Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.

1. Profesora: Bachiller:
Carlena Astudillo Jose Javier Maita
(26.033.184)
Junio, 2016

2. 1º ¿Que es la diferenciación numérica?
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una
estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando
valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.
Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea
secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h
representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa.
La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por
una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos
ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la
tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de
la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una
línea de la tangente:
Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.

3. Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante
próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)).
La cuesta de esta línea es más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la
línea secante a través de los puntos (x − h1,f(x − h1)) y(x + h2,f(x + h2)).
La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente
por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la
valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que
la valoración del dos-punto cuando h es pequeño.
A la ecuación se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le
llama diferencias divididas finitas

4. Se puede representar generalmente como:
O
Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se
le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la
aproximación.
Se le llama diferencia "hacia adelante" ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar
la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera
diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden
desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

5. 2º Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás.
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior
sobre el valor actual, dada por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se
obtiene:
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia
atrás.

6. 3º Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales
Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la
expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener
La cual se puede resolver para
O
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas )de la
primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias
divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de
que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.

7. 4º Aproximaciones a derivadas de orden mas alto usando diferencias finitas
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para
una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en
términos de la siguiente forma:
La ecuación se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación para obtener:
La cual se puede resolver para
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo
orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y
centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia
atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En
todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

8. 5º Formula de diferencia progresiva y regresiva
º Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite
h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.

9. º Relación con las derivadas
La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la
derecha es
Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h
es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor.
Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error
es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente
diferenciable).

10. º Cálculo de diferencias finitas
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace
corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada.
Formalmente, invirtiendo la exponencial
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el
mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas,
las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una
serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más
precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

11. El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
º Derivadas de órdenes mayores
De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para
derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de
la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para:
Aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la
aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

12. 6º Métodos de diferencias finitas
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes
diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas
para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico,
especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en
diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el
nombre de métodos de diferencias finitas.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos
de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de
fluidos.

13. 7º Formula de tres puntos
Supongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados, es decir,
con . Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente,
obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")

14. 8º Formula de cinco puntos
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, se puede
obtener la fórmula de cinco puntos.
Fórmula para la segunda derivada.
Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la
segunda derivada

15. 9º Integración numérica.
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el
término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones
diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es
más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales
de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral
múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una
solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para
una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

16. 10º Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede
ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales
que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser
resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen
funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración
numérica de vital importancia.
La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras
que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la
aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar
a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en
las primeras cifras decimales.

17. 11º Método del trapecio.
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de
Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer
grado:
Una línea recta se puede representar como:
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los
limites ɑ y b:
El resultado de la integración es:
Que se denomina regla del trapecio.

18. 12º Método del Simpson
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación mas fina, otra forma de
obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado
superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre ƒ (ɑ) y ƒ
(b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente
espaciados entre ƒ (ɑ) y ƒ (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio
de tercer grado. Las formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios
se conocen como reglas de Simpson.

19. º Regla de Simpson.
La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo
grado se sustituye en la ecuación:
Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de
Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la
siguiente formula:
Donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson
1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación
“1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 en la ecuación.

20. 13º Integración de Romberg
La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales
numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la
regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se
alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
El algoritmo, observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de
extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que,
conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación
de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada
para la implementación en computadora:
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e
Ijk=Ia integral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración donde k=1
corresponde a la estimación original con la regla del trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴),
k=3 a 0(h⁶) y así sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las
estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación
(22.8) se convierte en

21. 14º Método de cuadratura gaussiana.
En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son
iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos
equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la
función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis
parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de
integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse
cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores
equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se
deben usar las formulas de integración numérica.
Las formulas de integración de Gauss tienen la forma:
Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función
f(x)-

22. 15º Integración múltiple.
Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una
ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede
escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble.
Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar
integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función
sobre un área rectangular.
Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales.
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta
primera integración se incorpora en la segunda integración.
Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican
métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la
primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión.

23. 16º Aplicaciones.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como
solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"
(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de
integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos
de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la
necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe
recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino
intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que
no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente
iguales.

24. Integre la función mediante la regla del trapecio, son n= 1, 2, 3 y 4. Calcule los
errores relativos porcentuales con respecto al valor verdadero 4.8333 para evaluar la
exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio.
 Con n=1:
 Con n=2:

25.  Con n=3:
 Con n=4:

26. En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con
el valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores
aproximados de f (xk) que tengan una precisión de cuatro decimales y redondee las
respuestas a dos decimales.

29. Merci