solow ejercicios

1. EJERCICIOS Y SOLUCIONES 2008
Crecimiento y desarrollo económico
1. a) Defina los conceptos de retornos constantes a escala(RCE) y retornos
decrecientes del capital (RDC).
b) ¿Por qué es sensato suponer que la función de producción exhibe retornos
constantes a escala y retornos decrecientes del capital?
c) Muestre que la función de producción Cobb-Douglas exhibe RCE y RDC.
2. a) Plantee la ecuación fundamental de Solow, sin progreso técnico. Describa en
palabras esta ecuación. ¿Cuál es el significado del término (d+n)k? ¿Por qué se
resta del otro término? (Explique por separado qué significa dk, nk, además
grafíquelos por separado y señale en el gráfico dónde se lee d y n)
b) ¿Por qué en este modelo SIN PROGRESO TECNICO, la tasa de crecimiento
en el largo plazo es nula?
c) ¿ Cuál es la tasa de crecimiento del consumo per capita en este modelo? ¿Qué
reflexión le merece este resultado?
3. Considere el modelo de Solow SIN PROGRESO TECNICO. Escriba la función
de producción del tipo Cobb Douglas apropiada para este modelo y con a=0.5.
Suponga además que s=0.11;d=0.1 y n=0.01, donde los significados de estos
parámetros son los habituales.
a) Calcule el producto per capita; b) Calcule la tasa de crecimiento del capital
por trabajador, en función de k=K/L; c)En el estado estacionario, la tasa de
crecimiento de k es nula. Usando los valores de los parámetros indicados
anteriormente, calcule el nivel en el estado estacionario de k*; d) Imagine que
este país está en su estado estacionario, de manera que k=k*. Suponga ahora
que ese país recibe una donación de una unidad de capital por parte de un
benefactor. O sea que k pasa a ser igual a k*+1. Explique lo que sucede con

2. la tasa de crecimiento inmediatamente después de la donación. ¿Cuál será el
stock de capital en el largo plazo?
4) Los países A y B tienen ambos la función de producción Y=K1/2
L1/2
a) Tiene esta función RCE?
b) ¿Cuál es la función de producción intensiva?
c) Suponga que en ninguno de los dos países hay crecimiento demográfico o
progreso tecnológico y que todos los años se deprecia 5% del capital. Suponga,
además, que el país A ahorra 10% de la producción todos los años y el B el 20%.
Utilizando su respuesta a la parte b) y la condición del estado estacionario según
la cual la inversión es igual a la depreciación, halle el capital por trabajador en el
estado estacionario correspondiente a cada país y, a continuación, el ingreso por
trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario.
d) Suponga que ambos países comienzan teniendo un stock de capital por
trabajador de 2. ¿ Cuáles son el ingreso por trabajador y el consumo por
trabajador? Recordando que la variación del stock de capital es la inversión
menos la depreciación, calcule cómo evolucionará el stock de capital por
trabajador con el paso del tiempo en los dos países. Calcule la renta por
trabajador y el consumo por trabajador correspondiente a cada año. ¿ Cuántos
años tardará el consumo del país B en ser mayor que el consumo del país A ?
5) Suponga que la función de producción es y = k1/2
a) Halle el valor de y correspondiente al estado estacionario en función de s, n, d.
b) Un país desarrollado tiene una tasa de ahorro del 28% y una tasa de crecimiento
poblacional de 1% al año. Un país menos desarrollado tiene una tasa de ahorro
del 10% y n=4%. En ambos países d = 0.04. Halle el valor de y del estado
estacionario en cada país.
c) ¿ Qué medidas podría adoptar el país menos desarrollado para elevar su nivel de
ingreso ?

