Matemática

1. TEMA 4
1. Exprese mediante integrales el área del recinto señalado en el gráfico de la izquierda y señale en el gráfico de
la derecha el área que corresponde a
R 1
0
h(x)dx +
R 2
1
g(x)dx
hHxL gHxL
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
1
2
3
4
hHxL gHxL
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
1
2
3
4
2. Calcule las siguientes integrales inmediatas
a)
Z
(x +
3
x2
−
2
x3
)dx f)
Z
cos x
1 + sen2x
dx k)
Z
ex
1 + ex
dx
b)
Z
(
√
7x + e4x
+ e−x/2
)dx g)
Z
sin x(cos x + 1)1/3
dx l)
Z
x2
(3x3
+ 1)4
dx
c)
Z
(2x
+ e−x
)dx h)
Z
sin(x)dx
1 + cos2 x
m)
Z
x(e2x2
+ 1)dx
d)
Z
(22x
+ e−3x
)dx i)
Z
7dx
√
1 − 4x2
n)
Z
e2x
p
e2x + 1dx
e)
Z
(
1
x + 1
+ 7 cos(2x) −
√
3x + 1)dx j)
Z
3
x
ln(x)dx o)
Z
x2
1 + x3
dx
3. Calcule las primitivas de las siguientes funciones.
a) f(x) = x2
+1
x3+x ; b) f(x) =
√
4 − x; c) f(x) = x(x + 2)(x − 3);
d) f(x) = 2 + 1
(3x+1)3 ; e) f(x) = xex2
√
ex2
+1
; f) f(x) = (
√
x + 1)
2
;
g) f(x) = 2
xLn(x) ; h) f(x) = 2ex
− e−x
; i) f(x) = x
√
x − sin(1 + 3x);
4. Calcule el área del recinto señalado en gris.
y= x
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
5. Calcule el área de la región A de la figura
fHxL=x2
gHxL=16-x2
A
0 1 2 3 4
0
5
10
15
6. Represente y calcule el área de la región limitada por las curvas
a) y = 2
9 x2
e y = 2
3
√
3x
b) y = −(x − 2)3
e y = −4(x − 2).
1
Ejercicios
Mª Jesús Moreta Santos
Matemáticas I
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad Complutense de Madrid

2. 7. Sea F(x) = ex
(x2
− 2x + 2) + (ln(x+1))2
2 . Diga si es cierto o falso que F(x) es una primitiva de la función
f(x) = x2
ex
+ ln(x+1)
x+1 . Halle una primitiva de la función f(x) que satisfaga que G(0) = 1.
8. Sean las funciones
f(x) = 2e−3x
, f(x) = 6 (2x + 1)
5
, f(x) =
x + 3
√
x
, f(x) = x −
x
x2 + 1
.
a) Calcule
R
f(x)dx.
b) Halle, si fuese posible, una primitiva F(x) de f(x) tal que F(0) = 1.
9. Sea
F(x) =
Z x2
√
2x
1
s
ds
a) ¿Es F(x) una primitiva de f(x) = 3
2x para x > 0?
b) Suponga que x = 2 . ¿Es cierto que si x aumenta un 1% entonces F aumentará en más de un 1%?
Indicaciones: ln 4 = 2 ln 2, ln 2 < 1
10. Calcule las siguientes integrales definidas.
a)
Z 1
0
x3
(3x2
+ 1)2
dx, b)
Z 1
−1
x2
dx
x3 + 2
, c)
Z 1
0
x
p
3x2 + 1dx, d)
Z 2
1
e2/x
3x2
dx
11. Sea P(t) la función que representa el número de personas en paro en la Comunidad de Madrid en el instante t,
donde el tiempo se mide en meses. Se sabe que en el instante t, el número de personas en paro está creciendo
continuamente a un ritmo de m(t) = 36
(2+t)2 miles de personas al mes, y que en este momento (t = 0) el
número de personas en paro es de 450 mil personas.
a) ¿En cuánto aumenta el número de parados entre el final del segundo mes y el final del séptimo mes?
