Trabajo de investigación sobre algunos métodos numéricos; >Método de Abierto y Cerrado. >Método de Newton >Método de punto fijo >Método de bisección

1. LUIS SÁNCHEZ KARIME GUADALUPE
LOPEZ PINEDA LOURDES SOFIA

2.  Al método de falsa posición se le conoce como “método cerrado” o “intervalo”,
porque se necesita de dos valores iniciales para obtener la raíz. Como su
nombre lo indica, estos valores iniciales deben “encerrar” o estar a ambos lados
de la raíz.
 Esta clase de métodos ocupan diferentes estrategias para reducir de forma
sistemática el tamaño del intervalo y así converger a la raíz solución.
 Como preámbulo de estas técnicas, se utilizan los métodos gráficos para
representar tanto las funciones como sus raíces. Además de la utilidad de los
métodos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para
visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los diversos
métodos numéricos.

3. • El método de posición falsa, también llamado “Regula-Falsi” o “interpolación
lineal”, al igual que el algoritmo de la secante, aproxima la derivada 𝑓’(𝑋) de la
ecuación por el cociente:
• Pero en este caso los valores de 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) se encuentran en lados opuestos de
la raíz buscada y sus valores funcionales correspondientes tienen signos
opuestos; esto se representa como:
𝑋 𝑚 =
𝑎𝑓 𝑏 − 𝑏𝑓(𝑎)
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑓 𝑎 ∙ 𝑓(𝑏) < 0

4. La velocidad de convergencia de este método es mayor a la del método de la
bisección cuando los dos puntos están lejos de la solución. Sin embargo, su
eficiencia ya no es tan evidente cuando un punto está distante de la solución
y otro está muy cercano a ella.
Uno de los principales defectos de este método es que en la mayoría de los
casos, uno de los límites del intervalo es utilizado como punto de apoyo y
solamente el otro se ve afectado por el procedimiento de cálculo, afectando
así la velocidad de convergencia, como se mencionó antes.

5. • Este método alternativo que aprovecha la visualización gráfica es la de unir
𝑓 𝑎 y 𝑓(𝑏) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de
las x representa una mejor ESTIMACIÓN DE LA RAÍZ.
• Cabe destacar que, debido a la predicción que tiene la interpolación lineal
cuando se transforma en extrapolación, este procedimiento puede ser
utilizado a veces a pesar que las imágenes 𝑓 𝑏 y 𝑓(𝑎) no tengan el signo
contrario.
• En este caso, las primeras iteraciones deben ubicar una raíz cuando la
expresión 𝑓 𝑏 𝑓(𝑎) < 0 se cumpla. Ya que en estos casos el teorema de
Bolzano no se cumple, no se tiene ninguna garantía sobre la posibilidad de
conseguir una raíz.

7.  Utilice el método de posición falsa para obtener una raíz real del polinomio:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20
 Solución
 Para obtener 𝑋 𝑏 y 𝑋 𝑎 se puede, por ejemplo, evaluar la función de algunos puntos donde
este calculo sea fácil o bien se grafica así.
𝑓 0 = −20
𝑓 1 = -7
𝑓(−1) =-29
𝑓(2) =16
De acuerdo con el teorema de Bolzano hay una raíz real, POR LO MENOS, en el intervalo
(1,2); por tanto:
𝑏=1; 𝑓(𝑏) =-7
𝑎=2; 𝑓(𝑎) =16

8. Al aplicar la ecuación, se obtiene 𝑥 𝑀
𝑥 𝑀 = 1 -
1 −2 (−7)
−7 −16
= 1.30435
Y 𝑓(𝑥 𝑀) = (1.30435)3
+ 2(1.30435)2
+ 10(1.30435) – 20 = -1.33476
 Como 𝑓(𝑥 𝑀) < 0 (igual signo que 𝑓(𝑏) ), se reemplaza el valor de b con el de 𝑥 𝑀,
con lo cual queda el nuevo intervalo como (1.30435, 2). Por tanto:
𝑏=1.30435; 𝑓(𝑏) =-1.33476
𝑎=2; 𝑓(𝑎) =16
 Se calcula una nueva 𝑥 𝑀
𝑥 𝑀 = 1.30435 -
1.30435 −2 (−1.33476)
−1.33476 −16
= 1.35791,
𝑓(𝑥 𝑀) = (1.36791)3+ 2(1.35791)2 + 10(1.35791) – 20 = -0.22914

