Tutorial de ecuaciones diferenciales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
MARACAIBO
CÁTEDRA: MATEMATICA IV
VICTOR JOSE LUCENA ALVARADO
C.I: 23.760.001
Maracaibo, mayo de 2014

ECUACIONES SEPARABLES:
Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden resolverse mediante
integración, es la clase de ecuaciones separables, ecuaciones como:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚
que se pue den reescribir de modo que las variables x y y (junto con sus diferenciales dx y dy)
queden aisladas en lados opuestos de la ecuación, como en
𝒉 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
Así el lado derecho original 𝒇 𝒙, 𝒚 debe tener la forma factorizada
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒈 𝒙 .
𝟏
𝒉(𝒚)
en otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 𝒑(𝒚)
ECUACIONES DIFERENCIALES

Método para resolver E.S
I. Despejar dy/dx de la Ecuación diferencial, y obtener
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 𝑝(𝑦)
II. Separar la ecuación llevando las funciones para su respectivos diferenciales
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑑𝑦
III. Luego integrar ambos lados de la ecuación 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑑𝑦
IV. Se debe de resolver las integrales en ambos lados, resultando una constante C
para cada una y se agrupan en una sola C. Obteniendo así la solución de la
ecuación diferencial:
𝑃 𝑦 = 𝐺 𝑥 + 𝐶

ECUACIONES SEPARABLES: EJEMPLO
Paso I
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟐𝒙 + 𝒙𝒚
𝒚 𝟐 + 𝟏
Podemos observar que en el numerador factorizamos por medio del factor común, es
decir, realizar operaciones matemáticas antes de separar.
Por lo que:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
(𝟐 + 𝒚)
𝒚 𝟐 + 𝟏
𝒙 podemos ver a 𝒈 𝒚 𝒑(𝒙)
Paso II
Ahora podremos separar las funciones para cada diferencial correspondiente
(𝒚 𝟐
+ 𝟏)
(𝟐 + 𝒚)
𝒅𝒚 =
𝒅𝒙
𝒙

Paso III
(𝒚 𝟐
+ 𝟏)
(𝟐 + 𝒚)
𝒅𝒚 =
𝒅𝒙
𝒙
Al resolver cada integrar por métodos distintos en este ejemplo. Para el dy por división
de polinomios y cambio de variable, pero dx es directa de tabla de integrales
Tenemos como solución:
𝑦2
2
− 2𝑦 + 5𝐿𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐1 = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐2
Agrupando las constantes
𝑦2
2
− 2𝑦 + 5𝐿𝑛 𝑥 − 2 = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝐶

ECUACIONES LINEALES
Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con frecuencia en las
aplicaciones es la ecuación lineal. ecuación lineal de primer orden es una ecuación
que se pude expresar en la forma
𝒂 𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒃(𝒙)
Donde a1(x) , a0(x) , b(x) solo dependen de la variable independiente
Por lo que la ecuación al ser dividida por el coeficiente de los diferenciales (a1(x) )
obtenemos la forma canónica :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)

ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver la ecuación lineal
I. Obtener la ecuación en la forma canónica
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙
II. Determinar el factor integrantes 𝝁 𝒙 por medio de la formula
𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Para así multiplicar la ecuación en forma canónica, para luego llamar al lado
izquierdo de la igualdad como
𝒅
𝒅𝒙
𝜇 𝑥 𝒚

ECUACIONES LINEALES
I. Al determinar el factor integrante, éste se multiplica a toda la ecuación en forma
canónica, y verificamos que todo el lado izquierdo se presenta
𝜇 𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝜇 𝑥 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝜇 𝑥
II. Determinar el factor integrantes 𝝁 𝒙 por medio de la formula
𝜇 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝜇 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝜇 𝑥
lado izquierdo de la igualdad lo llamaremos
𝒅
𝒅𝒙
𝜇 𝑥 𝒚

ECUACIONES LINEALES
Entonces lo podemos representar como:
𝑑
𝑑𝑥
𝜇 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝜇 𝑥
III. se multiplica ambos lados por dx y se integra el lado derecho con respecto a x
𝑑[𝜇(𝑥)𝑦] = 𝑄 𝑥 𝜇 𝑥 𝑑𝑥
Y de ser posible se despeja la variable y

ECUACIONES LINEALES EJEMPLO
1
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2𝑦
𝑥2
= 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
PASOS:
I. Escribir la ecuación lineal en forma canónica, multiplicamos por la x para obtener
la ecuación canónica.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2
𝑥
𝑦 = 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
II. Determinamos el factor integrante con
𝑃 𝑥 = −
2
𝑥