¿Cuántos parados habrá al final del séptimo mes?
b) Halle el número total de parados P(t) en el instante t. ¿Se sobrepasa el umbral de los 500 mil parados en
algún instante?
c) Dibuje las funciones m(t) y P(t).
12. Producir x unidades de bien X conlleva unos costes C(x). El coste marginal viene dado por la función
CMg(x) =
1
4
x2
− 5x + 30.
Si producir 6 unidades de bien X cuesta 500 euros
a) ¿En cuánto se incrementan los costes si se aumenta la producción de x = 12 hasta x = 24?
b) ¿Cuál es la función de coste C(x)?
c) Calcule C(0) e interprete su significado.
d) Suponga que se producen 6 unidades de bien X. ¿Cuál serı́a el coste aproximado de una unidad adicional?
13. A partir del dı́a t = 0 un individuo pierde capital a un ritmo de 1000 euros diarios durante 10 dı́as y lo gana
a un ritmo de 200(t − 10) euros diarios a partir del décimo dı́a.
a) Estudie la continuidad de la función K0
(t) que da el ritmo de variación del capital.
b) Si el capital inicial era K0 = 20000 euros, obtenga la función K(t) que da el capital del individuo el dı́a t.
Represente gráficamente K(t) y estudie los intervalos de crecimiento.
c) ¿Llegará a superar el capital del individuo el nivel inicial de K0 = 20000 euros? ¿En qué instante?
14. El ritmo de variación de la prima de riesgo de España en los últimos 30 dı́as ha sido
r(t) =
− 16
(t+1)2 0 ≤ t ≤ 15
3 15 t ≤ 30
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3. La prima de riesgo en t = 0 fue de 345 puntos.
a) Obtenga la función R(t) que da el valor de la prima de riesgo el dı́a t. ¿Es continua? ¿Es derivable?
Represente gráficamente R(t) y estudie los intervalos de crecimiento.
b) ¿Llegó a superar la prima de riesgo el nivel inicial de R0 = 345 puntos? ¿En qué instante?
15. Calcule F0
(x) para las funciones que aparecen a continuación
a)F(x) =
Z x2
+x
0
(u + 1)2
du, b)F(x) =
Z 3
x
(u + 2)2
du, c)F(x) = 4
Z 2x
x2
y3
dy
16. Sea F(x, y) = x + y2
+
R x2
+1
1
ex−1
x+1 dx. Halle el plano tangente a la gráfica de F(x, y) en el punto (0, 2).
17. Calcule las siguientes integrales haciendo el cambio de variable que se indica.
a)
R dx
2+
√
x
con el cambio y = 2 +
√
x.
b)
R dx
2+
√
x
con el cambio y =
√
x.
c)
R
x(x + 1)1/3
dx con el cambio z = x + 1.
d)
R dx
√
x− 3
√
x
con el cambio x = t6
e)
R 4
0
e2− x
2
3+e2− x
2
dx utilizando el cambio t = 2 + e2− x
2 .
18. Sea la función
f(x) =



1 + x, si −2 ≤ x ≤ 0,
1, si 0 x 1,
4 − x, si 1 ≤ x ≤ 10.
a) Halle la función F(t) =
R t
−2
f(x)dx, t ∈ [−2, 10].
b) ¿Es la función F(t) continua en el intervalo (−2, 10)? ¿Es derivable?
c) Calcule, si existiesen, F(1), F(10), F0
(0), F0
(1) y F0
(8).
19. Resuelva mediante integración por partes las siguientes integrales.
a)
Z 2
1
3x3/2
ln xdx, b)
Z 3
0
x ln (x + 1) dx, c)
Z 1
0
3xe−2x
dx, d)
Z
x5
ex2
dx
20. Sean las funciones
a)f(x, y) = y(x3
− 2y), b)f(x, y) = yexy
, c)f(x, y) =
x2
1 + y
+ 1, d)f(x, y) = y1/2
e−x
.
