Diseño experimental ortogonal pdf

DISEÑO EXPERIMENTAL
DISEÑO DE EXPERIMENTOS ORTOGONALES.
La parte fundamental de la metodología ideada por el matemático japonés G. Taguchi
es la optimización de productos y procesos, a fin de asegurar productos robustos, de
alta calidad y bajo costo.
La metodología Taguchi consta de tres etapas:
a) Diseño del sistema
b) Diseño de parámetros
c) Diseño de tolerancias
De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos
son:
a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud
y en cuanto a su variabilidad.
b) Definir los niveles “óptimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de
optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.
c) Identificar factores que no afectan substancialmente la característica de calidad a fin
de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.
Para lograr lo anterior se ha manejado una serie de herramientas estadísticas conocida
como diseño de experimentos, tratadas anteriormente.
Taguchi ha propuesto una alternativa no del todo diferente que se que conoce como:
Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.
La herramienta utilizada normalmente son diseños Factoriales fraccionados, sin
embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones
aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones
específicas a experimentar.
Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de
manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento
factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal .
Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó:
La (b)C
Donde:
a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán.
Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo.
b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor.
c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el
número de columnas.
Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles

En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos
ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos
niveles.
Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Como ejemplo de un arreglo ortogonal
tenemos el siguiente:
De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como ejemplo,
se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.
En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas (efectos o factores)
que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.
Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos
niveles, los más utilizados y difundidos según el número de factores a analizar son:
No. de factores a
analizar
Arreglo a
utilizar
No. de condiciones a probar
Entre 1 y 3 L4 4
Entre 4 y 7 L8 8
Entre 8 y 11 L12 12
Entre 12 y 15 L16 16
Entre 16 y 31 L32 32
Entre 32 y 63 L64 64
Algunos arreglos ortogonales:
F A C T O R E S (c)
No. (a) A B C Resultado
1 1 1 1 Y1
2 1 2 2 Y2
3 2 1 1 Y3
4 2 2 1 Y4
1 , 2 = Niveles de los Factores (b)

Ejemplo:
En un proceso de formación de paneles una característica no deseada es la emisión de
formaldehído en el producto final. Se desea que esta emisión sea lo mínima posible.
Actualmente se estima en 0.45 ppm. (partes por millón).
Se cree que cinco factores pueden estar afectando la emisión, estos son: tipo de resina,
concentración de la solución, tiempo de ciclo de prensado, humedad y presión.
Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario variarlos, esto es
probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada uno de estos valores se les llama
nivel. Se requieren de al menos dos niveles o valores distintos para cada factor. A uno
de ellos arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel “1”, al otro nivel alto o nivel “2”.
En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 efectos o factores a dos
niveles cada uno, por lo tanto, se usará un arreglo ortogonal L8. Esto implica que se
ejecutarán 8 pruebas o condiciones experimentales. Por otra parte se disponen de 7
columnas, a cada columna se le puede asignar o asociar un factor. Si en particular,
asignamos los factores en orden a las primeras cinco Columnas, dejando libres las
últimas dos columnas, el arreglo queda:
TOTAL= 2.64
Observe que en las columnas vacías, 6 y 7, se ha escrito la letra e1,y e2
respectivamente esto para indicar que en ellas se evaluará la variación natural o error
aleatorio.
Si no se asigna ningún factor, es de esperar que ahí se manifieste la variación natural.
Los resultados de Yi se muestran en ppm.
Factor Nivel I Nivel 2
A Tipo de resina Tipo I Tipo II
B Concentración 5% 10%
C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg
D Humedad 3% 5%
E Presión 800 psi. 900 psi.
Descripción
No. A B C D E e1 e2 Resina Concen. Tiempo Humedad Presión Yi
1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.49
2 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.42
3 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.38
4 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.30
5 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.21
6 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.24
7 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.32
8 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28

El análisis de resultados, se puede efectuar de dos maneras diferentes. Una de ellas
mediante una serie de gráficas, la otra mediante el análisis de varianza, se muestra en
este ejemplo primero el uso del análisis de varianza, posteriormente se muestra el uso
de gráficas.
Análisis de varianza
1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable de respuesta o lecturas, para
cada uno de los niveles de los factores.
Para calcular los totales para cada nivel del factor A, observamos que las primeras
cuatro pruebas del arreglo se efectuaron con el factor a su nivel 1 (Resina tipo I) y las
siguientes cuatro a su nivel 2 (resina tipo II).
Los totales son por lo tanto:
A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 1
= 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59
A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 2
= 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05
Para el factor D se tiene que las pruebas 1,3,5 y 7 se efectuaron a su nivel 1
(humedad del 5%), por lo tanto los totales son:
D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1
= 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40
D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2
= 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24
En resumen se tiene:
Factor A B C D E e e
Nivel 1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35
Nivel 2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29
2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64
Observe que la suma de los dos niveles debe dar siempre el total de las ocho lecturas
2.64.
2) En seguida se obtiene una cantidad que llamaremos suma de cuadrados esta se
calcula como sigue:
Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2 – Total nivel 1)2
/ n
Donde “n” representa el número total de lecturas que se tomaron.

