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Ecuaciones
diferenciales
LEONARDO ZAMBRANO C.I: 28104393
GABRIEL ZAMBRANO C,I: 28104392
KEVIN LUGO C.I: 26958057
- Separación de variables.
- Homogénea.
- Exacta.
Métodos para resolver
las ecuaciones
diferenciales.
Introducción.
 En este proyecto intentaremos hacer una recopilación de información y
métodos para resolver las diferentes ecuaciones diferenciales existentes,
todo esto en base en investigaciones científicas realizadas con un arduo
esfuerzo.
 Para poder explicar como se realizan las ecuaciones diferenciales se hará
necesario explicar que es una ecuación diferencial para no tener dudas a la
hora de utilizar ciertos métodos para resolver las ecuaciones previamente
dichas.
Ecuaciones diferenciales
 Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación
diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación ordinaria es:
 La variable independiente (v. i) es x
 La variable dependiente (v. d) es y
Ecuaciones diferenciales
 Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
 La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
 La variable dependiente (v. d) es V
Orden de las ecuaciones diferenciales
 ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
 El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.
 Ejemplo:
Grado de las ecuaciones diferenciales
 GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
 El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su
derivada.
 Ejemplos:
Separación de variables.
El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para
encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que
involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son
el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los
métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a
problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas
parciales.
El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas
de funciones que contienen las variables separadas.
 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden f(x,y,y’)= 0 que puede
escribirse en la forma:
se llama ecuación diferencial en variables separadas
 Observación: una ecuación de la forma:
puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el
factor
Y al integrar obtenemos la solución
 Tenga presente que al dividir por el factor f2(x) g1(y) puede perder
soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones
singulares.
Ejemplo 1:
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria
Dividiendo por el factor obtenemos:
Y al integrar:
Simplificando: Observe que el factor Tan(y) (2 - e^x ) es cero cuando x = Ln(2) y y= k
.(pi) con k ∈ Z y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son
soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando
c = +∞ y c=0, respectivamente.
 Ejemplo 2:
La pendiente de una familia de curvas está dada por:
Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto (2,1).
Separando variables
Integrando:
Simplificando:
Evaluando en el punto (2,1) obtenemos que c=24, con lo cual el
miembro de la familia buscado es:
La recta tangente a la curva ( 3 + y^2) (2 + x^2 ) = 24 en el punto (2,1)
se muestran en la figura A
FIGURA A
 Ejemplo 3:
La ecuación diferencial ordinaria:
no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable y=ux.
Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación:
la cual no es separable. Por otro lado, al hacer el cambio de variable y=ux:
con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos:
y simplificando:
la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución:
Volviendo a la variable original:
la cual es la solución buscada.
Ecuación diferencial de variables separables
paso 1
Lo que haremos será factorizar la ecuación hasta que nos quede una expresión más manejable. Esto si la
ecuación diferencial de variables separables nos lo permite, claro está.
Factorizando:
La simplificación de la ecuación no ha resultado tan amigable, sin embargo, podemos apelar a un recurso
matemático como el cambio de variable, que sin duda nos proporcionara una mejor ruta de cara a obtener la
solución general de la ecuación diferencial de variable separables que estamos desarrollando a continuación.
Cambio de variable:
Ejemplo 4:
Ecuación diferencial de variables separables
 Que luego al sustituir las nuevas variables nos queda:
Seguimos simplificando la ecuación ahora multiplicando toda la expresión por $x$ y realizando las reducciones
correspondientes.
Agrupando términos semejantes con sus respectivos diferenciales:
Reduciendo y agrupando las variables con sus diferenciales correspondientes finalmente tenemos:
Ya contamos con las variables separadas, con lo cual
podemos avanzar hacia el siguiente paso que es
integrar ambas ecuaciones.
Ecuación diferencial de variables separables
Paso 2
Integramos las ecuaciones diferenciales de variables separadas, ojo aquí, notemos que ahora
nos referimos a expresión como una ecuación de diferencial de variables separadas y no
como una de variables separables.
