Este documento describe diferentes métodos de sustitución para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) sustituciones generales de la forma y=g(x,u) que transforman la ecuación diferencial en términos de u; 2) ecuaciones homogéneas cuyos términos son polinomios del mismo grado; y 3) ecuaciones específicas como la ecuación de Bernoulli y ecuaciones de la forma CByAxf(x,y)+= que pueden reducirse a una forma con variables separables.

1. Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
SOLUCIONES POR SUSTITUCION
(Método de sustitución)

2. Sustituciones
 Suponga que se desea transformar la
ecuación diferencial de primer orden
mediante la sustitución y=g(x,u),
donde u se considera una función de la
variable x.
Si g posee derivadas parciales, entonces la
regla de la cadena genera
),( yxf
dx
dy
=
dx
du
u
g
dx
dx
x
g
dx
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
.),(),(
dx
du
uxguxg
dx
dy
ux +=

3. Sustituciones…
 Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y
se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la
ecuación diferencial se convierte en
que si se resuelve para du/dx, tiene la forma:
 Si de esta última ecuación se puede determinar
una solución u=φ(x), entonces una solución de la
ecuación diferencial original es y=g(x,φ(x)).
),( yxf
dx
dy
=
)),(,(),(),( uxgxf
dx
du
uxguxg ux =+
).,( uxF
dx
du
=

4. Funciones homogéneas
 Si una función f posee la propiedad
f(tx,ty)=tα
f(x,y) para algún número real α, se
dice entonces que f es una función
homogénea de grado α.
 Por ejemplo:
f(x,y) = x3
+y3
es una función homogénea de
grado 3 mientras que f(x,y) = x3
+y3
+1 no lo
es.

5. Polinomios homogéneos
 Polinomios homogéneos son aquellos en
los que todos los términos son del mismo
grado.
 Ejemplos:
x2
y + 8xy2
– x3
+y3
(la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro
términos son de grado 3).
5x2
y3
+ 4xy4
+8x5
(la suma de los exponentes de cada uno de los tres
términos son de grado 5).

6. Ecuaciones homogéneas
 Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la
ecuación diferencial de primer orden M(x,y)
+N(x,y)=0 son ambas polinomios
homogéneos del mismo grado “n”, la
ecuación diferencial se denomina: ecuación
diferencial homogénea de grado n.

7. Ecuaciones homogéneas…
 Para la ecuación diferencial homogénea
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la
propiedad de que para toda t>0, la
sustitución de x por tx y la de y por ty hace
que M y N sean del mismo grado n.
 En otras palabras, la ecuación diferencial
es homogénea si:
M(tx,ty)=tn
M(x,y) y N(tx,ty)=tn
N(x,y).
Para n ε R.

8. Ecuaciones homogéneas…
 Las ecuaciones diferenciales homogéneas
de grado n siempre se pueden reducir a
ecuaciones diferenciales de variables
separables, utilizando cualquiera de las dos
sustituciones, o cambios de variables
siguientes:
.;
;
dy
du
yu
dy
dx
uyx
y
x
u
dx
dv
xv
dx
dy
vxy
x
y
v
+==→=
+==→=

9. Problema
 Resuelva la ecuación diferencial
mediante la sustitución:
dx
dv
xv
dx
dy
vxy
x
y
v +==→= ;
0222
=−++ dyxyxdxyx )()(

10. Ecuación de Bernoulli
 La ecuación diferencial
Donde n es cualquier real se llama
Ecuación de Bernoulli.
 Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal.
 Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n
reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación
lineal.
n
yxfyxP
dx
dy
)()( =+

11. Ecuación de Bernoulli…
 Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución
adecuada.
2
1
y
y
dx
dy
x =+

12. Otras reducciones
 Una ecuación diferencial de la forma:
Se reduce siempre a una ecuación con
variables separables por medio de la
sustitución:
)( CByAxf
dx
dy
++=
.0≠++= BconCByAxu

13. Otras reducciones…
 Resuelva las ecuaciones diferencial con la
sustitución adecuada.
23 2
+−= )( yx
dx
dy
2
1)( ++= yx
dx
dy