Así por ejemplo, para el factor A, tendremos que dado que n=8 ∴
SSA= (A2 –A1) 2
/ 8= (1.59-1.05) 2
/ 8=0.03645 con 1 g .1
Para el factor B se tiene
SSB= (B2 –B1) 2
/ 8= (1.28-1.36) 2
/ 8= 0.00080 con 1 g.1
Similarmente
SSC= (C2 –C1) 2
/ 8= (1.13-1.51) 2
/ 8= 0.01805 con 1 g.1
SSD= (D2 –D1) 2
/ 8= (1.24-1.40) 2
/ 8= 0.00320 con 1 g.1
SSE= (E2 –E1) 2
/ 8= (1.25-1.39) 2
/ 8= 0.00245 con 1 g.1
SSe= 0.00080 con 1 g.1
SSe= 0.00045 con 1 g.1
La suma de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor (SSe) se toman
como estimaciones del error y se suman.
SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1
3) Se construye una tabla ANOVA, ésta es:
Efecto SS G.l. V Fexp
A 0.03645 1 0.03645 58.32
B 0.00080 1 0.00080 1.28
C 0.01805 1 0.01805 28.88
D 0.00320 1 0.00320 5.12
E 0.00245 1 0.00245 3.92
Error 0.00125 2 0.000625
Total 0.0622 7
Bajo la columna SS se tienen las sumas de cuadrados. Bajo la columna G.l. (grados
de libertad), tendremos el número de columnas que se usaron para evaluar el factor, en
este caso, sólo puede ser de uno para cada factor y más de uno únicamente para el
caso del error.
La columna V, se obtiene dividiendo el número bajo la columna SS, entre el número
de la columna G.L.
Así por ejemplo, para el factor A se tiene
SSA= 0.03645, G.L. de A=1

V= SSA/G.L.= 0.03645/1= 0.03645
Por último, el valor de Fexp, se obtiene de dividir el valor de V de cada factor, entre el
valor de V para la estimación del error.
Fexp de A= V(A) / V(error)= 0.03645/0.000625=58.32
4) Obtenemos las siguientes conclusiones:
Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp mayor que 2 se considera que
afectan la variable de respuesta, emisión de formaldehído en este caso. Estos son
llamados factores significantes.
En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D y E, tipo de resina, tiempo de
ciclo, humedad y presión respectivamente.
Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren
como error aleatorio, a fin de obtener una mejor estimación (con mayor número de
grados de libertad).
En este caso por ejemplo, una mejor estimación de SSe es:
SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205
Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3= 0.00205/3= 0.00068
Las estimaciones que se obtienen de esta manera suelen escribirse entre paréntesis.
La tabla ANOVA queda ahora
Efecto SS G.1 V Fexp
A 0.03645 1 0.03645 53.60
C 0.01805 1 0.01805 26.54
D 0.00320 1 0.00320 4.71
E 0.00245 1 0.00245 3.60
Error 0.00205 3 0.00068
Total 0.0622 7
Nos resta decidir a que nivel habrá de fijar cada factor significante, y qué podremos
esperar. Para tomar esta decisión, es de mucha ayuda obtener los promedios de las
lecturas que se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores significantes.
Los promedios de la emisión de formaldehído para cada nivel se obtienen dividiendo
c/u de los totales entre 4, (c/total es la suma de cuatro lecturas).
A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975
A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625
El resto de los promedio son:

Factor Nivel 1 Nivel 2
A A1= 0.3975 A2= 0.2625
B B1= 0.3400 B2= 0.3200
C C1= 0.3775 C2= 0.2825
D D1= 0.3500 D2= 0.3100
E E1= 0.3475 E2= 0.3125
El promedio general denotado como Y es:
Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n= 2.64/8= 0.33
Los factores A, C, D y E que afectan emisión de formaldehído deberán fijarse al nivel
que minimicen la emisión, esto es, al nivel que se obtenga el promedio menor, en este
ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15 segundos como tiempo de prensado, 5% de
humedad y 900 psi.
El factor B juega aquí un papel sumamente importante. Dado que no afecta la
emisión de formaldehído, dentro del intervalo analizado, se utiliza para reducir los
costos de producción. Esto se hace fijándolo a su nivel más económico. ¿Cuál será el
nivel esperado de emisión bajo las nuevas emisiones propuestas Y est.?
Para contestar esta pregunta, para cada efecto significante se calcula una resta, que
llamaremos el efecto de cada factor respecto al promedio general, para este caso el
efecto es
EF A = (promedio bajo la condición propuesta del factor promedio general)
= A2 – Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fijó a su nivel 2)
EF C = C2 – Y= 0.2825-0.3300= -0.0475
EF D = D2 – Y= 0.3100-0.3300=-0.0200
EF E = E2 – Y= 0.3125-0.3300= -0.0175
Finalmente, el resultado esperado bajo las condiciones A2, C2, D2, E2, que
llamaremos Yest. se calcula sumando al promedio general Y todos los efectos de los
factores significantes.
Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-0.0475-0.0200-0.0175=0.1775
Análisis utilizando gráficas
Existe una alternativa al análisis ANOVA, esta es una serie de gráficas que se
muestran enseguida.
1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los factores,
incluyendo las columnas vacias.

Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el número
de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los totales a cada
nivel los tenemos ya en la sección anterior. Los promedios son:
Nivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200 0.3325
Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400 0.3225
Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33
Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor que el
promedio global. Esto siempre debe de ocurrir.
2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y ordénelos de
mayor a menor en valor absoluto.
Esto es por ejemplo para el factor A
A1 – A2 = 0.3975 – 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:
Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0100
En la tabla de ANOVA encontramos los resultados obtenidos anteriormente:
Nº A B C D E e1 e2 Yi
1 1 1 1 1 1 1 1 0.49
2 1 1 1 2 2 2 2 0.42
3 1 2 2 1 1 2 2 0.38
4 1 2 2 2 2 1 1 0.30
5 2 1 2 1 2 1 2 0.21
6 2 1 2 2 1 2 1 0.24
7 2 2 1 1 2 2 1 0.32
8 2 2 1 2 1 1 2 0.28
T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35
Tot
T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64
SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045
Ve
gl 1 1 1 1 1 2
V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .
00062 F 58.32 1.28 28.88 5.12 3.92
Sg si no si si si
P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475

Y
P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125
0.33
Ni 2 - 2 2 2
Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175
Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2
T1 = Total de lecturas al nivel 1
T2 = Total de lecturas al nivel 2
n = Número total de lecturas
SS = (T2 - T1 )2
/n
gl = Grados de libertad (columnas)
V = SS/gl
F = V/Ve
Sg = ¿Efecto significante?
P1 = Promedio nivel 1
P2 = Promedio nivel 2
Ni = Nivel seleccionado
Ef = Efecto de la variable
Y = Promedio de todos los datos
Yest = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas
Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos:
Factor A C D E B e e
Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0200
0.0100
Se puede observar que el orden en que quedaron los datos anteriores, es también el
orden de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA.
Siguiendo el orden anterior, se obtiene una gráfica como se muestra en seguida:
.40
.35
.33
.30
.25
A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2

Mediante esta gráfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre mayor sea la
línea de cada factor, o bien, entre más vertical se encuentre, mayor será el efecto de
este factor.
Observamos un grupo de líneas inclinadas, seguida de un grupo de líneas que
súbitamente se “acuestan” o se hacen horizontales. Es de esperar que las líneas que
presentan columnas vacías o error aleatorio, quedan prácticamente horizontales
Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son similares a las
de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles
recomendados se pueden identificar rápidamente, si deseamos reducir la variable de
respuesta, se toma el nivel más bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos
por debajo de la línea promedio global.
En conclusión, el método gráfico puede ser utilizado para fines de exposición o
presentación y el ANOVA para fines de tomar una decisión más objetiva.
Arreglos ortogonales para factores con interacciones:
Como hemos visto anteriormente en los procesos de producción se producen
interacciones. En esta sección describiremos esta situación.
En los casos anteriores se asumió que el efecto de un factor sobre la variable de
respuesta, no dependía del nivel de otros factores. Cuando el efecto de un factor
depende del nivel de otro factor, se dice que existe una interacción entre los factores.
Supongamos que en un experimento se ha encontrado que la temperatura y el tipo de
refrigerante, afectan la variable de respuesta llamada planicidad. Existen dos marcas
de refrigerante, la marca I y la marca II. Resulta que si usamos el refrigerante I, al
aumentar la temperatura la planicidad aumenta. Pero si se utiliza la marca de
refrigerante II, al aumentar la temperatura, la planicidad disminuye.
Si nos preguntamos cual es el efecto de la temperatura sobre la planicidad, podemos
contestar que depende del tipo de refrigerante que se utilice. En este caso se dice que
existe una interacción entre la temperatura y el refrigerante.
Otro ejemplo es el caso de 2 medicamentos que al suministrarse en forma
independiente, provocan mejoría en las condiciones del paciente. Por otro lado, cuando
los dos medicamentos son suministrados al mismo tiempo y la condición del paciente
empeora, se dice que los dos medicamentos interactuan.
Gráficamente se puede observar si existe o no interacción entre los factores:

B1
B1
B2
B2
A1 A2 A1 A2
Las dos líneas son paralelas, no El efecto de A depende del nivel de B
existe interacción entre los factores. y viceversa. El efecto de A no es
consistente.
Existe interacción
Las interacciones existen en los procesos en mayor o menor grado.
En las secciones anteriores se analizaron aplicaciones de arreglos ortogonales, en los
cuales no existían interacciones entre los factores principales. En otros casos, podemos
estar interesados en analizar el efecto que algunas interacciones en particular tienen
sobre la variable de respuesta.
¿Pero qué sucede cuando se desea incluir interacciones en un arreglo
ortogonal?, se puede decir lo siguiente:
a) los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con interacciones, son exactamente
los mismos que se usan para el caso sin interacciones.
b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas columnas, automáticamente la
interacción de esos dos factores AxB se reflejará en otra columna del arreglo. Por lo
tanto, esta tercera columna ya no podrá ser utilizada por algún otro factor o interacción
a menos que se pueda suponer la interacción AxB como inexistente.
c) una interacción significante que se desee probar, tomará una columna y en
consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, si deseamos analizar el efecto de 6
factores y 4 de las interacciones entre ellos, requerimos por lo menos de 10 grados de
libertad, esto es de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo L8, que sería
suficiente sin interacciones.
d) se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan los factores a las
columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales u
otras interacciones que también deseamos probar.
Una condición que existe para el manejo de las interacciones mediante procedimientos
de arreglos ortogonales Taguchi, es que se tenga una definición “a priori “ de cuales
interacciones específicamente sospechamos que existen. Esto es, debemos definir de
antemano qué interacciones creemos son relevantes, a fin de incluirlas en nuestro
análisis. Esto se puede saber en base a la experiencia previa del proceso.
Para ayudar en la asignación de factores a un arreglo, se han desarrollado gráficas
lineales. Su aplicación se muestra mediante un ejemplo:

