Este documento explica las ecuaciones de valores equivalentes, que permiten plantear y resolver problemas financieros al igualar dos conjuntos de flujos de capital con vencimientos diferentes. Describe cómo usar diagramas de tiempo-valor para representar los flujos de capital y establecer una fecha focal para llevar todos los capitales. Luego, presenta un ejemplo resuelto donde se usa esta metodología para determinar el monto de un pago final, dado otros pagos y una tasa de interés compuesto.

2. Una ecuación de valor es la equivalencia financiera, planteada en términos algebraicos y en una fecha determinada, entre dos conjuntos de obligaciones o flujos de capitales cuyos vencimientos coinciden o se han hecho coincidir. En general, estos conjuntos vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al de los pagos, o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros producidos en una cuenta bancaria, así como también, se presentan casos de transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. La igualdad o el planteamiento antes señalado es lo que se conoce como una ecuación de valores equivalentes , o simplemente, una ecuación de valor . Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles de las matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y resolver diversos tipos de problemas financieros, mediante los desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES I

3. Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe respetar la Regla Fundamental de la Suma Financiera de Capitales : “ Dos o más capitales financieros no pueden sumarse mientras no coincidan sus vencimientos” Es así como p ara plantear la ecuación, habremos de efectuar una suma financiera de capitales, trasladando todos ellos a una cierta fecha, tomando en cuenta el aumento o disminución del dinero a través del tiempo. A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama FECHA FOCAL. Cuando se hayan llevado todos los capitales a la fecha focal acordada, podemos plantear una ecuación de valor y determinar, a partir de ésta, los capitales de cuantía desconocida. Es importante resaltar que cuando se trata con interés compuesto, dos conjuntos de capitales que son equivalentes en una fecha también lo son en cualquier otra, por tanto, la fecha focal puede fijarse en cualquier vencimiento. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES II

4. Para facilitar la solución de los problemas financieros que se resuelven planteando una ecuación de valor, es conveniente utilizar lo que se conoce como los diagramas tiempo-valor . Estos consisten en una línea horizontal con una escala de tiempo en años, meses, días, etc., dependiendo del problema y en ella se indican las sumas de dinero de los dos conjuntos de capitales en sus correspondientes vencimientos. Un conjunto se representa con flechas que se colocan arriba del eje del tiempo del diagrama tiempo-valor y, el otro conjunto, con flechas que se colocan abajo. Presentamos a continuación un ejemplo resuelto, donde explicamos el modo de graficar (usando un diagrama tiempo-valor), plantear y resolver un problema que envuelva el concepto de Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Compuesto . Veamos… ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES III

5. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES IV EJEMPLO : Gustavo Mesa se había comprometido a pagar hoy la suma de $120,000 y $80,000 dentro de 2 años. Ante la imposibilidad de honrar dichos compromisos en la forma pautada, el acreedor accedió a un refinanciamiento en base a una tasa del 24% compuesto capitalizable trimestralmente, aceptando la cancelación de dichas deudas mediante un pago de $110,000 dentro de 5 años y un pago final en 6½ años. Determine el importe del último pago.

6. Presentamos a continuación el diagrama tiempo-valor con la fecha focal establecida. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES V

7. Procedemos entonces a trasladar todos los capitales a la fecha focal establecida. Efectuado eso, colocamos los que corresponden al primer conjunto de capitales (modalidad de pago inicial) en el 1er. miembro de la igualdad y los del otro conjunto de capitales (modalidad de pago fruto del refinanciamiento) en el 2do. miembro, estableciéndose la igualdad conocida como ecuación de valor . Esta ecuación se resuelve despejando la incógnita que en ella aparece para finalmente obtener así la solución del problema. Ecuación de valor: 120,000 (1+ 0.06) 12 + 80,000 (1+ 0.06) 4 = 110,000 (1+ 0.06) -8 + X (1+ 0.06) -14 241,463.58 + 100,998.16= 69,015.36+ X (1+ 0.06) -14 342,461.74 – 69,015.36 = X (1+ 0.06) -14 273,446.38 = X (1+ 0.06) -14 X = 273,446.38/(1+0.06) -14 = $618,236.00 Valor del último pago Preparado por: Tulio A. Mateo Duval ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES VI