3. 6) La Regla de Oro de la acumulación: Si el bienestar económico depende del
consumo, explique cuál sería,en el campo del deber ser, o sea en el campo
normativo, el “mejor” estado estacionario. Fundamente su respuesta analítica y
gráficamente.
7) En el mundo real, entre los años 1960 y 1998, la tasa de crecimiento del PBI per
capita en diversos países muestra escasa o ninguna relación con el nivel del PBI en el
año 1960. Esta afirmación significa que NO ES VERDAD que los países pobres
tiendan a crecer más rápido que los países ricos. ¿Esta afirmación concuerda o no
con el modelo de Solow-Swan?
8) Defina los conceptos de convergencia absoluta y convergencia condicional. ¿El
modelo AK predice algún tipo de convergencia? Explique.
9) Compare el modelo AK con el modelo de Solow. Efectúe una evaluación global
acerca de la utilización de estos modelos para países como Uruguay.
10)El supuesto usual para la tasa de ahorro es que fuera constante, tanto en el modelo
de Solow como en el modelo AK. En este ejercicio vamos a cambiar este supuesto.
Imaginaremos la tasa de ahorro como una función decreciente de k. a) ¿Puede dar
una razón que soporte este nuevo supuesto? b) ¿Cuál sería la conclusión de este
modelo AK con respecto a la convergencia? ¿Seguirá prediciendo NO convergencia?
¿Si predice convergencia, será absoluta o condicional? c) Si en el modelo de Solow
hubiéramos utilizado un supuesto sobre s similar al de este ejercicio, ¿seguiría
prediciendo convergencia? ¿Esta predicción implicaría una velocidad de
convergencia mayor o menor a la que se observa en el caso donde s es constante?
Explique.
11) Razonemos ahora con la tasa n. El supuesto usual sobre la tasa de crecimiento
poblacional es que fuera constante. Este supuesto es válido tanto para el modelo de
Solow como para el modelo AK. Imaginemos ahora que n es una función de k. a)
Supone usted que la fertilidad debería ser una función de k?( Piense, aunque no le

4. guste mucho la idea, en los costos y beneficios de tener niños, etc.). En el mundo
real, ¿las sociedades ricas tienen tasas de fertilidad mayores o menores que las que
no lo son?; b)Intuitivamente, piensa usted que la tasa de mortalidad puede ser una
función de k? ¿En el mundo real, cómo son las tasas de mortalidad de las sociedades
ricas?; c) Piense ahora en las migraciones. ¿Piensa que las migraciones son una
función de k? ¿Una función creciente o decreciente? ¿En el mundo real, las
sociedades ricas reciben o envían migrantes? Imagine ahora que n es una función
creciente de k. d)¿Cuál es la predicción de convergencia del modelo AK en este
caso? ¿Se mantiene la predicción de NO convergencia? ¿Si no se mantiene, la
convergencia es absoluta o condicional? e) Si aplicamos ahora este nuevo supuesto
sobre n al modelo de Solow, ¿se mantiene la predicción de convergencia? ¿Se trata
de una convergencia a mayor o menor velocidad que cuando n era constante?
Explique.
12) Contabilidad del crecimiento. El país A tiene un pago total de salarios de 60
billones de dólares y un PBI de 100 billones. La tasa de crecimiento del PBI de la
última década fue 10%, mientras que la tasa de crecimiento del capital y de la mano
de obra en el mismo período fueron, respectivamente. 10% y 5%. ¿ Cuál fue la tasa
de crecimiento de la PTF para ese país en ese período?
13) Considere la misma economía que la del problema anterior. Suponga que el dato
del PBI es el mismo pero que la nómina salarial es ahora 80 billones, en lugar de los
60 billones mencionados anteriormente. ¿Cuáles el crecimiento de la PTF con este
cambio de dato? Si es diferente al cálculo del problema anterior, explique por qué.
14) Ahora repita los ejercicios 9 y 10 pero bajo el supuesto de que la tasa de
crecimiento de la mano de obra es 10%. Si las hay, explique las diferencias con el
cálculo anterior.
15) Explique los siguientes conceptos: a) Bien rival; b)Bien no-rival; c)Bien
excluíble, d) Bien no-excluíble. Dé ejemplos de cada uno. ¿Qué tipo de bien es un
bien público? Explique la importancia de esta clasificación de bienes para la teoría
del crecimiento económico (o sea, discuta qué tipo de bien es la tecnología y vincule