NOTA: En los ejemplos que siguen, para denotar una interacción entre dos factores, A y
B por ejemplo, se utiliza indistintamente la notación AB o AxB.
Gráficas lineales
A continuación se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos gráficas
lineales. Estas se reproducen aquí para su explicación.
Columnas Matriz o tabla de interacciones
Nº 1 2 3 4 5 6 7 Columnas1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1 (1) 3 2 5 4 7 6
2 1 1 1 2 2 2 2 (2) 1 6 7 4 5
3 1 2 2 1 1 2 2 (3) 7 6* 5 4
4 1 2 2 2 2 1 1 (4) 1 2 3
5 2 1 2 1 2 1 2 (5) 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1 (6) 1
7 2 2 1 1 2 2 1 (7)
8 2 2 1 2 1 1 2
1 3
2
3 5 1
.7 5
4
6
2 6 4
7
(b)
(a)
¿Qué representa cada tabla?. En primer lugar, el arreglo ortogonal L8 es exactamente
el mismo que se utilizó en el caso experimental y cada columna un factor o interacción
cuyo impacto sobre la variable de respuesta se desea conocer.
La matriz triangular nos representa las interacciones entre columnas. En el primer
renglón, con el titulo de columna, cada número corresponde a la columna con ese
mismo número del arreglo, al igual que los números entre paréntesis que se encuentran
en la diagonal inferior. Por ejemplo, si nosotros asignamos el factor A a la columna 3 y
el factor B a la columna 5, la interacción de AxB aparecerá en otra columna ya definida.
En el cruce de la columna número 5 y el renglón número 3 de la matriz, aparece el
número 6 (marcado con * en la tabla), de manera que la interacción de AxB se deberá
asignar a la columna 6 del arreglo ortogonal.

Con ayuda de matriz de interacciones es factible, mediante prueba y error, asignar los
factores a las columnas. Sin embargo, para simplificar aun más esta asignación nos
podemos auxiliar de las gráficas lineales (1) y (2) que se muestran.
En una gráfica lineal:
a) un efecto principal se representa mediante un punto.
b) una interacción se representa mediante una línea.
c) los números representan las columnas correspondientes del arreglo ortogonal a
donde se asignan los efectos principales y las interacciones.
En particular, el arreglo ortogonal L8 tiene dos alternativas de arreglo mostrados por
las gráficas (a) y (b) respectivamente.
Por ejemplo, la gráfica (a) indica que con este arreglo se pueden analizar, tres factores
principales, (puntos 1, 2 y 4) y las interacciones entre ellos, (líneas 3, 5 y 6), además de
un cuarto factor, (punto 7), que no interactua con los otros tres.
Los números indican que si deseamos lo anterior, los tres factores deberán asignarse a
las columnas 1, 4 y 2. Las interacciones aparecen en las columnas 3, 5 y 6.
La gráfica (b) indica cuatro factores, (puntos 1, 2, 4 y 7) con interacciones de uno de
ellos con los otros tres (líneas 3, 5 y 6).
Por lo tanto, el factor que interactua con los otros tres se debe asignar a la columna 1
del arreglo, los otros tres factores a las columnas 2, 4 y 7. Las interacciones quedarán
en las columnas 3, 5 y 6.
Si se desea analizar un número menor de interacciones y un número mayor de
factores en el mismo arreglo ortogonal, la columna de cualquier línea representando
una interacción que no es relevante, se puede utilizar para representar un factor
adicional.
La aplicación de gráficas lineales se muestra con un ejemplo.
Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D, además
de las interacciones AxB, AxC y AxD.
1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del
número de efectos totales a analizar.
4 factores + 3 interacciones = 7 efectos o columnas
2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el
siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las reglas
mencionadas anteriormente:
a) un efecto individual se representa con un punto.
b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos
efectos individuales.

En nuestro caso esto procede como sigue:
Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto.
A. B.
C. D.
En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para
nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda):
AxB 3
A B 1 2
AxC AxD 5
6
C D 7 4
3) Utilizando la segunda gráfica, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B
a la columna 2, la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la
interacción AxD a la columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la
columna 6.
Esto es:
Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos que la
interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos es:
B
AxB
A C E
AxD
D
Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC, por lo
tanto, una asignación lógica es:
Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3, el
factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la columna 6.
Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción AxC, se le asigna el
factor E.
Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1).
Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las gráficas
lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor tamaño.

Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB, una
posible asignación es:
Efecto A D C B AxB E F
Columna 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo:
Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de interés es
el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes
factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:
Efecto Descripción Niveles
I II
A Tensión del diafragma Baja Alta
B Entrada para aire Estrecha Abierta
C Aperturapara
combustible
Pequeña Grande
D Flujo de gasolina Lento Rápido
AxC Interacción
AxB Interacción
BxC Interacción
La Gráfica lineal que se desea es:
A
AxC AxB
C B .D
CxB
Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una
asignación apropiada de efectos es:
N
º
A C AxC B AxB CxB
D
1 2 3 4 5 6
7
Tensión Apertura Entrada Flujo Yi
1 1 1 1 1 1 1 1 Baja Pequeña Estrecha Lento
11.2
2 1 1 1 2 2 2 2 Baja Pequeña Abierta Rápido
10.8
3 1 2 2 1 1 2 2 Baja Grande Estrecha Rápido
7.2
4 1 2 2 2 2 1 1 Baja Grande Abierta Lento
7.0
5 2 1 2 1 2 1 2 Alta Pequeña Estrecha Rápido
8.0

6 2 1 2 2 1 2 1 Alta Pequeña Abierta Lento
6.9
7 2 2 1 1 2 2 1 Alta Grande Estrecha Lento
10.4
8 2 2 1 2 1 1 2 Alta Grande Abierta Rápido
10.1
Total 71.6
El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar.
Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas
donde se asignaron interacciones.
El análisis utilizado ANOVA es:
A C AxC B AxB BxC D
Nivel 1 36.2 36.9 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5
Nivel 2 35.4 34.7 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1
La tabla ANOVA que resulta es:
A 0.0800* 1 0.0800 -
C 0.6050 1 0.6050 8.85
AxC 22.4450 1 22.4450 328.46
B 0.5000 1 0.5000 7.32
AxB 0.0800* 1 0.0800 -
BxC 0.1250 1 0.1250 1.83
D 0.0450* 1 0.0450 -
(e) 0.2050 3 0.0638
Total 23.8800 7
El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *
Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B.
Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus
interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual que se
realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios:
B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70
Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2.

El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción con
el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se puede
analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se interactua. En este
caso, el factor C se debe analizar en conjunto con el factor A, aun cuando el factor C
resultó además significante individualmente y el factor A no.
Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C:
Nº A C Yi
1 1 1 11.20 Siempre existirán entre dos columnas
2 1 1 10.80 cuatro posibles combinaciones de
3 1 2 7.2 números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 2
4 1 2 7.0
5 2 1 8.0
6 2 1 6.9
7 2 2 10.4
8 2 2 10.1
Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total de
lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00
La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 + 7.0=
14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10
La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 + 6.9=
14.9, con un promedio de 7.45
Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total de
10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25
En resumen
Combinación Total Promedio
A1 C1 22.0 11.00 Como es un caso mejor,
A1 C2 14.2 7.10 se selecciona el promedio
A2 C1 14.9 7.45 menor, A1 C2 en este
A2 C2 20.5 10.25 caso.
Graficando estos promedios se tiene que:
11.0
10.0
9.00
8.00
7.00
A1 A2

En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su nivel 2,
factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico.
El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es:
EF A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y)
= (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675
Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores
individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o no).
EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25
Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de los
efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una interacción
significante, hayan resultado significantes de manera individual o no.
Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2
= 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85
Considere los siguientes ejemplos propuestos.
• Puede ud. acomodar en un arreglo L8 los efectos A, B, C, D, AxB y CxD
• Acomodar los siguientes efectos en un arreglo ortogonal: A, B, C, D, E, F, G, H, I,
AxB, AxC, AxG, AxE, ExF.
• Analizar el problema siguiente:
Variable de respuesta, viscosidad, el mayor valor es deseado.
Factores Nivel I Nivel II
A Mezcla de hule crudo si no
B Curado no
24 hrs.
C Velocidad de prensado 50m/min
55 m/min
D Enfriamiento del tambor con agua
sin agua
E Secado con vapor envolvente si
no
Interacción ExD
Interacción DxC
Arreglo ortogonal y resultados
Nº E D ExD C B DxC A Resultado
1 1 1 1 1 1 1 1 1620
2 1 1 1 2 2 2 2 1580
3 1 2 2 1 1 2 2 1100
4 1 2 2 2 2 1 1 1150