Toda ecuación diferencial de variables separables debe llevarse a la expresión de la ecuación
diferencial de variables separadas antes de poder integrarla.
Integrando ambas ecuaciones:
Podemos notar que la primera integral es sencilla, de
hecho es una de solución inmediata, con lo cual podemos
expresar su solución
Ahora, la segunda integral si requiere de un poco más de dedicación en su resolución,
como ya hemos dicho, no es objetivo nuestro detenernos en los detalles del cálculo
integral, con lo cual avanzaremos rápidamente en la solución de esta expresión
integral.
Ecuación diferencial de variables separables
La segunda integral es una integral por partes donde tenemos:
Multiplicando la integral por 4/4
Y ahora sumando y restando t:
Simplificando: Resolviendo las respectivas integrales:
Uniendo el resultado de ambas integrales:
Finalmente devolvemos el cambio de variable
Y ahí lo tenemos, la solución general de la ecuación diferencial de variables separables:
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una
función homogénea.
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los
términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o
para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
 Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable
independiente, en caso contrario es No Homogénea.
 Ejemplos:
 Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la
función es homogénea de orden cero.
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones
homogéneos del mismo grado.
 Teorema.
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea,
entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en
variables separadas.
 demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que
De donde
la cual es separable, como se quería.
 Ejemplo 1:
Resuelva la ecuación diferencial
La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado
dos
Haciendo la sustitución
De donde
Integrando y volviendo a las variables y obtenemos
Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
 Ejemplo 2:
Resuelva la ecuación diferencial
Factorizando
Haciendo la sustitución
Integrando
Y despejando
Observación: al dividir por el factor
se pudo haber perdido algunas
soluciones, pero no es solución y
que son soluciones singulares.
 Ejemplo 3:
Resolver la ecuación:
En una ecuación diferencial homogénea se realiza el
cambio
Integrando.
 Ejemplo 4:
Sea la ecuación diferencial:
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales homogéneas, partiremos de la expresión:
que para este caso nos queda:
siendo u = y/x. A continuación se separan variables y se integra:
por lo tanto, la solución general de la ecuación es:
donde finalmente debemos sustituir u por su valor, y/x:
Observación:
Una ecuación diferencial en la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es homogénea cuando las funciones M(x,
y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
Por ejemplo:
( 3x - 7 y) dx + (5x + 9y) dy = 0,
( 4 x2 - 5 xy) dx + (3 x2 - 2 y2) dy = 0
Ecuaciones diferenciales exactas
La ecuaciones diferenciales exactas no son difíciles de resolver, simplemente hay que saber
reconocerlas y una vez identificadas aplicar el método de resolución, que siempre es el
mismo procedimiento.
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden que presenta la forma:
donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y
son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que:
donde y
Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas
cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
Ecuaciones diferenciales exactas
Método de resolución.
-Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
-Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con
respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la
solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante
de integración. Esto es:
-Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable dependiente de g.
-Se iguala la derivada parcial recién calculada de con M o N (si se integró M se iguala a N
y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se
encontrará la función g.
-Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
Ecuaciones diferenciales exactas
Ejemplo 1:
Resolución.
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición
Ecuaciones diferenciales exactas
Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta
Se Iguala las dos derivadas con respecto a “Y”.
Ecuaciones diferenciales exactas:
Ejercicio 2:
Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 3:
Ecuaciones diferenciales:
Ejercicio 4:
Ejercicio en el que la ecuación no es exacta, por lo
tanto, no se puede resolver por el método de las
ecuaciones diferenciales exactas.
conclusión.
Finalmente y para concluir se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está
asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. La
mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una
variable con respecto otra.
Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en
Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la
determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial.
El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar
la precisión achicando los pasos entre los puntos o implementando el método de orden
superior. Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutte, el cual
proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es
fácilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias.
El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades
de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y
eficientemente.
bibliografía.
