El fabricante desea construir una caja rectangular a partir de un cartón de 20x25cm cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados. Para maximizar el volumen de la caja, se debe determinar la medida del cuadrado a cortar. Al derivar la función del volumen respecto a x y igualarla a cero, se obtiene que la medida óptima es de 3,27cm.

1. ejercicio 2: Un fabricante de cajas de cartón desea construír una caja rectangular sin tapa a partir de una pieza rectangular de cartón de 20 por 25 cm para la cual debe hacer cortes cuadrados en las esquinas y doblar los lados. Determinar de qué medida debe cortarse el cuadrado para que el volúmen de la caja sea el máximo posible.<br />Llamando x al lado del cuadrado a recortar en cada esquina, el área \"
A\"
de la base debe tener las siguientes dimensionesA = (20 - 2x) (25 - 2x) = 500 - 40x - 50x + 4x²A = 500 - 90x + 4x² Y como la altura de la caja también es x, su volumen V = área de la base . altura, esV = (500 - 90x + 4x² ) xV = 500x - 96x² + 4x³ Derivando, se tieneV' = 500 - 192x + 12x³Igualando a cero para encontrar el punto crítico 0 = 500 - 192x + 12x³reordenando nos queda12x² - 192x + 500 = 0Ecuación cuadrática que por la resolvente nos da las raícesx1 = 12,72x2 = 3,27Descartando la primera por dar un volumen nulo, y sacando la derivada segunda para ver que clase de punto encontramos, tenemosV\"
= - 192 + 12xque para el punto considerado (x = 3,27), el resultado es negativo, y por tanto el valor hallado para el volumen es máximo, luego se debe recortar en las 4 esquinas un cuadrado de 3,27cm.<br />