5. los modelos de crecimiento endógeno que enfatizan el esfuerzo deliberado de
creación de progreso técnico).
16) Considere una economía bien descripta por el modelo de Solow SIN
PROGRESO TECNICO, con una función de producción del tipo Cobb Douglas que
muestra un parámetro A para medir la eficiencia con que trabaja dicha economía. Lo
diferente es lo siguiente: imagine una tasa de ahorro como una función creciente del
capital pero en escalón. O sea, s es una función de k que para valores bajos de k es
constante; para valores intermedios de k, s crece rápidamente y que para valores altos
de k, s vuelve a ser constante. a) Dibuje s(k); b)Dibuje s(k)f(k); c) Dibuje la curva de
depreciación; d)Halle el estado estacionario. ¿Cuántos son?; e) Discuta las
propiedades de estabilidad de los estados estacionarios; f ) ¿Este modelo predice
trampas de pobreza?
Soluciones para estos ejercicios
1) a) Los retornos a escala se refieren a la relación entre insumos tomados todos
juntos y la producción. Decimos que un proceso productivo exhibe RCE cuando
un aumento de TODOS los insumos en la misma proporción ( usamos la letra
lambda en clase) implica un aumento de la producción en la misma proporción.
Por ejemplo si esa proporción fuera 2, 2Y=F(A,2K,2L). (¿Por qué A no se
multiplica por 2 también? Porque A es un bien no-rival y en consecuencia no
puede ser apropiado por un solo empresario. Los retornos a escala se refieren
SOLO a factores de producción rivales, que no se pueden usar en dos lugares al
mismo tiempo).
Los retornos al capital se refieren al efecto sobre la producción de un aumento del
capital SOLAMENTE, manteniendo constante la mano de obra. Decimos que se
observan retornos decrecientes del capital si sucesivos aumentos del capital causan
aumentos cada vez más pequeños en la producción. La idea es que el mismo número
de trabajadores tiene que trabajar con más y más máquinas y, en consecuencia, la
productividad de las máquinas adicionales se hace cada vez menor.
b) En principio, siempre es posible replicar un proceso productivo y duplicar el
producto. Podemos construir una fábrica idéntica a la existente, contratar al

6. mismo número de trabajadores y así duplicar el producto. En este sentido, el
supuesto de RCE parece sensato.
Los retornos decrecientes del capital pueden justificarse así. Considere un caso
muy sencillo donde una unidad de capital (por ej. Un computador) se da a cada
trabajador. Su productividad en consecuencia aumenta si la comparamos con la
existente cuando no tenía computador. Si ahora le damos un segundo computador
(una segunda máquina) es probable que no puedan usar este segundo computador
tan productivamente como lo hicieron con el primero. Piense en una secretaria
con dos computadores, un cocinero con dos cocinas y así sucesivamente. El
aumento en el producto causado por la segunda máquina es menor que el
asociado con la introducción de la primera. Desde que podemos repetir este
razonamiento tantas veces como queramos, es sensato suponer que la
contribución del capital adicional a la productividad del capital es una función
decreciente del stock de capital con que cuenta la economía.
c) Para demostrar que una función exhibe RCE es suficiente con mostrar que el
producto se duplica cuando se duplican simultáneamente el capital y el trabajo.
Si Y = K0.3
L0.7
, entonces (2K)0.3
(2L)0.7
=20.3+0.7
K0.3
L0.7
= 2Y
Para demostrar RDC primero piense en qué pasaría si el capital tuviera retornos
constantes, en lugar de decrecientes. Cada unidad adicional de capital traería un
aumento idéntico al producto. Duplicando solamente el capital obtendríamos la
duplicación del producto. Sería el caso de que Y =AK. O sea, A(2K)=2AK=2Y.
Pero para tener RDC la función debe ser Cobb-Douglas. Entonces, aplicando el
mismo razonamiento (2K)0.3
L0.7
= 20.3
K0.3
L0.7
que es menor a 2K0.3
L0.7
=2Y porque
20.3
=1.23... O sea que duplicando el capital menos que duplicamos el producto.
c) El caso de la función Cobb-Douglas fue visto en clase y está en Sala.
2)a) La ecuación dice que el aumento de capital (la inversión neta) es igual al total de
ahorros (que a su vez es igual a la inversión bruta en un país sin gobierno y sin
comercio exterior) menos todo lo que se use para sustituir capital destruído u
obsoleto (delta) y deducido también lo necesario para equipar a los nuevos habitantes

7. ( dado por n ) con el mismo nivel de capital que ya poseen los habitantes existentes
con anterioridad. Lo que quede disponible después de esas deducciones aumenta el
capital por trabajador, k.
b) En el largo plazo, en este modelo sin progreso técnico, el crecimiento no puede ser
permanente por los retornos decrecientes. En la medida que el capital se hace más y
más grande, también es menos productivo y se llegará a una situación donde todos
los ahorros se utilizarán para reemplazar capital obsoleto o destruído y para equipar a
las nuevas personas que se incorporan. Habremos llegado así al estado estacionario.
Nada queda para aumentar k=K/L.
d) El consumo per capita no crece, porque no crece k ni y(por la función de
producción que lo vincula con k) y s es constante. En consecuencia,
estemodelo sin progreso técnico NO ES INTERESANTE a los fines del
crecimiento y del bienestar. Sólo se presenta como una introducción para el
MODELO CON PROGRESO TECNICO que ese sí bien refleja las ideas de
Solow sobre este tema y donde se verá que el consumo per capita en el largo
plazo crecerá a la tasa de progreso técnico. En este último caso, todos los
países que incorporen progreso técnico (o sea que incorporen innovaciones de
muy diversas maneras, a través de nuevos descubrimientos, nuevos mercados,
nuevas tecnologías, nuevas formas de organización, etc.) podrán ver su
consumo per capita crecer en el largo plazo.
2) Y =AK0.5
L0.5
; s=0.11;d =0.1; n=0.01
a)Para hallar y recordar que y=Y / L . Sustituyendo y operando igual que en clase y
en Sala se llega a que y=Ak0.5
b) Se plantea la ecuación fundamental y se sustituyen los valores.
c) En el estado estacionario

