Este documento presenta varios ejemplos de problemas de optimización resueltos mediante el cálculo diferencial. Explica los pasos a seguir para resolver este tipo de problemas, que incluyen determinar el objetivo, expresarlo como función, calcular la derivada para encontrar puntos críticos, y evaluar la segunda derivada en esos puntos para determinar si son máximos o mínimos.

1. PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN
A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I VA DA
C Á L C U L O I - E M 1 8
T E R C E R PA R C I A L
S U S A N A B E R M E O

2. PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER EL
PROBLEMA
1. Determinar el objetivo del problema; lo que hay que hacer
máxima o mínima
2. Expresar en forma de función tal objetivo, para mejor
comprensión conviene hacer un dibujo
3. Los puntos máximos o mínimos se encuentran, si existen, entre
las soluciones de f’(x)=0
4. Para ver cual es la solución buscada se hace f’’(x) y se evalúa en
las soluciones encontradas en el paso anterior

3. EJEMPLO 1
•Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de
una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de
ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada
esquina y se doblará.
¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para
que el volumen de la caja resultante sea máximo?

4. RESOLVIENDO
• En el paso uno, En el
ejemplo anterior el
objetivo es que el
volumen de la caja sea
máximo.

5. RESOLVIENDO
• En el paso dos, La caja es
un prisma rectangular:
volumen = área de la base
por la altura.
• Dibujo

7. RESOLVIENDO
• En el paso tres,

8. POR ÚLTIMO
• En el paso cuatro,
• Nota: El valor x = 14,14 no es
posible, pues 24 cm no da para
cortar dos trozos de tamaño
14,14 cada uno.

9. EJEMPLO 2
•Se dispone de una tela metálica de 100
metros de longitud para vallar una región
como la de la figura. ¿Cuáles son los
valores de x e y que hacen que el área
encerrada sea máxima?

12. PUNTOS CRÍTICOS Y EVALUACIÓN
Para resolver los problemas optimización de cálculo diferencial
básico, utilizaremos el siguiente método:
1. Plantear la función f que debe optimizarse (maximizar o
minimizar).
2. Calcular la derivada de la función f.
3. Buscar los puntos críticos de f igualando a 0 la derivada f′.
4. Estudiar la monotonía de la función (creciente o decreciente)
en los intervalos que generan los puntos críticos para
determinar el tipo de extremos (relativos o absolutos).

13. EJEMPLO 3
• Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón
de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada
esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.
Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea
máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm (2≤L≤3).

14. SOLUCIÓN
• Si a es el ancho de la caja, h es su altura y p es su profundidad,
entonces su volumen es
• Al cortar los cuatro lados de lado L, el ancho de la caja es: a=20-2L
• La profundidad es: p=10-2L
• La altura coincide con el alto del cuadrado así que: h=L

15. • Luego el volumen de la caja en función de L, queda como
• Derivamos la función
• Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar
los puntos críticos
• Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los
intervalos

16. • Escogemos los puntos x=1 del primer intervalo, x=3 del segundo
intervalo y x=8 del tercero:

17. • Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en
el segundo y creciente en el tercero:
• Pero el lado L debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser
• Como en el intervalo [2.11,3] la función es decreciente, el volumen
será máximo para L=2.11cm.

18. • Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser
Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen
es 192.45 𝑐𝑚3.

19. EJERCICIOS

20. • Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular.
¿Cuáles son los valores de x e y , dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del
romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima?
• Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y
tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del
tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.
Calcular:
• Las dimensiones de una puerta de 2𝑚2
de superficie de hoja para que el costo sea mínimo.
¿Cuál será su precio?
• Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?