Este documento describe cómo calcular el tamaño óptimo del recorte cuadrado en cada esquina de una caja de cartón rectangular de 40 cm x 30 cm para maximizar su volumen. Se crea una tabla y gráfica para varios tamaños de recorte y se determina que el máximo volumen ocurre con un recorte de 5.7 cm. Luego, resolviendo la ecuación derivada del volumen con respecto al tamaño del recorte, se obtiene que el tamaño óptimo es de 5.65741454 cm.

1. APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Un problema que hará que tu hámster sufra algo
muy grave……...
MATEMATICAS
Se desea fabricar una caja de cartón a partir de una pieza rectangular
que mide 40 cm X 30 cm el proceso de construcción consiste en
recortar cuadrados del mismo tamaño en las 4 esquinas y doblar la
pieza resultante.
CAJA DE CARTON DE 40X30
A continuación se hará la solución del problema para averiguar si el volumen cambia dependiendo del
tamaño del recorte.
Se realizará una tabla
de la siguiente forma
para averiguar si el
volumen cambia
según el recorte que se
le realiza.
Volumen máximo 3024

2. Ahora realizaremos la grafica de la tabla
anterior para observar el comportamiento de
los puntos que se formaran.
MATEMATICAS
Como podemos apreciar los puntos que se formaron no
dan como resultado una parábola esto quiere decir que el
punto crítico no es el que se aprecia puede estar antes o
después del actual.
Por lo que haremos de nuevo el procedimiento anterior de
la tabla con su grafica.

3. Tabla y grafica con decimales desde 5.1-6.9
MATEMATICAS
Aquí el volumen
máximo se encuentra
en el recorte de 5.7
Cuando se
llega al punto
máximo de
volumen la
línea empieza
a decrecer.

4. Obtención del recorte que se debe hacer a
la caja para obtener su volumen máximo.
(40x-2x)(30-2x)
= 1200-80x-60x+4x2
= (1200-80x-60x+4x2)(x)
=4x3-140x2+1200x
dy/dx
4x3-140x2+1200x
= 12x2-280x+1200
12x2-280x+1200=0
MATEMATICAS

5. Por último resolveremos la ecuación
obtenida 12x -280x+1200 = 0 con la
MATEMATICAS
2
formula general.
El recorte que debe tener la caja en cada una de sus esquinas
es de 5.65741454 para alcanzar su máximo volumen.