8. Obsérvese que en el estado estacionario k y, en consecuencia, y, dependen del nivel
de la tecnología, A. Países con mejor tecnología, o sea con un mayor nivel de A,
alcanzarán estados estacionarios mayores y serán más ricos.
e) En esa hipótesis, k aumenta. Pero el producto(y) y el ahorro por
trabajador(sy) aumentan también. Pero menos que proporcionalmente debido
a los RDC. En la medida que dk ,nk aumentan lo mismo que k, los ahorros no
serán suficientes para cubrir estos aumentos. En consecuencia, el stock de
capital no puede ser mantenido en su nivel anterior. El país experimentará
crecimiento negativo. Esta situación se seguirá repitiendo con sucesivas
destrucciones de k hasta que se destruya totalmente la unidad con que se
incrementó originalmente k , volviendo al estasdo estacionario original. (
Comparar esta explicación con la dada en clase a través del diagrama de fases
cuando el k inicial es mayor que el k del estado estacionario. Se trata de la
misma explicación, aunque la dada en clase era para el caso de considerar a k
como variable continua)
Ejercicios 4 y 5 ver hoja manuscrita adjunta.

9. Ejercicio 6
Ver Sala-i-Martin, página
Ejercicio 7
a) El resultado que la tasa de crecimiento del PBI percapita muestre poca relación
con el nivel del PBI per capita inicial NO está en contradicción con el modelo
neoclásico. El modelo de Solow predice convergencia condicional más que absoluta.
Los países pobres son probablemente muy diferentes de losricos en términos de sus
tasas de ahorro, poblacional, depreciación, eficiencia medida por A, e incluso el
parámetro alfa de la función de producción. En consecuencia, tienen diferentes
estados estacionarios.
SOLUCIONES A EJERCICIOS DE DEBRAJ RAY
CAPITULO 3
Ejercicio 1
a) Los costos operativos son de mano de obra (E2000 x 100 trabajadores) y de
tela de algodón (E600.000). En consecuencia, el total de costos operativos
anuales es E800.000. El total de ingresos es E1.000.000(100.000 camisas a
E10 c/u). En consecuencia, los beneficios operativos son E200.000 por
año.(No se consideran costos de inversión).
b) El ingreso generado que se distribuyó entre salarios y beneficios fue de
E400.000.
c) Las ventas de la empresa fueron E1.000.000 y el capital E4.000.000(E2: de
planta y maquinaria;E1: de terreno y E1: de galpón construído). En
consecuencia,la relación capital/producto es 4. Obsérvese que las inversiones
pueden ser usadas en sucesivos período(aunque depreciándose) y, en