Wikipedia (2020, Marzo 20). Ecuación diferencial. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
Monografias (2020, Marzo 20). Introducción a las ecuaciones diferenciales.
Teoría y ejemplos resueltos. Recuperado de:
https://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-
diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-
diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml#introducca
khanacademy (2020, Marzo 20). Ecuaciones diferenciales. Recuperado de:
https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-
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Ecuaciones diferenciales

  • 1. Ecuaciones diferenciales LEONARDO ZAMBRANO C.I: 28104393 GABRIEL ZAMBRANO C,I: 28104392 KEVIN LUGO C.I: 26958057 - Separación de variables. - Homogénea. - Exacta. Métodos para resolver las ecuaciones diferenciales.
  • 2. Introducción.  En este proyecto intentaremos hacer una recopilación de información y métodos para resolver las diferentes ecuaciones diferenciales existentes, todo esto en base en investigaciones científicas realizadas con un arduo esfuerzo.  Para poder explicar como se realizan las ecuaciones diferenciales se hará necesario explicar que es una ecuación diferencial para no tener dudas a la hora de utilizar ciertos métodos para resolver las ecuaciones previamente dichas.
  • 3. Ecuaciones diferenciales  Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación ordinaria es:  La variable independiente (v. i) es x  La variable dependiente (v. d) es y
  • 4. Ecuaciones diferenciales  Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:  La variable independiente (v. i) es "x" y "y"  La variable dependiente (v. d) es V
  • 5. Orden de las ecuaciones diferenciales  ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL  El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.  Ejemplo:
  • 6. Grado de las ecuaciones diferenciales  GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL  El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.  Ejemplos:
  • 7. Separación de variables. El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales. El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas.
  • 8.  Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden f(x,y,y’)= 0 que puede escribirse en la forma: se llama ecuación diferencial en variables separadas  Observación: una ecuación de la forma: puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor Y al integrar obtenemos la solución
  • 9.  Tenga presente que al dividir por el factor f2(x) g1(y) puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares. Ejemplo 1: Resuelva la ecuación diferencial ordinaria Dividiendo por el factor obtenemos: Y al integrar: Simplificando: Observe que el factor Tan(y) (2 - e^x ) es cero cuando x = Ln(2) y y= k .(pi) con k ∈ Z y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando c = +∞ y c=0, respectivamente.
  • 10.  Ejemplo 2: La pendiente de una familia de curvas está dada por: Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto (2,1). Separando variables Integrando: Simplificando: Evaluando en el punto (2,1) obtenemos que c=24, con lo cual el miembro de la familia buscado es: La recta tangente a la curva ( 3 + y^2) (2 + x^2 ) = 24 en el punto (2,1) se muestran en la figura A FIGURA A
  • 11.  Ejemplo 3: La ecuación diferencial ordinaria: no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable y=ux. Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación: la cual no es separable. Por otro lado, al hacer el cambio de variable y=ux: con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos: y simplificando: la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución: Volviendo a la variable original: la cual es la solución buscada.
  • 12. Ecuación diferencial de variables separables paso 1 Lo que haremos será factorizar la ecuación hasta que nos quede una expresión más manejable. Esto si la ecuación diferencial de variables separables nos lo permite, claro está. Factorizando: La simplificación de la ecuación no ha resultado tan amigable, sin embargo, podemos apelar a un recurso matemático como el cambio de variable, que sin duda nos proporcionara una mejor ruta de cara a obtener la solución general de la ecuación diferencial de variable separables que estamos desarrollando a continuación. Cambio de variable: Ejemplo 4:
  • 13. Ecuación diferencial de variables separables  Que luego al sustituir las nuevas variables nos queda: Seguimos simplificando la ecuación ahora multiplicando toda la expresión por $x$ y realizando las reducciones correspondientes. Agrupando términos semejantes con sus respectivos diferenciales: Reduciendo y agrupando las variables con sus diferenciales correspondientes finalmente tenemos: Ya contamos con las variables separadas, con lo cual podemos avanzar hacia el siguiente paso que es integrar ambas ecuaciones.