Calcule
RR
R
f(x, y)dxdy, siendo R = [0, 1] × [0, 1] .
21. Exprese, utilizando una única integral doble, el área del recinto que aparece debajo.
x
1
x
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
22. Calcule las siguientes integrales dobles
a)
Z π/2
0
Z π/2
0
cos(x) sin(y)dxdy, b)
Z 1
0
Z 1
0
(ex
+ y2
)dxdy, c)
Z 2
1
Z 6
4
(xy + x)dxdy
3
Ejercicios
Mª Jesús Moreta Santos
Matemáticas I
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad Complutense de Madrid

4. 23. En cada uno de los siguientes casos, represente gráficamente la región S y calcule la integral
R R
S
f(x, y)dxdy.
a) f(x, y) = xey
, siendo S =
(x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
b) f(x, y) = x3
y, siendo S la región limitada por el eje OY y las rectas x + y = 4 e y = x + 2.
24. Halle a de manera que
RR
A
f(x, y)dxdy = 1, en los siguientes casos.
a) f(x, y) = axy, A = [0, 1] × [0, 1].
b) f(x, y) = ax, A
(x, y) ∈ R2
: y − x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0 .
25. Se considera la región S del primer cuadrante limitada por la recta x + y = 3 y la hipérbola xy = 2. Escriba
los lı́mites de integración en las integrales dobles que aparecen a continuación.
Z Z
S
f(x, y)dxdy =
Z Z
f(x, y)dy
dx =
Z Z
f(x, y)dy
dx.
26. Señale en el gráfico las regiones cuyas áreas son
R 1
0
R (x−2)2
x2 dydx y
R 4
1
R √
y
2−
√
y
dxdy.
y-Hx-2L2
=0 y-x2
=0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
1
2
3
4
27. Se tienen dos recipientes, el primero tiene por base el rectángulo [0, 3] × [0, 4] y la altura viene dada por la
función f(x, y) = 4x. El segundo tiene por base el triángulo
(x, y) ∈ R2
: x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
y altura c. Halle el valor de la constante c de manera que los dos recipientes tengan el mismo volumen.
28. El techo de una habitación abuhardillada de 4 metros de ancho por 4 de largo tiene una altura, en metros,
sobre el suelo que está dada por
h(x, y) =
3, 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2,
5 − y, 0 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 4,
donde (x, y) es el punto del suelo que dista x metros de una pared e y metros de otra pared perpendicular a
la primera. Calcule el volumen de la habitación.
EJERCICIOS DE EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES
1. Junio 2024: Ejercicios 6 y 7
2. Enero 2024: Ejercicios 6, 7, 8 y 9
3. Junio 2023: Ejercicios 6, 7 y 8
4. Enero 2023: Ejercicios 7, 8, 9 y 10
5. Junio 2022: Ejercicios 7, 8 y 9
6. Enero 2022: Ejercicios 6, 7 y 8
7. Junio 2021: Ejercicios C1a, C1d, C1e y C2d
8. Enero 2021: Ejercicios 1, 4 y 6
9. Enero 2020: Ejercicios 1 y 4
4
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5. 10. Junio 2019: Ejercicios 1 y 4
11. Enero 2019: Ejercicios 4 y 5
12. Junio 2018: Ejercicios 4 y 5
13. Enero 2018: Ejercicios 5 y 6
14. Junio 2017: Ejercicios 5 y 6
15. Enero 2017: Ejercicios 5 y 6
16. Junio 2016: Ejercicios 5, 6 y 7
17. Enero 2016: Ejercicios 5 y 6
18. Junio 2015: Ejercicios 1 y 4
19. Enero 2015: Ejercicios 1 y 2
5
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