10. consecuencia, una relación capital/producto mayor que 1 es perfectamente
compatible con la noción de empresa rentable.
Ejercicio 2
Hecho en clase.
Ejercicio 3
a) Dejando de lado la depreciación, el modelo Harrod Domar (H-D) concluye que
g=s/O, donde estos símbolos son los usuales en el texto de Ray. Para este
ejercicio s=1/5 y O=4. En consecuencia, g=1/20 o sea 5% por año.
b) Sabemos que la tasa de crecimiento per capita es la tasa de crecimiento agregada
menos la tasa de crecimiento poblacional. En consecuencia, si la tasa de
crecimiento per capita requerida es 4% y n=3%, la tasa de crecimiento agregada
requerida es 7%. Usando la ecuación de H-D se ve que la tasa de ahorro
requerida es gxO, que en este caso es igual a 7%xa, o sea 28% del ingreso.
c) La llave para resolver este ejercicio es calcular cuál es, efectivamente, la relación
capital/producto en Xanandú debido a los problemas laborales. Básicamente, si
O es la cantidad de capital que se necesita para producir una unidad de producto,
uno terminaría usando más que esa cifra. ¿Cuánto más? Sería O x 4/3. Si uno
quitara un cuarto de esta cifra terminaría exactamente con O. O sea, (4/3)O-
(1/4)(4/3)O= (4/3)O- (1/3)O= O. Entonces, la relación capital/producto efectiva
es ahora 4 x 4/3 = 16/3. Usando este valor en la ecuación de H-D y con s= 1/5
vemos que g = 3/80, o sea 3.75% por año. Si restamos n= 2% nos queda que la
tasa de crecimiento per capita es 1.75% por año.
d) El bienestar económico proviene de la mezcla entre el consumo corriente y el
consumo futuro. Una tasa de ahorro elevada beneficia el consumo futuro a
expensas del consumo corriente. En consecuencia, el objetivo no es siempre
aumentar la tasa de ahorro sino encontrar algún valor intermedio de s tal que
permita una combinación deseable entre ambos tipos de consumos. También va a
depender de cuánto dinero quiero dejar para las generaciones futuras. ( Comparar

11. este razonamiento con la Regla de Oro de la acumulación discutida en el modelo
de Solow).
Ejercicio 4
Está planteado para recordar el manejo de las tasas de crecimiento. Por ejemplo, la
parte b implica saber cuál hubiera sido el ingreso hace 200 años de una persona
media que hoy vive en un país desarrollado y que gana U$S 20.000 por año. Este
ingreso debe reducirse 1.5% por año.
Entonces x= 20.000(1 – 0.015)exp200 = U$S973. Este importe es similar al que se
observa en la India, por ejemplo.
Ejercicio 5.
Saltearlo y hacer, en su lugar, los ejercicios del modelo de Solow CON progreso
técnico, que están en otra parte de este repartido.
Ejercicio 6
Muy similar a los hechos en clase siguiendo a Sala.
Ejercicio 7
Idéntico a lo hecho en clase.
Ejercicio 8
a) Verdadero. Escriba la ecuación de H-D y vea la relación directa entre s y g*. Para
Solow recuerde que en el largo plazo la tasa de crecimiento de y (en Solow no
usamos g* sino la tasa de crecimiento de y) está determinada por la tasa de
crecimiento x, o sea la tasa de crecimiento del progreso técnico exógeno. En Solow s
sólo determina niveles del ingreso per capita en el largo plazo, no su tasa de
crecimiento.

12. f) Falso. Hay una relación inversa entre g y O. Ver la ecuación de H-D.
g) Falso. Releer pags. 73 a 76 de D. Ray. (Críticas de de Long a los trabajos de
Baumol).
h) Verdadero. Releer pags.14 a 19 de D. Ray y el concepto de matriz de
movilidad de D. Quah.
i) Verdadero. Recordar la vinculación entre la tasa de crecimiento de y con x y
no con n. Ver otra vez el repartido de Solow con progreso técnico.
j) Falso. Haga una lectura cuidadosa de lo que dice la letra. Ahora dibuje la
función de producción con la producción per capita ( o sea y ) en el eje de las
ordenadas y k en
las abscisas. Por supuesto que y aumenta cuando k aumenta. El punto es que lo
hace a una tasa decreciente, pero de todas manera crece.
Ejercicio 9.
Al no haber corte entre las curvas no hay trampas ni umbrales. Sólo variaciones
en la tasa de crecimiento per capita que reflejan la evolución de n, porque s/O se
mantiene constante.
Ejercicio 10
Un país con un k bajo puede crecer rápido por dos razones:1) por ser r alto
(productividad marginal del capital alta); 2) porque es probable que la tecnología
instalada no sea la de última generación. Estas dos razones dan lugar a pensar en
una posible convergencia.
Sin embargo, k bajos dan lugar a pensar también en crecimiento bajo. Por dos
razones: 1) Porque es probable que en ese país el capital humano sea bajo, y si
ese capital humano (o mano de obra especializada) es complementario con el
capital físico, esta carencia influirá para bajar la productividad marginal del
capital y en definitiva enlentecerá el crecimiento. 2) Un nivel bajo de k puede ser

13. consecuencia de fenómenos de encerramiento ( o de Qwerty ). Y ello resultará en
menor crecimiento también. Estas dos últimas razones dan lugar a pensar en
divergencia.
El resultado puede ser incierto entonces. ¿Prevalecerán las razones que llevan a la
convergencia o aquéllas que hacen que las economías diverjan?