  • 14. Ecuación diferencial de variables separables Paso 2 Integramos las ecuaciones diferenciales de variables separadas, ojo aquí, notemos que ahora nos referimos a expresión como una ecuación de diferencial de variables separadas y no como una de variables separables. Toda ecuación diferencial de variables separables debe llevarse a la expresión de la ecuación diferencial de variables separadas antes de poder integrarla. Integrando ambas ecuaciones: Podemos notar que la primera integral es sencilla, de hecho es una de solución inmediata, con lo cual podemos expresar su solución Ahora, la segunda integral si requiere de un poco más de dedicación en su resolución, como ya hemos dicho, no es objetivo nuestro detenernos en los detalles del cálculo integral, con lo cual avanzaremos rápidamente en la solución de esta expresión integral.
  • 15. Ecuación diferencial de variables separables La segunda integral es una integral por partes donde tenemos: Multiplicando la integral por 4/4 Y ahora sumando y restando t: Simplificando: Resolviendo las respectivas integrales: Uniendo el resultado de ambas integrales: Finalmente devolvemos el cambio de variable Y ahí lo tenemos, la solución general de la ecuación diferencial de variables separables:
  • 16. Ecuaciones diferenciales homogéneas Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
  • 17.  Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.  Ejemplos:
  • 18.  Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero. Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.  Teorema. Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
  • 19.  demostración: Al hacer la sustitución obtenemos Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que De donde la cual es separable, como se quería.
  • 20.  Ejemplo 1: Resuelva la ecuación diferencial La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos Haciendo la sustitución De donde Integrando y volviendo a las variables y obtenemos Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
  • 21.  Ejemplo 2: Resuelva la ecuación diferencial Factorizando Haciendo la sustitución Integrando Y despejando Observación: al dividir por el factor se pudo haber perdido algunas soluciones, pero no es solución y que son soluciones singulares.
  • 22.  Ejemplo 3: Resolver la ecuación: En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio Integrando.
  • 23.  Ejemplo 4: Sea la ecuación diferencial: Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales homogéneas, partiremos de la expresión: que para este caso nos queda: siendo u = y/x. A continuación se separan variables y se integra: por lo tanto, la solución general de la ecuación es: donde finalmente debemos sustituir u por su valor, y/x: Observación: Una ecuación diferencial en la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es homogénea cuando las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado. Por ejemplo: ( 3x - 7 y) dx + (5x + 9y) dy = 0, ( 4 x2 - 5 xy) dx + (3 x2 - 2 y2) dy = 0
  • 24. Ecuaciones diferenciales exactas La ecuaciones diferenciales exactas no son difíciles de resolver, simplemente hay que saber reconocerlas y una vez identificadas aplicar el método de resolución, que siempre es el mismo procedimiento. En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que: donde y Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
  • 25. Ecuaciones diferenciales exactas Método de resolución. -Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos: -Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales. Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es: -Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable dependiente de g. -Se iguala la derivada parcial recién calculada de con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g. -Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
  • 26. Ecuaciones diferenciales exactas Ejemplo 1: Resolución. Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición
  • 27. Ecuaciones diferenciales exactas Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta Se Iguala las dos derivadas con respecto a “Y”.
  • 30. Ecuaciones diferenciales: Ejercicio 4: Ejercicio en el que la ecuación no es exacta, por lo tanto, no se puede resolver por el método de las ecuaciones diferenciales exactas.
  • 31. conclusión. Finalmente y para concluir se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra. Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o implementando el método de orden superior. Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias. El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y eficientemente.
  • 32. bibliografía. Wikipedia (2020, Marzo 20). Ecuación diferencial. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial Monografias (2020, Marzo 20). Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos. Recuperado de: https://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones- diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones- diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml#introducca khanacademy (2020, Marzo 20). Ecuaciones diferenciales. Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential- equations