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
−2
𝑥
𝑑𝑥 = −2𝐿𝑛 𝑥
Así el factor integrante
𝜇 𝑥 = 𝑒−2𝑙𝑛 𝑥
= 𝑥−2
Ahora multiplicamos la ecuación canónica obtenida por este factor integrante
𝑥−2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2
𝑥
𝑦𝑥−2
= 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥−2
al simplificar tenemos:
𝑥−2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦𝑥−3 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑥−2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦𝑥−3
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥
El lado izquierdo de la igualdad será:
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−2
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
ahora se integra ambos lados y se despeja la variable y
𝑑 𝑥−2
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝑥2
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶

ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
La forma diferencial es exacta en un rectángulo R si existe una función F(x,y) tal que:
δ𝐹
𝛿𝑥
𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 y
𝛿𝐹
𝛿𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Entonces se debe cumplir que para toda diferencial total de la función F(x,y) debe
satisfacer lo siguiente
𝑑𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Si esta función diferencial es una es una forma exacta, entonces la ecuación
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Es llamada exacta sii.
δ𝑀 𝑥, 𝑦
𝛿𝑦
=
𝛿𝑁(𝑥, 𝑦)
𝛿𝑥

PASOS PARA LA SOLUCIÓN : Al tener 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
I. Demostrar que es exacta: derivar parcialmente a M(x,y) en función de y, y derivar
N(x,y) en función de x, las cuales deben de ser igual, para cumplir con el criterio
de exactas.
δ𝑀 𝑥, 𝑦
𝛿𝑦
=
𝛿𝑥
II. Ya demostrada que es exacta, se procede a determinar F(x,y), comenzando con
la integral de M(x,y) con respecto a x, generando una función g(y) o N(x,y) con
respecto a y, generando una función h(x).

PASOS PARA LA SOLUCIÓN
III. A continuación se derivara parcialmente con respecto a la variable contraria a la
que se integro, es decir: si se integro a M(x,y) en función de x se derivara
parcialmente con respecto a y. pero si se escogió integral de N(x,y) en función de
x, se debe derivar en función de y, generando así un g’(y) o un h’(x)
respectivamente.
IV. Al tener la derivada parcial de la función se debe igualar a N(x,y) se haberse
generado g’(y) o igualar a M(x,y) de haberse generado h(x,y) y se agrupan los
términos , se integrara según sea la función generada para así sustituir en el lugar
que se genero g(y) o h(x). Y tener así la solución de F(x,y)

ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS EJEMPLO
2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
En este caso se identificara a M x, y = 2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 , y N 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦
Paso I: Hallar
δ𝑀 𝑥, 𝑦
𝛿𝑦
=
𝛿𝑥
δ 2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
𝛿𝑦
= 2𝑥 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝛿 𝑥2
+ 2𝑦
𝛿𝑥
= 2𝑥
demostrando así que es una ecuación diferencial exacta.

Paso II: En este caso escogeremos a F(x,y) como la integral a M(x,y) con respecto a y,
generando así g(y)
𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 𝑡𝑎𝑔 𝑥 + 𝑔(𝑦)
Paso III: a continuación consideramos la derivada parcial, para este caso la derivada
de la F(x,y) en función de y. por haber escogido a M(x,y), entonces tenemos
𝛿𝐹(𝑥, 𝑦)
𝛿𝑦
= 𝑥2
+ 𝑔′(𝑦)

Paso IV: ya obtenida la derivada de la función procedemos a igualar a N(x,y) para este
caso
𝑥2
+ 𝑔′
𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑦
Agrupamos donde será simplificada el x2
Por lo que nos queda que 𝑔′
𝑦 = 2𝑦 ahora se integrara con respecto a por lo
que:
𝑔′
𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑦dy
𝑔 𝑦 = 𝑦2

Continuación Paso IV:
𝑔 𝑦 = 𝑦2
Ahora ya teniendo la solución de g(y) podemos sustituir en F(x,y) donde se generó:
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 𝑡𝑎𝑔 𝑥 + 𝑔(𝑦)
Nuestra solución es:
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 𝑡𝑎𝑔 𝑥 + 𝑦2
Nota: el mismo ejercicio se puede realizar, pero integrando N(x,y) generando h(x) y
se haría lo descrito en los pasos