5 2 1 2 1 2 1 2 1500
6 2 1 2 2 1 2 1 1560
7 2 2 1 1 2 2 1 1000
8 2 2 1 2 1 1 2 1020
Algunos comentarios adicionales.
Hasta aquí se han considerado ejemplos para arreglos ortogonales L8, por su
comodidad en cuanto al tamaño. A continuación se hacen algunos comentarios sobre
otros arreglos.
• El arreglo L12 es un caso especial. Se observa en el apéndice, que no se muestran
gráficas lineales ni matriz de interacciones, esto es porque está diseñado para
analizar únicamente hasta once factores individuales sin interacciones. Con este
arreglo no se pueden analizar interacciones.
Las interacciones en un arreglo L12 se distribuyen de una manera uniforme en todas
las columnas. La ventaja de esto es que le permite investigar 11 factores sin
preocuparse por sus interacciones. El arreglo L12 en general tiene buena
reproducibilidad de conclusiones.
Algo similar se puede decir del arreglo L18
• Para un arreglo L16 existen una gran variedad de posibles gráficas lineales, en el
apéndice se muestran las seis más utilizadas con tres variantes cada una.
• Para un arreglo L32 se muestran en el apéndice 13 diferentes gráficas dentro de las
varias posibles que existen.
• En cualquier caso, se puede tratar de construir más gráficas de acuerdo con las
necesidades que se tengan, respetando siempre la matriz de interacciones.
• En los gráficos lineales que se anexan en el apéndice, se observa que los vértices
se representan con diferentes símbolos, específicamente con o, ∃ y !. La razón y su
significado es el siguiente:
Taguchi sugiere que las pruebas o corridas se lleven a cabo en el orden indicado por
los renglones del arreglo ortogonal, esto es, primero las condiciones indicadas por el
renglón 1, seguidas de las del renglón 2 y así sucesivamente.
Por otra parte, al ejecutar el experimento, no todos los factores tienen la misma
flexibilidad de estar variando de nivel de una prueba a otra.
Por otro lado, se sugiere que los factores con menor flexibilidad se asignen al grupo 1
del arreglo representados por el símbolo o, de la gráfica lineal. Estos factores tendrán
menos cambios de nivel a lo largo de todo el experimento. De hecho, observe que el
factor asignado a la columna 1 de cualquier arreglo, solo tiene un cambio de nivel,
mientras que por ejemplo, un factor asignado a la columna Nº 15 de un arreglo L16
cambia 10 veces de nivel.

Los factores que le siguen en inflexibilidad se deberán asignar sucesivamente a los
símbolos ∃, # y ! en una gráfica lineal.
Ud. habrá observado ya la complicación que agregan a los análisis la presencia de
interacciones. Para lidiar con estas, la gente que sabe mucho de esto le hace las
observaciones siguientes:
• Por lo general, existen pocas interacciones dentro de las múltiples posibles entre
factores.
• El efecto de las interacciones sobre la variable de respuesta, es por lo general
menor que el efecto de los factores individuales solos.
• Recuerde que algunos arreglos ortogonales, le permiten analizar un problema sin
preocuparse por las interacciones. El L12 es un ejemplo de ellos.
• Se sugiere que, en caso de dudas sobre las interacciones, siempre sea preferible
incluir más factores, en lugar de interacciones. Si estas últimas no son muy fuertes,
se pueden considerar como ruido.
ANALISIS SEÑAL A RUIDO
De todos los factores que afectan un proceso, se pueden extraer dos grupos:
• Factores de ruido. Son aquellos que no podemos, queremos o deseamos controlar,
y más bien deseamos que nuestros procesos y productos sean insensibles a su
impacto.
• Factores de diseño. Son aquellos que si podemos controlar en nuestro proceso de
producción, y deseamos encontrar a qué nivel operarlos, a fin de optimizar el
producto o proceso, esto es, que los productos sean de alta calidad y bajo costo.
El análisis se realiza de la siguiente manera:
1. Dentro de los factores a estudiar, separe los de ruido y los de diseño o control.
2. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la variabilidad del
proceso. Utilícelos para minimizar la variabilidad.
3. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la media, sin
afectar la variabilidad. Utilícelos para optimizar la media.
4. Identifique aquellos factores de diseño que no afectan ni media ni variabilidad.
Utilícelos para reducir costos.
Indices señal ruido.
es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera, involucre media y
variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras conclusiones sean más confiables.
Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de aquí
en adelante.

EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE PRODUCTOS MÁS ROBUSTOS
SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL ÍNDICE SN.
En seguida se muestran los tres casos:
IV.2.1 Caso nominal es mejor
Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es:
SN= 10 log ( ) ( )( )[ ]VmrVmSm /− donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2
/r
Vm= ( )[ ] ( )1/...
22
3
2
2
2
1 −−+++ rSmyyyy r
El lector reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de
base 10 de la relación (media/desviación estándar)2
.
En ocasiones se utiliza:
SN= -10 log Vm
IV.2.2 Caso menor es mejor
Para el caso de menor es mejor, el índice recomendado es:
SN= -10 log ( )[ ]r/,y,yyy r321 …+++
Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2
+ varianza)
IV2.3 Caso mayor es mejor
Para el caso mayor es mejor se recomienda:
SN= -10 log ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ryyyy r //1.../1/1/1
2
3
2
2
2
1
2
++++
Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso.
Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar el inverso.
El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo es
para que siempre se maximice el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener
decibeles.
En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de ruido,
contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que se pueden
controlar durante un experimento.
Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes, un
arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de ruido o

externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de diseño. Las
columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.
Ejemplo:
Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el
terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg). Esta
característica se piensa es afectada por los siguientes factores:
Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2
A Temperatura del horno 1500 ºF 1600 ºF
B Presión de prensado 200 psi 220 psi
C Velocidad de recocido 8 seg 12 seg
D Velocidad de alimentación ref. 80 gal/min 100gal/min
G Tipo de modelo chico grande
H Templabilidad del material 25 Rc 30 Rc
AxC Interacción
AxD Interacción
Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya que
el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la templabilidad es
una característica de la materia prima. Estos dos factores se consideran al menos
inicialmente como factores de ruido.
Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D.
De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones de
operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el producto a la
característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar de las variaciones
en los factores G y H.
IV. 3.2. Arreglo interno
Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total, y
para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es:
3
1 A .2 B
5 A xC
4 C
AxD 6
7 D
La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el error.
Una posible asignación es:

A B e C AxC AxD D Este será el arreglo
Nº 1 2 3 4 5 6 7 interno y consiste de 8
condiciones
experimentales/renglones
IV.3.3 Arreglo externo
Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos
columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que
llamaremos arreglo externo es:
G H
Nº 1 2 3
1 1 1 1
2 1 2 2
3 2 1 1
4 2 2 1
Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.
IV. 3.4 Arreglo total
Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en un solo arreglo total, tal y
como se muestra:
A B e C AxC AxD D
Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 Y11 Y12 Y13 Y14
2 1 1 1 2 2 2 2 Y21 Y22 Y23 Y24
3 1 2 2 1 1 2 2 Y31 Y32 Y33 Y34
4 1 2 2 2 2 1 1 Y41 Y42 Y43 Y44
5 2 1 2 1 2 1 2 Y51 Y52 Y53 Y54
6 2 1 2 2 1 2 1 Y61 Y62 Y63 Y64
7 2 2 1 1 2 2 1 Y71 Y72 Y73 Y74
8 2 2 1 2 1 1 2 Y81 Y82 Y83 Y84
Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado, esto es,
escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4= 32 posibles
lecturas, tomadas bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de Yij ). En general,
si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N renglones, entonces existen
un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas bajo condiciones diferentes.
Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea mayor
que 3.

Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que
inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan todos los
factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº 1 del arreglo
interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1.
Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos niveles
de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los factores de
ruido.
En resumen se tiene:
Todos los factores de
diseño a su nivel 1 Lectura Factores de ruido
Temperatura 1500 ºF Y11 Modelo chico y 25 Rc
Presión de 200 Psi, 8 seg Y12 Modelo chico y 30 Rc
de tiempo de recorrido y Y13 Modelo grande y 25 Rc
velocidad de alimentación Y14 Modelo grande y 30 Rc
refrigerante 80 gal/min
De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas.
En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas
lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán
indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones, los
factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo externo.
De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de
diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se varían los
factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno.
Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor A,
1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y factor H,
25 Rc.
Las 32 lecturas son las siguientes:
1 2 2 1
H 1 2 1 2
G 1 1 2 2
A B e C AxC AxD D
Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1
2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3
3 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1
4 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0
5 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3
6 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0
7 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0
8 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5
Totales= 11.7 13.6 14.2 13.3

Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor
deseado de m= 2 mmplg.
Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar la
tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas.
Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.
Análisis con el Indice SN
Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de
minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo externo
conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:
A B e C AxC AxD D
Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total
1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7
2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.0
3 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.4
4 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.4
5 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.9
6 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.0
7 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.1
8 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3
Totales= 11.7 13.6 14.2 13.3 52.8
Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada
condición o renglón.
Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo cada
condición. Para esto, nos ayudamos del índice SN, o sea, la variabilidad de las cuatro
lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un índice señal a ruido.
Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8 valores del índice SN, uno
para cada renglón o condición experimental.
Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es:
SN= 10 log ( ) ( )[ ]VmrVmSm */− ; donde Sm= ( ) rYi /
2
∑ y Vm= ( ) ( )1/
2
−−∑ rSmYi
En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas
individuales.
Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas
siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7
El cálculo del índice es:

Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2
/4= 5.5225
Vm= (1.12
+1.22
+1.32
+1.12
)= 0.00916
SN= 10 log ( ) ( )[ ]00916.0*4/00916.05225.5 − = 21.7714
Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2, 1.3,
con un total de 5.0
El cálculo del índice SN es:
Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2
/4= 6.2500
Vm= (1.22
+ 1.32
+ 1.22
+ 1.32
– 6.2500)/3= 0.0033
SN= 10 log ( ) ( )[ ]0033.0*4/0033.02500.6 − = 26.7071
Los ocho índices son:
Nº Sm Vm Sn (dB)
1 5.5225 0.00916 21.771
2 6.2500 0.00333 26.707
3 17.6400 0.00666 28.203
4 17.6400 0.00666 28.203
5 6.0025 0.02916 17.092
6 6.2500 0.04333 15.539
7 16.4025 0.10916 15.718
8 17.2225 0.18916 13.524
Nuestro arreglo es ahora:
A B e C AxC AxD D SN
Nº 1 2 3 4 5 6 7 dB
1 1 1 1 1 1 1 1 21.771
2 1 1 1 2 2 2 2 26.707
3 1 2 2 1 1 2 2 28.203
4 1 2 2 2 2 1 1 28.203
5 2 1 2 1 2 1 2 17.092
6 2 1 2 2 1 2 1 15.539
7 2 2 1 1 2 2 1 15.718
8 2 2 1 2 1 1 2 13.524
Para el factor A se tiene:
A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A
= 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857

