultados.
1. x3
− 7x + 6,
2. 6x3
− x2
− 5x + 2,
3. x4
− 3x3
+ 3x2
− 3x + 2.
Referencias
[1] Stewart, J.; C´alculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Learning, 6a Edici´on, 2008.
[2] Thomas, G., Finney, R.; C´alculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edici´on, 1998.
[3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Publisher, 1965.
[4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976.
E-mail address: juliho.castillo@ibp.edu.mx