CASOS DONDE LA ECUACIÓN 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 NO ES EXACTA
Pero podemos hallar un factor integrante que la multiplique para transformarla en
exacta y así desarrollar los pasos de las exactas
Es decir que la ecuación :
𝝁 𝒙 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝝁 𝒙 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Si sería exacta. Y el 𝜇 𝑥 (factor integrante) se hallaría por la misma ecuación
usada en las ecuaciones lineales
Donde
𝑃 𝑥 =
𝛿𝑀
𝛿𝑦
−
𝛿𝑁
𝛿𝑥
𝑁
o 𝑃 𝑥 =
𝛿𝑁
𝛿𝑥
−
𝛿𝑀
𝛿𝑦
𝑀
Escoger el P(x) donde el denominador sea el mas simple o el menos complejo

ECUACIÓN DE BERNOULLI:
Es una ecuación de primer orden que puede escribirse en la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑦 𝑛
Donde P(x) y Q(x) son continuas en un intervalo (a,b) y n es un numero real
Se puede observar que si n = 0 la ecuación sería una Ecuación lineal, y se puede
resolver por el método de las ecuaciones lineales, descrito anteriormente, solo que se
deberá hacer un cambio de variable previo.
CAMBIO DE VARIABLE PARA SU SOLUCIÓN ES EL SIGUIENTE:
Solo si 𝒏 ≠ 𝒐
𝑧 = 𝑦1−𝑛
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥

Pasos para su solución
I. dividir la ecuación entre la variable 𝒚 𝒏
la ecuación presentará la siguiente forma:
1
𝑦 𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥
𝑦
𝑦 𝑛 = 𝑄 𝑥
𝑦 𝑛
𝑦 𝑛
simplificar tendremos
𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦1−𝑛
= 𝑄 𝑥
II. Aplicaremos el siguiente cambio de variable para la ecuación
𝑧 = 𝑦1−𝑛
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥

Con el cambio de variable tenemos
1
1 − 𝑛
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑧 = 𝑄 𝑥
Ahora como
1
1−𝑛
es un constante , esto nos representa una ecuación lineal, la cual se
resolverá por dicho método. Que al final se debe de regresar el cambio de variable,
sustituyendo z en función de y

ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = −
5
2
𝑥𝑦3
Esta ecuación de Bernoulli con n = 3, P(x) = 5, Q(x) = -5x/2 entonces
PASO I
Dividir a toda la ecuación entre 𝒚 𝟑
1
𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5
𝑦
𝑦3
= −
5
2
𝑥𝑦3
𝑦3
simplificando
𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦−2
= −
5
2
𝑥

PASO II
Se realizara el cambio de variable para n=3
𝑧 = 𝑦1−3
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (1 − 3)𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Simplificando:
𝑧 = 𝑦−2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −2𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Despejando
−
1
2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Nos queda la ecuación lineal
−
1
2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 5𝑧 = −
5
2
𝑥

PASO II
Hay que resolver por medio del método para ecuación lineal
peor habrá que multiplicar por la constante -2 para que los diferenciales quede con
coeficiente 1
−
1
2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 5𝑧 = −
5
2
𝑥 (−2)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 10𝑧 = 5𝑥
Se resolverá por medio de ecuación lineal donde P(x) = 10
Hallando el facto integrante de 𝜇 𝑥 para
𝜇 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 10𝑧𝜇 𝑥 = 5𝑥𝜇 𝑥

𝜇 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 10𝑧𝜇 𝑥 = 5𝑥𝜇 𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑒 10𝑑𝑥
= 𝑒10𝑥
Sustituyendo:
𝑒10𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 10𝑧𝑒10𝑥
= 5𝑥𝑒10𝑥
Entonces:
𝑑
𝑑𝑥
𝑒10𝑥
𝑧 = 5𝑥𝑒10𝑥
Integrando ambos lados y despejando z
𝑧 =
𝑥
2
−
1
20
+ 𝐶𝑒−10𝑥

De la sustitución que se realizó:
𝑧 = 𝑦−2
Regresamos el cambio en función de y
𝑦−2
=
𝑥
2
−
1
20
+ 𝐶𝑒−10𝑥
Obteniendo así la solución de la ecuación de Bernoulli

RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
1. Llevar las ecuaciones a su forma ordinaria y así identificar el método a aplicar
2. Recordar los métodos de factorización, como el mas usado el de factor común
3. Tener las tablas de integrales o resolverla según sea, inmediata, por parte, por
sustitución o cualquier método estudiado en matemática II
4. Verificar siempre las derivadas aplicadas
5. Al realizar un cambio de variable como en Bernoulli, al final regresar el cambio
6. En el métodos de las ecuaciones exactas, seleccionar a P(x) donde el denominador
sea el menos complejo.
7. En las ecuaciones exactas se toma como M(x,y) al que tenga el dx y a N(x,y) como
la función que contiene el dy
8. La ecuación de Bernoulli, siempre llevarla a la forma de ecuación lineal

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