Este documento define ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo resolverlas. Una ecuación diferencial es homogénea si sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado. Para resolver una ecuación homogénea, se sustituye y = xv o x = yv para reducirla a una ecuación separable. Esto permite integrar y obtener la solución implícita.

1. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Luis Fernando García Miranda Registro: 10310138 Salón: B-210

2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Una función f(x,y) se llama homogénea de grado n con respecto a las variables x. y si para todo ‘t’ se verifica

3. Ejemplo de verificación 1: En este caso: La función f(x,y) — 2x3 — 5xy2+ 4y3es una función homogénea de grado tres.

4. Ejemplo de verificación 2: Tenemos ahora que Así, f(x,y) es homogénea de grado cero.

5. Ejemplo de verificación 3: En este caso: concluimos que no es homogénea.

6. Definición Se dice que la ecuación diferencial es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado. Note que la ecuación diferencial será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.

7. Método de Solución Una ecuación diferencial homogénea M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0, se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de las sustituciones v = y/x o bien v = x/y, donde v es una nueva variable. v = y/x v = x/y

8. Consejo… Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuación homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar • y = xv si N es de estructura "más simple" que M. • x = yvsi M es de estructura "más simple" que N.

9. Ejemplo 1: Como son funciones. N es de estructura algebraica más simple que M, la sustitución más conveniente es y = xv para reducir a una ecuación de variables separables. Hacemos:

10. Ejemplo 1: Sustituyendo en obtenemos:

11. Ejemplo 1: Integrando Reemplazando v = 𝑦𝑥y simplificando encontramos que

12. Ejemplo 2: En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la de N(x,y), por lo cual proponemos

13. Ejemplo 2: Entonces Integrando y usando v = 𝑥𝑦, obtenemos como solución implícita

14. Aplicaciones Desleimiento continuo de una solución Cinemática , oposición al movimiento Circuitos eléctricos simples en serie Etc.