9.  Como 𝑓(𝑥 𝑀) < 0 , el valor actual de b se remplaza con el último valor de 𝑥 𝑀; así el
intervalo queda reducido a (1.35791,2). La tabla muestra los cálculos llevados a
cabo hasta satisfacer el criterio de exactitud,
| 𝑓(𝑥 𝑀) | ≤ 10−3
TABLA DE RESULTADOS
i b a 𝑥 𝑀 𝑓(𝑥 𝑀)
0 1.00000 2.00000
1 1.00000 2.00000 1.30435 1.33476
2 1.30435 2.00000 1.35791 0.22914
3 1.35791 2.00000 1.36698 0.03859
4 1.36698 2.00000 1.36850 0.00648
5 1.36850 2.00000 1.36876 0.00109
6 1.36876 2.00000 1.36880 0.00018

10.  Usar el método de la falsa posición para aproximar la raíz de:
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
− ln 𝑥
• Comenzando en el intervalo [1,2] hasta llegar a un error porcentual menor a 1%
 Solución
 Sabemos que 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:

11. Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo:
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
 Obteniendo como resultado:

12.  En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos:
y hacemos la tabla de signos:
 De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo:
 Con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:

13. Y el error aproximado:
El resultado del segundo error aproximado es menor del 1%, con lo cual se cumple
el criterio de paro, dejando de realizar iteraciones y obteniendo como resultado de
raíz:
• 1.311269556
NOTA: Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la
raíz, a diferencia de otros como el método de la bisección.

14. Para encontrar una raíz real de la ecuación f(x) = 0, dada f(x) analíticamente, proporcionar la
función F (X) y los
DATOS: Valores iniciales XI y XD que forman un intervalo en donde se halla una raíz x (F (A) *
F(B) < 0), criterio de convergencia EPS, criterio de exactitud EPS 1 y número máximo de
iteraciones MAXIT.
RESULTADOS: La raíz aproximada X o un mensaje de falla.
• PASO 1. Hacer I = 1; FI = F(A); FD = F (XD)
• PASO 2. Mientras I < MAXIT, repetir los pasos 3 a 8
• PASO 3. Hacer XM = (XI*FD – XD*FI) / (FD – FI); FM = F (XM)
• PASO 4. Si ABS (FM) < EPS1 entonces IMPRIMIR XM y TERMINAR
• PASO 5. Si ABS (XD-XI) < EPS, entonces Hacer XM = ( XD+XI) / 2; IMPRIMIR “LA RAÍZ
BUSCADA ES”, IMPRIMIR XM y TERMINAR.

15. • PASO 6. Si FD * FM > 0, hacer XD = XM (actualiza XD).
• PASO 7. Si FD * FM < 0, hacer XI = XM (actualiza XI)
• PASO 8. Hacer I = I + 1
• PASO 9. IMPRIMIR mensaje de falla “EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA
RAÍZ” y TERMINAR.

16. CONSIDERACIONES
a)El Método de la falsa posición es esencialmente igual al método de la
bisección, excepto que el segundo método se remplaza por la interpolación
lineal.
b)El método de la falsa posición no necesariamente es más rápido que el
método de bisección, debido a que un extremo puede permanecer fijo.
c)El método de la falsa posición modificada elimina los extremos fijos
dividiendo a la mitad los valores de dichos puntos.

17.  http://noosfera.indivia.net/metodos/posicionFalsa.html
 Método numéricos para ingenieros
 Steven C. Chapra
 Raymond P. Canale
 Mc Graw Hill

18.  Este método se basa en despeje; es decir se debe elegir el despeje adecuado de la
función original.
 En los métodos de bisecciones y de falsa posición, la raíz se encuentra del mismo
intervalo dada por un limite inferior y un limite superior.
 La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones mas y mas
cercanas a la raíz.
 A esos métodos se les conoce como convergentes ya que se acercan progresivamente a
la raíz a medida que crece el numero de iteraciones.
 Los métodos abiertos se basan en formulas que requieren de un solo valor X o de un
par de ellos pero que no necesariamente encierren a la raíz.
 A medida que crece el numero de iteraciones algunos valores divergen o se alejan de la
raíz. Cuando los métodos abiertos convergen en general; lo hacen mucho mas rápido
que los métodos que usan intervalos.

