Este documento describe dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales: la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccatti. Explica cómo transformar estas ecuaciones no lineales en ecuaciones diferenciales lineales mediante cambios de variable, lo que facilita su resolución. También incluye ejemplos resueltos de problemas típicos de estas ecuaciones.
2. Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no
lineales que pueden ser convertidas en ecuaciones
diferenciales lineales, entre las cuales destacan: la
Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti.
3. Es una ecuación de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏
Donde 𝑷 𝒙 y 𝑸(𝒙) son funciones continuas de 𝒙 (o
constantes) y, 𝒏 ≠ 𝟎 ; 𝒏 ≠ 𝟏(en el caso contrario
resulta una ecuación lineal).
Ecuación Diferencial de Bernoulli
4. Paso Nº1: Dividir para 𝒚 𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏
𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚𝒚−𝒏
= 𝑸(𝒙)
𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏
= 𝑸(𝒙)
Esta ecuación, llamada de Bernoulli, se reduce a una ecuación
lineal mediante la siguiente transformación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏
5. Paso Nº2: Cambiar de variable 𝐳 = 𝒚 𝟏−𝒏
Además derivando la nueva variable con
respecto a 𝒙.
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= (𝟏 − 𝒏)𝒚 𝟏−𝒏−𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= (𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
(𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏
𝒅𝒛
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚 𝒏
(𝟏 − 𝒏)
𝒅𝒛
𝒅𝒙
7. Es una ecuación no lineal de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝑷 𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒚 + 𝑹 𝒙 𝒚²
Para resolver, se debe conocer una solución
particular 𝒚 𝟏.
Después de conocida dicha solución se realiza la
siguiente sustitución:
𝒚 = 𝒚 𝟏 + 𝒖
Ecuaciones Diferenciales de Riccatti
8. Para resolverla suponemos una solución particular conocida 𝑦1 de tal forma que 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢
es una solución de la ecuación de Riccatti, con esto reducimos la ecuación de Bernoulli,
veámoslo. Si y es una solución entonces.
9. Ejercicios Resueltos
Los Ejercicios del 1 al 5 son de Ecuaciones
Diferenciales de Bernoulli y del 6 al 10 son
de Ecuaciones Diferenciales de Riccatti.
10. Ejercicio Nº1
𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚³
A la ecuación diferencial dada expresamos así:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟏
𝒙
𝒚 =
𝒚³
𝟐
;multiplicamos por 𝒚−𝟑
𝒚−𝟑 𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟏
𝒙
𝒚−𝟐 =
𝟏
𝟐
multiplicamos por −𝟐
−𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚
𝒅𝒙
−
𝟐
𝒙
𝒚−𝟐 = −𝟏
Sea 𝒛 = 𝒚−𝟐
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= −𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚
𝒅𝒙
Reemplazamos
𝒅𝒛
𝒅𝒙
−
𝟐
𝒙
𝒛 = −𝟏; ecuación lineal en z
Y la solución general es:
𝒛 = 𝒆 −
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
𝒛 = 𝒆−𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝒆𝒍𝒏𝒙−𝟐 + 𝒄 = 𝒙−𝟐
Multiplicamos para toda la ecuación 𝒙−𝟐
35. Ecuación Diferencial de Bernoulli
• Sea la ecuación:
•Lo primero que debemos
hacer es revisar si la
ecuación cumple con la
forma ordinaria
Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora
debemos sacar los valores siguientes:
36. Solución
En este punto sacaremos el valor de w.
Por lo tanto:
Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:
38. Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula:
Donde:
u es el factor integrante.
q(x) seria igual al valor
que tiene f(x)
Evaluamos la ecuación:
Y nos queda:
39. Al analizar la
ecuación nos
damos cuenta
que necesitamos
hacerla por
partes entonces
tomamos un
valor para u y
para dv pero solo
de :
Realizamos las
integrales que aun
quedan y el resultado
es:
40. Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis:
Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el
valor que teníamos al principio el de w=y-³
La respuesta simplificada es:
41. Conclusión
Podemos resumir que para realizar
una E.D.B es necesario:
Acomodar la ecuación en la forma
básica.
Sacar los valores de la ecuación.
Poner la ecuación en términos de la
diferencial.
Sacar el factor integrante.
Evaluar la ecuación con la formula
42. Libros:
1. Calculo Diferencial e Integral - Tomo II – Piskunov – 3ra Edición – Mir Moscú – 1977
2. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Kiseliov - Krasnov - Makarenko - 4ta
Edición – Mir Moscú – 1984
3. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones - Eduardo Espinoza Ramos - 5ta Edición - Lima
– Perú – 1996
4. Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover - 5ta Edición - Pearson Educación -
México – 2011
5. Cálculo Diferencial E Integral - William Anthony Granville - México - LIMUSA - 2009
Bibliografía