=17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750
SSA = (A2 – A1) /Número total de lecturas SN
=(61.8750 – 107.8857)2
/8= 231.2413, con 1 g.l.
La tabla ANOVA total es:
Factor SS Gl V Fexp
A 231.2413 1 231.2413 14.44
B 2.5751 1 2.5751 00.16
C 0.1764 1 0.1764 00.01
AxC 9.4284 1 9.4284 00.59
AxD 3.8880 1 3.8880 00.24
D 2.3047 1 2.3047 00.14
e 16.0135 1 16.0135
El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el índice
señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con los niveles
del factor A, se tiene:
A1 = SN promedio= 104.8857/4= 26.22
A2 = SN promedio= 61.8750/4= 15.47
Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija en su
nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.
¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se deben
identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles afectan la
media. Esto se muestra en lo que sigue.
Análisis usando las lecturas individuales.
Después de identificar los factores que “afectan” la variabilidad, el siguiente paso es
identificar qué factores, dentro de los que no afecta la variabilidad, afectan la media del
proceso. Estos factores llamados factores de señal, nos permitirán “ajustar” la media del
proceso hacia su valor nominal, sin incrementar la variabilidad del proceso.
Para el análisis, se utilizan las 32 lecturas iniciales. Para ello se obtiene el promedio de
cada renglón.
A B e C AxC AxD D
Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total Promedio
1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7 1.175
2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.0 1.250
3 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.4 2.100

4 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.4 2.100
5 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.9 1.225
6 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.0 1.250
7 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.1 2.025
8 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3 2.075
Totales 13.200
Considerando únicamente los promedios, tendremos un arreglo L8 con una lectura. El
análisis en base a los promedios es:
=1.175+1.250+2.100+2.100= 6.625
= 1.225+1.250+2.075+2.025= 6.575
SSA = (A2 – A1) 2
/Número total de lecturas SN
= (6.625 – 6.575)2
/8= 0.0003
Similarmente para el factor B se tiene
B1 = 1.175+1.250+1.225+1.250= 4.900
B2 = 2.100+2.100+2.025+2.075= 8.300
SSB = (B2 - B1 )2
/8= (4.900-8.300) 2
/8= 1.4450
Y así sucesivamente
SSC = 0.0028 , SSAxC= 0.0000, SSAxD= 0.0003
SSD = 0.0013 , SSe= 0.0028
La tabla ANOVA es:
A 0.0003 1 0.0003 0.11
B 1.4450 1 1.4450 513.75
C 0.0028 1 0.0028 1.00
AxC 0.0000 1 0.0000 0.00
AxD 0.0003 1 0.0003 0.11
D 0.0013 1 0.0013 0.44
e 0.0028 1 0.0028
Totales 1.4525 8
El factor B, presión de prensado, es el único factor significante. Mediante este factor se
puede ajustar la media del proceso, y llevarla lo más cerca posible a su valor ideal de 2.
También se debe hacer la observación, de que si el factor A hubiera resultado
significante en este segundo análisis, no podríamos utilizarlo, ya que resultó significante
en el análisis con el índice SN.
En particular, la respuesta promedio para cada nivel del factor B es:

B1 = 4.9/4= 1.225; B2= 8.3/4= 2.075
Si se desea aumentar la planicidad, se deberá incrementar la presión de prensado. Si
se desea disminuir la planicidad, se deberá reducir la presión.
Se puede interpolar para conocer el valor al que se debe fijar la presión. La respuesta
promedio a 200 psi es de 1.225 y a 220 psi es 2.075
Y 2.0
1.5
1.0 B
200 220
IV. Análisis utilizando gráficas
Como se mencionó anteriormente, una alternativa a la ANOVA son las gráficas de
promedios, ya sea del índice SN o de las lecturas individuales.
Por ejemplo, para el factor A encontramos el promedio a cada uno de sus niveles,
tanto del índice señal a ruido como de las lecturas individuales.
Para el índice señal a ruido se tiene:
A1 = (21.7714+26.7071+28.2036+28.2036)/4= 26.2214
A2 = (17.0927+15.5397+15.7186+13.5240)/4= 15.4687
Para promedio de lecturas individuales se tiene:
A1 = 6.625/4= 1.6562; A2= 6.575/4= 1.6437
En resumen, los promedios para todos los factores son:
Nivel SN promedio Y promedio
A1 26.22 1.6
A2 15.47 1.6
B1 20.38 1.2
B2 21.41 2.0
C1 20.71 1.6
C2 20.99 1.6
D1 20.31 1.6
D2 21.38 1.6
(AxC) 19.76 1.6
(AxC) 21.93 1.6
(AxD) 20.15 1.6
(AxD) 21.54 1.6

Gráficas de estos promedios se muestran más adelante, en estas gráficas, la
importancia de cada efecto se observar según la inclinación de cada línea, de hecho,
los efectos se encuentran graficados de acuerdo con su importancia.
Las conclusiones que se obtienen son las mismas, esto es, el factor A es el que más
afecta el índice señal a ruido, y lo hace mayor a su nivel A1. El factor B es el que más
afecta la respuesta promedio sin afectar el índice SN, la respuesta promedio aumenta al
aumentar el factor B de su nivel 1 al 2.

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