19. Se rearegla la ecuación f(x) = 0 de tal forma que X quede del lado izquierdo de la ecuación: x = g(x).
Nota: Se emplean operaciones algebraicas o simplemente se agrega x a cada lado de la ecuación
original.
Nos deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz, es decir, debemos conocer f(x)=0.
 Ejemplo: f(x)= 0.5*x - 4 = 0
Nos deben de dar un valor inicial xo.
 Ejemplo xo = 0.
De la función f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva función de x
llamada ahora g(x).
 Ejemplo: (2/2)*x - (1/2)*x - 4 = 0 donde (1/2)*x no se altera

21. 0.56714329 – 0.6922
0.56714329
x 100
0.6922 – 0.3678
0.6922
x 100
Usar la iteración de punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x
–X Xo = 0
e-x
–x = 0 Xo = 0
x = e-x
X = 0.56714329 Raíz Real
 e-0
= 1
 e-1
= 0.3678
 e-0.3678
= 0.6922
e-x
–x = 0 Xo = 0
x = e-x
X = 0.56714329 Raíz Real
EA% =
EA% =
= 22 %
= 46.86 %

22.  Este método es uno de los mas utilizados para localizar raíces ya que en general es
muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.
 Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para
poder aplicar este método.
 Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi , este puede ser cualquier valor,
el método convergirá a la raíz mas cercana.
 Si se extiende una tangente desde el punto b , el punto donde esta tangente cruza
al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

24. Fuente: http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Raices/NewtonRaphson/NewtonRaphson.php

25. Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1,
dada por la fórmula:
La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor.
Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r = x + h. Si f''
existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:
0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2
)
en donde h = r-x. Si x está próximo a r (es decir h es pequeña), es razonable ignorar el
término O(h 2
):
0 = f(x) + hf'(x)
por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

26. El método de Newton tiene una
interpretación geométrica sencilla,
como se puede apreciar del análisis de
la figura. De hecho, el método de
Newton consiste en una linealización
de la función, es decir, f se reemplaza
por una recta tal que contiene al punto
(x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con
la derivada de la función en el punto,
f'(x0). La nueva aproximación a la raíz,
x1, se obtiene de la intersección de la
función linear con el eje X de
ordenadas.
Este método mejora el método de la
secante, en tanto en cuanto partiendo
de uno de los extremos del intervalo,
calcula la recta tangente a la función
f(x), al igual que en aquél, a
continuación se halla la intersección de
esta recta con el eje OX, obteniendo así
una aproximación de la raíz buscada α
de la que sabemos que se halla en
nuestro intervalo (a,b).
Interpretación geométrica del
método de Newton.
Dos situaciones en las que el método de Newton no
funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la
convergencia y (b) el método converge hacia un punto que
no es un cero de la ecuación.

27. Se le conoce como método Binario de partición, en dos intervalos, también como
método Bolzano; es un método de búsqueda incremental en donde el intervalo
siempre se divide en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el
valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola
en el punto medio del subintervalo dentro del cual se repite hasta obtener una
mejor aproximación.

28. 1. Elegir los valores iniciales inferior Xi y superior Xu de tal forma que la función cambie
de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar con la condición.
f(Xi) f(Xu) < 0 A < 0 = A
2. La primera aproximación a la raíz Xr se determina por la siguiente formula:
3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo cae la
raíz
a) f(Xi) f(Xu) < 0
Entonces se encuentra dentro del subintervalo superior. Por lo tanto tiene la
sustitución de Xu = Xr. Por lo tanto continué con el paso 2.
b) f(Xi) f(Xu) > 0
Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior. Por lo tanto
sustituya Xi = Xr y continué con el paso 2.
4. La condición de finalización será cuando f(Xi) f(Xu) = 0, la raíz es igual a Xr y se
termina el calculo.
Xr =
Xi + Xu
2
Xi XuXr
Xi XuXr
Xi XuXr

29.  Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la
siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  5.1,25.1 .
Enestepunto,vemosquetodavíanopodemoscalcularningúnerroraproximado,puesto
quesolamentetenemoslaprimeraaproximación.Así,repetimoselprocesoconelnuevo
intervalo  5.1,25.1 .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la
aproximación actual y la aproximación previa:
La única raíz de )(xf se localiza en el intervalo  5.1,1 . Así que este intervalo es
nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección
debemos checar que )1(f y )5.1(f tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
mientras que
Cabe mencionar que la función )(xf sí es continúa en el intervalo  5.1,1 . Así pues,
tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección.
Comenzamos:
 Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la
raíz):
 Evaluamos 00636.0)25.1ln()25.1( 25.1
 
ef

30. El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
(Tabla 1) Tabla de representación de datos
Así, obtenemos como aproximación a la raíz
Aprox. a la raíz
Error
aprox.
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos 006561.0)375.1ln()375.1( 375.1
 
ef , y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  375.1,25.1 .
Calculamos el punto medio,