Relatividad Gemelos Viaje Espacio

1. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Relatividad y Cosmología José Antonio Pastor González Universidad de Córdoba Jueves 29 de noviembre de 2012 Relatividad general: la geometría de un espacio-tiempo curvo

2. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Contenidos 1 Intervalo 2 Gemelos 3 Minkowski 4 EP 5 Curvatura 6 Métricas 7 Schwarzschild

4. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild El intervalo como algo absoluto

5. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Cómo calibrar los ejes?

6. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Calibración de los ejes

7. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild La contracción de longitudes

8. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild El reloj láser...

9. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Relación causa-efecto

10. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Una primera solución

11. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild El cono de luz

13. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Planteamiento inicial Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro Planiﬁcan el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a 0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz. Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo) hayan pasado 5 años Diana estará en su destino Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en ese viaje?

16. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tres formas de responder: la primera Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso Diana llega a la Estrella Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada con respecto a la de Diana (<5) Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde t0 =5 1 − β2 Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

19. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tres formas de responder: la segunda La contracción de longitudes está dada por la fórmula = 0 1 − β2 En este caso, 0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista de Diana ocurre que = 4 × 0, 6 = 2, 4 años/luz Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el tiempo empleado por Diana es 2, 4/0, 8 = 3 años

22. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tres formas de responder: la tercera Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se cumple tB − tA = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

27. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

31. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Cuánto más pequeño? Simplemente, es el valor t0 dado por t0 =3 1 − β2 por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO ÚNICAMENTE 1,8 años Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1 Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2 Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8) 1 Apolo–simultáneos 2 Diana–simultáneos

34. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En el viaje de regreso... Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

38. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Situación simétrica... ¿sí o no? En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

42. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Situación simétrica... ¿sí o no? Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

46. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild La bandeja de pasteles Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

50. de la paradoja Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Un esquema espacio-temporal

51. El n´mero de felicitaciones por aõ nuevo u Intervalo Gemelos n Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Ilustración de un efecto Doppler Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe s´lo una antes de llegar a α Centauro, cuando hab´ pasado 3 aõs, just o ıan n de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razń de una cada 1/3 aõ (4 meses). o n

53. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Las matemáticas de la relatividad especial tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos con coordenadas (x, t) en este plano estamos modelando un espacio-tiempo 2-dimensional tal y como lo referencia un observador inercial arbitrario cualquier otro observador inercial – en conﬁguración estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano que vienen dadas por los ejes habituales así pues, un universo con una única dimensión espacial y sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

57. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Las matemáticas de la relatividad especial si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un suceso, un evento un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el observador inercial que consideremos pero aunque A se lea de forma distinta según el observador, sabemos que hay cosas invariantes: el estudio de las propiedades que permanecen invariantes es muy importante porque tales propiedades no dependen del observador: serán leyes físicas válidas para cualquier sistema inercial

60. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Invariantes si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB ) en cierto sistema inercial, entonces consideramos el vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t) se deﬁne el módulo de AB como |AB| = ±(∆x)2 (∆t)2 es una buena deﬁnición ya que no depende de las coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del intervalo)

63. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tipos de vectores si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector espacial (A y B no están conectados causalmente, no modelan nada) si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector temporal (A y B están conectados causalmente, modelan las trayectorias permitidas) si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula luminosa)

66. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Cosas curiosas podemos deﬁnir a partir del módulo un producto escalar en L2 así: si v , w son vectores entonces v , w = v1 w1 − v2 w2 siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un sistema inercial noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1) cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

69. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En definitiva... cambian las propiedades métricas la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces √ |v | = |w| = 3 y |v + w| = 4 por lo que |v | + |w| < |v + w| consecuencia: en este ambiente, y dentro de las trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos puntos esto no nos debería sorprender después de haber entendido la paradoja de los gemelos 3 Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

72. de la paradoja Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Un esquema espacio-temporal

73. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Definición de tiempo propio

74. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Definición de tiempo propio

75. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Líneas rectas: las más largas

76. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Resumiendo... el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y, entre todos las coordenadas para ese plano (que hay inﬁnitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que representan un sistema inercial a partir de éstas tenemos todas las demás con las transformaciones de Lorentz en dicho plano deﬁnimos un NOVEDOSO producto escalar que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual: (+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

79. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Resumiendo... la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos, distancias, áreas, ortogonalidad no obstante, hay algunas propiedades que se parecen bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo: Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, en el plano L2 la distancia más larga entre dos puntos (causalmente relacionados) es la línea recta interesante... ¿verdad?

82. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Resumiendo... en la geometría de L2 está codiﬁcada toda la relatividad especial de Einstein a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos matemáticos... decía que oscurecía la visión física e intuitiva que él tenía de las cosas así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski... [...] henceforth space by itself and time by itself are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality [...]

85. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Terminamos otra vez con los gemelos...

87. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tras la relatividad especial... ...queremos pasar de lo inercial al mundo real Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo llano – al... ...ámbito gravitacional en el que los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

90. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach) Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

96. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...si estamos dentro de un ascensor y éste se encuentra en caída libre, todos los experimentos que efectuemos dentro del ascensor son equivalentes a los que podríamos hacer en un laboratorio inercial...

97. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Por qué? En un ascensor en caída libre... ...si jugamos con una pelota de tenis, desde nuestra perspectiva ésta se moverá siempre siguiendo una línea recta, como si estuviéramos en el espacio exterior (en un sistema inercial)

98. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

99. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ?

100. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? )

101. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? )

102. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto ? 6 )

103. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial. Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa inﬂuye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo ﬂuye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

107. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Cómo se curva la luz? Otra lectura del principio de equivalencia No hay diferencia entre un pequeño sistema de referencia sujeto a la gravedad y un sistema de referencia acelerado en la misma magnitud.

108. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Cómo se curva la luz? La luz es atraída por la gravedad... Con este experimento – mental – se demuestra que la luz debe ser atraída por la gravedad de la tierra, si aceptamos como válido el principio de equivalencia

109. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Por qué sistemas pequeños? Respuesta: Porque cuando son grandes los dos sistemas no son EQUIVALENTES como se ve aquí... ya que aparecen LAS FUERZAS DE MAREA (observad que las bolas en la misma vertical se separan mientras que las que están a la misma altura se aproximan)

110. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Qué son las fuerzas de marea? Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿qué sentimos?

111. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Qué son las fuerzas de marea? Son las fuerzas que provocan las mareas...

112. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa). ...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía). En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

118. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Qué es la curvatura? Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese mundo... Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es una curva Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un plano – para simpliﬁcar nuestro trabajo

121. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Primeras nociones intuitivas La curva plana más elemental es, precisamente, una línea recta... todos convenimos en que si deﬁnimos la noción de curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no tiene curvatura Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta parece curvarse y además su manera de hacerlo es idéntica en todos sus puntos por lo que si deﬁnimos la noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser constante y no nula ¿qué hacemos a continuación?

124. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de una curva como aceleración Supongamos que viajamos a través de la curva con velocidad constante – en módulo – e igual a 1 (normalización) Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple (x , y ) = α = aα + bJ(α ) donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados. Al ser la velocidad constante, se tiene 0 = ( α ,α ) = 2 α ,α por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada por el valor de b

127. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Para curvas concretas... ...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una recta se tiene que α = 0 por lo que 0 = bJ(α ) y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay aceleración Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos llevan a que b = ±1/r donde el signo depende del sentido en que recorramos la circunferencia Deﬁnimos la curvatura de una recta como cero y la curvatura de una circunferencia como el inverso de su radio

130. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Es una definición estupenda porque se comporta de la manera esperada y describe perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si la circunferencia es más pequeña – menos radio – entonces está más curvada... además nos permite ver una recta como una circunferencia de radio inﬁnito... por eso su curvatura es cero es muy operativa ya que funciona para todo tipo de curvas... además responde a la intuición física pues es precisamente la aceleración centrífuga que experimenta una partícula que se mueve a velocidad constante uno – en módulo

133. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Pero tiene un grave problema... ...porque no es una deﬁnición intrínseca ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor – el plano 2D – para que tenga sentido más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura de su mundo si la deﬁnimos en estos términos

136. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Lo que ocurre es más radical... en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué signiﬁca esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

141. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Conclusiones es posible deﬁnir la curvatura de una curva como una medida que coincide con la aceleración desde un punto de vista extrínseco es una medida excelente desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes del mundo 1D – es una medida imposible de obtener más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para ellos la geometría es monótona y aburrida

145. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Mundos 2D: superficies Figura: La superﬁcie de un melón: elipsoide

146. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Mundos 2D: superficies Figura: La superﬁcie de un donuts: toro

147. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Mundos 2D: superficies Figura: La superﬁcie de una torre de central térmica: hiperboloide de una hoja

148. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild ¿Curvatura de una superficie? la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como poco, nos dice lo curvada que está una curva ¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas? utilizando las secciones normales

151. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: En cada punto de una superﬁcie podemos considerar su plano tangente Tp S y su dirección normal N(p)

152. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: La sección normal a una superﬁcie en un punto consiste en tomar una dirección v en el plano tangente. A continuación, se considera el plano generado por v y N(p) y se interseca con la superﬁcie: la curva – siempre plana – resultante es la sección normal en la dirección v

153. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Esto mismo lo podemos hacer en todas las direcciones del plano tangente: tenemos así un haz de planos perpendiculares y las secciones normales correspondientes

154. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) una vez que tenemos todas las secciones normales, en cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura: la de la sección normal correspondiente tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo y el máximo llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a sus direcciones principales correspondientes... las curvaturas principales nos proporcionan información sobre cómo se curva la superﬁcie en el punto correspondiente

158. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Secciones normales en un punto del plano: todas las secciones son líneas rectas por lo que κ1 = κ2 = 0 (puntos planos)

159. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Secciones normales en un punto de la esfera: todas ellas son circunferencias con el mismo radio que la esfera, por lo que κ1 = κ2 = 1/r (puntos elípticos)

160. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Secciones normales en el cilindro: una elipse en este caso

161. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Secciones normales en el cilindro: una recta por lo que κ1 = 0

162. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Curvatura de superficies (Euler) Figura: Secciones normales en el cilindro: una circunferencia por lo que κ2 = 1/r (puntos parabólicos)

163. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild Candidatos a ser la curvatura las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P) alguna de las dos una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura media: κ1 (P) + κ2 (P) H(p) = 2 o el producto de ambas, la curvatura de Gauss: K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

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